三角函数导学案

第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数

考试要求 1.任意角的概念，弧度制的概念，弧度与角度的互化，A 级要求；2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，B 级要求．

知 识 梳 理

1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)分类⎩⎨⎧

按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式

角α的弧度数公

式 |α|＝l

r (弧长用l 表示) 角度与弧度的换

算 ①1°＝π180 rad ；②1 rad ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

180π°

弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式

S ＝12lr ＝12|α|r 2

3.三角函数

正弦

余弦

正切

定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，

那么

y 叫做α的正弦，记作sin α x 叫做α的余弦，记作cos α

y

x 叫做α的正切，

Ⅱ

＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ

－

＋

－

续表

三角函数线

有向线段MP 为正弦

线

有向线段OM 为余弦线

有向线段AT 为正切

线

诊 断 自 测

1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角．

(×) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．

(×)

(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°. (×) (4)若α∈⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，π2，则tan α＞α＞sin α.

(√)

(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(×)

2．下列与9π

4的终边相同的角的表达式中正确的是________(填序号)．

①2k π＋45°(k ∈Z )；②k ·360°＋94π(k ∈Z )；③k ·360°－315°(k ∈Z )；④k π＋5π

4(k ∈Z )．

解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π

4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有③正确． 答案 ③

3．(苏教版必修4P15T6改编)若tan α＞0，sin α＜0，则α在第________象限． 解析 由tan α＞0，得α在第一或第三象限，又sin α＜0，得α在第三或第四象限或终边在y 轴的负半轴上，故α在第三象限． 答案 三

4．(2014·大纲全国卷改编)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝________. 解析 由三角函数的定义知cos α＝－4

(－4)2＋32

＝－45 .

答案 －45

5．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为______弧度． 答案 π3

考点一 象限角与三角函数值的符号

【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α

2是第________象限角． (2)若sin α·tan α＜0，且cos α

tan α ＜0，则角α是第________象限角．

深度思考 象限角的判定有两种方法，请你阅读规律方法，其中角α

2的判断结论为：

解析 (1)∵α是第二象限角， ∴π

2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π

2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α

2是第一象限角； 当k 为奇数时，α

2是第三象限角．

(2)由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由cos α

tan α＜0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．

答案 (1)一或三 (2)三

规律方法 (1)已知θ所在的象限，求θ

n 或nθ(n ∈N *)所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式(含有k )表示，然后两边同除以n 或乘以n ，再对k 进行讨论，得到θ

n 或nθ(n ∈N *)所在的象限．(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．(3)由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解．

【训练1】 (1)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪

⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限

角．

(2)sin 2·cos 3·tan 4的值________0(填“大于、小于”)． 解析 (1)由θ是第三象限角，知θ

2为第二或第四象限角， ∵⎪

⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角．

(2)∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，∴sin 2·cos 3·tan 4＜0.

答案(1)二(2)小于

考点二三角函数的定义

【例2】已知角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sin θ＝

2

4m，试判断角θ

所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．

解由题意得，r＝3＋m2，∴sin θ＝

m

3＋m2

＝

2

4m.

∵m≠0，∴m＝±5.故角θ是第二或第三象限角．当m＝5时，r＝22，点P的坐标为(－3，5)，

∴cos θ＝x

r＝

－3

22

＝－

6

4，tan θ＝

y

x＝

5

－3

＝－

15

3.

当m＝－5时，r＝22，点P的坐标为(－3，－5)．

∴cos θ＝x

r＝

－3

22

＝－

6

4，tan θ＝

y

x＝

－5

－3

＝

15

3.

综上可知，cos θ＝－

6

4，tan θ＝－

15

3或cos θ＝－

6

4，tan θ＝

15

3.

规律方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．

【训练2】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，

∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，

则x＝4t，y＝－3t，

r＝x2＋y2＝(4t)2＋(－3t)2＝5|t|，