指数与指数幂的运算(例题讲解加同步练习)

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高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)

课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴；在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴；图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析：当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析：易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析：令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析：因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析：当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析：可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解：设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析：由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析：由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于（）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13．解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114．解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1，因此 a +b ＞c .ccc c15．解：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。

(完整版)指数与指数幂的运算习题(含答案),推荐文档

2 2 2 ⎝ ⎝ ⎭⎭指数与指数幂的运算习题（含答案）一、单选题1．已知 x ，y 为正实数，则 A ． 2lnx+lny =2lnx +2lny B ． 2ln （x+y ）=2lnx •2lny C ． 2lnx•lny =2lnx +2lnyD ． 2ln （xy ）=2lnx •2lny12．化简[( ‒ 2)6]2 ‒ ( ‒ 1)0的结果为A ． −9B ． 7C ． −10D ． 93. 若 > 0，且，为整数，则下列各式中正确的是A ． a m ÷ a n = anB ． a m ⋅ a n = a mnC ． () =+D ． 1 ÷ a n = a 0 ‒ n4. 若 a >1，b >0，且 a b ＋a －b ＝2，则 a b －a －b 的值为( )A ．B ． 2 或－2C ．－2D ． 25．3‒ 27的值为（）． A.9B. ‒ 9C.‒ 3D.3a 3x + a ‒ 3x26．若 = A ． 2 ‒ 1 C ． 2 + 1‒ 1，则 a x + a ‒ x 等于B ． 2 ‒ 2 D ． + 1log 3x , x > 0 ⎛ ⎛ 1 ⎫⎫7．已知函数 f (x )= { 2x , x ≤ 0，则 f f 9 ⎪⎪ 等于（）A ． 4B ． - 1 41C ． -4D ． 4 18．设 a = log 3,b = 20.3, c = log 2 ，则（）3A ． a > b > cB ． a > c > bC ． c > a > b (1)9．设 y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝ 2 －1.5，则( ) A ． y 3＞y 1＞y 2 B ． y 2＞y 1＞y 3 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1＞y 3＞y 2 10．有下列各式：D ． b > a > c2 2n a n 3 x4+ y 36 (-5)2m ‒ 2n4 163 x3 x 227 - - ① = a ；②若 a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；4③ = x 3+ y ；④ 35 = .其中正确的个数是( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2D ．311．化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A ． 1B ．－1C ．a 2 -1a 2 +1a 2 +1D ．a 2 -112. 下列各式计算正确的是( )A ． (－1)0＝1B ． 21a 2·a 2＝a2 1 1 C ． 43＝8D ． a 3÷ a － 3= a 313. 已知a m ＝4，a n ＝3，则的值为( )2A.33B. 6 C ． 2D ． 2二、填空题化简 ⋅(x > 0) 的结果是.14.x ⋅ 15. 设函数 f (x ) = a x + (k -1)a -x + k 2 （ a > 0, a ≠ 1 ）是定义域为 R 的奇函数.（1）求 k 值；（2）若 f (1) > 0 ，求使不等式 f (x 2 + x ) + f (t - 2x ) > 0 恒成立的t 的取值范围；（3）若 f (1) = 3 ，设 g (x ) = a 2x + a -2x - 2mf (x ) ， g (x ) 在[1, +∞) 上的最小值为-1，2求m 的值.12⎛ 1 ⎫ - 16．计算： 83 ÷ ⎪ = .⎝ 4 ⎭ ⎛ 8 ⎫- 13 - ⎛ - 3 ⎫0+ =17． log 3 +⎝ 125 ⎪⎭ ．⎝ 5 ⎪⎭2 518． (2a -3b 3 ) ⋅ (-3a -1b ) ÷ (4a -4b 3)(a > 0, b > 0) =.19．若2x + 2-x = 5 ，则8x + 8-x =.6 x23 a - 33 b- ⎛ 8 9 2 ( ‒ 8) （3）；20． 0.064 13- - 1 ⎫0 + ⎡(-2)3 ⎤- 34 +16 ⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎭- 34 + 0.0112 =⎛ 1 ⎫0 21. 计算： lg4 + lg25 + - ⎪ ⎝ ⎭=．22. 直线y = 2a 与函数 y = a x -1 (a > 0且a ≠ 1)的图象有且仅有两个公共点，则实数 a 的取值范围是.1 + log 12 - (0.7)0+ 0.25-1 ＝。

指数与指数幂的运算习题(含答案)

考点：函数的图象.
【方法点晴】本题考查指数函数的变换，形如的图象的作法：先做出的图象，再将轴下方的图象翻折到轴上方. 的图象的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，由于底数不确定，故应分和两种情况分别作图，结合图形可得最后结果.
23．4
【解析】原式，故答案为4.
试题解析：
(1) 原式＝
(2)
.
27．（1）（2）
【解析】试题分析：
（1）根据分数指数幂的运算法则和对数的运算求解．（2）根据求得，解方程组求出后再求解．
试题解析：
（1）原式=3﹣3+（4﹣2）× = ．
（2）∵sinα+cosα= ，①
∴ 1+2sinαcosα= ，
∴2sinαcosα=﹣ ．
指数与指数幂的运算习题（含答案）
一、单选题
1．已知x，y为正实数，则
A．2lnx+lny=2lnx+2lnyB．2ln（x+y）=2lnx•2lny
C．2lnx•lny=2lnx+2lnyD．2ln（xy）=2lnx•2lny
2．化简的结果为
A．−9B．7
C．−10D．9
3．若，且，为整数，则下列各式中正确的是
【解析】
【分析】
利用根式的运算法则运算即可.
【详解】
（1）；
1) 中实数的取值由的奇偶性确定，只要有意义，其值恒等于，即；
(2) 是一个恒有意义的式子，不受的奇偶性限制，，但的值受的奇偶性影响．
29．（1）89；（2） .
【解析】试题分析：指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算，法则包括同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方等于把积中每个因数乘方，再把所得的幂相乘；对数运算要注意利用对数运算法则，包括积、商、幂的对数运算法则，这些公式既要学会正用，还要学会反着用.

高中数学2.1.1指数与指数幂的运算同步讲练新人教版必修1

课题：2.1.1指数与指数幕的运算精讲部分学习目标展示(1)掌握根式的概念及根式运算性质；(2)理解分数指数幕的意义；(3)学会根式与分数指数幕之间的相互转化；(4)掌握有理指数幕的含义及其运算性质;衔接性知识1. 初中整数指数幕的有哪些运算性质？mn mn^m’n mn n nna a a (a ) a (ab) a b2. 平方根与立方根的概念？如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根基础知识工具箱典例精讲剖析例1.化简:"T 3(1) ------ (2). x 26x9 3(X3)3 ( 3) 11 — 2 30+ _ 7-2 ,10解: (1)丄「x )x 2xx(2) ... (x 6x 93E,(x 3)2 (x 3) |x 3| x2x x(3)11 — 2 30+7 — 2 10=6 — 2「30+ 5 + 5— 2「10+ 2 = ( 6— 5) + ( 5— 2) = 6— 2例2.计算(1) 235214(0.01)0.5.1 2(2) (0.0001)4(27)349()64解：(1)原式1 100丄1丄1015(2)原式=(0.14)2(33)3吟2]1= 0.1 132 7 1(8)27314 7例3 •化简下列各式:15 3<a \a 1 ;(2)41a 3 8a 3 b24b'23 ab2a 3(1 23b )3： 7 卫 J 8 15解: (1)原式=V a 2a 2 V a 3a 312=3a 2Va 2 = a1(a 2)32722 7 3633 6a 3a 6 a3a 36a 2 323 =a 21a 6(2) 原式=1a 3(a 8b)24b 31 12a 3b 32a?1 1a 3 (a32 3一1 12a 3b31 a?12 b31a 31a 312b 3)(a~24b 31 1例4•已知a 2 a 2 3,求下列各式的值1 23S 3 4b 3) ~2432a 3b1a3~11a 3 2b 311133 3a 3a 3 a 31 (3a 2 a 2 (3) a解:⑴ 1 将a 2 3两边平方得 2 9,即 a a(2)将 a 7两边平方得， 22 49，即 aa 2 47 ;(3) Q (a1)247 2 45,35精练部分A 类试题（普通班用） 1 .若xy 0，那么等式 4x 2y 3 A. x >0, y >0 B. x >0, y <0 2xy y 成立的条件是C . x <0, y >0x <0, y <0解：••• xy 0 ,••• x 0, y 2 3 4x y 2xy 0 2. Ja 3b 2 需了化简： 1 1 (a 4b 2)4解: .a 3b 2 3 ab 2 (a 3)2 (b 2) 1 (ab 竽 3. 解: 得, ，选1 1 (a 4b 2)4计算 (1) 73 3 33 24 1⑵(0.0625) 7(3) (1) 1 1 1(a 4)4 (b 2)4 (与 a 1 a© ~1 ab 2 a 3 1 b? b 3 暑12 (7)0]2[(42)3]3+10(2 C ，3+2)1999 ( .3 2)2000 73 3 3-2^ 63 1 4 333 1 1 33 3 3313'(3j23)31 133 33 7 33 6 312 33 3 31(2) (0.0625) 47 — _ [2 (―)0]2 [( 2)3]3+ 10(2 x3) 1 ) 0.5 300)11丄(0.54) 4 ( 2 1)2 ( 2)4 10 ---------------------- (3 102)22 V3 24 16 10(2 , 3) 10、、342(3) (,3+2)1999 (V 2 ) 2000=[(2+ . 3)(2,3)]1999 (2 .3) =11999 (2 ：3) =2 .3.a 、、b a bB 类试题(3+3+4)(尖子班用)1.若xy 0,那么等式.4x 2y 3 2xy y 成立的条件是()A. x >0，y >0B. x >0，y <0 C . x <0, y >0 D . x <0, y <0,33 c4x y 0x 0解：••• xy 0, • x 0, y 0,由 2xy 0 得，，选 Cy 0y 04.已知xb 0)，求2解:ab(a b) 2ab5•设a解: 1(a 21(a 20 ,•••原式12，b由已知,1b 2)11b 2)12/aba b2、、ab1311(a 21(a 211b 2) 1(a b)24ab 1 12b')11 1(a 2b^)11(a 21(a 227 22、OBa b a b 2\ ab 2. ab1b°) 1f 的值: bj 4ab 2b2a2. b 2 a1 2( aa：）x 2(H ,(=2 s/Ob =232.使(32x x 2） 4有意义的x 的取值范围是（） A. RD. x <— 3 或x >1解：设5x 又Q 225 4.已知3a 解: 32a b c 2 2x x )4 4(3 1 有意义，2x 2、3 x )•••应满足3 2x x 2 0 ,解得 3 x 1, y 、z R , 且5x 9y 225z ，则（ ) 1 12 B — 1 1 —C 1 2 1 x y z x y z x y3解：••• (3 故选 3.设 x 、 D. 1 A. 1z B. x 工1 且 x 工 3 C . — 3<x <19y 225z 9 25, 2 , 3b (3a )23b C. 1 t x 225 251t z则 32a b5•用分数指数幕表示: 解: 2y 33 41 x 3 x 6 y1x 3J a 3b 2需臣a 、b >0）的结果是6.化简： 1 1 (a 4b 2)4解：a ：b ； 'ab (a 4b 2)4 £ 1 (a 3)2 (b 2^ (ab 2『1(a 4)4 1 b 1(b 2)4 (b )3a3 1 a' b a® a 3a b 21b? b 32i ab7.化简 y . 4x 2 4x 1 、4x 2 12x 9，并画出简图.解：y4x 2 4x 1 ' 4x 2 12x 94x|2x 1||2x 3|4x2 1 2 1 2其图象如图.8.计算(1)733 3324 1(0.0625)刁1(124+22 I 3)2 1276+16(沖3 4(4)(G+2) 1999 ( 5 2 ) 2000(5) 7^3 3^24 6香炽31331 133 3 33133 [( (2)(0.0625)1 (0.54) 4 1)2 10(2 、3) 1 (3) (124+22 ■ 3)2 [(11 G )2]2 11 .3 3 2 4 164_ 12)3]3+10(2 3(300)0.5;(5 — 1613勺)0.5+(17 33 6 (|)0]2 [(2)4 10 1 276+16 1 (33)6 (3133 1)10 .3 (82100.75 +(2 -7 4 1 (3于12 333342)于 + 10(2 4) 1（佥）。

数学人教版A必修1同步训练：2.1.1指数与指数幂的运算(附解读

第二章基本初等函数(Ⅰ2．1指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算1．下列说法中：①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，只有当a ≥0时才有意义．其中正确的是 …(A ．①③④ B．②③④ C ．②③ D．③④2．[(－2]－的值为(A. B ．－C. D．－3．下列各式中错误的是(A ．3×3＝3B ．(－＝3 C.＝ D ．(＝ 4．化简下列各式的值： (1；(2；(3；(4(a>b．课堂巩固1．在(－－1、2－、(－、2－1中，最大的是 …(A ．(－－1B ．2－C ．(－D ．2－12．化简＋的结果是…(A ．3b －2aB ．2a －3bC ．b 或2a －3bD ．b3．下列等式＝2a ；＝；－3＝中一定成立的有( A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个4．下列各式成立的是( A.＝(m ＋n B ．(2＝ab C.＝(－3 D.＝25．若am ＝2，an ＝3，则a ＝__________. 6．若3x ＋3－x ＝4，则9x ＋9－x ＝__________. 7．化简：(x －y÷(x －y ． 8．化简： (1(1－a ； (2·.9．求使等式＝(2－x 成立的x 的取值范围．1．计算(－2101＋(－2100所得的结果是( A．210 B．－1C．(－2100 D．－21002．若x∈R，y∈R，下列各式中正确的是…(A.＝x＋yB.－＝x－yC.＋＝2xD.＋＝03.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( A．－＝(－x(x≠0B ．x－＝－C ．(－＝(xy≠0D.＝y(y＜4．下列结论中，正确的个数是(①当a<0时，(a2＝a3②＝|a|(n>0③函数y＝(x－2－(3x－70的定义域是(2，＋∞④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1A ．0 B．1 C．2 D．35．化简的结果是(A ．a B．aC ．a2 D．a6．若＝，则实数a的取值范围是(A ．(－4,2] B．(，＋∞C ．[，＋∞ D．(－∞，]7．已知函数y＝(3x－2＋(2－3x＋，要使函数有意义，则x、y的值依次为________、________.8．(2008重庆高考，文14若x>0，则(2x＋3(2x－3－4x－·(x－x＝________.9．把a根号外的a移入根号内等于__________．10．已知a＝8－①xa 前的系数为1②指数上只有唯一的自变量x ③底数为不等于1的正数(2探究：为什么要规定a>0且a ≠1呢？000, 0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1( x y =的图象.问1：从图中我们看出12( 2xxy y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12( 2xxy y y ==与的图象关于轴对称, 实质是2x y =上的x, y 点(-x y x, y y 1与=( 上点(- 关于轴对称. 2问2：观察2xy =与1( 2x y =有什么共同点？问3: 观察2xy =与1( 2x y =有什么不同点？利用几何画板画出115, 3, ( , ( 35x x x xy y y y ====的函数图象.问题4：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律？从图上看xy a =（a ＞1）与xy a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征.x x问题5：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性一般地，指数函数1, 0(≠>=a a a y x 且的图像和性质如下表所示（三）例题分析例2：已知指数函数( x f x a =（a ＞0且a ≠13，π），求(0,(1,(3 f f f -的值.分析：要求(0,(1,(3 , , xf f f a x π-13的值,只需求出得出f(=( 再把0，1，3分别代入x ，即可求得(0,(1,(3 f f f -.提问：要求出指数函数，需要几个条件？例3：比较下列各题中两个值的大小：15. 27. 17. 11和）（2解:(1 因为指数函数1.7x y =在R 上是增函数，且2. 5＜3，所以，2.531.71.7<(2因为指数函数0.8x y =在R 上是减函数，-0.1>-0.2,所以，0.10.2 0.80.8--< (3 由于1. 70. 3 =0. 93. 1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1. 70. 3 与0. 93. 1的大小 . 由指数函数的性质知: 0.3 01.711．求下列各式的值： (1(0.027＋(－(20.5；(2(7＋4－27＋16－2·(8＋·(4－－1； (3(＋·(－－1－(1－(－(－1. 12．化简：÷(1－2×.答案与解析第二章基本初等函数(Ⅰ2．1 指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算课前预习1．D ①错，∵(±24＝16， ∴16的4次方根是±2； ②错，＝2，而±＝±2. 2．C 原式＝2－＝＝. 3．A 3×3＝3＋＝3≠3.4．解：当n 为奇数时，＝a ；当n 为偶数时，＝|a|. 于是，(1＝－8； (2＝|－10|＝10； (3＝|3－π|＝π－3； (4＝|a －b|＝a －b(a>b ．课堂巩固1．C ∵(－－1＝－2,2－＝，(－＝，2－1＝，∴>>>－2，故选C.2．C 原式＝(a －b ＋|a －2b|＝b 或2a －3b. 3．A ≠2a ；<0，>0；－3<0，>0，均不正确．4．D 被开方数是和的形式，运算错误，A 选项错；(2＝，B 选项错；>0，(－3<0，C 选项错．故选D.5. ∵a 3m －n＝＝， ∴a ＝＝.6．14 原式＝(3x ＋3－x2－2＝42－2＝14. 7．解：(x －y÷(x －y ＝(x ＋y(x －y÷(x －y ＝x ＋y. 8．解：(1原式＝(1－a(a －1－＝－(a －1(a －1－＝－(a －1＝－. (2原式＝[xy 2(xy －1](xy ＝(xy 2xy －xy ＝(xyxy＝xyxy ＝xy. 9.解：∵＝＝(2－x ， ∴2－x≥0，且x ＋2≥0.∴－2≤x≤2，即x 的取值范围是{x|－2≤x≤2}．课后检测1．D原式＝(－2×(－2100＋(－2100＝(－2＋1×(－2100＝－2100. 2．D 选项D中，x －3≥0，x ≥3，又3－x ≥0，x ≤3，∴x ＝3. ∴＋＝0. 3．C4．B ①中，当a<0时，(a2＝[(a2]3＝(－a3＝－a3，∴①不正确；②中，若a ＝－2，n ＝3，则＝－2≠|－2|； ③中，有即x ≥2且x≠，故定义域为[2，∪(，＋∞； ④中，∵100a ＝5,10b ＝2， ∴102a ＝5,10b ＝2,102a ×10b ＝10.∴2a ＋b ＝1.④正确． 5．B 原式＝＝＝a.6．D解得a≤.7. 由解得3x ＝2.∴x ＝，从而y ＝. 8．－23 原式＝4x －33－4x ＋4＝－23. 9．－∵－＞0，∴a ＜0，a ＝－.10．解：原式＝＝a2＋－－＝a＝(8－＝(23－＝2－7＝.11．解：(1原式＝(0.33＋[(3]－＝＋－＝.(2原式＝[(2＋2]－(33＋(24－2·(23＋2·2＝2＋－＋8－8＋2＝4. (3原式＝3－＋－(－(3－－3 ＝3－＋(＋－[4(4]－3－－3 ＝3＋－×－3＝－. 12．解：原式＝÷×a ＝··a＝＝＝a.点评：对此类既含有根式又含有分数指数幂的式子进行运算时，通常是先化根式为分数指数幂，再运用分数指数幂的运算性质去求解．但运算结果只能保留两种形式中的一种，不能在运算的最终结果中既有根式又有分数指数幂的形式．。

高一数学指数与指数幂的运算2(1)

n n
② 当n为任意正整数时，( a ) a .
n n
复习引入
3. 引例：当a＞0时， ① ② ③
5
a
10
(a ) a a ;
5 2 5 2
10 5
④
是否可以呢？
讲授新课
1. 正数的正分数指数幂的意义：
m n
a a
n
m
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
讲授新课
1. 正数的正分数指数幂的意义：
(3) 0的负分数指数幂无意义．
3. 有理数指数幂的运算性质:
a a a
m n
mn
( m , n Q ),
( m , n Q ),
(a ) a
m n
mn
( ab ) a b ( n Q ).
n n n
4. 例题与练习:
例1 求值：
1 3 16 8 , 100 , ( ) , ( ) . 4 81
1 2
1 3
1 6
5 6
练习：教材P.54练习第3题．
4. 例题与练习: 例4 已知x x 1 3，求x x 的值.
1 2 1 2
课堂小结
1. 分数指数幂的意义；
2. 分数指数幂与根式的互化；
3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂的规定：
(1) a
m n

1 a
m n
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
(2) 0的正分数指数幂等于0；
2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂的规定：

【数学】2.1.1 指数与指数幂的运算(三)(人教A版必修1)

( a )n b
an bn
(b
0, n Z)
观察与思考
(1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
4
a12
4
(a3 )4
a3
12
a4;
5
a10
5
(a2 )5
a2
a
10 5
归纳与猜想
(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?
3
5 43 45; 5
3 75 73;
2
3 a2 a 3;
9
7 a9 a7 .
归纳与猜想
(3)你能用方根的意义解释吗?
3
5 43 45;
3
43的5次方根是 45;
5
3 75 73;
2
3 a2 a3;
5
75的3次方根是 73;
2
a2的3次方根是 a 3;
9
7 a9 a7 .
9
a9的7次方根是 a 7 .
81
3
38
例题解析
例２.利用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a >0).
(1) a3 a (2) a2 3 a2 (3) a 3 a
解：(1)
a3
a
=a3
a
1 2
=a
3+
1 2
=a
7
2；
（2）
a2 3
a2
=a
2
a
2 3
=a
2+
2 3
=a
8
3；
11

2021年高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(一)练习新人教A版必修1

2021年高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算（一）练习新人教A版必修1基础梳理1．整数指数幂的概念．(1)正整数指数幂的意义：a n＝ (n∈N*)．(2)零指数幂：a0＝1(a≠0)．(3)负整数指数幂：a－n＝1a n(a≠0，n∈N*)．2．整数指数幂的运算性质：(1)a m·a n＝____；(2)(a m)n＝____；(3)(ab)n＝____.3．如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做____________；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做____________．例如：(±2)2＝4，±2就叫____________；33＝27，3就叫____________．例如：64的立方根是____；64的平方根是____．4．如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个________，负数的n次方根是一个________．此时，a的n次方根用符号________表示．例如：23＝8，2就叫做____________，记作________．(－2)3＝－8，－2就叫做____________，记作________．(2)当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并成________(a>0)．例如：(±3)4＝81，±3叫做____________，81的4次方根表示为____________，即____．(3)式子na叫做根式，这里n叫做________，a叫做________．例如：b4＝a，则a的4次方根为：____；b3＝a，则a的3次方根为：____.(4)负数没有偶次方根；0的任何次方根都是____，记作________．5．n次方根的意义，(na)n＝____.例如：(23)2＝____；(3－27)3＝____.,基础梳理2．(1)a m＋n(2)a mn(3)a n b n3．a的平方根a的立方根4的平方根27的立方根 4 ±84．(1)正数负数na8的3次方根38＝2 －8的3次方根3－8＝－2 (2)na－na±na81的4次方根±481 ±3(3)根指数被开方数±b b(4)0n＝05．a 3 －27思考应用1.n a n ＝a 一定成立吗？解析：不一定．①当n 是奇数时，n a n ＝a ；②当n 是偶数时，n a n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0. 2．分数指数幂是根式的一种表示形式，即a m n ＝n a m ，分数指数能否约分？2．解析：不能，如(－3)24＝(－3)12＝－3，而－3在实数范围内无意义．3．在进行幂和根式的化简时，有什么规律可循呢？一般步骤如何？3．解析：一般先将根式化成幂的形式，化小数指数幂为分数指数幂，化负指数为正指数，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值和运算．自测自评1．下列说法正确的是( )A ．正数的n 次方根是一个正数B ．负数的n 次方根是一个负数C ．0的负分数指数幂没有意义D ．a 的n 次方根用n a 表示(以上n ＞1，且n ∈N *)2．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2 B.5mC.6mD.5－m3．设x ＞0，化简(－xy )·(6x －12y 23)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 12y 13的结果是( ) A ．－18xy 2 B ．－18y 43C ．－2y 43 D ．－2xy 2 4．判断下列各式是否正确．(1)4a 4＝a ；(2)6（－2）2＝3－2； (3)10（2－1）5＝2－1. 自测自评1．C 2.C 3.C 4．解析：(1)不正确，应为4a 4＝|a |.(2)不正确，应为6（－2）2＝32.(3)正确．►基础达标1．已知n ∈N，a ∈R ，下列各式：①4（－4）2n ②4（－4）2n ＋1 ③5a 4 ④4a 5其中有意义的是( )A ．①②B ．①③C ．①②③④D ．①③④1．解析：∵n ∈N，∴(－4)2n ＋1＜0，4（－4）2n ＋1没有意义；当a ＜0时，4a 5没有意义，故选B.答案：B2．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是( )A ．－x ＝(－x )12(x ＞0) B.6y 2＝y 13(y ＜0)C ．x －34＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0) D ．x －13＝－3x (x ≠0) 2．C3．设a ，x ＞0，化简⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫27a －13·x －13a 2·4x 4313的结果是( ) A ．3a 29x B ．3a 13C ．3a 29D ．3a 13x2 3．答案：C4．化简（a －b ）2＋5（a －b ）5的结果是( )A ．0B ．2(b －a )C ．0或2(a －b )D ．b －a4．解析：（a －b ）2＋5（a －b ）5＝|a －b |＋a －b ＝⎩⎪⎨⎪⎧2（a －b ），a ≥b ，0，a ＜b .故选C. 答案：C5．设a ≥0，化简：3a 6＝______，由此推广可得：p a mp ＝______(m ，n ，p ∈N *)．5．a 2 a m►巩固提高6．若8＜x <12，则（x －8）2＋（x －12）2＝______.6．解析：∵8＜x ＜12，∴（x －8）2＋（x －12）2＝x －8＋12－x ＝4.答案：47．设a，b∈R，下列各式总能成立的是( )A．(6a－6b)6＝a－bB.8（a2＋b2）8＝a2＋b2C.4a4－4b4＝a－bD.10（a＋b）10＝a＋b7．B8．计算：3a92a－3÷3a－73a13＝______.8．解析：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫a92a－3213÷⎝⎛⎭⎪⎫a－73a13312＝a÷a＝1.答案：19．计算：a43－8a13ba23＋23ab＋4b23÷⎝⎛⎭⎪⎫1－23ba×3a.9．解析：原式＝a13（a－8b）a23＋2a13b13＋4b23×a13a13－2b13×a13＝a（a－8b）a－8b＝a.10．已知0<2x－1<3，化简1－4x＋4x2＋2|x－2|.10．解析：由0<2x－1<3得12<x<2，∴1－4x＋4x2＋2|x－2|＝（2x－1）2＋2|x－2|＝2x－1－2(x－2)＝3.1．熟记整数幂的运算性质．2．理解n次方根与根式的概念．3．掌握根式运算性质．进行指数幂的运算时，一般将指数化为正指数，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．40031 9C5F 鱟025912 6538 攸40477 9E1D 鸝23957 5D95 嶕25827 64E3 擣s•23233 5AC1 嫁V35566 8AEE 諮36905 9029 逩;22255 56EF 囯$。

人教B版高中数学必修一学第三章实数指数幂及其运算讲解与例题

3.1.1 实数指数幂及其运算1．整数指数(1)一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，即n nn a a a a a =⋅⋅⋅⋅L 14243个叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数．并规定a 1＝a .(2)正整指数幂在a n 中，n 是正整数时，a n叫做正整指数幂．正整指数幂具有以下运算法则：①a m·a n＝a m ＋n；②(a m )n＝a mn；③a m an ＝a m －n (a ≠0，m ＞n )；④(ab )m ＝a m b m.其中m ，n ∈N ＋.(3)整数指数幂在上述法则③中，限制了m ＞n ，如果取消这种限制，那么正整指数幂就推广到了整数指数幂．规定：①a 0＝1(a ≠0)；②a －n＝1an (a ≠0，n ∈N ＋)．这样，上面的四条法则可以归纳为三条：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(ab )n ＝a n b n ；③(a m )n ＝a mn.其中m ，n ∈Z .同时，将指数的范围由正整数扩大为整数．0的零次幂没有意义，0的负整数次幂也没有意义，因此对于整数指数幂，要求“底数不等于0”．【例1】化简：(a 2b 3)－2·(a 5b －2)0÷(a 4b 3)2.解：原式＝223246423286()()1=()()a b a b a b a b----⋅⋅⋅ ＝(a －4·a －8)·(b －6·b －6)＝a －12b －12. 2．根式如果存在实数x ，使得x n＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根．求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算．当n a 有意义时，式子na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．n 次方根具有以下性质：(1)在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；(2)在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根不存在；(3)零的任何次方根都是零．根式有两个重要性质：(1)(na )n＝a (n ＞1，n ∈N ＋)，当n 为奇数时，a ∈R ，当n 为偶数时，a ≥0(a ＜0时无意义)；(2)n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.析规律关于根式的知识总结正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生．负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同．负数开方要慎重，根指为奇才可行，根指为负无意义，零取方根仍为零．【例2－1＝－a －1，则实数a 的取值范围是__________．解析：＝|a＋1|，∴|a＋1|＝－a－1＝－(a＋1)．∴a＋1≤0，即a≤－1. 答案：(－∞，－1]【例2－2】化简下列各式：+；.解：(1)原式＝(－2)＋－2|＋－2)＝－2＋(2)＋－2)＝－2.(2)＝(1)＋－1)＝.辨误区根式运算应注意的问题利用na n的性质求值运算时，要注意n的奇偶性．特别地，当n为偶数时，要注意a的正负．3．分数指数幂(1)分数指数幂的意义正分数指数幂可定义为：①1na＝na(a＞0)；②mna＝(na)m＝na m⎝⎛⎭⎪⎫a＞0，n，m∈N＋，且mn为既约分数.负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，可定义为：1=mnmnaa-⎝⎛⎭⎪⎫a＞0，n，m∈N＋，且mn为既约分数.提示：所谓既约分数，就是约分后化成最简形式的分数．感悟：1.规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数；2．mna与na m表示相同的意义，所以分数指数幂与根式可以相互转化；3．通常规定分数指数幂的底数a＞0，但要注意在像14()a-＝4－a中的a，则需要a≤0.(2)有理指数幂的运算法则：①aαaβ＝aα＋β；②(aα)β＝aαβ；(3)(ab)α＝aαbα(其中a＞0，b＞0，α，β∈Q)．析规律有理指数幂的运算1．有理指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(2)幂的幂，底数不变，指数相乘；(3)积的幂等于幂的积．2．乘法公式仍适用于有理指数幂的运算，例如：11112222()()a b a b+⋅-＝a－b(a＞0，b＞0)；111122222()2a b a b a b±=+±(a＞0，b＞0)．【例3－1】求值：(1)438-；(2)3481；(3)323-⎛⎫⎪⎝⎭；(4)2327125-⎛⎫⎪⎝⎭.解：(1)44433433318=(2)=2=2=16⎛⎫⨯--- ⎪-⎝⎭.(2)33344344481=(3)=3=3=27⨯.(3)332327==328-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(4)2223323332733325====1255559⎛⎫--⨯-- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.点技巧有理指数幂运算时把根式转化为幂进行有理指数幂的运算要首先考虑利用幂的运算性质，而不要将幂转化为根式的运算，像238【例3－2】求下列各式的值：(1)1123331222x x x --⎛⎫- ⎪⎝⎭；解：(1)原式＝11121333314222=14=12x x x x x x ----⋅-⋅--.(2)原式＝125222362132==a a a a a --⋅4．无理指数幂(1)一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数； (2)有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂，即：①a α·a β＝a α＋β(a ＞0，α，β是无理数)；②(a α)β＝a αβ(a ＞0，α，β是无理数)；③(ab )α＝a αb α(a ＞0，b ＞0，α是无理数)．【例4】求值：(1)213328--⋅⋅；(2)12+⋅.解：(1)原式＝221333(22(2)--⋅⋅＝2322323222=2=2=8--+-⋅⋅.(2)原式＝12+52＋21＝27.5．指数幂(根式)的化简与计算化简、计算指数幂(根式)时，应注意以下几点：(1)运算顺序：先进行幂的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算，有括号的先算括号内的．(2)如果指数是小数，那么通常化为分数指数，这样可以随时检验运算的正确性，是常用的化简技巧．比如，(－3)2.1＝2110(3)-＝10(－3)21，由于(－3)21是一个负数，所以(－3)2.1无意义．(3)将其中的根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质进行计算．比如，化简a a ，如果不将根式a化为指数幂，就很难完成化简：1131222==a a a a +⋅.(4)计算或化简的结果尽量最简，如果没有特殊要求，用正分数指数幂或根式来表示均可．析规律多重根号化为有理指数幂此类问题应熟练应用na m＝m na ⎝⎛⎭⎪⎫a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数.当各式中含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用指数运算法则化简．【例5－1】求下列各式的值：(1)121203170.027279--⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)11223412220.00154--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)分析：结合指数幂的运算性质，应首先将小数化为分数，根式转化为指数幂的形式，负指数幂转化为正指数幂，再根据指数幂的运算性质求解．解：(1)原式＝11232227125105(1)1=491=4510007933---⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)原式＝112314111161=1=49100061015⎛⎫⎛⎫+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3)原式＝11111111111113312636333236223123(32)=23332=2322-+++⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2×3＝6.【例5－2】化简下列各式：(1)1373412a a a ；(2)131234()x y -；.解：(1)1137537334123412==a a a a a ++.(2)1133121212493344()==x yx yx y ⨯--⨯-.1125152331123336363442125364()===xy x y x y x yx yx y------⋅⋅⋅⋅⋅.辨误区化简时注意运算顺序化简时要弄清开方、乘方等的运算顺序，同时注意运算性质及乘法公式的应用．6．知值求值问题已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点，然后采取“整体代换．．．．”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，像平方、立方等以及一些公式的应用问题，还要注意开方时的取值符号问题．例如，已知1122=3a a-+，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)33221122a a a a----.显然，从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件1122=3a a-+的联系，进而整体代入求值．将1122=3a a-+两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.再将上式平方，有a 2＋a －2＋2＝49，即a 2＋a －2＝47. 由于3311332222=()()a aa a ----，所以有331111122222211112222()()=a a a a a a a a a aa a--------++⋅--＝a ＋a－1＋1＝8.【例6－1】已知2x ＋2－x＝5，求下列各式的值：(1)4x ＋4－x ；(2)8x ＋8－x.解：(1)4x ＋4－x ＝(22)x ＋(22)－x＝(2x )2＋(2－x )2＝(2x )2＋2·2x ·2－x ＋(2－x )2－2＝(2x ＋2－x )2－2＝52－2＝23.(2)8x ＋8－x ＝(23)x ＋(23)－x ＝(2x )3＋(2－x )3＝(2x ＋2－x )·[(2x )2－2x ·2－x ＋(2－x )2]＝(2x ＋2－x )(4x ＋4－x－1)＝5×(23－1)＝110. 析规律平方在知值求值中的应用遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可．本题中用到了两个公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)．【例6－2】已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0的值．分析：观察所求式子，将所求式子平方后出现了ab 和a ＋b 的形式．又a ，b 为方程的两根，所以可利用根与系数的关系求解．解：由根与系数的关系可得=6,=4.a b ab +⎧⎨⎩∵a ＞b ＞0>.又∵221==105.∴.。

§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)

n n a =a; n
an =|a|=
a (a≥0), -a (a<0).
5.负数没有偶次方根. 6.零的任何次方根都是零.
2013-1-15 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 3
问题提出
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
1.整数指数幂有哪些运算性质？
a a a
2 3 2 3
a r a s a r s ( r , s Q)
2013-1-15 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 10
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
例1.求值：8 ,100 , ( ) 3 , (
2 3

1 2
解： (2 ) 1 2 8 1
例3.计算下列各式(式中字母都是正数):
(1)(2a b )(6a b ) (3a b ); (2)(m n ) .
1 4 3 8 8
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
2013-1-15
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
13
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
1 2 2
a
5 2
a a a a a
3 3 2 3
1 1 2 2
2 3
2 3 3
a
3 4
11 3
a a (a a ) (a ) a
2013-1-15 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
3 1 2 2
12
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
b
1 1 5 2 3 6
4ab 4a
0
2013-1-15 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 14

2指数与指数幂的运算练习题及答案解析

2指数与指数幂的运算练习题及答案解析篇一：2.1.1_指数与指数幂的运算练习题及(必修1)31．将5写为根式，则正确的是()23A.5523553解析：选D.52.2．根式A．a3C．a4解析：选1a＝a－1－1－41(式中a＞0)的分数指数幂形式为()a4B．a333D．a4－a ・?a?a(a2－353.?a－b?＋?a－b?的值是()A．0B．2(a－b)C．0或2(a－b)D．a－b118∴x－5≠0，即x≠5.3．若xy≠0，那么等式4xy＝－2y成立的条件是()A．x>0，y>0B．x>0，y<0C．x<0，y>0D．x<0，y<0解析：选C.由y可知y>0，又∵x＝|x|，∴当x<0x＝－x.＋＋?2n1?2??2n124．计算(n∈N*)的结果为()－4・81＋B．22n561－C．2n2－2n＋6D．(2n721＋＋?2n1?2??2n12n＋2－2n－122・2211－－解析：选D.－＝－272n＝(2n7.－24・8?2?・?2?25．化简23－10－3＋22得()A．3＋2B．2＋3C．1＋22D．1＋23解析：选A.原式＝＝＝23－610－42＋1?23－6?2－?23－22－4＋??2＝9＋62＋2＝3＋11a2＋1－6．设a2a2m，则＝()aA．m2－2B．2－m2C．m2＋2D．m2解析：选C.将－a＝m平方得(aa)2＝m2，即a－2＋a1＝m2，所以a＋a1＝m2－－－111132＋(32)＝6.－－a1＋b1(2)(a，b≠0)．－?ab?解：(1)原式＝(0.4)31＋(2)4(0.5)21－＝0.41－1＋8＋251＝＋7＋＝10.22x＋111x－?x＋y?－2?xy?＝x＋yx－y∵x＋y＝12，xy＝9，则有(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝108.又x<y，∴x－y108＝－3，33.2＋1，求a3n＋a－3n12．已知a2n＝a＋a－a3n－－设a＝t＞0，则t＝2＋1，＋a3nt3＋t3解：n2a＋at＋t＝?t＋t－1??t2－1＋t－2?＝t2－1＋t－2t＋t－篇二：2.1.1指数与指数幂的运算练习题(整理)指数幂、指数函数、对数、对数函数练习一、选择题1、下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（）A、B、C、D、2、有下列四个命题：其中正确的个数是（）①正数的偶次方根是一个正数；②正数的奇次方根是一个正数；③负数的偶次方根是一个负数；④负数的奇次方根是一个负数。

指数与指数幂

问题2 当生物死亡后,它机体内原有的碳它机体内原有的碳14会按原问题当生物死亡后它机体内原有的碳会按原定计划确定的规律衰减,大约每经过大约每经过5730年衰减定计划确定的规律衰减大约每经过年衰减为原来的一半,这个时间称为半衰期” 这个时间称为“ 为原来的一半这个时间称为“半衰期”。根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量含量P与死亡年规律，人们获得了生物体内碳含量与死亡年 t 1 5730 数t P=( ) 2 之间的关系：之间的关系：（1）求当生物死亡了）求当生物死亡了5730，2×5730，3×5730 ， × ， × 年后，它们体内碳14的含量分别为多少的含量分别为多少？年后，它们体内碳的含量分别为多少？（2）指出下列各式所表示的含义。）指出下列各式所表示的含义。
1.n次方根的概念次方根的概念: 次方根的概念定义:如果一个数的如果一个数的n（次方等于a，定义如果一个数的（n>1,n∈N*）次方等于， ∈ 那么这个数叫做a的次方根次方根. 那么这个数叫做的n次方根即若x ，叫做a的次方根其中n>1,且n∈N*. 次方根，即若 n=a，则x叫做的n次方根，其中叫做且 ∈ 2.n次方根的性质：次方根的性质：次方根的性质奇次方根的性质在实数范围内，方根的性质：奇次方根的性质：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数. 方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数偶次方根的性质：在实数范围内，偶次方根的性质：在实数范围内，正数的偶次方根的性质方根有两个,它们是互为相反数负数没有偶次它们是互为相反数；方根有两个它们是互为相反数；负数没有偶次方根. 方根 0的任何次方根都是的任何次方根都是0. 的任何次方根都是

指数与指数幂的运算(一)

试试：b4 a, 则a的4次方根为____； b3 a, 则a的3次方根为____;
-125的3次方根是____; 10000的4次方根是____。
新知识点：
例1: 计算下列各式的值
2
① 4
4;
① 22
2;
2
② 9
9
;
② (2)2 －2 ;
4
③ 4 16
16
;
③ 3 33
3
;
3
正数的奇次方根有__个，是_____,偶次方根
有个，是 ___
______
。
负数的奇次方根有__个，是_____,偶次方根
。 ______
0的奇次方根是_____,偶次方根是______ 。
当n为奇数时，a的n次方根是 n a。
当n为偶数时，正数a的n次方根是 n a ，
负数没有偶次方根。
0的任何次方根都是，即 n 0 0 。
④ 3 1
－1
;
④ 3 (3)3 －3
;
3
⑤ 3 8
－8
;
⑤ 4 (1)4 －1 ;
思考:
n
① n a a 一定成立吗？
② n an a 一定成立吗？
新知识点：公式1：(n a )n a
2
① 4
4;
2
② 16
9
;
4
③ 4 16
16
;
3
④ 3 1
－1
;
3
⑤ 3 8
(5)6 (3 )6 (6) 4 (a b)4 (a b)
２、(1) 36 (2) 3 64 (3) 3 a6
(4) 5 -32
(5) 5 (a)10

指数与指数幂的运算例题讲解加同步练习

6指数与指数幕的运算知能点全解：知能点1:有理数指数幕及运算性质1、有理数指数幕的分类(1)正整数指数幕a n(3)负整数指数幕a n 647个 48a a a L a (n N ) ; (2)零指数幕a1n a 0, n Na1 (a 0)；(4) 0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕没有意义。

2、有理数指数幕的性质(1) a m a nm (3) ab例1 : (1) a5a 0,m, n Qn m mn(2) a a 0,m, n解: (1) aa mb m a 0,b 0,m Q解: 2:计算3(1) 92把下列各式中的a写成分数指数幕的形式256 ；( 2) a12565； (2)3(1) 92；2 3 232 2 3及时演练:21、求值：(1) 83= 4 ；2、练习求下列各式的值：3(1 ) 252= 125 ；(2) (5) 4 8128 ；( 3) a14 ；28(2) 16(3)3256；65 7(4) 3n；(4) a35m5m 337m,n3327 ; (2) 4 364164(2) 100227 3= 92 = -110-(3)364- ；( 4)(81)4= - 8-。

；(3)(49)2= 3216 (25)2 8343 ；(4)(4)= 125 ；36 3 ；( 6) 2.3 3 1.5 6 12 = 6 3、计算下列各式(式中字母都是正数)2 1 1 1 1 5 (1) (2a3b2)( 6a2b3) ( 3a6b6)= 4a ；1 32 z4 8x8 m (m4 n8) = 3 —n知能点2:无理数指数幕若a >0, P是一个无理数，则a p表示一个确定的实数，上述有理指数幕的运算性质，对于无理数指数幕都适用。

例3:(1) 化简(式中字母都是正数)6-2 - 3x y ；解：(1) 2 -.3x y(2) 2x226 3x ? y3y 3 2x 2 3y 36 2.3 3 2x y1 1 3(3) 4x 2 ?3x 2 y 3 ?y 3(3)负数没有偶次方根； 3、我们规定：m(1) a n n a m a 0,m, n N ,n(4)零的任何次方根都是零。

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指数与指数幂的运算
知能点全解：
知能点1：有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类
（1）正整数指数幂()n n
a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈64748L 个；（2）零指数幂)0(10≠=a a ；
（3）负整数指数幂()1
0,n n a a n N a
-*=≠∈
（4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。

2、有理数指数幂的性质
（1）()0,,m
n
m n
a a a
a m n Q ==>∈ （2）()()0,,n
m mn a a a m n Q =>∈
（3）()()0,0,m
m m ab a b a b m Q =>>∈
例 1：把下列各式中的a 写成分数指数幂的形式
（1）5256a =；（2）428a -=；（3）765a -=；（4）()353,n m a m n N -+=∈ 解：（1）1
5
256a =；（2）14
28a -=；（3）67
5a -=；（4）533
m n
a -=
例 2:计算（1）32
9
；（2）32
16-
解：（1）()
3
33223
2
2
2
933327⨯====；
（2）()
3
32312
2
1164
464-
---====
若a ＞0，P 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。

例 3: 化简（式中字母都是正数）
（1）(
（2）(
2323y
y
+- （3）(43x
y
•-•
解：（1）(
((x =•=
（2
）(
)(
)(
(
)
2
2
23232349y
y
y x y -+-=-=- （3
）(
43121212x
y
x •-•=-=-=-
知能点3：根式
1、根式的定义：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>N n n ,1，n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。

2
、对于根式记号
（1）n N ∈，且1n >；（2）当n 是奇数，则a
a n n =；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==0
0a a a a a a n
n ；
（3）负数没有偶次方根；（4）零的任何次方根都是零。

3、我们规定：（1
）)0,,,1m n
a a m n N
n *
=>∈>；（2
）)10,,,1m
n
m n
a
a m n N n a
-*=
=
>∈>
例 4: 求下列各式的值
（1）
（2
（
3
（4解：（1
）2=-；（
22=；（
333ππ=-=-
（4
）()()
0 0x y x y x y x y x y ++≥⎧⎪=
=+=⎨--+<⎪⎩
例 5: 用分数指数幂的形式表示下列各式：
（1）2a •
（2）3 a （3
(式中a ＞0)
解：（1）115222
2
22
a a a a
a +•=•==；
（2）2211333
3
3
3
a a a a
a +
=•==
（3
）1
13132
2
2
2
4
()()a a a a =•==
典型题型全解
题型一：求值：（1+ （2解：（1）-
=
||2||2=+=+--
2(2=++--=注意：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号。

（2
）令t =，两边同时立方得：
3
2
2
3
3
33
22 43t t
=
+++=++-+=+
即：()()()()()()()3323404101141140t t t t t t t t t t t t +-=⇒-+-=⇒-++-⇒-++=
（1）2
0)a > （2）
解：（1）
12522 2
23
6
1
32
2
a a
a a a
--=
==•
（2）22213
113131553
3
34
2
4
4
2
4
24
124
(55)5555555
55--÷=-÷=÷-÷=-=-=
已知=3,求下列各式的值：11332
22
2
(1), (2).x x x x -
-
++
解：（1）11111122
112
2
22
2
2()2()235x x
x x x
x x x -
-
-
-+=+•+=++=+=Q
∴1
1111
2
2
2
2
30 x x
x x
x x x
-
-
-+=+=>+=又由得所以（2）3311111113
3
2
22
2
222
2
22
2
1)()()[()()]2
x x x x x x x x x x ----++=+-•+-＝（
1112
2
()[()1]1)x x x x --=++-=-=。