指数与指数幂的运算(例题讲解加同步练习)

指数与指数幂的运算

知能点全解：

知能点1：有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类

（1）正整数指数幂()n n

a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈64748L 个； （2）零指数幂)0(10≠=a a ；

（3）负整数指数幂()1

0,n n a a n N a

-*=≠∈

（4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质

（1）()0,,m

n

m n

a a a

a m n Q ==>∈ （2）()()0,,n

m mn a a a m n Q =>∈

（3）()()0,0,m

m m ab a b a b m Q =>>∈

例 1：把下列各式中的a 写成分数指数幂的形式

（1）5256a =；（2）428a -=；（3）765a -=；（4）()353,n m a m n N -+=∈ 解：（1）1

5

256a =；（2）14

28a -=；（3）67

5a -=；（4）533

m n

a -=

例 2:计算 （1）32

9

； （2）32

16-

解：（1）()

3

33223

2

2

2

933327⨯====；

（2）()

3

32312

2

1164

464-

---====

若a ＞0，P 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。

例 3: 化简（式中字母都是正数）

（1）(

（2）(

2323y

y

+- （3）(43x

y

•-•

解：（1）(

((x =•=

（2

）(

)(

)(

(

)

2

2

23232349y

y

y x y -+-=-=- （3

）(

43121212x

y

x •-•=-=-=-

知能点3：根式

1、根式的定义：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>N n n ,1，n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。 2

、对于根式记号

（1）n N ∈，且1n >； （2）当n 是奇数，则a

a n n =；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==0

0a a a a a a n

n ；

（3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3、我们规定： （1

）)0,,,1m n

a a m n N

n *

=>∈>； （2

）)10,,,1m

n

m n

a

a m n N n a

-*=

=

>∈>

例 4: 求下列各式的值

（1）

（2

（

3

（4解：（1

）2=-； （

22=； （

333ππ=-=-

（4

）()()

0 0x y x y x y x y x y ++≥⎧⎪=

=+=⎨--+<⎪⎩

例 5: 用分数指数幂的形式表示下列各式：

（1）2a •

（2）3 a （3

(式中a ＞0)

解：（1）115222

2

22

a a a a

a +•=•==；

（2）2211333

3

3

3

a a a a

a +

=•==

（3

）1

13132

2

2

2

4

()()a a a a =•==

典型题型全解

题型一： 求值：（1+ （2解：（1）-

=

||2||2=+=+--

2(2=++--=注意：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号。

（2

）令t =，两边同时立方得：

3

2

2

3

3

33

22 43t t

=

+++=++-+=+

即 ：()()()()()()()3323404101141140t t t t t t t t t t t t +-=⇒-+-=⇒-++-⇒-++=

（1）2

0)a > （2）

解：（1）

12522 2

23

6

1

32

2

a a

a a a

--=

==•

（2）22213

113131553

3

34

2

4

4

2

4

24

124

(55)5555555

55--÷=-÷=÷-÷=-=-=

已知=3,求下列各式的值：11332

22

2

(1), (2).x x x x -

-

++