柯西不等式与排序不等式及其应用经典例题透析

经典例题透析
类型一：利用柯西不等式求最值
1．求函数的最大值．
思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。

解析：
法一：∵且，
∴函数的定义域为，且，
当且仅当时，等号成立，
即时函数取最大值，最大值为
法二：∵且，
∴函数的定义域为
由，
得
即，解得
∴时函数取最大值，最大值为.
总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键．
举一反三：
【变式1】（2011辽宁，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。

（I）证明：-3≤f（x）≤3；
（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。

【答案】
(Ⅰ)
当时，．
所以．…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，
当时，的解集为空集；
当时，的解集为；
当时，的解集为．
综上，不等式的解集为．……10分
【变式2】已知，，求的最值.
【答案】
法一：
由柯西不等式
于是的最大值为，最小值为.
法二：
由柯西不等式
于是的最大值为，最小值为.
【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．【答案】
根据柯西不等式
，
故。

当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，
此时，
评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑．
类型二：利用柯西不等式证明不等式
利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。

如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。

（1）巧拆常数：
2．设、、为正数且各不相等，求证：
思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证：
而，又，故可利用柯西不等式证明之。

证明：
又、、各不相等，故等号不能成立
∴。

（2）重新安排某些项的次序：
3．、为非负数，+=1，，求证：
思路点拨：不等号左边为两个二项式积，，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。

证明：∵+=1
∴
即
（3）改变结构：
4、若>>，求证：
思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。

，，∴，∴所证结论改为证。

证明：
∴
（4）添项：
5．，求证：
思路点拨：左端变形
，∴只需证此式即可。

证明：
举一反三：
【变式1】设a,b,c为正数，求证：．【答案】
由柯西不等式：
，即。

同理，．
将上面三个同向不等式相加得
，
于是．
【变式2】设a,b,c为正数，求证：。

【答案】
由柯西不等式
于是
即
【变式3】已知正数满足证明。

【答案】
利用柯西不等式
又因为
在此不等式两边同乘以2，再加上得：
故。

类型三：柯西不等式在几何上的应用
6．△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：
证明：由三角形中的正弦定理得，所以，
同理，
于是左边=
故。

【变式】ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的距离分別为x，y，z，求的最小值。

【答案】
且
4x+5y+6z=
由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x2+y2+z2)(42+52+62)
≥(x2+y2+z2)×77x2+y2+z2≥。

类型四：排序不等式的简单应用
7．对，比较与的大小。

思路点拨：题目中没有给出a,b,c三个数的大小顺序，且a,b,c在不等式中的“地位”是对等的，不妨设，再利用排序不等式加以证明．
解析：∵，不妨设，则
由排序原理，乱序和≤顺序和，得：
举一反三：
【变式1】比较1010×1111×1212×1313与1013×1112×1211×1310的大小。

【答案】
因10 ≤11 ≤12 ≤13及lg10 ≤lg11 ≤lg12 ≤lg13，
由排序不等式得：
10lg10 + 11lg11 + 12lg12 + 13lg13 ≥13lg10 + 12lg11 + 11lg12 + 10lg13
lg(1010×1111×1212×1313) ≥lg(1013×1112×1211×1310)
即1010×1111×1212×1313≥1013×1112×1211×1310。

【变式2】已知，求证：
证明：
由对称性，不妨设，于是，，
故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：
①
又因为，．
再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得：
②
由①②得．
8、设,求证：
证明：
不妨设,则，
由排序不等式有：
，
两式相加得：
又因为：，
故
两式相加得：
即：
举一反三：
【变式】，求证：
【答案】
证明：
不妨设则，
从而，
，两式相加得：。