2016年希望杯数学竞赛初赛初二试卷
希望杯试题及答案初二
希望杯试题及答案初二希望杯数学竞赛是一项面向中学生的数学竞赛活动，旨在激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维能力。
以下是一份初二希望杯试题及答案的样例，供参考。
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14B. √2C. 0.33333...D. 2/3答案：B2. 如果一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，那么它的周长是多少？A. 16B. 17C. 18D. 19答案：C3. 一个数的平方根是它本身，这个数是？A. 0C. -1D. 以上都是答案：A4. 一个数的相反数是它本身，这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 以上都不是答案：A5. 一个数的绝对值是它本身，这个数是？A. 正数B. 负数C. 0D. 非负数答案：D6. 一个数的倒数是它本身，这个数是？A. 1B. -1C. 0D. 以上都不是答案：A和B7. 一个数的立方是它本身，这个数是？B. 1C. -1D. 以上都是答案：D8. 一个数的平方是它本身，这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 以上都不是答案：A和B9. 一个数的绝对值是它的相反数，这个数是？A. 正数B. 负数C. 0D. 非负数答案：B和C10. 一个数的平方根是它的相反数，这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 以上都不是答案：A和C二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数的平方是25，这个数是______。
答案：±52. 一个数的立方是-8，这个数是______。
答案：-23. 一个数的绝对值是5，这个数是______。
答案：±54. 一个数的倒数是1/3，这个数是______。
答案：35. 一个数的相反数是-3，这个数是______。
答案：36. 一个数的平方根是3，这个数是______。
答案：97. 一个数的立方根是2，这个数是______。
答案：88. 一个数的平方是-4，这个数是______。
全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】
全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】第一届试题1. 某长方体的长、宽、高依次是2 cm、3 cm和4 cm，求它的体积。
解：体积公式为V = lwh，其中l、w和h分别表示长方体的长、宽和高。
代入已知数值，得V = 2 cm × 3 cm × 4 cm = 24 cm³。
答案：24 cm³2. 如图，已知△ABC中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm，AD⊥ BC，AD = 4 cm。
求△ABC的面积。
解：△ABC为直角三角形，面积公式为S = 1/2 ×底 ×高。
底为AC，高为AD，代入数值，得S = 1/2 × 6 cm × 4 cm = 12 cm²。
答案：12 cm²3. 若(3x + 5)(4 - x) = -7x + 9，求x的值。
解：将方程进行展开和合并同类项得：12x - 3x² + 20 - 5x = -7x + 9。
将所有项移到一边得：3x² - 12x + 11 = 0。
对方程进行因式分解得：(x - 1)(3x - 11) = 0。
由此可得x = 1 或 x = 11/3。
答案：x = 1 或 x = 11/3第二十二届试题1. 下图为某街区的地理平面图，a、b、c和d分别表示大街，A、B、C、D和E分别表示街区中的五个角落。
已知AE = CD，AB = 2 cm，BC = 10 cm，求AE的长度。
解：由题意可推出ABCD为平行四边形，而AE = CD。
根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相等长，所以AE= CD = 10 cm。
答案：10 cm2. 若一个正方形的周长是36 cm，求它的面积。
解：设正方形的边长为x cm，由题意可知4x = 36，解方程得到x = 9。
第16届“希望杯”全国数学邀请赛初2第2试
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试一、选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内． 1．若a b ，均为正整数，()m ab a b =+，则（）A ．m 一定是奇数B ．m 一定是偶数C ．只有当a b ，均为偶数时，m 是偶数D ．只有当a b ，一个为偶数时，另一个为奇数时，m 是偶数 【解析】 B ．由于a 、b 、a b +中必然有一个偶数，所以m 一定是偶数．2．设0a b <<，2252a b ab +=，则a b a b+-等于（） A ．13B ．13-C ．3-D ．3【解析】 D ．∵2252a b ab +=，∴52a b b a += ……①由0a b <<，有0a b a a a >>，∴01ba<<因此由①解得2b a=，111231112b a b a b a b a +++===---．3．Given a ，b ，c are positive integers ，and a ，b are prime numbers 32005c a b a +=，then the value ofa b c ++ is （） A ．14 B ．13 C ．12 D ．11 （英汉词典positive integer ：正整数．prime number ：质数） 【解析】 B ．2c b b ≥≥，而320052003c a b a =-≤，于是31002a <，∴10a ≤于是a 的可能值有2,3,5,7． ①2a =时，82003c b =，不符合题意； ②3a =时，272002c b =，不符合题意；③5a =时，1252000c b =，16c b =，考虑到b 是质数，∴2b =，4c =； ④7a =时，3431998c b =，不符合题意． 因此72413a b c ++=++=．4．购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4个，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需（ ） A ．4．5元 B ．5元 C ．6元 D ．6．5元 【解析】 B ．铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为,,a b c ，则733a b c ++=，1044a b c ++=，于是1152a b c ++()()373104a b c a b c =++-++5=．5．计算机将信息转换成二进制数来处理，二进制是“逢二进一”，如二进制数（1101）：转换成十进制数32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，那么二进制数220051(111111)个 ．转换成十进制数是A ．200421+B ．20052C ．200521-D ．2005+1【解析】 C ．∵220051(111111)个()21+2005021000⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭个20052=，∴220051(111111)个200521=-．6．已知ABC △的三个内角的比是:(1):(2)m m m ++，其中m 是大于1的正整数，那么ABC △是 （ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解析】 A ．ABC △的三个内角中最大的角为221111180180118011809012333132m m m m m m m ++⎛⎫⎛⎫⋅︒=⋅︒=+⋅︒<+⋅︒=︒ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭．7．已知ABC △的三条高的比是3:4:5，且三条边的长均为整数，则ABC △的边长可能是 （ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 【解析】 B ．∵ABC △的三条高的比是3:4:5，∴ABC △三条边的比为111::34520:15:12=因此ABC △的边长在四个选项中只可能是12．8．已知两位数ab 能够被3整除，它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字，且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字．这样的两位数共有（ ） A ．1个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【解析】 A ．由于ab 的任意次幂的个位数字等于它的个位数字，因此1,5,6b =． 又∵ab b =，∴1a =而ab 能够被3整除，于是15ab =．9．放成一排的2005个盒子中共有4010个小球，其中最左端的盒子中放了a 个小球，最右端的盒子中放了b 个小球，如果任何相邻的12个盒子中的小球共有24个，则（ ） A ．2a b == B ．1a b == C ．12a b ==， D ．21a b ==， 【解析】 A ．将这2005个盒子从左到右依次编号，最左端的盒子编号为1，最后端的盒子编号为2005，编号为i 的盒子里放的小球数为i a ，则1a a =，2005a b =， ∵1231223413a a a a a a a a ++++=++++，∴113a a =类似的，可以知道12k k a a +=． ∵20051200412167-==⨯，∴a b = 而()()12121314244010b a a a a a a =-+++-+++-2=．∴2a b ==10．已知整数x y z ，，满足x y z ≤≤，且42x y y z z x x y y z z x ⎧+++++=⎪⎨-+-+-=⎪⎩，那么222x y z ++的值等于 （） A ．2B ．14C ．2或14D ．14或17【解析】 A ．22x y y z z x y x z y z x z x -+-+-=-+-+-=-2=，∴1z x =+又∵1x y x +≤≤，∴y x =或1y x =+1°若y x =，则x y y z z x +++++=221214x x x ++++= 解得1x =-．于是1y =-，0z =，2222x y z ++=．2°若1y x =+，则x y y z z x +++++=2122214x x x +++++= 解得0x =．于是1y =，1z =，2222x y z ++=． 因此222x y z ++的值等于2．二、填空题（每小题5分，共50分．含两个空的小题，前空3分，后空2分．） 11．如果35a b ==，，那么a b a b +--的绝对值等于____________． 【解析】 6．()6a b a b a b a b +--=+--=．12．已知115x y +=，则2522x xy yx xy y-+=++________________【解析】 57．2522x xy y x xy y -+=++2251055115272y x y x-+-==+++．13．某汽车从A 地驶向B 地，若每分钟行驶a 千米，则11点到达，若每分钟行驶23a 千米，则11：20时距离B 地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶34a 千米，则11点到达，若每分钟行驶a千米，则11：20时已经超过B 地30千米．A 、B 两地的路程是_____________千米． 【解析】 54．设汽车不改变出发时间时，出发时间到11点的间隔为x 分钟；改变出发时间后，出发时间到11点的间隔为y 分钟，则()220103x a x a ⋅=+⋅+()320304y a y a =⋅=+⋅-∵34x a y a ⋅=⋅，∴43y x =，于是x a ⋅=()242010203033x a x a ⎛⎫+⋅+=+⋅- ⎪⎝⎭因此可得430906ax a a =+=-，于是6a =，54ax =为所求．14．若321M abc =是一个六位数，其中a b c ，，是三个互异的数字，且都不等于0，1，2，3，又M 是7的倍数，那么M 的最小值是____________． 【解析】 468321．∵31a -≥，22b -≥，13c -≥，∴()()()321123a b c ---≥符合使得,,a b c 不相等且不等于0,1,2,3的，被7整除的最小的三位数()()()321a b c ---147=∴4a =，6b =，8c = 此时468321M =．15．分解因式：2(1)(2)(3)(6)x x x x x +++++=_______________． 【解析】 ()2266x x ++2(1)(2)(3)(6)x x x x x +++++=43212487236x x x x ++++ ()24222662626266x x x x x x =+++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()2266x x =++16．若在凸n （n 为大于3的自然数）边形的内角中，最多有M 个锐角，最少有m 个锐角，则M =__________；m =____________． 【解析】 3；0．凸n 边形的外角和为360︒，∴最多只有三个钝角外角，即最多只有三个锐角内角，3M =． 当4n ≥时，正n 边形的n 个内角均不为锐角，∴0m =．17．如图1，等腰Rt ABC △的直角边长为32，从直角顶点A 作斜边BC 的垂线交BC 于D ，再从1D 作12D D AC ⊥交AC 于2D ，再从2D 作23D D BC⊥上BC 交3D ，…，则123456789AD D D D D D D D D ++++=____________；12345678910D D D D D D D D D D ++++=___________．图4图3图2图1GFEDCB AD 5D 4D 2D 3D 1CBAF ECB A【解析】；31．∵112:AD D D =，1223:D D D D =，∴123:2:1AD D D =于是12345678911111124816AD D D D D D D D D AD ⎛⎫++++=++++ ⎪⎝⎭3116==．123491012111131116312481616D D D D D D D D ⎛⎫+++=⋅++++=⋅= ⎪⎝⎭．18．如图2，将三角形纸片ABC 沿EF 折叠可得图3（其中EF BC ∥），已知图3的面积与原三角形的面积之比为3：4，且阴影部分的面积为8平方厘米，则原三角形面积为____________平方厘米．图4图3图2图1GFEDCB AD 5D 4D 2D 3D 1CBAF ECB A【解析】 16．设原三角形面积为x 平方厘米，则折叠后三角形面积为34x ．阴影部分面积为8平方厘米，因此重合面积为384x -于是33844x x x -=-，解得16x =．19．如图4，ABC △中，:3:5BC AC =，四边形BDEC ACFG 、均为正方形，已知ABC △与正方形BDEC 的面积比是3：5，那么CEF △与整个图形的面积比等于________________．图4图3图2图1GFEDCB AD 5D 4D 2D 3D 1CBAF ECB A【解析】 27224．设3BC x =、5AC x =、ACB θ∠=，则ABC △的面积为215sin 2x θ，CEF △的面积与ABC △的面积相同，为215sin 2x θ． 而正方形BDEC 的面积为()2239x x =，于是2215sin 3295x x θ=，即18sin 25θ=．于是ABC △的面积为2275x ． 因此CEF △与整个图形的面积比等于2222272727527544512522429255xx x x ==++⨯++20．如果正整数n 有以下性质：n 的八分之一是平方数，n 的九分之一是立方数，它的二十五分之一是五次方数，那么n 就称为“希望数”，则最小的希望数是_____________． 【解析】 152012235⋅⋅．28n a =，39n b =，525nc =，于是2358925a b c n === 于是最小的希望数是152012235⋅⋅三、解答题（每题10分，共30分）要求：写出推算过程．21．图5是一个长为400米的环形跑道，其中A B 、为跑道对称轴上的两点，且A B 、之间有一条50米的直线通道．甲、乙两人同时从A 点处出发，甲按逆时针方向以速度矾沿路道跑步，当跑到B 点处时继续沿路道前进，乙按顺时针方向以速度奶沿路道跑步，当跑到B 点处时沿直线通道跑回到A 点处，假设两人跑步时间足够长．求：⑴如果12:3:2v v =，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A 点处相遇？ ⑵如果12:5:6v v =，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B 点处相遇？乙甲图5【解析】 ⑴设甲跑了n 圈后，两人首次在A 处相遇．再设甲、乙两人的速度分别为1232v m v m ==，由题意可得在A 处相遇时，他们跑步的时间是4003nm 乙路的路程是400800233n m n m ⋅=．因为 乙路回到A 点处，所以8003n 应是250的整数倍， 从而知n 的最小值是15，所以甲路了15圈后．两人首次在A 处相遇⑵设乙路了250200p +米，甲跑了400200q +米时两人首次在B 点处相遇． 设甲、乙两人的速度分别为 1256v m v m ==，由题意可得40020025020056q p m ++=， 即 845446q p ++=所以48242520q P +=+，即48425q p +=（p q ，均为正整数）． 所以p q ，的最小值为2q -，4p =，此时乙路过的路程为25042001200⨯+=（米） 所以乙路了1200米后，两人首次在B 处相遇22．⑴如果a 是20的质数，且1a可化为一个循环小数，那么a 的取值有哪几个？ ⑵如果．是小于20的合数，且1a可化为一个循环小数，那么n 的取值有哪几个？ 【解析】 ⑴小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19除了2和5以外，其余各数的倒数均可化为循环小数， 所以a 可以取：3，7，11，13，17，19．⑵由⑴可知只要合数a 的因数中含有2或5以外的质数，那么该数的倒数均可化为循环小数， 所以a 可以取；6，9，12，14，15，18．23．如图6，正三角形ABC 的边长为a D ，是BC 的中点，P 是AC 边上的动点，连结PB 和PD 得到PBD △．求：⑴当点P 运动到AC 的中点时，PBD △的周长； ⑵PBD △的周长的最小值．【解析】 ⑴如图1，当点P 运动到AC 的中点时BP AC ⊥，DP AB ∥，所以1122BP DP a BD a ===，，， 即APBD 的周长为1.BP DP BD a ⎫++=+⎪⎪⎝⎭⑵如图2，作点B 关于AC 的对称点E ，连结EP EB ED 、、、即，则PB PD PE PD +=+ 因此ED 的长就是PB PD +的最小值，即 当点P 运动到ED 与AC 的交点G 时，PBD 的周长最小． 从点D 作DF BE ⊥，垂足为F ． 因为BC a =所以12BD a BE =，因为30DBF ∠=︒ 所以1124DF BD a ==，BF =EF BE BF =-=EF BE BF =-，DE 所以PBD △的周长的最小值是12a =图6PD CBAPG FECBA 图2PDCBA图1。
初二第22届希望杯”一试试题+解析
第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试一、选择题(每小题4分，共40分)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英语字母写在1、将a 千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐水x 千克，则由此可列出方程为( ) A 、%)151)(x a (%)101(a -+=- B 、%15)x a (%10a ⨯+=⨯ C 、%15a x %10a ⨯=+⨯ D 、%)151(x %)101(a -=-2、一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加a%，则所用的时间减少b%，则a ，b 的关系是( ) A 、%a 1a 100b +=B 、%a 1100b +=C 、a 1a b +=D 、a100a100b +=3、当1x ≥时，不等式|2x |m 1x |1x |--≥-++恒成立，那么实数m 的最大值是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数1x 2y -=与k kx y +=的图象的交点是整点，则k 的值有( )A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个5、The sum of all such integers x that satisfy inequality 6|1x 2|2≤-≤ is ( ) A 、8 B 、5 C 、2 D 、0(英汉词典：sum 和；integer 整数；satisfy 满足；inequality 不等式)6、若三角形的三条边的长分别为a ，b ，c ，且0b c b c a b a 3222=-+-，则这个三角形一定是( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等三角形 D 、等腰直角三角形7、As shown in figure 1，point C is on the segment BG and quadrilateral ABCD is a square. AG intersects BD and CD at points E and F, respectively. If AE=5 and EF=3, then FG=( ) A 、316 B 、38C 、4D 、5 (英汉词典：square 正方形；intersect …at … 与…相交于…) 8、1215-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是( ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 9、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+-=++0a y 2bx 01ay x 没有实数解，则( )A 、2ab -=B 、2ab -=且1a ≠C 、2ab -≠D 、2ab -=且2a ≠10、如图2，∠AOB=45°，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OB 于点C ， 若PC=2，则OC 的长是( )A 、7B 、6C 、222+D 、32+二、A 组填空题(每小题4分，共40分) 11、化简：5252549+=++；12、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=--=+2y 3x 21k y 2x 3的解使2y 7x 4>+，则k 的取值范围是3k >；figure 1A O BP C 2 图213、如图3，平行于BC 的线段MN 把等边△ABC 分成一个 三角形和一个四边形，已知△AMN 和四边形MBCN 的周长相 等，则BC 与MN 的长度之比是 4:3 ；14、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟， 停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，……，又知8月份 这台冰箱的耗电量是24.18度 (1度=1千瓦时)，则这台冰箱的压缩 机运转时的功率是 130 瓦；15、已知自然数a ，b ，c ，满足c 12b 4a 442c b a 222++<+++和02a a 2>--，则代数式c1b 1a 1++的值是 1； 16、已知A 、B 是反比例函数x2y =的图象上的两点，A 、B 的横坐标分别是3，5.设O 为原点，则△AOB 的面积是1516；17、设完全平方数A 是11个连续整数的平方和，则A 的最小值是 121 ；18、将100个连续的偶数从小到大排成一行，其中第38个数与第63个数的和为218，则首尾两个数的和是 218 ； 19、A 、B 两地相距15km ，甲、乙两人同时从A 出发去B 。
第一届“枫叶新希望杯”全国数学大赛八年级试题(初赛)
第一届“枫叶新希望杯”全国数学大赛八年级试题（初赛）一、填空题1521a a +有意义，则a 的取值范围是2．若x y 、为实数，且y 34x y +=3a ，小数部分为b ，则334a b a b+=++- 4．ABC V 的三边长为a b c 、、，且满足等式222a b c ab bc ac ++=++，则ABC V 的形状是三角形．5．已知1abc =，则111111ab a bc b ac c ++=++++++ 6．如图，在ABC V 中，50,,BAC BE BD CF CD ∠=︒==，则EDF ∠=7．若关于m 的方程255m b +-=恰有两个不同的解，则b 的取值范围为8．凸n 边形内角与外角和的总和为1440︒，则n 等于；这个凸n 边形有条对角线． 9．有四个数每次任选3个，算出它们的平均数，再加上剩下的一个数，用这样的方法计算了4次，分别得到46403226、、、，原来四个数分别是、、、．101m =-，则m =二、解答题11．已知：如图，把矩形ABCD 对折，设折痕为MN ，再把B 点叠在折痕线上，得到Rt ABE △，沿着EB 线折叠，所得到的EAF △是什么三角形？请说明理由．12．如图所示，在矩形ABCD 中，126AB cm BC cm ＝，＝，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2/cm s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1/cm s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用t s 表示移动的时间（06t ≤≤）．（1）当t 为何值时，QAP ∆为等腰三角形？（2）求四边形QAPC 的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．13．某校初二年级有甲、乙、丙三个班，甲班比乙班多4名女同学，乙班比丙班多1名女同学．期中考试后，学校重新分班，按要求甲班一部分同学被分到乙班，乙班一部分同学被分到丙班，丙班一部分同学被分到甲班，分完后发现三个班女同学的人数恰好相等．已知丙班被分到甲班的同学中有2名女同学．甲、乙两班分别有多少名女同学被分到其他班？ 14．张老师家的电话号码是八位数，这个数的前四位数字相同，后面五位数字是连续的自然数，这八个数字之和恰好等于号码的最后二位数．请你根据上述条件写出张老师家的电话号码．15．将正偶数按下表排成五列．根据上面排列规律，2004应在第几行第几列？说明理由．。
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试.docx
第十六届 “希望杯” 全国数学邀请赛校名 _______________ 班次 ______ 姓名 ___________ 辅导教师 ____________ 成绩 _______ 一、选择题(每小题4分，共40分)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。
题号 1 23 4 5 678910共得分答案1一2 + 3-4 + ・——14 + 15— 2 + 4 —6 + 8—…+ 28 —30等于2、已知兀=3是不等式mx + 2<l-4m 的一个解，如果加是整数，那么加的最大值是3、 一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9,这样的两位 数中，质数有A. 1个B. 3个C. 5个D. 6个4、 有三组数兀I ，兀2，兀3； yp $2，『3； Zi ，Z2，Z3，它们的平均数分別是d ，b, C,那么兀| + 戸―Z1，也+力―Z2，乃+旳―Z3的平均数是a+b+c 、 a+b-c 小 >亠一 ，、A. --------------B. -------------------------- C ・ a+ b-cD. 3(d + b-c)3 35、 己矢II A = ―— H — -- 1— ------ 1 ---- 1— ---- , 则 A 与］的大小关系是 23 23 + 1 23 + 2 24 -1A. 4>1B. A=\C. A < \ D ・无法确定的 6、Given in the /\ABC . a, b, c are three sides of the triangle, and —=——I, then ZA is a b c A. acute angle C. obtues angleD. acute angle or obtues angle（英汉词典 acute angle ：锐角；obtuse angle ：钝角）7、如图1,点D 是△ABC 的边BC±一点，如果AB=AD=2. AC=4,9、某人月初心元人民币投资股票，由于行情较好，他的资金每月都增加牛即使他每月 末都取III 1000元用于日常开销，他的资金仍然在三个月后增长了一倍，那么兀的值是2005年3月20日 上午8 ： 30至10 : 00A. B.--D.A. -1B. 0C. 1D. —2B. right angleWBD : DC=2 : 3,则△ABC 是A.锐角三角形 C.钝角三角形 8> 己知 a <b<c<0,则—^― b + ca b cA ・ ------- < -------- < --------b +c c +d a + bB. ft 角三角形D.锐角三角形或直角三角形 的大小关系是a+bB. a c b --- <----- < ----- h+c a+b c+ac+a b+c a+b cba---- < ------ + — a+b c+a b + 图1D.A- 9000 B. 1000010、判断下列命题的真假：C. 11000D. 11100甲：在边长为1的正三如形屮（包括边界）乙：在边长为1, 一个内角为60°的菱形中的任意四个点，必有两点踽离不人冷（包括边界）的任意六个点，必有两点的距离不人于丄.2那么正确的结论是A.甲真乙真B.甲真乙假C.甲假乙真D.甲假乙假二、A组填空题（每小题4分，共40分。
【真题】2016年第27届“希望杯”八年级全国数学邀请赛试卷及参考答案PDF
2016年第27届“希望杯”八年级全国数学邀请赛试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）在平面直角坐标系中，点A（a﹣2，a﹣1）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）已知关于x的不等式组的解集是﹣1＜x＜3，则（m+n）2014=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（4分）As shown in Fig，the perimeter of parallel quadrilateral ABCD is 10cm，AC intersects BD at O，and OE is perpendicular to AC at E，then the perimeter of triangle ABE is（）如图，▱ABCD的周长为10cm，AC交BD于点O，OE⊥AC，则△ABE的周长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm4．（4分）32015+5除以32012﹣1，所得的余数是（）A．313﹣1 B．311﹣1 C．32 D．85．（4分）如图，等边△ABE的顶点E在正方形ABCD内，对角线AC和线段BE交于点F，若BA=，则△ABF的面积是（）A．B．C．4﹣2D．+6．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则点C的个数是（）A．3 B．4 C．7 D．87．（4分）一个凸n边形，它的每个内角的度数都是整数，且任意两个内角的度数都不相同，则n的最大值是（）A．6 B．26 C．93 D．1798．（4分）三条边都是质数的三角形可能是（）①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形⑤等边三角形．A．①②③④B．②③④⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤9．（4分）a和b都是个位数字和十位数字相同的两位数，c是各位数字都相同的四位数，且a2+b=c，则a+b﹣c的最大值和最小值的差是（）A．6600 B．3179 C．6723 D．318710．（4分）如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（）A．8 B．10 C．3πD．5π二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）11．（4分）已知a，b是不超过15的自然数，若关于x的方程ax=b的解满足＜x＜，则这样的a，b共有组．12．（4分）如图，在正方形ABCD中，AE=ED，且EF=2FC，△ABF的面积是5，则正方形ABCD的面积是．13．（4分）计算：+++…+=．14．（4分）若，则|x|+|y|=．15．（4分）在△ABC中，∠CAB=120°，AB=AC=10cm，动点P从点C出发，沿CB以每秒2cm的速度向B移动，当PA和△ABC的腰垂直时，点P移动的时间至少是秒．16．（4分）在平面直角坐标系中，已知两点A（﹣2，0），B（4，0），点P（m，n）在一次函数y=x+2的图象上，若∠APB=90°，则|m|=．17．（4分）如图，四边形ABCD是长方形，AC⊥CE，F是AE的中点，CF=4．设AB=x，AD=y，则的值为．18．（4分）The solution set of 2|x+1|+x﹣2≤6 is．19．（4分）如图，l1∥l2∥l3，且l1和l2间的距离是5，l2和l3间的距离是7，若正方形有三个顶点分别在三条直线上，则此正方形的面积最小是．20．（4分）已知∠AOB=60°，点P在∠AOB的内部，P1是点P关于OA的对称点，P2是点P关于OB的对称点，若OP=6，则P1P2=．三、解答题（共3小题，满分40分）21．（10分）若自然数x，y满足x＞y，x+y=2A，xy=G2，若A，G都是两位数，且互为反序数，求x，y．（注：数字排列顺序相反的两个数互为反序数，如12和21）22．（15分）如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H，求证：（1）AM=EG；（2）AH⊥EG；（3）EG2+BC2=2（AB2+AC2）．23．（15分）水平桌面上有甲、乙、丙三个柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高处连通（即管子底距离容器底5cm）．三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示，以相同的速度向乙和丙注水，1分钟后，乙的水位上升cm．问：几分钟后，甲与乙的水位高之差是0.5cm？2016年第27届“希望杯”八年级全国数学邀请赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）在平面直角坐标系中，点A（a﹣2，a﹣1）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵（a﹣1）﹣（a﹣2），=a﹣1﹣a+2，=1，∴点A的纵坐标比横坐标大，∵第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，∴第四象限内点的横坐标一定比纵坐标大，∴点A（a﹣2，a﹣1）不可能在第四象限．故选D．2．（4分）已知关于x的不等式组的解集是﹣1＜x＜3，则（m+n）2014=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：解不等式x﹣3m＜0得：x＜3m，解不等式n﹣3x＜得：x＞，∵不等式组的解集为﹣1＜x＜3，∴，解得：，∴（m+n）2014=1．故选：C．3．（4分）As shown in Fig，the perimeter of parallel quadrilateral ABCD is 10cm，AC intersects BD at O，and OE is perpendicular to AC at E，then the perimeter oftriangle ABE is（）如图，▱ABCD的周长为10cm，AC交BD于点O，OE⊥AC，则△ABE的周长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴BE+CE=BC，∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+BC，∵▱ABCD的周长为10cm，∴AB+BC=5cm，∴△ABE的周长=5cm，故选D．4．（4分）32015+5除以32012﹣1，所得的余数是（）A．313﹣1 B．311﹣1 C．32 D．8【解答】解：，=，=，=27…32，所以32014+5除以32012﹣1，所得的余数是32，故选C．5．（4分）如图，等边△ABE的顶点E在正方形ABCD内，对角线AC和线段BE交于点F，若BA=，则△ABF的面积是（）A．B．C．4﹣2D．+【解答】解：过F点作FG⊥AB于G，∵AC是对角线，∴AG=FG，∵△ABE是等边三角形，∴BG=FG，∵BA=，∴FG+FG=，解得FG=，∴△ABF的面积=×÷2=．故选：A．6．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则点C的个数是（）A．3 B．4 C．7 D．8【解答】解：如图，由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个；以AC、BC为腰的三角形有2个；以BC、AB为腰的三角形有2个．则点C的个数是7．故选C．7．（4分）一个凸n边形，它的每个内角的度数都是整数，且任意两个内角的度数都不相同，则n的最大值是（）A．6 B．26 C．93 D．179【解答】解：∵26×（26+1）÷2=26×27÷2=35127×（27+1）÷2=27×28÷2=378∴n的最大值是26．故选：B．8．（4分）三条边都是质数的三角形可能是（）①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形⑤等边三角形．A．①②③④B．②③④⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤【解答】解：三边都是质数，当三边都相等时（例如三边都为3，该三角形是等边三角形也是锐角三角形），所以①⑤有可能；当两边相等时（例如两边为3，一边为2，该三角形是等腰三角形），所以④有可能；当三边都不相等，且都是质数时，三角形不可能为直角三角形，可能为锐角三角形和钝角三角形．综上只有C正确．答案：C．9．（4分）a和b都是个位数字和十位数字相同的两位数，c是各位数字都相同的四位数，且a2+b=c，则a+b﹣c的最大值和最小值的差是（）A．6600 B．3179 C．6723 D．3187【解答】解：由分析可知：a=33，a2=1089，c=1111，b=22，符合题意；a=44，a2=1936，c=2222，b=296，不符合题意；a=55，a2=3025，c=3333，b=308，不符合题意；a=66，a2=4356，c=4444，b=88，符合题意；a=77，a2=5929，c=6666，b=737，不符合题意；a=88，a2=7744，c=7777，b=33，符合题意；a=99，a2=9801，c=9999，b=198，不符合题意；满足要求的解有三组：①a=33，b=22，c=1111，②a=66，b=88，c=4444，③a=88，b=33，c=7777，则a+b﹣c的最大值和最小值的差是（33+22﹣1111）﹣（88+33﹣7777）=﹣1056+7656=6600．故选：A．10．（4分）如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（）A．8 B．10 C．3πD．5π【解答】解：连结DE，作FH⊥BC于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，过D点作DE′⊥AB，则BE′=BD=2，∴点E′与点E重合，∴∠BDE=30°，DE=BE=2，∵△DPF为等边三角形，∴∠PDF=60°，DP=DF，∴∠EDP+∠HDF=90°∵∠HDF+∠DFH=90°，∴∠EDP=∠DFH，在△DPE和△FDH中，，∴△DPE≌△FDH，∴FH=DE=2，∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2，当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=10﹣2=8，∴F1F2=DQ=8，∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．故选：A二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）11．（4分）已知a，b是不超过15的自然数，若关于x的方程ax=b的解满足＜x＜，则这样的a，b共有6组．【解答】解：∵ax=b，∴x=，∵＜x＜，a，b是不超过15的自然数，即，解得，或，故答案为：6．12．（4分）如图，在正方形ABCD中，AE=ED，且EF=2FC，△ABF的面积是5，则正方形ABCD的面积是12．【解答】解：方法1、如图，过点F作MN∥AD，连接BN，AN，∴，∵点E是AD中点，∴DE=AD，∴，∴，=AB×FM，S△AMB=AB×MN，∵S△AFB∴，=5，∵S△AFB∴S=6，△ANB=2S△ANB=12，∴S正方形ABCD故答案为12．方法2、连接FD，过点F作GH∥BC，连接BE交GH于N，易证，GN=FH，过点E作EP⊥BC交HG于M，∴MN=MF，易证，FM=2FH，∴FG=AD=AB，∵△ABF的面积是5，∴AB×FG=AB×AB=5，∴AB2=12，∴正方形ABCD的面积为12．故答案为1213．（4分）计算：+++…+=．【解答】解：原式=﹣+﹣+﹣+…+﹣=﹣=．故答案为．14．（4分）若，则|x|+|y|=4或8．【解答】解：∵，①×2﹣②，得﹣|x|=﹣3，∴|x|=3，x=±3，∴|x﹣y|=2，x﹣y=±2，当x=3时，y=5或x=1，则|x|+|y|=3+5=8或|x|+|y|=3+1=4，当x=﹣3时，y=﹣1或y=﹣5，则|x|+|y|=3+1=4或|x|+|y|=3+5=8，故答案为：4或8．15．（4分）在△ABC中，∠CAB=120°，AB=AC=10cm，动点P从点C出发，沿CB以每秒2cm的速度向B移动，当PA和△ABC的腰垂直时，点P移动的时间至少是5秒．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，根据题意，可得BD=15，即BC=30；①当PA⊥AC，即PC=2AP，在Rt△PAC中，可得PC=20，BP=10，即此时点P经过5秒．②当PA⊥AB时，即PB=2AP，在Rt△PAB中，可得PB=20，即点P已经经过10秒．∴点P移动的时间至少是5秒，故答案为：5．16．（4分）在平面直角坐标系中，已知两点A（﹣2，0），B（4，0），点P（m，n）在一次函数y=x+2的图象上，若∠APB=90°，则|m|=．【解答】解：∵点P（m，n）在一次函数y=x+2的图象上，∴n=m+2，∵A（﹣2，0），B（4，0），P（m，m+2），∴AB2=|4﹣（﹣2）|2=36，AP2=（m+2）2+（m+2）2，BP2=（m﹣4）2+（m+2）2，∵∠APB=90°，∴AP2+BP2=AB2，即（m+2）2+（m+2）2+（m﹣4）2+（m+2）2=36，解得m=±，∴|m|=，故答案为：．17．（4分）如图，四边形ABCD是长方形，AC⊥CE，F是AE的中点，CF=4．设AB=x，AD=y，则的值为2．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=x，∠ADC=90°，∴∠CDF=90°，∵AC⊥CE，F是AE的中点，∴CF=AE=AF=4，∴DF=4﹣y，在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF==4，∴=4，∴==2；故答案为：2．18．（4分）The solution set of 2|x+1|+x﹣2≤6 is﹣10≤x≤2．【解答】解：当x≥﹣1时，原不等式可化为2（x+1）+x﹣2≤6，解得：x≤2，∴﹣1≤x≤2；当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣2（x+1）+x﹣2≤6，解得：x≥﹣10，∴﹣10≤x＜﹣1；综上，﹣10≤x≤2，故答案为：﹣10≤x≤2．19．（4分）如图，l1∥l2∥l3，且l1和l2间的距离是5，l2和l3间的距离是7，若正方形有三个顶点分别在三条直线上，则此正方形的面积最小是74．【解答】解：当正方形的第4个顶点落在l2与l3之间时，正方形的边长最小，如图，四边形ABCD为正方形，作CE⊥l2于E，AF⊥l2于F，则AF=5，CE=7，∵四边形ABCD为正方形，∴BA=BC，∠ABC=90°，∵∠ABF+∠CBE=90°，∠ABF+∠BAF=90°，∴∠CBE=∠BAF，在△CBE和△BAF中，∴△CBE≌△BAF，∴BE=AF=5，在Rt△BCE中，BC2=BE2+CE2=52+72=74，∴正方形ABCD的面积为74，即正方形的面积最小是74．故答案为74．20．（4分）已知∠AOB=60°，点P在∠AOB的内部，P1是点P关于OA的对称点，P2是点P关于OB的对称点，若OP=6，则P1P2=6．【解答】解：如图所示：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，∴OP=OP1=OP2=6，且∠P1OP2=2∠AOB=120°，∴∠P1=30°，作OM⊥P1P2于M，则P1 M=P2 M，OM=OP1=3，∴P1 M=OM=3，∴P1P2=2P1 M=6；故答案为：6．三、解答题（共3小题，满分40分）21．（10分）若自然数x，y满足x＞y，x+y=2A，xy=G2，若A，G都是两位数，且互为反序数，求x，y．（注：数字排列顺序相反的两个数互为反序数，如12和21）【解答】解：设A=10a+b，则G=10b+a，其中a和b都是1到9的自然数，则x+y=20a+2b，xy=（10b+a）2=100b2+20ab+a2，∴（x+y）2=（20a+2b）2=400a2+80ab+4b2，（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=396a2﹣396b2=22×32×11（a+b）（a﹣b），因为x、y都是自然数，所以（x﹣y）2是完全平方数，所以（a+b）和（a﹣b）中必有一个是11的倍数，∵a和b都是1到9的自然数，∴a+b=11，于是a﹣b也是一个完全平方数，只能a=6，b=5，所以（x﹣y）2=（2×3×11）2，∴x﹣y=66，x+y=20a+2b=130，解得：x=98，y=32．22．（15分）如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H，求证：（1）AM=EG；（2）AH⊥EG；（3）EG2+BC2=2（AB2+AC2）．【解答】（1）证明：延长AM到点N，使MN=MA，连接BN，∵AM是△ABC中BC边上的中线，∴CM=BM，在△MBN和△MCA中∴△MBN≌△MCA（SAS），∴∠BNM=∠CAM，NB=AC，∴BN∥AC，NB=AG，∴∠NBA+∠BAC=180°，∵∠GAE+∠BAC=360°﹣90°﹣90°=180°，∴∠NBA=∠GAE，在△NBA和△GAE中∴△NBA≌△GAE（SAS），∴AN=EG，∴AM=EG；（2）证明：由（1）△NBA≌△GAE得∠BAN=∠AEG，∵∠HAE+∠BAN=180°﹣90°=90°，∴∠HAE+∠AEH=90°，∴∠AHE=90°，即AH⊥EG；（3）证明：连接CE、BG，易证△ACE≌△ABG∴CE⊥BG，∴EG2+BC2=CG2+BE2，∴EG2+BC2=2（AB2+AC2），由（1）可知AM=EG，∵BM=BC，∴AB2+AC2=2（EG）2+BC•BC，∴EG2+BC2=2（AB2+AC2）．23．（15分）水平桌面上有甲、乙、丙三个柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高处连通（即管子底距离容器底5cm）．三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示，以相同的速度向乙和丙注水，1分钟后，乙的水位上升cm．问：几分钟后，甲与乙的水位高之差是0.5cm？【解答】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，且注水1分钟，乙的水位上升cm，∴注水1分钟，丙的水位上升×22=cm．①当乙的水位低于甲的水位时，根据题意得，1﹣t=0.5，∴t=，②当甲的水位低于乙的水位时，且甲的水位不变时，根据题意得，，∴t=，但=6＞5，说明此时丙容器已向乙容器溢水了，∵5+=（min），而（cm），即经过（min）丙容器的水位达到了管子底部，此时乙的水位上升了（cm），当甲的水位暂时不变，∴，∴t=（min）③当甲的水位低于乙的水位，但乙的水位已达到或超过管子的底部，使甲的水位上升时，因为乙的水位到达管子底部的时间为（min），∴5﹣1﹣2×，∴t=（min），综上所述，min，min，后，甲与乙的水位高度之差为0.5cm．。
2016年希望杯数学竞赛初赛初二试卷
第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试试题2016年3月20日 上午8:30至10:00一、选择题（每小题4分，共40分）1.已知ABC ∆和111C B A ∆,D 和1D 分别是BC 和11C B 的中点，下列条件中能判断111C B A A B C ∆≅∆的是（ ）(A)11111D A AD C A AC C C ==∠=∠，，(B)11111C A AC B A AB B B ==∠=∠，，(C)111111,D C CD D B BD D A AD ∠===，(D)1111111,D A AD B A AB D A B BAD ==∠=∠，2.在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点。
若一次函数3-=x y 与)(为整数k x kx y -=的图像的交点是整点，则k 的不同取值的个数是（ ）(A)3 (B)4 (C)5 (D)63.A 、B 两班共有90名学生，且各班男生、女生的人数比分别是5:6,12:11，那么两班混合后男生、女生的人数比是（ ）(A)1：1 (B)8：7 (C)11：13 (D)22：234.已知不等式21>+x 与不等式)0(≥≤a a x 的解集没有公共部分，那么a 的取值范围是（ ）(A)10≤≤a (B)21≤≤a (C)20≤≤a (D)1≥a5.若关于x 的不等式组,012)2(312⎩⎨⎧>-+->-m x x x 只有四个整数解，则m 的取值范围（ ）(A)11<<-a (B)11<≤-m (C)11≤<-m (D)11≤≤-m 6.如图1，在ABC ∆中，AB=AC ，BC=CD,AE=ED=DB,则）（=∠A (A) 36 (B)30 (C) 7180 (D) 111807.1)4)(3)(2)(1)(1(++++++=n n n n n LetA and is an arbitrary natural number, if the square root of A+p is rational number , then the value of p is （ ）(A)2 (B)49 (C)1 (D)458.菱形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（0，），动点P 从点A 出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.25个单位长度的速度移动，移动到第2016秒时加快速度，仍沿原来的路径，以每秒1个单位长度的速度移动，又移动了2015秒停止，此时点P 的坐标为（ ）(A)AB 的中点 (B)BC 的中点 (C)CD 的中点 (D)AD 的中点9.从长度分别是1,2,3，…，14的14条线段中任取出n 条线段，其中必有3条线段能构成一个三角形，则n 的最小值是（ ）(A)7 (B)8 (C)9 (D)1010.如图3，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，A 是函数)0(1<=x x y 图象上一点，AO 的延长线交函数xk y =(x ＞0，k ＞0)的图象于点C ，点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′，连接C C ′，交x 轴于点B ，连接A B ，A A ′，''C A ，若由线段AC ，C C ′，CA ′，A ′A 所围成的图形的面积等于10,那么A B C ∆的面积等于( )(A)4 (B)6 (C)62 (D)34二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11.已知2015)(,1,1,1abc A ca bc ab =>>>，则A 的取值范围是 。
历年1-16届希望杯初二年级竞赛试卷(共34份)[下学期]
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ΔABC,若AB=π27,则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B B ．∠C ＞∠B ＞∠AC ．∠B ＞∠A ＞∠CD ．∠C ＞∠A ＞∠B5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式aa 1-⋅化为最简二次根式是[ ] (A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( )A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值，则这个值是( )A ．0.B ．1.C ．2D ．4.把f 1990化简后，等于 ( )A ．1-x x . B.1-x. C.x 1. D.x. 二、填空题（每题1分，共10分） 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度．6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB 的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______．8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个．9．x ，y ，z 适合方程组 826532113533451x y z x z x y x y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120°所以∠ADC的度数是120度．5．∠COD度数的一半是30度．8．∵Δ=p2-4q＞p2．9．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0．∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x4+11x3-7x2-3x-7=(3x2+4x-7)(2x2+x+1)而3x2+4x-7=0．希望杯第一届（1990年）初中二年级第二试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A ，B ，C ，D 四个结论中，有且仅有一个是正确的．请你将正确结论的英文字母代号填到括号内．1．等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是( )A ．7.5B ．12C ．4D ．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ]A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则有( )A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞NB ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞QD ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°C ．60°D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割( )A ．是不存在的B ．恰有一种C ．有有限多种，但不只是一种D ．有无穷多种二、填空题（每题1分，共5分）1．△ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．2.21(2)0a ab --=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++L L 的值是_____.3．已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4.ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．5.设a,b,c 是非零整数,那么a bcabacbc abca b c ab ac bc abc ++++++的值等于_________.三、解答题（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇的顶点A＇在正方形ABCD的中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)． 而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n ． 又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n ．即 n 1=4，n 2=7∴ n 1×n 2=4×7=28．希望杯第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题（每题1分，共15分）以下每个题目的A ，B ，C ，D 四个结论中，仅有一个是正确的．请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．1．如图24，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP 的长是( )A ．2B ．3C ．4D ．52．方程x 25x+6=0的两个根是( )A ．1，6B ．2，3C ．2， 3D ．1， 63．已知△ABC 是等腰三角形，则( )A ．AB=ACB ．AB=BCC ．AB=AC 或AB=BCD ．AB=AC 或AB=BC 或AC=BC 22345(13)41(5)34b c ---==-+,则a,b,c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a=b=c C ．a=c ＞b D ．a=b ＞c(1)BO5.若a ≠b,则(b-a)a b -等于[ ]A.33()a b -;B.33()a b ---;C.33()a b --;D.33()b a --6．已知x ，y 都是正整数，那么三边是x ，y 和10的三角形有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无数多个 7．两条直线相交所成的各角中， ( )A ．必有一个钝角B ．必有一个锐角C ．必有一个不是钝角D ．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角( )A ．一个是锐角另一个是钝角B ．都是钝角C ．都是直角D ．必有一个角是直角 9．方程x 2+|x|+1=0有( )个实数根．( )A ．4B ．2C ．1D ．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2，仍得原数，这个两位数是( )A ．26B ．28C ．36D ．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是 ( )A ．179B ．181C ．183D ．185 12.如果231,x x >+那么323(2)(3)x x +-+等于[ ]A ．2x+5B ．2x5 C ．1D ．113．方程2x 5+x 4-20x 3-10x 2+2x+1=0有一个实数根是 ( ) A.53+; B.52+; C.32+; D.53-14．当a ＜1时，方程(a 3+1)x 2+(a 2+1)x (a+1)=0的根的情况是 ( ) A ．两负根 B ．一正根、一负根且负根的绝对值大 C ．一正根、一负根且负根的绝对值小 D ．没有实数根15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地．甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则( )到达N 地．( )A ． 二人同时B ．甲先C ．乙先D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先二、填空题（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度．2.有理化分母:5757-+=______________.3.方程10x x ++=的解是x=________.4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程x 2+(k 29)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x 2y 2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m 1)x 2+2mx+m 3=0有两个实数根．9．如图25，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．DCBAGEDCFEDCBA10．如图26，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出______条．11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于______度．12．如图27，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______． 14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q 为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2． ∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题（每题1分，共10分）以下每个题目里给出的A ，B ，C ，D 四个结论中，有且仅有一个是正确的．请你在括号内填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．如图29，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 为线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则MN ∶PQ 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．两个正数m ，n 的比是t(t ＞1)．若m+n=s ，则m ，n 中较小的数可以表示为 ( ) A.ts; Bs-ts; C.1ts s +; D.1s t+. 3.y>0时,3x y -等于( )A.-x xy ;B.x xy ;C.-x xy -;D.x xy -.4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成 ( )A ．a ＜b ＜cB ．(a b)2+(b c)2=0C ．c ＜a ＜bD ．a=b ≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A ．4倍 B ．3倍 C ．2倍 D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( )A ．AD 2=BD 2+CD 2B ．AD 2＞BD 2+CD 2C ．2AD 2=BD 2+CD 2 D ．2AD 2＞BD 2+CD 2( ) 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为1123的x 2、y 2的值是( ) A.x 2=1+3，y 2=2+3; B. x 2=2+3，y 2=2-3; C. x 2=7+43，y 2=7-43; D. x 2=1+23，y 2=2-3.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为( )A ．17B ．15C ．13D ．11 10．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×199119911991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________.5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab≠1．且 2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则a=______.b三、解答题（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1．已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK ∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。
“希望杯”第三届全国数学大赛八年级初赛题(含答案)
“希望杯”第三届全国数学大赛八年级初赛题一、选择题（每小题5分，共30分）1．已知点P 到x 轴的距离为5，到y 轴的距离为6，则满足此条件的点P 共有（ ）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2．如图所示，若AB ∥CD ，AP ，CP 分别平分∠BAC 和∠ACD ，PE ⊥AC 于E ，且PE=3cm ，•则AB 与CD 之间的距离为（ ） （A ）3cm （B ）6cm （C ）9cm （D ）无法确定3．若a=-255，b=-344，c=-533，d=-622，那么a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ）（A ）a>b>c>d （B ）a>b>d>c （C ）b>a>c>d （D ）a>d>b>c 4．在凸n （n ≥3的正整数）边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） （A ）0 （B ）n （C ）n-3 （D ）35．若则关于a 的说法正确的是（ ） （A ）是正整数，而且是偶数 （B ）是正整数，而且是奇数 （C ）不是正整数，而是无理数 （D ）无法确定 6．桌上摆着一个由若干相同的正方体组成的几何体，•其正视图和左视图如下图所示，那么这个几何体最多可以由（ ）个这样的正方体组成． （A ）22 （B ）23 （C ）24 （D ）25二、填空题（每小题5分，共30分）7．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，AB 的中点，且平行四边形ABCD •的面积为1平方单位，那么四边形DEFC 的面积为________平方单位．F E BCA D8．若分式212x x m-+不论x 取何值总有意义，则直线y=mx-m 一定经过_______象限．9．一串有趣的图案按一定规律排列，请仔细观察，•按此规律画出第11•个图案是_____；在前30个图案中有_____个“”；第2007个图案是______．10．如图所示，在等边三角形ABC 中，AD=BE=CF ，若三个全等的三角形为一组，则图中共有_______组全等三角形．11．设直线kx+（k+1）y=1（k ≥1的正整数）与两坐标轴围成的面积为S k （k=1，2，•…，2007），则S 1+S 2+…+S 2007=_______．12．如果设y=1x x+=f （x ），并且f （1）表示当x=1时y 的值，即f （1）=111+=12；f （12）表示当x=12时y 的值，即f （12）=12112+=13，那么f （1）+f （2）+…+f （2006）+f （12）+f （13）+…+f （12006）=______．三、解答题（每题15分，共60分） 13．求值：112111334420072007+++++++++FE B C A D Q GH14．如图所示，五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=120°，且AB=4，BC=4，CD=8，•求该五边形的周长和面积．EBCAD15．2008年是我国首次举办奥运会的一年，同时也是我们八年级同学完成九年义务教育的最后一年，为迎接2008年的到来，数学刘老师在讲完重要不等式：a+1a≥2，•a>0后，随手出了这样一道题目：解方程（x2008+1）（1+x2+x4+…+x2006）=2008²x2007，你能求x的值吗？16．悦耳电视台在黄金时段的4分钟广告时间内，计划插播长度为30秒和60•秒的两种广告．30秒广告每播1次收费1.2万元，60秒广告每播1次收费2万元，•若要求每种广告播放不少于1次，试问：（1）两种广告的播放次数有几种安排方式？（2）电视台选择哪种方式播放收益最大？哪种方式收益最小？其最大收益、•最小收益各为多少？（3）若既要考虑悦耳电视台的收益，•又要兼顾两种广告客户的利益和宣传力度，你认为电视台采用哪种播放方式最合适？参考答案一、1．D 2．B 3．D 4．D 5．B 6．D 7．58（平方单位） 8．第一、三、四象限 9．， 10．511．2007401612．20051213．设1+1111.1111131142007xx x x x x==+=+++++++则原式=1 ． 14．如图所示，分别延长ED 、BC 且相交于N ，延长EA ，CB •相交于M ，• 先证△MEN ，•△DCN ，△ABM 均为正三角形，得MN=16．∴DE=16-8=8，AE=16-4=12． ∴五边形的周长为： 8+8+4+4+12=36． 五边形的面积为： S △MNE -S △DNC -S △ABM ． 易求S △MNE =12³16³16³2S △DNC =12³8³8S △ABM =12³4³4故五边形ABCDE 的面积为：15．方程两边同除以x 2007得 （x+20071x ）（1+x 2+x 4+…+x 2006）=2008，∴x+x 3+x 5+…+x 2007+20071x +20051x +…+1x =2008， ∴（x+1x ）+（x 3+31x）+…（x 2007+20071x ）=2008．x+1x ≥2，易知x ≥0，x 3+31x≥2，∴，x 2007+20071x ≥2．∴（x+1x ）+（x 3+31x）+…+（x+20071x ）≥2008．要使方程成立，必须有x=1x ，x 3=31x，…，x 2007=20071x ，即x=±1．但x>0，故x=1．16．（1）设30秒广告播放x 次，60秒广告播放y 次，由题意得30x+60y=240，•则x=•8-2y ．又∵x ，y 均为不少于1的正整数， ∴4,2,6,2;3; 1.x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或或 故共有3种不同的播放方式：即30秒广告播放4次，60秒广告播放2次；30秒广告播放2次，60秒广告播放3次；30秒广告播放6次，60秒广告播放1次；（2）设悦耳电视台的收益为W 元，则 W=1.2x+2y ．又∵x=8-y ，∴W=1.2（8-2y ）+2y ， 即W=-0.4y+9.6．∵k=-0.4<0，∴W 随y 的增大而减少， 故当y=1时，W 取最大值，且最大值为 W max =-0.4+9.6=9.2（万元）．当y=3时，W 取最小值，且W 的最小值为 W min =-0.4³3+9.6=8.4（万元）．即当电视台选择30秒广告播放6次，60秒广告播放1次这种方式，收益最大，•且最大值为9.2（万元），当电视台选择30秒广告播放2次，60秒广告播放3次这种方式，收益最小，且最小值为8.4（万元）．（3）由（2）可知，当y=2时，W=-0.4³2+9.6=8.8（万元）．而8.8万元>8.4万元，故为既考虑悦耳电视台的收益，•又考虑两种广告的客户的宣传力度的需要，应选择30秒广告播放4次，60秒广告播放2次．。
初二“希望杯”数学竞赛练习卷解答(2016.3,18)
初二“希望杯”数学竞赛练习卷解答(2016.3，18)一、填空1．若a，b，c是3个不同的正整数，并且abc=16，则a b-b c+c a可能的最大值是（C）A．B．C．D．∴OB=3A ．210B ．217C ．317D ．310210.如如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B→C→D→A 运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP的面积为y ，把y 看作x 的函数，函数图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）25．如图所示，△ABC是正三角形，△A1B1 C1的三条边A1B1、B l C1、C1A1交△ABC各边分别于C2、C3，A2、A3，B2、B3．已知A2C3=C2B3=B2A3，且C2C32+B2B32=A2A32．请你证明：A l B1⊥C1A1．解答：证明：如图，过A2作C3C2的平行线交过C2所作C3A2的平行线于点O，连接OA3、0B3，∴A2OC2C3是平行四边形，∴A2O∥C3C2，且A2O=C3C2，OC2∥A2C3且OC2=A2C3=B3C2，∴△OB3C2是正三角形，∴∠OB3C2=60°=∠B，∴OB3∥A3B2，又∵0B3=B3C2=A3B2，∴OB3B2A3是平行四边形，∴OA3∥B3B2且OA3=B3B2，∵C2C32+B2B32=A2A32，∴OA22+OA32=A2A32，在△A2OA3中，∵OA22+OA32=A2A32，∴由勾股定理的逆定理得∠A2OA3=90°，∵已证OA3∥B3B2，即OA3∥A1C1，A2O∥C3C2，即A2O∥B1A1，∴∠C1A1B1=90°，∴A1B1⊥C1A1．26.图：四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由．解答：解：以AB、BC、BD为边，能够组成直角三角形．理由如下：以BC为边作等边△BCE，连接AE、AC．如右图所示．∵∠ABC=30°，∠CBE=60°，∴∠ABE=90°，∴AB2+BE2=AE2①，∵AD=DC，∠ADC=60°，∴△ADC是等边三角形，在△DCB和△ACE中，DC=AC，∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB=∠ACE，又∵BC=CE，∴△DCB≌△ACE，∴BD=AE，∵BC=BE，由①式，可得BD2=AB2+BC2．∴以AB、BC、BD为边，能够组成直角三角形．附加17．如图（十二），直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）．（1）求A B 、两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示MON △的面积1S ；1（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记MPN △和OAB △重合部分的面积为2S ，①当2t <≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式；②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △面积的516？或t=3．。
第二届全国希望杯数学邀请赛初二第1试试卷
希望杯第十二届（2001年）初中二年级第一试试题一、选择题(第小题5分．共50分)1．设x=20002001-,y=19992000-则x ．y 的大小关系是( )． A ．x>y B ．x=y C ．x<y D ．无法确定的 2．代数式2x 1x x -+-+的最小值是( )． A ．0 B ．1+2 C ．1 D ．不存在的 3．设b ≠a 且满足(3+1)(a －b)+2(b －c)=a －c ，则cb ba --的值( )． A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零 D ．的正负号不确定4．设y=x 4-4x 3+8x 2—8x+5．其中x 为任意实数，则y 的取值范围是( )． A ．一切实数 B ．一切正实数C ．一切大于或等于5的实数D ．一切大于或等于2的实数5．已知点D 在线段EF 上，下列四个等式：①DE=2DF，②DE=31EF ，③EF=2DF，④DF=21 DE ，其中能表示点D 是线段EF 的一个三等分点的表达式是( )．A ．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④6．已知△ABC 中,∠B=60°，∠C>∠A，且(∠C)2=(∠A)2+(∠B)2，则△ABC 的形状是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．直角或钝角三角形7．凸n 边形中有且仅有两个内角为钝角，则n 的最大值是( )． A ．4 B5 C ．6 D ．7 8．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，正方形EFGH 内接于正方形ABCD ，AE=a ，AF=b ．若s 正方形EFGH=32，则|b －a|等于( )． A ．22 B ．32 C ．23 D ．339．某工厂生产的灯泡中有51是次品，实际检查时，只发现其中次品的54被剔除，另有201的正品也被误以为是次品而剔除，其余的灯泡全部上市出售，那么该工厂出售的灯泡中次品所占的百分率是( )．A ．4%B ．5％C ．6．25％D ．7．25%lO ．在正常情况下，一个司机每天驾车行驶t h ，且平均速度为v km ／h ，若他一天内多行驶1 h ，平均速度比平时快5 km ／h ，则比平时多行驶70 km ，若他一天内少行驶1 h ，平均速度比平时慢5 km ／h ，他将比平时少行驶 ( )．A ．60 kmB ．70 kmC ．75 kmD ．80 km 二、A 组填空题(每小题5分，共50分)11．计算：2001×20002000—2000×20012001= ．12．已知关于x 的不等式21-4mx 3x 2m ≤+的解是x ≥43，那么m 的值是 13．Root of the equation 26335153=+++xx x x is ．(英汉小字典：root 根；equation 方程．)14．已知x 2+2x+5是x 4+ax 2+b 的一个因式，那么a+b 的值是l5．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则它的三个内角的比是 16．若∠A 的补角的余角大于30°，21∠B 的余角的补角小于150°，那么∠A 与∠B 的大小关系是17．如图，△ABC 中，∠A=30°，CD 是∠BCA 的平分线，ED 是∠CDA 的平分线，EF 是∠DEA 的平分线，DF=FE ，那么∠B 的大小是 18．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB=120°，点E 平分DC ，点P 在BD 上，且PE+PC=1，那么边长AB 的最大值是19．已知x ，y, z 为实数，且满足⎩⎨⎧=+=+32z y -x 6 z -2y x ．那么x 2+y 2+z 2的最小值是20。
历年初中希望杯数学竞赛试题大全
历年初中希望杯数学竞赛试题大全 ][真诚为您服务试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第2· 2009年第20届“次· 161· [4-30]★详细简介请参考下载页]· [竞赛 2试试题届“希望杯”全国数学邀请赛初一第年第· 200920 次· 153· [4-28]详细简介请参考下载页★]· [竞赛数学大赛初赛试卷（扫描版）届5“希望杯”年湖北省黄冈市第· 2009 · 76次· [4-17]★详细简介请参考下载页]· [竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1· 2009年第20届“希望杯次· 133· [4-7]对不起，尚无简介☆]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初一第1届“希望杯”20· 2009年第· 122次· [4-7]详细简介请参考下载页★]· [竞赛全国数学邀请赛初二训练题”第十四届“希望杯·次· 44· [9-9]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题“希望杯”全国数学邀请赛初一第19· 2008年第届次· 203· [9-4]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1”“19· 2008年第届希望杯全国数学邀请赛初一第试试题次· 169· [9-4]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第219年第届“希望杯”· 2008 次· 156· [9-2]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第“· 2008年第19届· 146次· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题”届“希望杯全国数学邀请赛初二第18· 2007年第· 101次· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1全国数学邀请赛初二第试试题”“18· 2007年第届希望杯次· 95· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题”全国数学邀请赛初二第2· 2006年第17届“希望杯次· 76· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第届· 2006年第17 · 76次· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第2希望杯· 2005年第16届“”次· 65· [9-1]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1试试题全国数学邀请赛初二第届· 2005年第16“希望杯”次· 52· [9-1]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题全国数学邀请赛初二第希望杯”2· 2004年第15届“次· 47· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第115届“希望杯”年第· 2004 次· 38· [9-1]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 2试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第届· 2003年第14“次· 30· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1试试题希望杯届“”全国数学邀请赛初二第年第· 200314 · 26次· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题全国数学邀请赛初二第希望杯届年第· 200213“”· 31次· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第1”年第13届“希望杯· 2002 次· 23· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第· 2001年第12届· 17次· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第112年第届“希望杯”· 2001 · 17次· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题2“届希望杯”全国数学邀请赛初二第11· 2000年第次· 15· [9-1]★详细简介请参考下载页]· [竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1“· 2000年第11届希望杯次· 15· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第210届“希望杯”· 1999年第次· 13· [9-1]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题1希望杯”全国数学邀请赛初二第· 1999年第10届“次· 15· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第9· 1998年第届次· 11· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1”“9· 1998年第届希望杯全国数学邀请赛初二第试试题次· 10· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第28年第届“希望杯”· 1997 次· 13· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第“· 1997年第8届· 10次· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题”届“希望杯全国数学邀请赛初二第7· 1996年第· 11次· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1全国数学邀请赛初二第试试题”“7· 1996年第届希望杯次· 10· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题”希望杯全国数学邀请赛初二第2· 1995年第6届“次· 14· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第16届“希望杯”· 1995年第次· 14· [8-29]★详细简介请参考下载页]· [竞赛 2试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第5· 1994年第届“次· 12· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1试试题“届希望杯”全国数学邀请赛初二第· 1994年第5 · 12次· [8-29]（每一、选择题 :年第五届希望杯全国数学邀请赛1994 初中二年级第一试试题 [] Ax 1.303小题分，共分）使等式成立的的值是．是]· [竞赛试试题初二第2”年第4届“希望杯全国数学邀请赛· 1993 次· 9· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第14届“希望杯”· 1993年第次· 10· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题2希望杯”全国数学邀请赛初二第· 1992年第3届“次· 11· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第3· 1992年第届次· 9· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 2”“2· 1991年第届希望杯全国数学邀请赛初二第试试题· 14次· [8-28]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1年第· 19912届“希望杯次· 12· [8-28]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第21届“希望杯”· 1990年第· 13次· [8-28]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1希望杯· 1990年第1届“次· 11· [8-28]分，（每题1 ”全国数学邀请赛初二第一试一、选择题:“1990年第一届希望杯() 倍，那么这个角是 1．一个角等于它的余角的5分）共10]竞赛· [ 2试试题全国数学邀请赛初一第希望杯届年第· 200718“”· 94次· [8-28]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初一第118届“希望杯”· 2007年第次· 42· [8-28]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题”希望杯全国数学邀请赛初一第2· 2006年第17届“次· 41· [8-28]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题1希望杯”全国数学邀请赛初一第“· 2006年第17届次· 43· [8-28]试第1全国数学邀请赛初一希望杯年第十七届2006“”……中考资源网，竞赛试题任你选！更多数学竞赛试题请点击。
全国希望杯八年级数学竞赛试题第一届至第二十二届含答案
希望杯第一届〔1990年〕初中二年级第一试试题一、选择题:〔每题1分，共10分〕1．一个角等于它余角5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2平方平方根是 ( )A ．2.B ． 2.C ．±2.D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 值是( )A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,假设AB=π27那么以下式子成立是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B5．平面上有4条直线，它们交点最多有( )A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-立方根是[ ]〔A 〕12-. 〔B 〕21-.〔C 〕)12(-±. 〔D 〕12+.7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ] (A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( )A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。
9. 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定值， 那么这个值是( )A ．0.B ．1.C ．2.D ．4.把f 1990化简后，等于 ( )A ．1-x x . B.1-x. C.x1. D.x. 二、填空题〔每题1分，共10分〕 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷-+4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，那么∠ABC 度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,那么∠COD 度数是____度．6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 平分线与∠B 平分线交于O 点，那么∠AOB 度数是______度．7．计算下面图形面积〔长度单位都是厘米〕〔见图4〕.答：______．8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它正根个数是______个．9．x，y，z适合方程组那么1989x-y+25z=______．10．3x2+4x-7=0，那么6x4+11x3-7x2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．应选(B)．2．因为2平方是4，4平方根有2个，就是±2．应选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．应选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C ＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，应选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定值，就是说：不管x，y取何值，原式值不变．于是以x=y=0代入，得：应选(B)．应选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120°所以∠ADC度数是120度．5．∠COD度数一半是30度．8．∵Δ=p2-4q＞p2．9．方程组可化简为：解得：x=1，y=-1，z=0．∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x4+11x3-7x2-3x-7=(3x2+4x-7)(2x2+x+1)而3x2+4x-7=0．希望杯第一届〔1990〕第二试试题一、选择题:〔每题1分，共5分〕1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3两局部，那么这个三角形底边长是[ ] A．7.5 B．12. C．4. D．12或42.P=2)+⨯⨯⨯，那么P值是[ ]1988-+198919891(19901991A．1987 B．1988. C．1989 D．19903．a＞b＞c，x＞y＞z，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx，Q=az+bx+cy，那么[ ] A．M＞P＞N且M＞Q＞N. B．N＞P＞M且N＞Q＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,那么∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1正方形分割成面积相等四局部，使得在其中一局部内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1正三角形，满足上述性质分割[ ]A ．是不存在.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种 二、填空题:〔每题1分，共5分〕1． △ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 平分线与AB 交于L ，∠C 外角平分线与BA 延长线交于N ．CL=3，那么CN=______．2． 21(2)0a ab -+-=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++值是_____. 3． a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，那么c 取值范围是______． 4． ΔABC 中, ∠B=30053,三个两两互相外切圆全在△ABC 中，这三个圆面积之与最大值整数局部是______．5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc ++++++值等于_________.三、解答题:〔每题5分，共15分〕1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们差是177．2．平面上有两个边长相等正方形ABCD与A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇顶点A＇在正方形ABCD中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方形重合局部面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你判断．3．用1，9，9，0四个数码组成所有可能四位数中，每一个这样四位数与自然数n之与被7除余数都不为1，将所有满足上述条件自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．假设底边长为12．那么其他二边之与也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．应选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等四局部．在最外面一局部中显然可以找到三个点，组成边长大于1正三角形．如果三个圆换成任意封闭曲线，只要符合分成四局部面积相等，那么最外面局部中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1正三角形．应选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样组中，任一组内两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取178个数中，必有两个数，它们差是177．证法二从1到354自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b余数一样，也即至少有两个数a，b之差是177倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们差是177．2．如图9，重合局部面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC与△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形重合局部面积必然是一个定值．3．可能四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2, 9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小n．即n1=4，n2=7∴n1×n2=4×7=28．第二届〔1991年〕初中二年级第一试试题一、选择题:〔每题1分，共15分〕1．如图1，AB=8，AP=5，OB=6，那么OP长是[ ]A．2; B．3; C．4; D．52．方程x2-5x+6=0两个根是[ ]A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，63．△ABC是等腰三角形，那么[ ]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC344134b c-==+,那么a,b,c大小关系是[ ]A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c≠b,那么[ ](1)BOB. C.6．x，y都是正整数，那么三边是x，y与10三角形有[ ] A．3个B．4个; C．5个D．无数多个7．两条直线相交所成各角中，[ ]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．两个角与组成角与这两个角差组成角互补，那么这两个角[ ]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．A．4; B．2; C．1; D．010．一个两位数，用它个位、十位上两个数之与3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ]A．26; B．28; C．36; D．3811．假设11个连续奇数与是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ]A．179; B．181; C．183; D．185>+[ ]1,A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0根情况是[ ]A．两负根;B．一正根、一负根且负根绝对值大C．一正根、一负根且负根绝对值小;D．没有实数根15．甲乙二人，从M地同时出发去N地．甲用一半时间以每小时a公里速度行走，另一半时间以每小时b公里速度行走；乙以每小时a公里速度行走一半路程，另一半路程以每小时b公里速度行走．假设a≠b时，那么[ ]到达N地．A．二人同时; B．甲先;C．乙先; D．假设a＞b时，甲先到达，假设a＜b时，乙先二、填空题:〔每题1分，共15分〕1．一个角补角减去这个角余角，所得角等于______度．2.有理化分母=______________.3.x=解是x=________.4．分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=______．5．假设方程x2+(k2-9)x+k+2=0两个实数根互为相反数，那么k值是______．6．如果2x2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式不同形式,那么a b+=__.c7．方程x2-y2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC中，AD平分∠A，且BD∶DC=2∶1，那么∠B等于______度．(2) (3)(4)10．如图3，在圆上有7个点，A，B，C，D，E，F，与G，连结每两个点线段共可作出__条．11．D，E分别是等边△ABC两边AB，AC上点，且AD=CE，BE与CD交于F，那么∠BFC等于__度．12．如图4，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC中线，AE是△ABD角平分线，DF∥AB交AE延长线于F，那么DF长为______．13．在△ABC中，AB=5，AC=9，那么BC边上中线AD长取值范围是______．14．等腰三角形一腰上高为10cm，这条高与底边夹角为45°，那么这个三角形面积是______．15．方程x2+px+q=0有两个不相等整数根，p，q是自然数，且是质数，这个方程根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．应选(B)．3．∵有两条边相等三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5任何正整数，都可以与10作为三角形三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.那么(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．应选(D)．9．∵不管x为何实数，x2+|x|+1总是大于零．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．那么(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．应选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即(2x+1)(x4-10x2+1)=0．即x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而假设方程两根为x1，x2，那么有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，那么有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，那么甲走6小时，共走了9公里，这时乙走时间为从这个计算中，可以看到，a，b值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，那么有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，那么x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即(k2-9)2-4(k+2)＞0．显然k=3不适合上面不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，那么有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，〔因为BA就是AB〕，从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21〔条〕．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上高与底边夹角是45°，那么顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．那么x1+x2=-p①x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，假设q为奇数，那么x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之与为-2，且不相等，这是不可能．假设q为偶数〔只能是2〕，两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1与-2．∴方程根是-1与-2．希望杯第二届〔1991年〕初中二年级第二试试题一、选择题:〔每题1分，共10分〕1．如图29，B是线段AC上一点，M是线段AB中点，N为线段AC 中点，P为NA中点，Q为MA中点，那么MN∶PQ等于( ) A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n比是t(t＞1)．假设m+n=s，那么m，n中较小数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时,3x y-等于( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，那么a，b，c关系可以写成( )A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b ≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．那么∠BAE是∠BAC ( )A．4倍. B．3倍. C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC底边BC上一点，那么AD，BD，CD 满足关系式( )A.AD2=BD2+CD2. B．AD2＞BD2+CD2.C．2AD2=BD2+CD2. D．2AD2＞BD2+CD2219 1()1010x x-=+实根个数为( )A．4 B．3. C．2 D．133x yy x-值为x2、y2值是( )2，y2 B. x2，y2;C. x2y2; D. x2y29．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数个数为x，偶数个数为y，完全平方数个数为z，合数个数为u．那么x+y+z+u 值为( )A．17 B．15. C．13 D．1110．两个质数a，b，恰好是x整系数方程x2-21x+t=0两个根,那么b aa b+等于( )A.2213;B.5821;C.240249;D.36538. 二、填空题〔每题1分，共10分〕×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]平方根是______．4．边数为a ，b ，c 三个正多边形，假设在每个正多边形中取一个内角,其与为1800,那么111a b c++=_________.51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,那么正整数a=_______. 13升,再加上等量水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并参加等量水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并参加等量水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，那么四边形ABCD 面积是______．8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.2x x +++最小值整数局部是______.10．两数积ab ≠1．且2a 2+1234567890a+3=0,3b 2+1234567890b+2=0,那么a b=______. 三、解答题:〔每题5分，共10分，要求：写出完整推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整〕1.两个正数立方与是最小质数．求证：这两个数之与不大于2．2．一块四边形地〔如图33〕(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直．〔即两边都是直线〕但进水口EF宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．应选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．应选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA与△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．应选(D)．应选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取内角与才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC 中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理逆定理可△ADC 为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角四边形4个内角之与．∴与为360°．10．由条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．那么原题成为a3+b3=2，求证a+b≤2．证明〔反证法〕：假设a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b ≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即此题结论是正确．2．此题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO与FK，即得所求新渠．这时，HG=GM〔都等于OK〕，且OK∥AB，故△OHG面积与△KGM 面积一样．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH ，FG ．②过O 作EH 平行线交AB 于N ，过K 作FG 平行线交于AB 于M ． ③连结EN 与FM ，那么EN ，FM 就是新渠两条边界限． 又：EH ∥ON∴△EOH 面积=△FNH 面积．从而可知左半局部挖去与填出地一样多，同理，右半局部挖去与填出地也一样多．即新渠面积与原渠面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多〔∵要挖面积较大〕． 故应选第一种方法。
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八年级数学第16届“希望杯”第1试试题
山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学第16届“希望杯”第1试试题一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。
题号 123456789 10 共得分 答案1、3028864215144321-+-+-+-+-+-+- 等于A ．41B ．41-C ．21D ．21-2、已知x =3是不等式m mx 412-<+的一个解，如果m 是整数，那么m 的最大值是A ．－1B ．0C ．1D ．－23、一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有A ．1个B ．3个C ．5个D ．6个4、有三组数x 1，x 2，x 3；y 1，y 2，y 3；z 1，z 2，z 3，它们的平均数分别是a ，b ，c ，那么x 1＋y 1－z 1，x 2＋y 2－z 2，x 3＋y 3－z 3的平均数是A ．3c b a ++ B ．3cb a -+ C ．c b a -+ D ．)(3c b a -+ 5、已知121221121214333-++++++= A ，则A 与1的大小关系是 A ．A > 1 B ．A = 1 C ．A < 1 D ．无法确定的 6、Given in the △ABC ，a ，b ，c are three sides of the triangle ，and cb a 123+=，then ∠A isA ．acute angleB ．right angleC ．obtues angleD ．acute angle or obtues angle7、如图1，点D 是△ABC 的边BC 上一点，如果AB =AD =2，AC=4，且BD ∶DC =2∶3，则△ABC 是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或直角三角形8、已知0<<<c b a ，则c b a +，ac b +，ba c +的大小关系是A ．c b a +<a c b +<b a c +B ．c b a +<b a c +<a c b +C ．a c b +<c b a +<b a c +D ．b a c +<a c b +＋cb a +9、某人月初用x 元人民币投资股票，由于行情较好，他的资金每月都增加31，即使他每月末都取出1000元用于日常开销，他的资金仍然在三个月后增长了一倍，那么x 的值是A ．9000B ．10000C ．11000D ．11100 （英汉词典 acute angle ：锐角；obtuse angle ：钝角）B ADC图110、判断下列命题的真假：甲：在边长为1的正三角形中（包括边界）的任意四个点，必有两点的距离不大于21. 乙：在边长为1，一个内角为600的菱形中（包括边界）的任意六个点，必有两点的距离不大于21. 那么正确的结论是A ．甲真乙真B ．甲真乙假C ．甲假乙真D ．甲假乙假 二、A 组填空题（每小题4分，共40分。
初二希望杯7-16届大题及解答
初二希望杯7-16届大题及解答1．已知多项式x3＋ax2＋bx＋c中，a，b，c为常数，当x=1时，多项式的值是1；当x=2时，多项式的值是2；若当x是8和－5时，多项式的值分别为M与N，求M－N的值．解法1：当x=1时，1＋a＋b＋c=1，∴a＋b＋c=0．①当x=2时，8＋4a＋2b＋c=2，∴4a＋2b＋c=－6 ②联立①，②解得当x=8时，M=512＋64a＋8b＋c，当x=5时，N=－125＋25a－5b＋c．∴M－N=512＋64a＋8b＋c－(－125＋25a－5b＋c)=637＋39a＋13b=637－117＋39=559．解法2：同解法1得M=512＋64a＋8b＋c，N=－125＋25a－5b＋c．M－N=637＋39a＋13b．由②－①得3a＋b=－6，∴M－N=637＋13（3a＋b）=637－78=559．解法3：设P（x）=x3＋ax2＋bx＋c 则P（1）=1，P（2）=2．又设Q（x）=P（x）－x，则Q（1）=0，Q（2）=0．∵Q（x）是关于x的三次多项式，可设Q（x）=（x－1）（x－2）（x－m），其中m为常数．于是M－N=P（8）－P（－5）=[Q（8）＋8]－[Q（－5）＋（－5）]=Q（8）－Q（－5）＋13=7.6（8－m）－（－6）·（－7）(－5－m)＋13=336－42m＋210＋42m＋13=559．2．如图41，在直角∠AOB内有一点P，OP=a，∠POA=30°，过P点做一直线MN与OA、OB分别相交于M、N，使△MON的面积最小．（1）此时线段MN的位置是( )A．MN⊥OP B．OM=ON C．OM=2ON D．PM=PN（2）此时△MON的面积是______．（3）若∠AOB为一锐角，P是锐角内一定点（如图42）．过P点的直线与OA、OB交于M、N，使△OMN的面积最小，应怎样画出MN的位置（简述画法并保留画图痕迹），并证明你的结论．（1）如图46，当PM=PN时，△MON面积最小，∴选（D）．理由同第（3）小题．（2）由（1）知，当PM=PN时，△MON面积最小．∵△MON是直角三角形．∴MN=2a．又∵∠POM=30°，∴∠PMO=30°，（3）作法1：如图47．①从P点作PC∥OA交OB于C．②在OB上截取CN=OC．③连接NP并延长交OA于M．则MN即为所求线段．此时，∵PC∥OM，OC=CN，∴PM=PN．∴△OMN面积最小．证明：若经过F点另有一条直线EF交OA，OB于E，F（如图47）．从N作NG∥OA交EF于G．可证明△PEM≌△PGN．∴S△PEM=S△PNG＜S△PNF∴S△OMN=S四边形OEPN＋S△PEM＜S四边形OEPN＋S△PNF=S△OEF若E′F′过点P交OA，OB于E′，F′（如图48）则作M′G′∥OB交E′F′于G′，同理可证S△OMN＜S△OEF′∴△OMN是符合要求的面积最小的三角形．说明：此题的原型源于一道常见的平面几何证明题．题目：如图49，等腰△ABC中，AB=AC，D，E为AB和AC延长线上的点，且BD=CE，DE与BC 相交于P，求证DP=PE．证明1：过D点作DF∥BC交AC于F．∴∠ADF=∠B，∠AFD=∠ACB，∴AD=AF．∴FC=BD=CE．在△EDF中，CP∥DF，EC=CF．∴EP=PD．证明2：过D点作DF∥AC交BC于F（图50）．∴∠DFB=∠ACB=∠B．∴DF=DB=CE．在△PDF和△PEC中．∠DPF=∠EPC，∠PDF=∠E，DF=CE∴△PDF≌△PEC．∴PD=PE．按照此证明思路，可作出图51和图52．作法2：①在OA，OB上取C，D两点，使OC=OD．②过P点作EF∥CD交OA于E，交OB于F．③在PF上取PG=PE．④过G作GN∥OA交OB于N．⑤连接NP延长交OA于M．则MN即为所求．作法3：①在OA，OB上取C，D两点，使OC=OD．②过P点作EF∥CD交OA于E，交OB于F．③延长PE到G，使PG=PF．④过G作GM∥OB交OA于M．⑤连接MP延长交OB于N．则MN即为所求．3．已知：a、b、c为实数，且多项式x3＋ax2＋bx＋c能够被x2＋3x－4整除．（1）求4a＋c的值．（2）求2a－2b－c的值．（3）若a、b、c为整数，且c≥a＞1，试确定a、b、c的大小．(1) ∵ x2＋3x－4＝(x－1)(x＋4)，∴ x－1，x＋4都能整除x3＋ax2＋bx＋c，∵ (x－1)｜x3＋ax2＋bx＋c，∴ 1＋a＋b＋c＝0，∵ (x＋4)｜x3＋ax2＋bx＋c，∴－64＋16a－4b＋c＝0，4×①＋②得 20a＋5c＝60，∴ 4a＋c＝12 ③将④、⑤代入2a－2b－c中，得∴ 1＜a＜3，由a为整数知a＝2，当a＝2时，代入③得c＝4，再一起代入①，得b＝－7．4．如图8，已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于点P，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝x，PE＝y，PF＝z，若xy＋yz＋zx＝28，求xyz的大小．如图15，作PM⊥BC于M，AN⊥BC于N．∵ S△ABC＝S△PBC＋S△PCA＋S△PAB，∴ 3(yz＋zx＋xy)＋36(x＋y＋z)＋324＝xyz＋6(xy＋yz＋zx)＋36(x＋y＋z)＋216，∵ xy＋yz＋zx＝28，∴ xyz＝108－3(xy＋yz＋zx)＝24．5.已知n,k均为自然数,且满足不等式761311nn k<<+.若对于某一给定的自然数n,只有唯一的一个自然k使不等式成立,求所有符合要求的自然数n中的最大数和最小数.综上得n的最大值为84，n的最小值为13.6．甲、乙、丙三人分糖块，分法如下：先在三张纸片上各写三个正整数p、q、r，使p＜q＜r，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的数减去p，就是他这一轮分得的糖块数，经过若干轮这种分法后，甲总共得到20块糖，乙得到10块糖，丙得到9块糖，又知最后一次乙拿到的纸片上写的数是r，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字的和是18，问：p、q、r分别是哪三个正整数？为什么？6．每一轮三人得到的糖块数之和为r＋q＋p－3p＝r＋q－2p设他们共分了n轮，则n（r＋q－2p）=20＋10＋9＝39.∵39＝1×39＝3×13.且n≠1，否则拿到纸片p的人得糖数为0，与已知矛盾n≠39，因为每次至少分出2块糖，不可能每轮只分1块糖.∴n＝3或n＝13.由于每个人所得糖块数是他拿到的纸片上数的总和减去np，由丙的情况得到9＝18－np∴np＝9 p≥1.∴n≠13，只有n＝3.∴p＝3.把n＝3，p＝3代入①式得r＋q＝19.又乙得的糖块总数为10，最后一轮得到的糖块r－3块.∴r－3≤10，r≤13.若r≤12，则乙最后一轮拿到的纸片为r，所得糖数为r－p≤9.这样乙必定要在前两轮中再抽得一张q或r.这样乙得的总糖数一定大于等于（r＋q）－2p＝13，这与乙得到的糖数为10块矛盾.∴r＞12 ∵12＜r≤13.∴r＝13. q＝19－r＝6.综上得p＝3，q＝6，r＝13甲、乙、丙三人在三轮中抽得的纸片数如下：：7．求自然数对(a，b)，同时满足条件：(1)0<a-2 b<1，(2)15 O<(a+2 b)3<200．8．如图，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线ACBD相交于O，∠ACD=6O°，点S， P，Q分别是OD，OA，B C的中点，(1)求证△PQS是等边三角形；(2)若A B=5，CD=3，求△PQS的面积；(3)若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB．9．已知实数a 、b 满足条件|a －b |＝a b <1,化简代数式(a 1－b1)2)1b a (--，将结果表示成只含有字母a 的形式。
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第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第1试试题
2016年3月20日 上午8:30至10:00
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.已知ABC ∆和111C B A ∆,D 和1D 分别是BC 和11C B 的中点，下列条件中能判断111C B A A B C ∆≅∆的是（ ）
(A)11111D A AD C A AC C C ==∠=∠，，
(B)11111C A AC B A AB B B ==∠=∠，，
(C)111111,D C CD D B BD D A AD ∠===，
(D)1111111,D A AD B A AB D A B BAD ==∠=∠，
2.在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点。
若一次函数3-=x y 与)(为整数k x kx y -=的图像的交点是整点，则k 的不同取值的个数是（ ）
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
3.A 、B 两班共有90名学生，且各班男生、女生的人数比分别是5:6,12:11，那么两班混合后男生、女生的人数比是（ ）
(A)1：1 (B)8：7 (C)11：13 (D)22：23
4.已知不等式21>+x 与不等式)0(≥≤a a x 的解集没有公共部分，那么a 的取值范围是（ ）
(A)10≤≤a (B)21≤≤a (C)20≤≤a (D)1≥a
5.若关于x 的不等式组,0
12)2(312⎩⎨⎧>-+->-m x x x 只有四个整数解，则m 的取值范围（ ）
(A)11<<-a (B)11<≤-m (C)11≤<-m (D)11≤≤-m 6.如图1，在ABC ∆中，AB=AC ，BC=CD,AE=ED=DB,则）
（=∠A (A) 36 (B)
30 (C) 7180 (D) 11180
7.1)4)(3)(2)(1)(1(++++++=n n n n n LetA and is an arbitrary natural number, if the square root of A+p is rational number , then the value of p is （ ）
(A)2 (B)49 (C)1 (D)4
5
8.菱形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（0，），动点P 从点A 出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.25个单位长度的速度移动，移动到第2016秒时加快速度，仍沿原来的路径，以每秒1个单位长度的速度移动，又移动了2015秒停止，此时点P 的坐标为（ ）
(A)AB 的中点 (B)BC 的中点 (C)CD 的中点 (D)AD 的中点
9.从长度分别是1,2,3，…，14的14条线段中任取出n 条线段，其中必有3条线段能构成一个三角形，则n 的最小值是（ ）
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
10.如图3，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，A 是函数
)0(1<=x x y 图象上一点，AO 的延长线交函数x
k y =(x ＞0，k ＞0)的图象于点C ，点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′，连接C C ′，交x 轴于点B ，连接A B ，A A ′，''C A ，若由线段AC ，C C ′，CA ′，A ′A 所围成的图形的面积等于10,那么A B C ∆的面积等于( )
(A)4 (B)6 (C)62 (D)34
二、A 组填空题（每小题4分，共40分）
11.已知2015)(,1,1,1abc A ca bc ab =>>>，则A 的取值范围是 。
12.若一次函数)(是参数k kx y =与反比例函数x
y 4=
的图像交于点A （11,y x ）和B （22,y x ）则=-122153y x y x 。
13.无论k 取何值，关于x 的一次函数
0)11()3(12=--+--k k x k ）（的图像必经过定 点 。
14.
）（）（）（）（20151312120161312112015131211201613121+++∙++++-++++∙+++
= 。
15.周长是34，三边长都是整数且互不相等的三角形有 个。
16.若13-=a ，则12
345+-++-a a a a a = 。
17.As shown in Fig.4,BC AD ⊥,and AC BE ⊥,AD intersects BE at F,if AF=BC=3,CE=1,then the area of ABC ∆ is .（英汉词典：intersect 相交）
18.设22222016432++++= a ，则a 除以7所得的余数是 。
19.已知梯形的两条对角线互相垂直，若上底和下底的和是12，两条对角线的和是16，则这个梯形的面积是 。
20.若实数y x ,满足2016)2016(201622=++++y y x x ）（，则=+y x 。
三、B 组填空题（每小题8分，共40分）
21.在平面直角坐标系中，已知点A （2,3）点B （3,1），将点A 绕点B 顺时针旋转90度到点C ，则点C 的坐标是 ，直线AC 关于x 轴对称的直线的解析式是 。
22.有一张正方形纸片，第一次将它裁成两张，第二次从得到的两张纸片中取出一张，将它裁成两张，第三次从得到的三张纸片中取出一张继续如此剪裁，……这样共裁了99次，且每次都是沿不过多边形顶点的直线裁，则得到的所有多边形纸片的内角的和是 ，其中边数最多的多边形最多有 条边。
23.关于x 的三次四项式d cx bx ax +++2
3，当x 依次取1,2,3,4时，多项式的值分别是，，，，4
131211则=+b a ，c+d= 。
24.ABC Rt ∆三个内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，若 90=∠C ,0111=+--b a b a ，5210+=c ，则=a ,=∆ABC S 。
25.如图5，在正方形ABCD 中，M 是对角线BD 上一点，若AB=2，则MD+2MC 的最小值是 ，此时=∠BMC 度。