广义Cantor集

广义Cantor 集张北一中 郭彦军 摘要：本文考察了包括直线上的各种广义Cantor 集，由相似变换导出它们的级数表达式，给出它们维数的定义及计算方法，并考察了它们的性质。

关键词：广义Cantor 集；迭代函数系；Hausdorff 维数 1．定义：选取[]1,0区间作为初始元，然后进行m 等分，从中选取l 个小闭区间作为生成元，如此生成的分形集我们称之为广义Cantor 集，记作C 。

2．迭代函数系：广义Cantor 集C 的构造过程可描述为迭代函数系ma x m x f ma x m x f ma x m x f l l +=+=+=1)(1)(1)(2211[]1,0=∈I x其中i a 取}{1,2,1,0-m 中的某些值，l i ,2,1=。

即广义Cantor 集满足l 个相似变换： ma mf x ii +==ξξ)( l i ,2,1= ， 10≤≤x ，10≤≤ξ。

3．将[]1,0区间推广到任意区间[]b a ,： 首先我们给出这样一个一一对应：x a b a y )(-+= []1,0=∈I x则mb a a a m m a a b a m b i i i i +-=-+=)()( 下面给出任意区间[]b a ,上的相似变换：mb mag y ii +-==ηη)( b a ≤≤η b y a ≤≤ i b 取}{b m a b a m ma )1(,)1(,-++- 中的某些值。

4．广义Cantor 集的级数表示：首先回顾一下广义Cantor 集的定义过程：第一次生成l 个闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=m m a ma F i i i 1,0)1()1(,1 {}l i a a a a ,,21)1(∈区间长度为mL 11=。

第二次对每个小闭区间i F ,1进行m 等分，从中选取l 个闭区间，得2l 个闭区间2)2()1()2()1()1()1(*)1(ma m a m a m a m m a m a i i i i i i +=-++ 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=22)2()1(2)2()1(,21,m m a m a m a m a F i i i i i }{l i i a a a a a ,,,21)2()1(∈区间长度为=2L 21m 。

假设第k 次生成k l 个闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++=k k k i i i k k i i i ik m m a m a m a m a m a ma F 1,)(2)2()1()(2)2()1(,当1+=k n 时，即对m F i k ,等分，从中选取l 个闭区间，得1+k l 个闭区间1)1()()1()1()(2)2()1(*1++++++=++++k k i k k i i k i k k k i i i ma m a m a m a m m a m a m a 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++=++++++11)1(2)2()1(1)1(2)2()1(,11,k k k i i i k k i i i i k m m a m a m a m a m a ma F所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++=n n n i i i n n i i i i n m m a m a m a m a m a m a F 1,)(2)2()1()(2)2()1(,}{l i n j a a a a l j i ,2,1.,2,1,,21==∈。

当+∞→n ，01→n m ，则 ++++=→n n i i i i n ma m a m a x F )(2)2()1(, 所以广义Cantor 集的级数表示为∑∞==1k kkmx x }{l k a a a x ,,21∈。

例1．（Cantor 三分集）2,3==l m 则它的相似变换为323)(3)(21+===ξξξξf f x []1,0=∈I ξ所以级数表示为∑∞==13k kkx x }{2,0∈k x 例2．（12+m 分集）将区间[]1,0进行12+m 等分，去掉中间的开区间⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++122,1212,124,123,122,121m m m m m m m m （所有编号为偶数的开区间，共m 个），再将剩下的1+m 个闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1,122,123,122,121,0m m m m m 分别12+m 等分，并各去掉中间的m 个开区间，然后再把剩下的2)1(+m 个闭区间同法处理，如此下去，便得12+m 分集。

其构造过程可描述为迭代函数系：12212)(12212)(12)(121+++=+++=+==+m m m f m m f m f x m ξξξξξξ[]1,0=∈I ξ则其级数表示为：∑∞=+=1)12(k kk m x x }{m x k2,2,0 ∈ 例3．对[]1,0区间n 等分（3>n ，而且可以不是整数），留下两端n 1段，去掉中间nn 2-段，这样得到的分形集其相似变换为：nn nf nf x 1)()(21-+===ξξξξ []1,0=∈I ξ所以级数表示为；∑∞==1k kknx x }{1,0-∈n x k 例4．（Cantor K 分集）以闭区间[]1,0的中点21为中心删去闭区间[]1,0的中间长度为K1的开区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=K K I 2121,2121)1(，剩下两个闭区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2121,2121,0K K ，然后再分别从剩下的两个闭区间以中点为中心删去剩下的两个闭区间的中间长度为21K 的开区间，如此得到的分形集称为Cantor K 分集。

这一构造过程可描述为迭代函数系：KK K K f KK f x 2121)(21)(21++-=-==ξξξξ []1,0=∈I ξ其中2,21=-=l KK m 它的级数表示为：∑∞=-=1)21(k kk KK x x ⎩⎨⎧⎭⎬⎫-+∈11,0K K x k 5．广义Cantor 集的Hausdorff 维数定义变换：F II22→如下： li i B f B F 1)()(== I B ⊂∀引理1 F 是I 2上的压缩映射 证明：x y mx f y f I y x i i -=-∈∀1)()(,, 所以A B mA fB f I B A i i -≤-⊂∀1)()(,,。

其中A B -表示A 与B 的Hausdorff 距离，即A B -⎩⎨⎧⎭⎬⎫=∈∈),(sup ),,(sup max A x B x B x A x因而F 是I 2上的压缩映射定义 N n B F F B F n n ∈∀=-)),(()(1 推论1 )(lim I F A n n ∞→=存在，显然C A =证明：由于[][][]a b m lm a b m b m b b a f b a f b a F li i i li i li i -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+===∑∑===111,),(),(),(所以I m l I F =)(，进而有n n n mlI m l I F )()()(== 定义：对任意⎩⎨⎧⎭⎬⎫=<∈=>n n m I m r Z n r n r )1()1(max )(,0 则有引理2 mm rr n mr 1log 1log)(1log log ≥> 证明： 由)(1)()1()1(r n r n mr m <≤+两边取对数可得。

定理：对任意0>r ，存在常数1C 和2C 使得mm lr n mm lrC I F rC 1log log 2)(1log log 1)(≤<证明： 由引理2左边不等式得1,)()()(11log log 1log log )()(==>=C rml m l I F mm lmr r n r n同理由引理2右边不等式得mm lmm lmm lmm rr n r n mC rC mr mlm l I F 1log log 21log log 21log log 1log 1log)()(,)1()()()(===≤=推论2 当0→r 时，m m lr n r I F 1log log )(~)(推论3 rI F s r n r log )(log lim)(0→=存在，且mm l s 1log log =定义：我们定义)(lim I F C n n ∞→=的维数为mls d s log log 1=-= 6．广义Cantor 集C 的性质：性质1 广义Cantor 集不含任何区间证明：由广义Cantor 集的定义过程可知，闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++=n n n i i i n n i i i i n m m a m a m a m a m a ma F 1,)(2)2()1()(2)2()1(,01,→=∞→nn m L n 所以C 中不含任何区间。

性质2 广义Cantor 集不含内点定义,R E ⊂点x 是E 的内点，存在,0>δ使()E x x ⊂+-δδ,反证：假设广义Cantor 集存在内点x ，则有C x ∈，存在0>δ，使得()C x x ⊂+-δδ,。

取δ<nm 2，在C 的构造过程中，第n 步有i n F x ,∈。

存在某一闭区间i n F ,记作)1(,i n F ，长度为nm1，使)1(,i n F x ∈ 从而有),()1(,δδ+-⊂x x F i n但在构造的1+n 步，把)1(,i n F 进行m 等分又除去了)1(,i n F 的l m -个开区间 从而C F i n ⊄)1(,。

性质3 广义Cantor 集是自密的证明： C x ∈∀，设()βα,是包含x 的任意一个开区间。

令}{x x --=βαδ,min ，则0>δ，取0n 充分大有δ<01n m 既然x 是永远删不去的点，x 也应该属于删去0n 次以后所余下的某一个闭区间中。

设这个闭区间为)1(,0i n F ，则()βα,)1(,0⊂i n F 。

于是它的两个端点也应该在()βα,中，但它们都是属于C 的点，所以()βα,中至少有一异于x 的点属于C ，则C x '∈ 所以C C '⊆，则C 是自密的。

性质4 C 是一闭集，即C C ⊂' 证明： 事实上设A 是所有被删去的点的集合，则A 是可数个开集的和，所以是开集。

而[][]c A A C ⋂=-=1,01,0，故C 是闭集。

由性质1，性质4知 广义Cantor 集为疏朗集。

由性质3，性质4知 广义Cantor 集为完备集。

所以广义Cantor 集是疏朗的完备集。