广义Cantor集

广义Cantor 集

张北一中 郭彦军 摘要：本文考察了包括直线上的各种广义Cantor 集，由相似变换导出它们的级数表达式，给出它们维数的定义及计算方法，并考察了它们的性质。 关键词：广义Cantor 集；迭代函数系；Hausdorff 维数 1．定义：

选取[]1,0区间作为初始元，然后进行m 等分，从中选取l 个小闭区间作为生成元，如此生成的分形集我们称之为广义Cantor 集，记作C 。 2．迭代函数系：

广义Cantor 集C 的构造过程可描述为迭代函数系

m

a x m x f m

a x m x f m

a x m x f l l +=

+=+=1

)(1

)(1

)(2

211

[]1,0=∈I x

其中i a 取}{1,2,1,0-m 中的某些值，l i ,2,1=。 即广义Cantor 集满足l 个相似变换： m

a m

f x i

i +

=

=ξ

ξ)( l i ,2,1= ， 10≤≤x ，10≤≤ξ。

3．将[]1,0区间推广到任意区间[]b a ,： 首先我们给出这样一个一一对应：

x a b a y )(-+= []1,0=∈I x

则m

b a a a m m a a b a m b i i i i +-=-+=)()( 下面给出任意区间[]b a ,上的相似变换：

m

b m

a

g y i

i +

-=

=ηη)( b a ≤≤η b y a ≤≤ i b 取}{b m a b a m ma )1(,)1(,-++- 中的某些值。

4．广义Cantor 集的级数表示：

首先回顾一下广义Cantor 集的定义过程：

第一次生成l 个闭区间⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++=m m a m

a F i i i 1,0)1()1(,1 {}l i a a a a ,,21)1(∈区间长度为

m

L 1

1=

。 第二次对每个小闭区间i F ,1进行m 等分，从中选取l 个闭区间，得2l 个闭区间

2)

2()1()2()1()1()1(*)1(m

a m a m a m a m m a m a i i i i i i +=-++ 则⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+++=22)2()1(2)2()1(,21,m m a m a m a m a F i i i i i }{l i i a a a a a ,,,21)2()1(∈区间长度为=2L 21m 。

假设第k 次生成k l 个闭区间

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+++++++=k k k i i i k k i i i i

k m m a m a m a m a m a m

a F 1,)(2)2()1()(2)2()1(,

当1+=k n 时，即对m F i k ,等分，从中选取l 个闭区间，得1+k l 个闭区间

1)1()()

1()1()(2)2()1(*1++++++=++++k k i k k i i k i k k k i i i m

a m a m a m a m m a m a m a 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++=++++++11)1(2)2()1(1)1(2)2()1(,11,k k k i i i k k i i i i k m m a m a m a m a m a m

a F

所以

⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡+++++++=n n n i i i n n i i i i n m m a m a m a m a m a m a F 1,)(2)2()1()(2)2()1(,

}{l i n j a a a a l j i ,2,1.,2,1,,21==∈。

当+∞→n ，01

→n m ，则 ++++=

→n n i i i i n m

a m a m a x F )(2)2()1(, 所以广义Cantor 集的级数表示为∑

∞

==1k k

k

m

x x }{l k a a a x ,,21∈。 例1．（Cantor 三分集）2,3==l m 则它的相似变换为

3

2

3)(3

)(21+

==

=

ξ

ξξ

ξf f x []1,0=∈I ξ

所以级数表示为

∑

∞

==13

k k

k

x x }{2,0∈k x 例2．（12+m 分集）将区间[]1,0进行12+m 等分，去掉中间的开区间

⎪⎭⎫

⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++122,1212,124,123,122,121m m m m m m m m （所有编号为偶数的开区间，

共m 个），再将剩下的1+m 个闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1,122,123,122,121,0m m m m m 分别12+m 等分，并各去掉中间的m 个开区间，然后再把剩下的2)1(+m 个闭区间同法处

理，如此下去，便得12+m 分集。其构造过程可描述为迭代函数系：

1

221

2)(1

22

1

2)(1

2)(121++

+=

++

+=

+==+m m m f m m f m f x m ξ

ξξ

ξξ

ξ

[]1,0=∈I ξ

则其级数表示为：

∑

∞

=+=1)

12(k k

k m x x }{m x k

2,2,0 ∈ 例3．对[]1,0区间n 等分（3>n ，而且可以不是整数），留下两端n 1段，去掉中间n

n 2

-段，这样得到的分形集其相似变换为：

n

n n

f n

f x 1

)()(21-+

=

=

=

ξ

ξξ

ξ []1,0=∈I ξ

所以级数表示为；