圆的参数方程

例1 如图,已知点P是圆O:x2+y2=16上的一个动点 ,点A是x 轴
上的定点 ,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,求线段PA中点 M的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？
解： 取xOP , 则圆的参数方程为：
x 2 cos , (为参数） y 2 sin . 设点M的坐标为（x, y),则点P的坐标
注意：轨迹是指点运动所成的图形； 轨迹方程是指表示动点所成图形所满足的代数等式。
变式 已知点P是圆O:x2+y2=16上的一个动点 ,点B是平面
上的定点 ,坐标为(12,2).当点P在圆上运动时,求线段PB中点
M的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？
解： 取xOP , 则圆的参数方程为：
4
说明：本例说明了圆的参数方程在求最值时的应用；
1.写出下列圆的参数方程: x = 3cosθ y = 3sinθ (1)圆心在原点,半径为 3:______________;
x =-2+cosθ (2)圆心为(-2,-3),半径为1: ______________. y =-3+sinθ x =5cosθ+1 2.若圆的参数方程为 ,则其标准 y =5sinθ-1 方程为:_________________. (x-1)2+(y+1)2=25 3.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的 x =1+2cosθ 参数方程为_______________. y =-3+2sinθ
x cos 3, （为参数） y sin 1.
它所表示的图形是以（3,1）为圆心，1为半径的圆。
得出结论：
圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为
x =a+rcosθ y =b+rsinθ
探究过程请同学们课后完成
(θ为参数)
例2 已知点P(x,y)是圆 x2 y 2 2x 2
圆的参数方程
湖南省永顺县第一中学
授课人： 罗振明
复习：
1.圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？
(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圆心坐标为 (a,b),半径为r的圆。
2.三角函数的定义？
角终边上任意一点 （x, y),设 OP r, 则 P x y y cos , sin , tan r r x
3.参数方程的定义？
一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个 变数t的函数，即
x f (t ) (t为参数） y g (t )
探求：圆的参数方程
如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r.与x 轴正半轴的交 点为P0 ,圆上任取一点P,若OP0 按逆时针方向旋转到OP位置 所形成的角∠P0 OP =θ ,求P点的坐标。 解: 设P（x,y）, ∵点P在∠P0OP的终边上,
x a r cos , 圆心为O1(a,b)、半径为r 的圆的参数方程为 y b r sin .
（其中θ为参数）
y x 根据三角函数的定义得 sin , cos . r r

x r cos , y r sin .
(1)
P(r cos , r sin ).
我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。 其中参数θ表示OP0到OP所成旋转角， 0 2 。
x 2 cos , (为参数） y 2 sin . 设点M的坐标为（x, y),则点P的坐标
为（2 cos ,2 sin ） ,由中点公式可得：
x 2 cos 6 2 sin 2 cos 3, y sin 1 2 2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x* y 2 2 x 2 3 y 0可化为 （x 1) 2 ( y 3 ) 2 4 x 1 2 cos , 其参数方程为 (为参数） y 3 2 sin . 则P（ 1 2 cos，3 2 sin ） x y 1 2 cos 3 2 sin 3 1 2 2 sin( ) 4 当 sin( ) 1时， y ) min 3 1 2 2 (x
圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为
x =a+rcosθ y =b+rsinθ
(θ为参数)
• (1)参数方程可以用来求轨迹问题. • (2)参数方程可以用来求最值. • (3)掌握圆参数方程和普通方程的互换.
思考：圆的参数方程有什么特点？
探求：求圆心为O1(a,b)、半径为r 的圆的参数方程
1.⊙O1与⊙O有什么联系？ ⊙O1是由⊙O按向量OO1 =(a,b)平移后得到。 2.⊙O1上任一点P (x,y)与其对应点 P1 (x1,y1)的 坐标有什么联系？
结论：
x x1 a, 由平移公式得： y y1 b. x a r cos , x1 r cos , 而 y b r sin . y1 r sin .

为（2 cos ,2 sin ） ,由中点公式可得：
x 2 cos 6 2 sin cos 3, y sin 2 2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x cos 3, （为参数） 它表示（3,0）为圆心，1为半径的圆 y sin .