最新-2018届高三数学一轮复习 13-2坐标系与参数方程课件北师大版 精品

2．关于极坐标系 (1)极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单 位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可． (2)由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0,2π) 时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一 对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意 角．
(3)极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．在直角 坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系；在极坐标 系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯一， 因此点与极点是“一对多”的关系．但不同的极坐标可以 写出统一的表达式．如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那么(ρ， θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作为点M的极坐 标．
[分析] 建立极坐标系，由余弦定理得圆 O′的极坐 ρ＝ρ1，
标方程，再由点 M 在圆上且θ＝θ1＋π3， 用代入法可得 点 N 的轨迹的极坐标方程．
[解析] 以O为极点，以O和已知圆圆心O′所在射线为 极轴，建立极坐标系，如图5所示，设OO′＝ρ0，圆的半径 为r，
由余弦定理得圆O′的极坐标方程为 ρ2－2ρ0ρcosθ＋ρ02－r2＝0. 设N(ρ，θ)，M(ρ1，θ1)， ∵点M在圆上， ∴ρ12－2ρ0ρ1cosθ1＋ρ02－r2＝0.① 因为△OMN为正三角形．
表
示同一个点．
2．极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x，y)， 极坐标是(ρ、θ)，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除原 点外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应 的． 点M的极坐标(ρ，θ)和直角坐标(x，y)的关系式为：
. θ所取值要由(x，y)所在象限确定．
经过两个定点Q(x1，y1)P(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的 参数方程为
其中 M(x，y)为直线上的任意一点，参数 λ 的几何意 义与参数方程①中的 t 几何意义虽然不同，它所反映的是 动点 M 的有向线段P→Q的数量比QMMP.
当 λ＞0 时，M 为内分点；当 λ＜0 且 λ≠－1 时，M 为外分点；当 λ＝0 时，点 M 与 Q 重合．
3．柱坐标 在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加一条 与极坐标系所在平面垂直的z轴，这样就建立了柱坐标系， 设M(x，y，z)为空间一点并设点M在xOy平面上的投影点P 的极坐标为(r、θ)则这样的三个数r，θ，z构成的有序数组 (r，θ，z)就叫做点M的柱坐标，这里规定r，θ，z的变化范 围为 0≤r＜＋∞ 0≤θ＜2π －∞＜z＜＋∞
[解析] 以极点 O 为原点，极轴为 x 轴建立直角坐标 系 xOy.将方程 ρ＝12sinθ 化为直角坐标方程为 x2＋y2＝12y. 它表示圆心为(0,6)，半径为 6 的圆．
将 ρ＝12cos(θ－π6)化为直角坐标方程为 (x－3 3)2＋(y－3)2＝36，它表示以(3 3，3)为圆心， 6 为半径的圆． 由圆的位置关系可知，当 P、Q 所在直线为连心线所 在直线时，PQ 长度可取最大值，且最大值为
1．关于平面直角坐标系中的伸缩变换 函数y＝f(ωx)(x∈R)(其中ω＞0，且ω≠1)的图像，可以 看作把f(x)图像上所有点的横坐标缩短或伸长为原来 的(纵坐标不变)而得到的．函数y＝Af(x)(x∈R)(其中A ＞0且A≠1)的图像，可以看作f(x)图像上所有点的纵坐标伸 长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不 变)而得到的．
6．圆的参数方程
7．圆锥曲线的参数方程 (1)椭圆的参数方程
[例 1] 在极坐标系中，P 是曲线 ρ＝12sinθ 上的动点， Q 是曲线 ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，试求 PQ 的最大值．
[分析] 考查极坐标方程与直角坐标方程互化公式的 运用．即用互化公式xy＝ ＝ρρcsionsθθ.， 由圆的几何性质解题．
(1)写出直线 l 的一般方程及直线 l 通过的定点 P 的坐 标；
(2)求|PA||PB|的最大值．
[解析] (1)∵xy＝ ＝2ts＋inαtcosα ，(t 为参数，α 为倾斜角， 且 α≠2π)
∴x－y 2＝ttcsoinsαα＝tanα， ∴直线 l 的一般方程 xtanα－y－2tanα＝0. 直线 l 通过的定点 P 的坐标为(2,0)．
特别地
r＝常数，表示的是 以原点为球心的球面 ；
φ＝常数，
表示的是 原点为顶点，z轴为x轴的圆锥面 ；
θ＝常数，表示的是 平行于z轴的半平面
．
点M的直角坐标与球坐标的关系为：
.
5．直线的参数方程 经过点P(x0，y0)，倾斜角是α的直线的参数方程为
其中 M(x，y)为直线上的任意一点，参数 t 的几何意 义是从点 P 到 M 的位移，可以用有向线段P→M的数量来表 示．
(1)写出⊙O1和⊙O2的圆心的极坐标； (2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的极坐标方程．
[解析] (1)⊙O1 和⊙O2 的圆心的极坐标分别为(2,0)， 2，32π.
(2)以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角 坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ. 所以x2＋y2＝4x. 即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程． 同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．
(2)∵l 的参数方程xy＝ ＝2ts＋inαtcosα， ， 椭圆方程为1x62 ＋1y22 ＝1，右焦点坐标为 P(2,0)． ∴3(2＋tcosα)2＋4(tsinα)2－48＝0， 即(3＋sin2α)t2＋12cosα·t－36＝0. ∵直线 l 过椭圆的右焦点， ∴直线 l 恒与椭圆有两个交点． ∴|PA||PB|＝3＋3s6in2α ∵0≤α＜π，且 α≠2π， ∴0≤sin2α＜1，∴|PA||PB|的最大值为 12.
当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意
值；当ρ＜0时，点M(ρ、θ)的位置可以按下列规则确定：
作射线OP，使∠xOP＝θ，在OP的反向延长线上取一点M，
使|OM|＝|ρ|，这样点M的坐标就是(ρ，θ)．
平面内一点的极坐标可以有无数对，当k∈Z时，
(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)
[点评] 涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的 参数方程．直线的点斜式方程为 y－y0＝k(x－x0)．其中 k ＝ tanα(α≠90°) ， α 为 直 线 的 倾 斜 角 ， 则 参 数 方 程 为
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα
(t 为参数)．
已知直线 l 的参数方程为xy＝ ＝2ts＋inαtcosα ，(t 为参数， α 为倾斜角，且 α≠π2)与曲线1x62 ＋1y22 ＝1 交于 A，B 两点．
52＋4 32－2×5×4 3·cos150°
＝ 133. △ABC 是等腰三角形，易知 AB＝5，AB 边上的高为
4
3＋5 2 3＝132
3.∴S△ABC＝12×132
3×5＝654
3 .
[例2] O为已知圆O′外的定点，点M在圆O′上，以 OM为边作正三角形OMN，当点M在圆O′上移动时，求点 N的轨迹方程(O，M，N逆时针排列)．
[解析]
x＝1＋2t
(1)直线
l
的参数方程为 y＝2＋
3 2t
(t 为
参数)．
x＝1＋2t
(2)将 y＝2＋
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3 2t
代入 x2＋y2＝9.
得：t2＋(1＋2 3)t－4＝0，∴t1t2＝－4. 由参数 t 的几何意义得直线 l 和圆 x2＋y2＝9 的两个
交点到点 A 的距离之积为|t1t2|＝4.
4．直线与圆锥曲线的参数方程的应用 (1)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有 如下常用结论：
①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1， t2，则弦长l＝|t1－t2|；
②定点M0是弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0； ③设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝
(由此可求|M2M|及中点坐标)． (2)圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的 点，从而讨论最值或距离等问题．
[例4] 在圆x2＋y2－4x－2y－20＝0上求两点A和B， 使它们到直线4x＋3y＋19＝0的距离分别最短和最长．
[分析] 利用圆的参数方程求解．
[解析] 将圆的方程化为参数方程：xy＝＝21＋＋55csionsθθ (θ 为参数)，则圆上点 P 坐标为(2＋5cosθ，1＋5sinθ)，它到 所给直线的距离 d＝|20cosθ＋421＋5s3in2θ＋30|
由xx22＋ ＋yy22－ ＋44xy＝ ＝00， ，
解得xy11＝ ＝00， ，
x2＝2 y2＝－2
.
即⊙O1 和⊙O2 交于点(0,0)和(2，－2)．过交点的直线 的直角坐标方程为 y＝－x.
其极坐标方程为 θ＝－4π(ρ∈R)(也可写为 θ＝34π(ρ∈
R)).
[例3] 已知直线l经过点A(1,2)，倾斜角为 (1)求直线l的参数方程； (2)求直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之 积． [分析] 根据直线参数方程中参数t的几何意义，运用 一元二次方程根与系数的关系求解．
故当 cos(φ－θ)＝1，其中 cosφ＝45，sinφ＝35.即 θ＝φ 时，d 最长，这时点 A 坐标为(6,4)；
当 cos(φ－θ)＝－1，即 θ＝φ－π 时，d 最短，这时点 B 坐标为(－2，－2)．
[点评] 若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的 参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋RRcsionsθθ，， 0≤θ<2π.圆的参数方程常和 三角变换结合在一起，解决取值范围或最值问题．
知识梳理
1．极坐标系 在平面内取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射 线 Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常 取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称 为极坐标系．
对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表 示以 O为x始边，OM为终边的角度，ρ叫作点M的 极径 ，θ叫做点M的 极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M(ρ、θ)．
3．参数方程和普通方程的互化 (1)化参数方程为普通方程：消去参数．常用的消参 方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数 的)消去法． (2)化普通方程为参数方程：引入参数，即选定合适 的参数t，先确定一个关系x＝f(t)〔或y＝φ(t)〕，再代入普 通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)〔或x＝f(t)〕． (3)消参后应将原参数的取值范围相应地转化为变量 x(或y)的取值范围．
ρ＝ρ1
ρ1＝ρ，
所以θ＝θ1＋π3 ⇒θ1＝θ－π3
代入①得 ρ2－2ρ0ρcos(θ－π3)＋ρ02－r2＝0，
这就是点 N 的轨迹方程．
[点评] 对于有些几何图形，选用极坐标系可以使建 立的方程更加简单．本题涉及角度、长度，选用极坐标系 则更易将已知的几何条件转化为数量关系．
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为 ρ＝4cosθ，ρ＝－ 4sinθ.
特别地，r＝常数，表示的是 以z轴为轴的圆柱面 ； θ＝常数，表示的是 过z轴的半平面 ； z＝常数，表示的是 与xOy平面平行的平面 ． 显然点M的直角坐标与柱坐标的关系为
.
4．球坐标 设 M(x，y，z)为空间一点，点 M 可用这样三个有次 序的数 r，φ，θ 来确定，其中 r 为原点 O 到点 M 间的距 离，φ 为有向线段O→M与 z 轴正方向所夹的角，θ 为从 z 轴 正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段O→P的 角，这里 P 为点 M 在 xOy 平面上的投影，这样的三个数 r，φ，θ 构成的有序数组(r，φ，θ)叫做点 M 的球坐标． 这里 r，φ，θ 的变化范围为 0≤r＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ ＜2π.
3 32＋32＋6＋6＝18.
[点评] 注意转化时两边同乘以ρ的技巧．结合圆的 位置关系及两圆长度的最大值在何时取得，即可解得．
已知△ABC 三顶点的极坐标分别是 A(5，π6)、B(5，π2) 和 C(－4 3，π3)．试判断△ABC 的形状，并求出它的面积．
[解析] 如图所示，
AC＝BC＝