椭圆、双曲线的参数方程

D
B2 A
AD 20 cos, AB 16sin
S 2016sin cos 160sin 2
A1 F1
所以, 矩形ABCD最大面积为160
C
O F2
B
B1
A2 XX
第二章 参数方程
练习3:已知A,B两点是椭圆
x2 9
y2 4
1
与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭
第二章 参数方程
椭圆的参数方程
第二章 参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同,
点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y
y
A: (acosφ, a sinφ),
A
B: (bcosφ, bsinφ),
B
M
由已知:
x y

a cos (为参数)
bsin
即为点M的轨迹参ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程.
O
Nx
消去参数得: x2 y2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a2 b2
第二章 参数方程
1 .参数方程
x y

ab scions是椭圆的参
x

y

a sec b tan
(为参数)
消去参数后，得 x2 - y2 =1, a2 b2
这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
第二章 参数方程
双曲线的参数方程
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为：
x

y

a b
sec tan
(为参数)
通常规定 [o,2 )且
22 32
13
4
所以当
=

4
时,
d
有最大值,
面积最大
这时点P的坐标为( 3 22 , 2)
第二章 参数方程 双曲线的参数方程
设M (x, y)
y

a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | a a •sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
所以M的轨迹方程是
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是
（ 3 ）。 2
第二章 参数方程
练习4
1、动点P(x,y)在曲线 x2 y2 1上变化 ，求2x+3y的最
大值和最小值
94
最大值6 2,最小值 6 2.
2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B
.
A. 圆 B. 椭圆 C. 直线
设中点M (x, y)
x=2sinθ-2cosθ
x2 y2 2 y=3cosθ+3sinθ 49
D. 线段
第二章 参数方程
例3、已知椭圆 x2 y2 1有一内接矩形ABCD， 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Yy
解 : 设A10cos,8sin

，

3
。
b
22
y
a

A B' • M
o B A' x
第二章 参数方程
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
(1)
x2 y2 1 49
(2)
x2 y2 1 16
(1)
x 2 cos y 3sin
(2)
x cos y 4 sin
把下列参数方程化为普通方程
而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
A
B
M
设∠XOA=φ
O
Nx
第二章 参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则
数方程.
2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分
别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
焦点在X
轴
x

y

a b
cos, sin .
焦点在Y 轴 xy

b cos, a sin.
参数方程
2、双曲线的参数方程
(3)
x 3cos

y

5
sin

(3)
x2 9

y2 25
1
(4)
x 8 cos

y

10
sin

(4)
x2 64
y2 100
1
第二章 参数方程 练习2：已知椭圆的参数方程为
x 2cos

y

sin
(

是
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 : 椭圆参数方程
设点P(3cos,2sin )
S >
ABC
面积一定,
需求
S >
ABP
最大即可
即求点P到线AB的距离最大值
线AB的方程为
x 3

y 2
1
2x 3y
6

0
d | 6 cos 6 sin 6 | 6 2 sin( )