排列组合 基本方法

1. 分组（堆）问题

分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)

处理问题的原则：

①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!

②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!

③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.

④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.

1. 分组（堆）问题

例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？

解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：

⑴先将四项工程分为三“堆”，有 种分法； ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，

有3!＝6种给法.

∴共有6×6＝36种不同的发包方式

2.插空法：

解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决. 例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？

解：分两步进行：

第1步，把除甲乙外的一般人排列： 第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)： 几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.

3.捆绑法

相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.

例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?

解：（1）分两步进行：

第一步，把甲乙排列(捆绑)： 第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队： .

几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列. 4.消序法(留空法)

几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.

例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？

211421226C C C A =55A 有=120种排法

26A 有=30种插入法

120303600∴

⨯共有＝种排法22A 有＝2种捆法

55A 有＝120种排法

2120240∴⨯共有＝种排法

解法1：将5个人依次站成一排，有 种站法， 然后再消去甲乙之间的顺序数 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法

∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为

5.剪截法（隔板法）：

n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m 段.

例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.

解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.

将16个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有455种 .

5.剪截法

n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m 段.

变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.

解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.

将10个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里.

因此，不同的分配方案共有84种 .

6.错位法：

编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到 n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.

,这种排列称为错位排列.

例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.

解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.

故所求方法有15×9＝135种.

7.剔除法

从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.

排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.

例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有_________条.

55A 22A 535522543A A A =⨯⨯=35

A 33551A A ⨯=315455

C =3984C =2615

C =

解：所有这样的直线共有 条，

其中不过原点的直线有 条，

∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.

例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？

分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.

解 先排学生共有 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中

的4个空档,共有 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 种.

结论1 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.

例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?

分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.

解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列, 有A 66 种排法,其中女生内部也有A 33 种排法,根据乘法原理,共有A 66 A 33 种不同的排法. 结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.

例3 某学院二年级有8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?

分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.

解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8

份,显然有 种不同的放法,所以名额分配方案有 种.

结论3 转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.

例4 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?

分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.

解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有

种取法. 结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.

37210A =1266180A A ⨯=88P 47P 8487P P 711C 711C 311232310C C C

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