12章 习题答案

[例题分析]

例题12-1 有一半径为r 的均匀刚性导体圆环，其总电阻为R ，处于磁感应强度为B 的匀强磁场中以匀角速度ω (方向如图12-6所示)绕通过中心并处于圆面内的轴线旋转，该轴线垂直于B 。试求当

圆环平面转至与B 平行的瞬间： (1) ε ab 和εac (其中a 点是圆环与转轴的交点，ac

是四分之一圆周，b 是ac 的中点)； (2) 比较此时a 和c 两点的电势、a 和b 两点的电

势。 解

(1) 在环的a 、b 之间任意一点P 附近取元段d l ，d l 的方向沿环的切向，v ⨯ B 的方向与转轴平行并指向下方，如图12-6中虚线箭头所示。故有

⎰⎰⎰==⋅⨯=b a b a b a ab l B l B θαεsin d cos d d )(v v l B v ,

因为θωsin r =v , d d l r =θ，代入上式，得

εωθθωab r B B r ==-⎰224

2814

sin ()/ d 0

ππ

.

用同样的方法可以得到

εωθθωac r B B r ==⎰2224

sin d 0/2ππ.

积分所得皆为正值，这表示积分方向就是动生电动势的方向。所以，如果把导体环的ab 段和ac 段看作电源内部，那么a 端是电源的负极，b 端和c 端是电源的正极。

从这里我们得到一个重要的启示：如果得到的电动势为负号，表示电动势的极性与积分方向相反，如果得到的电动势为正号，表示电动势的极性与积分方向相同。我们曾经对电源电动势的极性作出过这样的规定：沿电源内部、从负极到正极的方向是电源的正方向。

(2) 根据动生电动势的方向，可以判断导体环中电流是沿顺时针方向的，电流的大小为 I R B r R

ac ==

42εωπ. 所以

U I R B r B r ca ac =-=-=εωω444

022

ππ,

这表示a 、c 两点等电势。 U I R

B r ba ab

=-=-

εω842, 这表示a 点的电势高于b 点的电势。

例题12-2 一无限长的同轴电缆是由两个半径分别为R 1和R 2的同轴圆筒状导体构成，其间充满磁导率为μ 的磁介质，在内、外圆筒状导体中通有方向相反的电流I 。求单位长度电缆的磁场能量和自感系数。

图12-6

解 对于这样的同轴电缆来说，磁场只存在于两圆筒状导体之间的磁介质内，由安培环路定理可求得磁场强度的大小为 H I r

=

2π. 而在r < R 1和r > R 2的区域，磁场强度为零。所以磁场能量也只储存在两圆筒导体之间的磁介质中。磁场能量密度为

w H I r

m ==1282

22μμπ2.

现在我们来计算一段单位长度的电缆所储存的磁场能量： d d d d m m m W w w r r I r

r

===τμ242ππ,

W W I r r I R R R R m m d d ==

=⎰⎰μμ2

22

1

441

2

π

πln

. 计算自感系数通常有三种方法：

(1) 利用自感系数的定义式，求自感系数； 因为Φ=LI ，所以自感系数为 L I

=

Φ

;

(2) 通过电路的自感电动势，求自感系数； 因为自感电动势表示为ε=-L

I

t

d d ，所以自感系数为 L t I

=-

εd d .

(3) 通过电路所储存的自感磁能(即磁场能量)，求自感系数。 因为W LI m =

12

2

，所以自感系数可以表示为 L W I I H

=

=⎰⎰⎰21

22

2

m d μττ.

在我们的问题中，只能采用第三种求自感系数的方法。单位长度电缆所储存的磁场能量为W m ，所以单位长度电缆的自感系数为

L W I

R

R ==22221m μπln .

可见，自感系数只决定于电路自身的结构、几何性质以及所充磁介质的磁导率。

[习题解答]

12-7 在磁感应强度大小为B = 0.50 T 的匀强磁场中，有一长度为l = 1.5 m 的导体棒垂直于磁场方向放置，如图12-7所示。如果让此导体棒以既垂直于自身的长度又垂直于磁场的速度v 向右运动，则在导体棒中将产生动生电动势。若棒的运动

速率v = 4.0 m ⋅s -1 ，试求：

(1) 导体棒内的非静电性电场K ； (2) 导体棒内的静电场E ；

(3) 导体棒内的动生电动势ε的大小和方向； (4) 导体棒两端的电势差。 解

(1) 根据动生电动势的表达式

⎰⋅⨯=l l B d )(v ε,

由于(B ⨯v )的方向沿棒向上，所以上式的积分可取沿棒向上的方向，也就是d l 的方向取沿棒向上的方向。于是可得

Bl v =ε.

另外，动生电动势可以用非静电性电场表示为

ε=⋅=⎰K l d l Kl .

以上两式联立可解得导体棒内的非静电性电场，为 1m V 0.2-⋅==B K v , 方向沿棒由下向上。

(2) 在不形成电流的情况下，导体棒内的静电场与非静电性电场相平衡，即 E K =-, 所以，E 的方向沿棒由上向下，大小为

E =⋅-201. V m . (3) 上面已经得到 V 0.3===Kl Bl v ε,

方向沿棒由下向上。

(4) 上述导体棒就相当于一个外电路不通的电源，所以导体棒两端的电势差就等于棒的动生电动势，即

U ==ε30. V , 棒的上端为正，下端为负。

12-8 如图12-8所表示，处于匀强磁场中的导体回路ABCD ，其边AB 可以滑动。若磁感应强度的大小为B = 0.5 T ，电阻为R = 0.2 Ω，AB 边长为 l = 0.5 m ，AB 边向右平移

的速率为v = 4 m ⋅s -1 ，求： (1) 作用于AB 边上的外力； (2) 外力所消耗的功率；

(3) 感应电流消耗在电阻R 上的功率。 解

(1) 当将AB 向右拉动时，AB 中会有电流通过，流向为从B 到A 。AB 中一旦出现电流，就将受到安培力F 的作用，安培力的方向为由右向左。所以，要使AB 向右移动，必须对AB 施加由

左向右的力的作图12-7

图12-8