总体标准差的极差估计法

总体标准差的极差估计法

自接触SS以来，对于SPC中Xbar图中的Sigma(极差估计法)估计一直都没有看到过较详细的解释&说明.只知其运用在SPC Xbar中sigma的估计，以及它所计算的是组内的变差。

今天偶然遇到一则概念：由极差分布函数求出极差的数学期望值E(R) = d2*sigma；方差值D(R) = (d3*sigma)^2

不知哪位前辈&高手可以帮忙深入解说一下，极差估计法的原理。

thomasgao

2010-11-10 16:54:26

蛮深奥的问题，曾经研究过，现在也忘得差不多了，尝试着解释一下：

1。以正态分布为例，给出一族数据，就可以计算出它的均值和方差。而从另外一个方面讲任何一个正态分布都是由正态分布函数决定的，只不过函数中的系数取值不同而已。知道了分布的函数和其中系数的取值，同样可以推导出这个分布的均值和方差。

（正态分布函数是一个两参数（均值和方差）的函数，具体公式自己查一下，我这里不贴了）

2。在最初的SPC中的数据计算是手工的，没有计算机帮助。对于分布的均值比较容易手工算，但方差就比较复杂了。后来就有人提出来用极差R来近似方差S。

3。R的计算方法简单，取每个子组内最大值减去最小值。假设有n组数据的话就会有n个R。这n个R本身又构成一个分布叫做极差分布，具体的公式我都忘记了，感兴趣的话自己找资料查一下。

4。在画R图是，我们需要知道R的均值和方差，这个时候用极差分布的公式来推就比较容易了，就是你贴中的公式。其中的系数d2/c4 随着子组的大小而变化thomasgao

2010-11-11 09:57:50

正态分布的公式贴出来

nomal distribution.jpg

其中x是变量，μ和σ是参数，它们的取值确定了一个具体的分布，所以称为两参数函数。

thomasgao

2010-11-11 10:10:37

关于极差分布的推导比较复杂，我手边没有资料提供。一般统计教程里也不包括这部分内容，楼主感兴趣的话，可能需要花点功夫找一些比较高级的统计教材才有可能有。kelvinzhang

2010-11-13 00:58:44

关于用样本的极差R来估计总体的标准差, 很久之前就有很多牛人做过研究, 好像在"ASTM Manual on Presentation of Data and Control Chart Analysis (1976) " 著述中有详细说明.

上网查了下, 找到了当年Tippett在1925年研究出的d2公式:

paladin_li

2010-11-16 14:29:12

其实最初我想请教:

"关于R与d2所评估的标准差，属于组内标准差"是否有此一说，为什么?

kelvinzhang

2010-11-16 15:47:46

你这个问题问得很有意思. 用组内的R除以d2来估计的标准差就是组内标准差. 同理, 用Rbar除以d2估计的标准差就是组间标准差.

其实你关心的SPC中的Xbar图就是这么画出来的: 先算出每一个组内的R和Xbar, 再算出Rbar和Xbarbar, 查表知道d2, 可以算出组间标准差sigma. 用Xbarbar 加减3*sigma/sqrt(n)就能算出上下控制限.

所以回答你的问题: 在SPC中的Xbar图中的标准差其实是用Rbar估计出来的, 应该叫组间标准差.

paladin_li

2010-11-16 16:45:22

前辈可否帮忙深入解释一下: R/d2，Rbar/d2估计组内/组间sigma的基本原理!

感谢！！

2010-11-16 16-40-49.jpg

kelvinzhang

2010-11-16 17:51:45

不太确信你说的基本原理是什么意思. 简单说, 总体的sigma需要用样本的统计量进行估计. 而R/d2就是其中的一个无偏估计. 由于R只反映最大和最小两个数据的差异, 而sigma需要反映所有数据的离散程度. 所以就用d2作为系数进行修偏.

paladin_li

2010-11-16 20:33:19

单个样本组内标准差的估计（R/d2)公式，理解不是很困难。

但是又该如何理解Rbar/d2对组间标准差的估计?

比如说，依据R/d2对标准偏差的估计公式，是否可将Xbar组成的组间样本的标准也用R(Xbar的极差)/d2’进行估计呢,即Rbar/d2 = R(Xbar)/d2'是否成立?? kelvinzhang

2010-11-18 16:54:27

你说的R(Xbar)/d2'其实是对Xbar这个总体的标准差的估计，而Rbar/d2是对X这个总体的标准差的估计。所以两者之间差了根号N倍，也就是

Rbar/d2=R(Xbar)/d2'*sqrt(N)。

jeccy

2010-11-18 20:20:49

R 代表的是组内变异，

Rbar是R组内变异的平均值，所以代表的也是组内变异

而d2是系数

所以由Rbar/d2估计的标准差就只包含组内变异。

而由Stdev（所有测量结果）计算的标准差, 由于计算过程是每个测量结果跟平均值的差值，并未考虑是组内还是组间，因此会考虑到所有的变异，即同时包含组内和组间变异。

~~不知回答是不是楼主想要的：）

paladin_li

2010-11-18 20:30:56

R是离散程度的一类指标，d2是随样本变换的修偏系数。R/d2可以作为总体标准差的估计。即为组内标准差；

作为SPC Xbar中的标准差，即所谓的组间标准差(来自同一总体的样本均值分布)为sigma总体/sqrt(n)(中心极限定理);同样该标准差(均值分布)也可以用R(Xbar)/d'进行估计。

而对于Rbar/d2，我认为是仍然是组内标准差的估计。Rbar只是多组样本的R’的平均值，以此作为总体的偏离参数。(但是不知为何不以总体的MAX-MIN差为估计??) 以上不知是否正确，请前辈指正！！

在控制图中Xbar图的标准差是通过总体标准差计算而得的，为何选择Xbar图，而放弃X(实际观测值)图?

除了均值分布有较强的(中心极限定理)正态性外，不知是否还有其他原由。还向前辈请教。

jeccy

2010-11-18 20:45:03

回复15# paladin_li

其实不管是Xbar还是X，在使用控制图时都是使用的0.9973的概率。只是每次抽1个样本时其代表性够不够，不够就要抽多个，抽多个后根据中央极限定理，这多个样本的均值的分布的均值会等于个体分布的均值。

jeccy

2010-11-18 20:51:27

回复15# paladin_li

以前有试过用以下三种方式计算sigma(Xbar),进而计算控制限，结果还是相差很大的。