材料力学 能量法
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第十三章 能量法 • 圆截面杆或杆系
2 FN ( x )dx T 2 ( x )dx M 2 ( x )dx dV ε 2 EA 2GI p 2 EI
2 FN ( x )dx T 2 ( x )dx M 2 ( x )dx Vε l l l 2 EA 2GIp 2 EI
广义位移可以用叠加法求解 外力功一般不可以用叠加法求解 特殊情况：
T F T F
一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功
一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移
Page 10
第十三章 能量法 三、应变能的一般表达式 基本变形情况 • 拉压杆与桁架:
2 1 FN ( x) V dx ε 2 l EA • 轴:
FN(x)
dx
2 1 n FN l Vε i i 2 i 1 Ei Ai
T(x) d
1 V ε 2
T 2( x) dx l GI p
1 V ε 2
T 2( x) dx l GI t
dx
d M(x)
• 处于平面弯曲的梁与刚架（忽略剪力影响）:
M 2( x) V dx ε l 2 EI
第十三章 能量法 引言
求节点A的铅垂位移 的两条研究途径
FN 1 F sin 拉 , FN 2 F tan 压
2
1
方法一
F l F l l1 N 1 1 , l2 N 2 EA EA
l1 l2 Fl sin tan EA sin 2 1 2 cos cos
1
第十三章 能量法
C
A B
F
问题： 求节点A的垂直位移，哪种方法优越？
Page
2
第十三章 能量法
§13-1 外力功与应变能的一般表达式
几个概念 相应位移： 载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量。 F 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。
A
A
广义力： 力，力偶，一对大小 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。
d
f df F
f k
F k
f
1 2 1 W 0 kd k F 2 2
Page 5
第十三章 能量法 二、克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 求外力功
1
2
1 2
F1
WF1 1 F11 2 WF2
N
i i ( F1 , F2 Fn )
Page 8
第十三章 能量法
加载过程中各载荷不保持比例关系：
F1
A B 1 f1 A B
F2
C 2 f2 C D
最终状态相同 考虑比例卸载过程
f1 c f2
a2 1 a1 f1 a2 f 2 (a 1 ) f1 c
f1 c f2
1
F1 A
2
F2
1 a1 f1 a2 f2
D
B 1
C
a2 ( a1 ) f1 c
同理：
2
1∝ f f ∝ 2
2
1
第一个载荷所做之功： W
1 F1 1 2
第二个载荷所做之功： W 1 F2 2 2
1 W Fi i i 1 2
D
1
2
1∝ f
1
同理： 2∝ f 2
W
1 Fi i i 1 2
N
对线弹性体,不论按何种方式加载,广义力F1,F2,..Fn在其相应位移 N 1 1, 2, .. n上的总功恒为 W Fi i i 1 2 Page 9
第十三章 能量法 注意：
线弹性体上作用有多个广义力时：
dx
Page 11
第十三章 能量法 组合变形情况
M(x) T(x) dx d T(x) Fs(x)
FN(x)
组合变形杆件的总能量是否可由 叠加法计算？为什么？
FN(x)
dx d dx
M(x)
dx
FN ( x )dδ T ( x )d M ( x )d dVε dW 2 2 2
F A
A
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
Page 3
第十三章 能量法 例：试确定图a均布载荷q 对应的广义位移.
q
A B
l
(a)
l
相应广义位移：面积
Page 4
第十三章 能量法 一、计算外力功的基本公式
W
f ( )d
0
( f不是常力)
载荷—位移曲线所包围的面积 线弹性体：
l
A
A
F
方法二
FN 12 l1 FN 2 2 l F 2l V 2 EA 2 EA 2 EA sin 2 F W 2 Fl 1 2 cos EA sin 2 cos
1 2 cosຫໍສະໝຸດ Baidu cos
Page
F1
A B 11 D A
F2
C 22
D
W
F1
A B 1
1 F111 2
F2
C 2 D
W
1 F2 22 2
1 1 W F1 11 F2 22 2
1= 11, 2= 22
2
Page
7
第十三章 能量法
加载过程中各载荷保持比例关系：
f1 A
B
f2
C D
1 F2 2 2
F2
F1＋F2
(1) WF F
1
1
1 1 1 1 F11 F2 2 ? WF1 F1 F1 (1 2 ) F2 (1 2 ) 2 2 2 2
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(2) F1与F2对弹簧做的总功与他们的加载顺序与方式有关吗？
第十三章 能量法
• 非圆截面杆或杆系
2 2 My ( x )dx M z2 ( x )dx FN ( x )dx T 2 ( x )dx Vε l l l l 2 EA 2GIt 2 EI y 2 EI z
y , z轴－主形心轴
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第十三章 能量法
例：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算外力所做 之总功。弯曲刚度为EI。
F
M A
解:（1）计算梁的应变能(x轴从A向左)
M ( x ) M e Fx
V
l 0
M 2 ( x) F 2 l 3 FM e l 2 M e2 l dx 2 EI 6 EI 2 EI 2 EI
F 2 l 3 M e2 l V V ,F V ,Me 6 EI 2 EI 相应位移互耦的多个外力引起的应变能不能叠加计算！
第十三章 能量法 • 圆截面杆或杆系
2 FN ( x )dx T 2 ( x )dx M 2 ( x )dx dV ε 2 EA 2GI p 2 EI
2 FN ( x )dx T 2 ( x )dx M 2 ( x )dx Vε l l l 2 EA 2GIp 2 EI
广义位移可以用叠加法求解 外力功一般不可以用叠加法求解 特殊情况：
T F T F
一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功
一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移
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第十三章 能量法 三、应变能的一般表达式 基本变形情况 • 拉压杆与桁架:
2 1 FN ( x) V dx ε 2 l EA • 轴:
FN(x)
dx
2 1 n FN l Vε i i 2 i 1 Ei Ai
T(x) d
1 V ε 2
T 2( x) dx l GI p
1 V ε 2
T 2( x) dx l GI t
dx
d M(x)
• 处于平面弯曲的梁与刚架（忽略剪力影响）:
M 2( x) V dx ε l 2 EI
第十三章 能量法 引言
求节点A的铅垂位移 的两条研究途径
FN 1 F sin 拉 , FN 2 F tan 压
2
1
方法一
F l F l l1 N 1 1 , l2 N 2 EA EA
l1 l2 Fl sin tan EA sin 2 1 2 cos cos
1
第十三章 能量法
C
A B
F
问题： 求节点A的垂直位移，哪种方法优越？
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第十三章 能量法
§13-1 外力功与应变能的一般表达式
几个概念 相应位移： 载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量。 F 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。
A
A
广义力： 力，力偶，一对大小 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。
d
f df F
f k
F k
f
1 2 1 W 0 kd k F 2 2
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第十三章 能量法 二、克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 求外力功
1
2
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F1
WF1 1 F11 2 WF2
N
i i ( F1 , F2 Fn )
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第十三章 能量法
加载过程中各载荷不保持比例关系：
F1
A B 1 f1 A B
F2
C 2 f2 C D
最终状态相同 考虑比例卸载过程
f1 c f2
a2 1 a1 f1 a2 f 2 (a 1 ) f1 c
f1 c f2
1
F1 A
2
F2
1 a1 f1 a2 f2
D
B 1
C
a2 ( a1 ) f1 c
同理：
2
1∝ f f ∝ 2
2
1
第一个载荷所做之功： W
1 F1 1 2
第二个载荷所做之功： W 1 F2 2 2
1 W Fi i i 1 2
D
1
2
1∝ f
1
同理： 2∝ f 2
W
1 Fi i i 1 2
N
对线弹性体,不论按何种方式加载,广义力F1,F2,..Fn在其相应位移 N 1 1, 2, .. n上的总功恒为 W Fi i i 1 2 Page 9
第十三章 能量法 注意：
线弹性体上作用有多个广义力时：
dx
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第十三章 能量法 组合变形情况
M(x) T(x) dx d T(x) Fs(x)
FN(x)
组合变形杆件的总能量是否可由 叠加法计算？为什么？
FN(x)
dx d dx
M(x)
dx
FN ( x )dδ T ( x )d M ( x )d dVε dW 2 2 2
F A
A
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
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第十三章 能量法 例：试确定图a均布载荷q 对应的广义位移.
q
A B
l
(a)
l
相应广义位移：面积
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第十三章 能量法 一、计算外力功的基本公式
W
f ( )d
0
( f不是常力)
载荷—位移曲线所包围的面积 线弹性体：
l
A
A
F
方法二
FN 12 l1 FN 2 2 l F 2l V 2 EA 2 EA 2 EA sin 2 F W 2 Fl 1 2 cos EA sin 2 cos
1 2 cosຫໍສະໝຸດ Baidu cos
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F1
A B 11 D A
F2
C 22
D
W
F1
A B 1
1 F111 2
F2
C 2 D
W
1 F2 22 2
1 1 W F1 11 F2 22 2
1= 11, 2= 22
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第十三章 能量法
加载过程中各载荷保持比例关系：
f1 A
B
f2
C D
1 F2 2 2
F2
F1＋F2
(1) WF F
1
1
1 1 1 1 F11 F2 2 ? WF1 F1 F1 (1 2 ) F2 (1 2 ) 2 2 2 2
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(2) F1与F2对弹簧做的总功与他们的加载顺序与方式有关吗？
第十三章 能量法
• 非圆截面杆或杆系
2 2 My ( x )dx M z2 ( x )dx FN ( x )dx T 2 ( x )dx Vε l l l l 2 EA 2GIt 2 EI y 2 EI z
y , z轴－主形心轴
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第十三章 能量法
例：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算外力所做 之总功。弯曲刚度为EI。
F
M A
解:（1）计算梁的应变能(x轴从A向左)
M ( x ) M e Fx
V
l 0
M 2 ( x) F 2 l 3 FM e l 2 M e2 l dx 2 EI 6 EI 2 EI 2 EI
F 2 l 3 M e2 l V V ,F V ,Me 6 EI 2 EI 相应位移互耦的多个外力引起的应变能不能叠加计算！