第二章 测度论的知识要点与复习自测

第二章 测度论的知识要点与复习自测一、Lebesgue 外测度的知识要点：◇ 熟练掌握Lebesgue 外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue 外测度的特有性质：距离分离性）；◇ 会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：n R 中至多可数集，区间，Cantor （三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）；◇ 特别注意零测集的含义和性质【如n R 中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。

自测题：1、叙述nR 中Lebesgue 外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题：（1）设n n Q R ⊂为有理点集，计算*nm Q 0=；（2）设n R E ⊂为至多可数集，计算*m 0E =；（3）设n ,R E F ⊂，*m 0E =，则()()***m m m \F E F F E ⋃==。

2、据理说明下面的结论是否成立：设nR E ⊂， （1）若E 为有界集，则*m E <+∞； （2）若*m E <+∞，则E 为有界集； （3）若*m E =+∞，则E 为无界集； （4）若E 为无界集，则*m E =+∞。

3、设nR I ⊂为区间，证明：*m I I =，其中I 表示I 的体积（注意I 分有界和无界两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：（1）设1[0,1]R P ⊂⊂为三分Cantor 集，则*m 0P =；（注意三分Cantor 集的构造） （2）设()f x 为定义在1[,]R a b ⊂上的黎曼可积函数，{}2()(,)(),[,]R p G f x y y f x x a b ==∈⊂，()f x 在[,]a b 的图像，则*m ()0p G f =；（注意黎曼可积的充要条件的使用）（3）设nR E ⊂有内点，则*m 0E >；（4）（外侧度的介值性）设1R E ⊂为有界集，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，存在1E E ⊂，使得，*1m E c =；（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性）（5）（外侧度的介值性的一般形式）设1R E ⊂，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，存在1E E ⊂，使得，*1m E c =。

（注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递增可测集列的测度性质）二、Lebesgue 可测集的知识要点：◇ 熟练掌握Lebesgue 可测集的卡氏定义（即C.Caratheodory 定义）及等价条件（如：余集的可测性；对任意的A E ⊂和c B E ⊂，总有()***m A B m A m B ⋃=+），会用定义或等价条件来证明一些点集的可测性（例如：零测集，区间等）；◇ 熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质来判断集合的可测性；◇ 记{}R n E E ℑ=⊂是可测集，则2c c ℑ=>，其中c 为连续基数； ◇ 熟练掌握单调可测集列测度的极限性质，理解对单调递减的可测集列为什么要加上条件“其中至少有一个的测度是有限数”才能保证结论成立，并弄清楚此条件在证明中所起的作用；◇ 熟练掌握下面的常用测度等式或不等式（以下集合都是n R 中的可测集） （1）设1E ，2E ， ，m E 为互不相交的可测集，则11m m mmi i i i E E ==⋃=∑（有限可加性）； 设1E ，2E ， ，m E 为可测集（注意没有互不相交的要求），则11m m mmi i i i E E ==⋃≤∑（次有限可加性）。

（2）设1E ，2E ， ，k E ， 为互不相交的可测集，则11m m k k k k E E ∞∞==⋃=∑（可数可加性）； 设1E ，2E ， ，k E ， 为可测集列（注意没有互不相交的要求），则11m m k k k k E E ∞∞==⋃≤∑（次可数可加性）。

（3）差集测度的关系（注意思考：条件“m E <+∞”的作用）设E 和G 都是可测集，且E G ⊂，则① m m(\)m G G E E =+； ②当m E <+∞时，m(\)m m G E G E =-。

设E 和G 都是可测集，则① m m(\)m G G E E ≤+； ②当m E <+∞时，m(\)m m G E G E ≥-。

（4）单调可测集列测度的极限性（注意思考成立的条件）设{}k E 为单调递增的可测集列，则()1m lim m lim m k k k k k k E E E ∞→∞=→∞⎛⎫=⋃= ⎪⎝⎭； 设{}k E 为单调递减的可测集列，且存在0k E ，使得0m k E <+∞，则()1m lim m lim m k k k k k k E E E ∞→∞=→∞=⋂=。

（5）一般可测集列测度的极限性设{}k E 为可测集列，则①m lim lim m()lim m k k k k i kk k E E E ∞→∞=→∞→∞=⋂≤（关于测度的Fatou 定理【入不敷出】）；②若存在k 0，使得0m i i k E ∞=⋃<+∞，则mlim limm()limm k k k k k i kk E E E ∞→∞→∞=→∞=⋃≥；③若lim k k E E →∞=存在，且存在k 0，使得0m k E <+∞，则limm k k E →∞存在，且lim m m k k E E →∞=。

（6）【可测集的直积的可测性及测度的计算公式】设p A R ⊂为可测集，q B R ⊂为可测集，则A B ⨯为p+q R 上的可测集，且m(A B)=mA mB ⨯⋅。

自测题：1、证明下面的差集测度或外侧度的关系（注意思考：条件“m E <+∞”的作用） 设n,R E G ⊂（1）若E 和G 都是可测集，且E G ⊂，则① m m(\)m G G E E =+； ② 当m E <+∞时，m(\)m m G E G E =-。

（2）若E 和G 都是可测集，则 ① m m(\)m G G E E ≤+； ② 当m E <+∞时，m(\)m m G E G E ≥-。

（3）若E 和G 不是可测集，则 ① ***m m (\)m G G E E ≤+；② 当*m E <+∞时，***m (\)m m G E G E ≥-。

2、利用1和可测集的性质证明： （1）设n ,R E G ⊂都是可测集，则()()m m m +m G E G E G E ⋃+⋂=；【注意：()()m \\G E G E G E ⋃=⋂】（2）利用（1）和等侧包定理证明：设n,R E G ⊂（不必为可测集），则()()****m m m +m G E G E G E ⋃+⋂≤。

3、试利用差集的测度关系以及区间的测度再证明： （1）设1[0,1]R P ⊂⊂为三分Cantor 集，则m 0P =；【注意：三分Cantor 集的构造1211[0,1]\()n n i n i P I -∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭ ），其中n i I （11,2,,2n i -= ）为Cantor集的构造过程中第n 步去掉的长度均为13n 的开区间】（2）对于任意给定正数01a <<，不改变Cantor 集的构造思想，只是将在Cantor 集的构造过程中每一步去掉的开区间分别换为长度分别为231111,,,,,3333n a a a a---- 的开区间（比如第n 步换为去掉12n -个长度都为13n a -的互不相交的开区间），并记这样得到的集为P （称为类Cantor 集或一般Cantor 集，它是闭集也是完全集还是疏朗集），证明：0m P a =。

4、证明一般可测集列测度的极限性：设{}k E 为可测集列，则①m lim lim m()lim m k k k k i k k k E E E ∞→∞=→∞→∞=⋂≤（关于测度的Fatou 定理【入不敷出】）；②若存在k 0，使得0m i i k E ∞=⋃<+∞，则mlim limm()limm k k k k k i kk E E E ∞→∞→∞=→∞=⋃≥；③若lim k k E E →∞=存在，且存在k 0，使得0m k E <+∞，则lim m k k E →∞存在，且lim m m k k E E →∞=。

④ 若*1m kk E∞=<+∞∑，则k lim k E →∞和k lim k E →∞都是零测集。

三、可测集的结构的知识要点：◇ n R 中的几种常见的具体的可测集：零测集，任何区间，开集，闭集，F σ型集，G δ型集，Borel 集。

◇ 熟练掌握并熟记下面的几种关系（可测集的结构）： （1）对任意n R E ⊂，E 与G δ型集的关系（等测包定理）； （2）可测集与开集的关系，可测集与G δ型集的关系； （3）可测集与闭集的关系，可测集与F σ型集的关系。

自测题：1、仔细体会等测包定理的证明思想，解决下面的问题：（1）如何将一个G δ型集表示成一列单调递减的开集的交集？（2）设nR E ⊂，则存在一列单调递减的开集列{}k G ，使得，对每一个1k ≥，k E G ⊂，**1m m m k E G E k ≤<+，且()*1m lim m m k k k k G G E ∞→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭；（3）设nR E ⊂有界，则存在一列单调递减的有界开集列{}k G ，使得，对每一个1k ≥，k E G ⊂，**1m m m k E G E k ≤<+，且()*1m lim m m k k k k G G E ∞→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭。

注：（2）和（3）为等测包定理的更为细致的形式。

2、试利用等测包定理和单调递增可测集列测度的极限性质证明：设R n k E ⊂（1,2,k = ）为一列单调递增的集列，每个k E 不必为可测集，则 （1）存在一列单调递增的G δ型集k G （1,2,k = ），使得，对每一个1k ≥，k k E G ⊂，且*m m k k E G =；（2）()***1lim m m m lim k k k k k k E E E ∞→∞→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭（单调递增集列的外侧度的极限性质）。

3、试证明可测集与开集和闭集的下面的关系（可测集与开集和闭集的更细致的关系）：设nR E ⊂是可测集，则（1）对任意的0ε>，存在开集G ，使得E G ⊂，且()\m G E ε<；（2）存在一列单调递减的开集k G （1,2,k = ），使得，对每一个1k ≥，k E G ⊂，且()1\k m G E k <； （3）存存在一列单调递增的闭集k F （1,2,k = ），使得，对每一个1k ≥，k F E ⊂，且()1\k m E F k<。