数学分析之含参量积分
含参量积分的分析性质及其应用
含参量积分的分析性质及其应用首先，含参量积分具有连续性。
设函数F(x, t)在区域D上连续且对于每个t ∈ [a, b]，函数F(x, t)在D上也是连续的，则对于t ∈ [a, b]，函数F(x, t)的积分函数∫F(x, t)dx在D上是连续的。
这个性质在函数的极限和连续性分析中起着重要的作用。
其次，含参量积分具有可微性。
设函数F(x, t)在区域D上可微且对于每个t ∈ [a, b]，函数的偏导数∂F/∂t也在D上是连续的，则对于t∈ [a, b]，积分函数∫F(x, t)dx在D上是可微的，并且有d/dt∫F(x, t)dx = ∫∂F/∂t dx。
这个性质在微分方程的研究中非常重要，可以用来求解一些复杂的变量关系。
此外，含参量积分还具有积分区间可微性。
设函数F(x, t)在区域D上连续且对t ∈ [a, b]，积分区间[a, b]上是可微的，则对于任意点x∈ D，积分∫F(x, t)dt的导数存在且有d/dx∫F(x, t)dt = ∫∂F/∂x dt。
这个分析性质对于求解偏微分方程、计算场的变化率等都有重要意义。
1. 曲线长度计算：曲线的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲线的长度。
例如，对于曲线x = f(t)，y = g(t)在区间[a, b]上的参数表示，可以通过计算∫sqrt(dx/dt)^2 + sqrt(dy/dt)^2 dt来得到曲线的长度。
2. 曲面面积计算：曲面的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲面的面积。
例如，对于曲面z = f(x, y)在区域D上的参数表示，可以通过计算∬sqrt(1 + (df/dx)^2 + (df/dy)^2) dA来得到曲面的面积。
3.物理学中的应用：含参量积分广泛应用于物理学中的各种问题。
例如，对于质点在力场中的运动问题，可以通过计算质点在一段时间内的位移和力的乘积的积分来得到质点所受的总力。
4.工程学中的应用：含参量积分在工程学中也有许多应用。
13-高等数学第十三讲 含参量的积分
387第十三讲 含参量积分§13.1 含参量正常积分一、知识结构 1、含参积分 定义含参积分 ⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F .含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. （1）含参积分的连续性 定理1 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续.定理2 若函数),(y x f 在矩形域{}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=),()( ),(上连续, 函数)(x c 和)(x d 在] , [b a 上连续,则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上连续.（2）含参积分的可微性定理3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导, 且⎰⎰=dcdcx dy y x f dy y x f dxd ),(),(.即积分和求导次序可换.定理4 设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [q p b a D ⨯=上连续, 函数)(x c 和)(x d 定义在] , [b a 上其值域含于] , [q p 上的可微函数, 则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上可微, 且 ()())()(,)()(,),()()()(x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x '-'+='⎰.(3) 含参积分的可积性定理5 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数388⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=badx y x f y J ),()(分别在] , [b a 上和] , [ d c 上可积.定理6 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则⎰⎰⎰⎰=badcdcbadx y x f dy dy y x f dx ),(),(.即在连续的情况下累次积分可交换求积分的次序. 二、解证题方法例1 求⎰+→++αααα122.1limx dx例2 计算积分 dx xx I ⎰++=121)1ln(.例3 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续. 验证当||x 充分小时, 函数⎰---=xn dt t f t x n x 01)()()!1(1)(φ的1-n 阶导数存在, 且 )()()(x f x n =φ.§13.2 含参量反常积分一、知识结构 1、含参无穷积分含参无穷积分: 函数),(y x f 定义在) , [] , [∞+⨯c b a 上 (] , [b a 可以是无穷区间) .以⎰+∞=cdy y x f x I ),()(为例介绍含参无穷积分表示的函数)(x I .2. 含参无穷积分的一致收敛性逐点收敛(或称点态收敛)的定义:∈∀x ] , [b a ,c M >∃>∀ , 0ε,使得ε<⎰+∞Mdy y x f ),(.定义 1 (一致收敛性)设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上有定义.若对389c N >∃>∀ , 0ε, 使得当N M >,∈∀x ] , [b a 都有ε<-⎰Mcx I dy y x f )(),(即ε<⎰+∞Mdy y x f ),( 成立, 则称含参无穷积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上(关于x )一致收敛.定理1(Cauchy 收敛准则) 积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔,0>∀εM A A M >∀>∃21, , 0 , ∈∀x ] , [b a⇒ε<⎰21),(A A dy y x f 成立 .3、含参无穷积分与函数项级数的关系 定理2 积分⎰+∞=c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔对任一数列}{n A )(1c A =,n A ↗∞+, 函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111)(),(n A A n nn nx udy y x f 在] , [b a 上一致收敛.4、含参无穷积分一致收敛判别法定理3（Weierstrass M 判别法）设有函数)(y g ,使得在) , [] , [∞+⨯c b a 上有)(|),(|y g y x f ≤.若积分∞+<⎰+∞)( cdy y g , 则积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.定理4（Dirichlet 判别法） 设⑴对一切实数,c N >含参量积分⎰Ncdy y x f ),(对参量x在] , [b a 上一致有界; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时,对参量x ,),(y x g 一致地收敛于0,则含参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.定理5（Abel 判别法） 设⑴含参量积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上一致收敛; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 为y 的单调函数且对参量x ,),(y x g 在] , [b a 上一致有界,则含390参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.5、含参无穷积分的解析性质含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质. （1）连续性定理6 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上连续. (化为级数进行证明或直接证明)推论 在定理6的条件下, 对∈∀0x ] , [b a , 有 ⎰⎰⎰∞+∞+∞+→→⎪⎭⎫ ⎝⎛==cccx x x x dy y x f dy y x f dy y x f .),(lim ),(),(lim000 （2）可微性定理7 设函数f 和x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上收敛,积分⎰+∞cx dy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.则函数)(x I 在] , [b a 上可微,且⎰+∞='cx dy y x f x I ),()(.（3）可积性定理8 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上可积, 且有⎰⎰⎰⎰+∞+∞=baccbady y x f dy dy y x f dx ),(),(.定理9 设函数),(y x f 在) , []) , [∞+⨯∞+c a 上连续.若⑴⎰+∞adx y x f ),(关于y 在任何闭区间] , [d c 上一致收敛,⎰+∞cdy y x f ),(在任何闭区间] , [b a 上一致收敛;⑵积分⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ),(与⎰⎰+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛,则另一个也收敛,且391⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=accady y x f dy dy y x f dx ),(),(.6、含参瑕积分简介（略）二、解证题方法例1 证明含参量非正常积分⎰+∞sin dy yxy 在) , [∞+δ上一致收敛,其中0>δ.但在区间) , 0 (∞+内非一致收敛.例2 证明含参无穷积分⎰∞++021cos dx xxy 在+∞<<∞-y 内一致收敛.例3 证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xx exy在] , 0 [d 上一致收敛.例4 证明:若函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续,又⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上收敛,但在b x =处发散,则⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上不一致收敛.例5 计算积分⎰+∞->>-=) , 0 ( , sin sin a b p dx xaxbx eI px例6 计算积分.sin 0dx xax ⎰+∞例7 计算积分⎰+∞-=0.cos )(2rxdx er xϕ例8（北京理工大学2008年）请分别用两种不同方法求()dx xx xI cos 1cos 1lncos 12αααπ-+⋅=⎰，1<α。
数学分析第十二章广义积分与含参变量积分
数学分析第十二章广义积分与含参变量积分第一，广义积分的概念和性质。
在数学分析中，我们通常通过定积分来求解曲线下面的面积。
然而，如果被积函数在有限区间上发散或无定义，就无法使用定积分。
这时，我们就需要用到广义积分。
广义积分可以看作是一些特殊函数的面积，其被积函数在有限区间上可能发散或无定义，但在无穷区间上是收敛的。
广义积分的概念可以统一定积分与不定积分的特点，并在此基础上建立一些重要的性质。
第二，广义积分的判定和应用。
对于广义积分的求解，我们需要先进行判定，即判断广义积分是否存在。
常用的判定方法有比较判定法、绝对收敛判定法、积分判别法等。
这些方法可以帮助我们准确地判断广义积分的存在性，并进一步应用于实际问题的求解。
广义积分在实际问题中的应用非常广泛，比如物理学、工程学等领域都需要用到广义积分的计算。
第三，含参变量积分的概念和性质。
含参变量积分是将被积函数中的参数视为独立变量进行积分。
含参变量积分可以看作是广义积分的一种特殊情况，其被积函数中的参数在一定范围内变化。
含参变量积分的性质与普通的定积分类似，可以满足线性性质、积分换序等性质。
同时，由于含参变量积分中的参数是变化的，所以可以应用于优化问题的求解，帮助我们找到最优解。
第四，含参变量积分的应用。
含参变量积分在实际中的应用非常广泛。
比如，在经济学中，我们可以用含参变量积分来求解收益函数或成本函数的最优解，从而确定最优生产方案。
在物理学中，我们可以用含参变量积分来求解一个变量随时间变化的过程，如物体的运动方程。
在金融学中，我们可以用含参变量积分来计算一些金融衍生品的价格，如期权的定价。
这些都是含参变量积分在实际问题中的应用。
综上所述，数学分析第十二章的广义积分与含参变量积分的概念、性质以及应用都非常重要。
通过对广义积分与含参变量积分的学习与理解，我们能够更好地理解数学中的积分概念，并应用于实际问题的求解。
数学分析第十二章提供了一种更加灵活且广泛的积分方法，对我们的数学思维与解决问题的能力都有很大的提升作用。
含参量积分的分析性质和应用
含参量积分的分析性质和应用
参量积分是一种数学技术，其特点是将具有参量的函数的积分写作一组形式中的积分。
它允许使用积分理论进行变量函数的运算，因为在绝大多数结果中，变量积分被认为更具
备计算性。
参数积分表示以参数来确定复合函数的积分并将其建模。
参量积分的分析性质包括：（1）可以表达多元函数中不同参量的函数积分；（2）
可以求解多元函数的导数；（3）可以使用积分理论来表示复合函数的积分；（4）可以
用于特殊函数的快速求解等。
因此，参数积分不仅可以求解多元函数的积分，而且可以用
于求解特殊函数和添加变量。
参量积分在实际应用中也十分重要。
它在工程中被用来计算滚动体的动力，计算温度
分布，计算定点参数，计算水声双曲线，计算表面温度，计算定点反射概率等。
还可以用
于设计液压系统，燃油系统，伺服系统，汽车动力系统，可穿戴运动系统和其他现代技术
系统的计算。
总之，参量积分是一种具有重要理论和实际应用价值的常用技术。
它有助于分析不同
参量的多元函数的积分，并且还可用于生物医学，工程，运动系统等领域的计算。
数学分析 含参变量的积分
积分上下限中的参数
因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f (x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F (y ) − F (y0)| ≤ M|a(y ) − a(y0)| + M|b(y ) − b(y0)| + sup |f (x, y ) − f (x, y0)||b − a|,
b a
fy
(x
,
y
)
dx
.
关于参数的可导性质
(可导性质)
设 f (x, y ) 的偏导数 fy (x, y ) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 则 I(y ) 关于 y 可导, 且
I (y) =
b a
fy
(x
,
y
)
dx
.
证明. fy (x, y ) 关于 x 在 [a, b] 中的积分记为 ψ(y ). 根据上述引理, ψ(y ) 关于 y 连续. 当 y1, y2 ∈ [c, d] 时, 交换积分次序可得
的函数, 考虑积分 F (y) =
b(y ) a(y )
f
(x
,
y
)
dx
.
若 f (x, y ) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 函数 a(y), b(y) 关于 y 连续, 且 a ≤ a(y ), b(y) ≤ b, 则 F (y ) 关于 y ∈ [c, d] 连续.
积分上下限中的参数
x ∈[a,b]
积分上下限中的参数
因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f (x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F (y ) − F (y0)| ≤ M|a(y ) − a(y0)| + M|b(y ) − b(y0)| + sup |f (x, y ) − f (x, y0)||b − a|,
数学分析考研复习讲义9含参变量积分
即 y(x) 是微分方程 y(n) (x) = f (x) 的解，显然 y(a) = y' (a) = = y(n−1) (a) = 0
例 3 证明：若函数 f (x) 存在二阶导数，函数 F (z) 存在连续导数，则函数
∫ u(x,t) = 1 [ f (x − at) + f (x + at)] + 1
∂t 2
2a
= a [ f '(x + at) − f '(x − at)] + 1 [F (x + at) − F (x − at)]
2
2
∂2u ∂t 2
=
a [af 2
'' (x
+
at)
+
af
'' (x
−
at)] +
a [F '(x 2
+
at)
−
F'(x
−
at)]
同理：
∂2u = 1 [ f '' (x + at) + f '' (x − at)] + 1 [F ' (x + at) − F ' (x − at)]
定 理 2 （ 可 微 性 ） 设 f (x, y) ， fx (x, y) 在 区 域 [a,b]×[c, +∞) 上 连 续 ， 若
+∞
+∞
∫ ∫ I (x) = c
f (x, y)dy 在 [a,b] 上收敛， c
fx (x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛，则 I (x) 在
[a, b] 可微，且
数学分析第十九章含参量积分
特别地，c和d为常数时，得到定理19.3.
练习2：求F ( y )
解：F ( y )
sin y y2 y cos( xy )dx 2 y
y2
y 2 sin( xy ) dx的导数. y x 3
sin y 2 2y y
sin xy sin y 3 sin y 2 3 sin y 3 2 sin y 2 2 2y . y y y y y
第19章Байду номын сангаас
§1
含参量积分
含参量正常积分
一、含参量积分的概念
从本章开始我们讨论多元函数的各种积分问题, 首先本章研究 含参量积分. 设f ( x, y )是定义在矩形区域R [a, b] [c, d ]上的二元函数. 当固
定x [a, b]时, f ( x, y )是定义在[c, d ]上的以y为自变量的一元函 数. 若此时f ( x, y )在[c,d ]上可积, 则其积分值是在[a, b]上取值的 x的函数, 记为I ( x), 就有 d I ( x) c f ( x, y )dy, x [a, b]. (1)
1 练习1 求0 arctan x dx( y ： y
0)对于参数y的导数.
x 连续，故 x2 y 2
解：当y 0时， arctan x 和[arctan x ]y y y
d 1 x dx 1[arctan x ] dx 0 arctan y 0 y y dy
x dx 1 ln( x 2 2 x y2
arctanx 1 1 ln(1 x 2 ) 1 ln(1 x) 1 0 2 0 0 1 2 1 1 ln 2 ln(1 ) 1 2 4 2 1 I ( )d ln(1 2 ) 1 1 ln 2 arctan 1 I (1) I (1) I (0) 0 0 8 0 2 1
数学《含参量积分》讲义
第十九章 含参量积分§1 含参量正常积分设:[,][,]f a b c d R ⨯→连续, 形如(,)dc f x y dy ⎰的积分, 称为含参量(x 的)正常积分. 若[,]x a b ∀∈,(,)dcf x y dy ⎰存在 (固定x 时, (,)f x y 关于y 可积), 则由()(,)dcx f x y dy ϕ=⎰([,]x a b ∈)定义了[,]a b 上的函数ϕ. 1) ϕ的连续性由于[,]a b 是闭区间,考察连续性就是考察一致连续性, 即需证 12 0,0,||:x x εδδ∀>∃>-<121212|()()||(,)(,)||(,)(,)|dddcccx x f x y dy f x y dy f x y f x y dy ϕϕε-=-≤-<⎰⎰⎰,只需1212[,],||: |(,)(,)|y c d x x f x y f x y d cεδ∀∈-<-<-,而f 在[,][,]a b c d ⨯上连续,则其在[,][,]a b c d ⨯上也一致连续. 因而121212120,0,,[,],,[,], ||,||:x x a b y y c d x x y y εδδδ∀>∃>∀∈∀∈-<-<1122|(,)(,)|f x y f x y d cε-<-特别地, 121212[,],,[,],|-|<: |(,)(,)|y c d x x a b x x f x y f x y d cεδ∀∈∈-<-.故有下面的结论.定理1 若f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则函数()(,)dcx f x y dy ϕ=⎰在[,]a b 上连续, 即()lim (,)lim ()()(,)lim (,)d d dccc x xx xx xx f x y dy x x f x y dy f x y dy ϕϕϕ→→→=====⎰⎰⎰.2) ϕ的可导性 设[,],[,]x a b x h a b ∈+∈, 则()()(,)(,)(,), 01(,) (: )dc dx h h cdx x cx h x f x h y f x y dyhhf x h y dy f x y dy f ϕϕθθ+-+-==+⋅<<→⎰⎰⎰条件连续定理2 若f 与x f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则函数()(,) ([,])dcx f x y dy x a b ϕ=∈⎰在[,]a b 上连续可导, 且()(,)dx cx f x y dy ϕ'=⎰.更一般地, 我们有定理3 设f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则由(,)(,), [,]tcx t f x y dy t c d ψ=∈⎰定义的ψ在[,][,]a b c d ⨯上连续, 且当x f 连续时, 1C ψ∈(因而ψ可微) . 定理4 设f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 函数:[,][,]a b c d β→连续, 则函数()()(,) , [,]x cx f x y dy x a b βϕ=∈⎰连续. 进一步, 若x f 连续, β可微, 则ϕ可导. 且()'()(,)+(,())()x x cx f x y dy f x x x βϕββ'=⋅⎰定理5 若,,f αβ连续, 则函数()()()(,), [,]x x x f x y dy x a b βαϕ=∈⎰连续. 进一步, 若x f 连续, ,αβ可导, 则ϕ可导, 且()()()(,)+(,()) ()(,()) ()x x x x x f x y dy f x x x f x x x βαϕββαα'''=⋅-⋅⎰注 上述定理中[,]a b 均可改为(,)a b 或任意区间.3) ϕ的可积性定理6 若(,)f x y 在矩形域[,][,]a b c d ⨯上连续, 则()(,), ([,])d cx f x y dy x a b ϕ=∈⎰与()(,), ([,])bay f x y dx y c d ψ=∈⎰分别在[,]a b 和[,]c d 上可积.引入累次积分及记号(,)[(,)],(,)[(,)]bdb da cacdbd bcacadx f x y dy f x y dy dx dy f x y dx f x y dxdy∆∆==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.定理7 (累次积分定理, 交换积分次序) 若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则(,)(,)bd d baccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰例1 1) 1220lim 14x dx x ααπα+→=++⎰.2) 11222223220011111arctan (0)arctan +()22(1)dx dx x x ααααααααα=≠⇒=+++⎰⎰.3) 设f 连续, 10()()()xn x f t x t dt ϕ-=-⎰, 求()n ϕ.4)设cos sin ()x xF x e =⎰, 求'F .5) 设(,)()()xy x y F x y x yz f z dz =-⎰, f 可微, 求xy F .例2 求1(,), (0)ln b ax x I a b dx b a x-=>>⎰.例3 求120ln(1)1x I dx x +=+⎰例4 讨论122()()yf x F y dx x y =+⎰的连续性, 其中f 为[0,1]上的正值连续函数.例5 试分别求累次积分221122200()x y dx dy x y -+⎰⎰与221122200()x y dy dx x y -+⎰⎰.§2 含参量反常积分设函数(,)f x y 定义在无界区域[,][,)a b c ⨯+∞上. 若对任一固定的[,]x a b ∈, 反常积分(,)cf x y dy +∞⎰收敛, 则其值为定义在[,]a b 上(关于x )的函数. 记为()x ϕ.即 ()(,) [,]cx f x y dy x a b ϕ+∞=∈⎰称为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分, 简称含参量反常积分. 取1,,n A c A =↑+∞ 则 1()(,)() n ndA n A nx f x y dy x ϕϕ+==∑∑⎰.因而我们可仿照讨论函数项级数来讨论反常积分. 先比较一下函数项级数与反常积分性质判别方法x E ∈, )x 收敛)x =∑一致收敛(nx ϕ'∑x E ∈, ,)x y dy )cx dy +∞=⎰一致收敛b 上可微,)x y dy (cf x +∞bdx dx =⎰例1 证Cauchy 准则例2 反常积分()(,)cx f x y dy ϕ+∞=⎰在[,]a b 上一致收敛⇔对任一趋于+∞的递增数列1{},()n A A c = 函数项级数111(,)()n nA n A n n f x y dy x ϕ++∞+∞===∑∑⎰在[,]a b 上一致收敛.例3 证明可微性.例4 证明Abel 和Dirichlet 判别法.例5 1) 证明: 含参量积分2cos 1xydx x+∞+⎰在R 上一致收敛.2) 证明:sin xydy y+∞⎰在[,),(0)δδ+∞>上一致收敛,但在(0,)+∞上不一致收敛. 3) 证明: 11sin ,(0)y x dx y x+∞<⎰在(,],(0)δδ-∞<上一致收敛, 但在(,0)-∞上不一致收敛.4) 证明: 若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续,(,)cf x y dy +∞⎰在[,)a b 上收敛,(,)cf b y dy +∞⎰发散, 则(,)cf x y dy +∞⎰在[,)a b 上不一致收敛.例6 证明: 0sin ()kxxI k e dx x+∞-=⎰在[0,)+∞上连续, 并求()I k 的值.例7 求2cos cos (,),(,0)x xI dx xαβαβαβ+∞-=>⎰.例8 求证: 222400()cos (xx exdx edx γϕγγ+∞+∞---==⇒=⎰⎰.例9 (198P 定理13) (了解,不证明)设(,)f x y 定义在[,)[,)a c +∞⨯+∞上连续. 若 1)(,)af x y dx +∞⎰关于y 在任何闭区间[,]c d 上一致收敛,(,)cf x y dy +∞⎰关于x 在任何闭区间[,]a b 上一致收敛;2) 积分|(,)|acdx f x y dy +∞+∞⎰⎰与|(,)|cady f x y dx +∞+∞⎰⎰中有一个收敛, 则另一个积分也收敛, 且(,)(,)accadx f x y dy dy f x y dx +∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰§3 Euler 积分含参量积分 10(), 0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰1110(,)(1), ,0p q B p q x x dx p q --=->⎰称为Euler 积分, Gamma 函数, Beta 函数. 一、Γ函数11101()()()s x s x s x e dx x e dx I s J s +∞----Γ=+=+⎰⎰对()I s : 1s ≥时, 正常积分; 0<1s <时, 收敛的瑕积分. 对()J s : 0s >时, 收敛的反常积分(无限). 故0s >, ()s Γ有定义.1. ()s Γ在定义域(0,)+∞上连续可导.对任何闭区间[,],(0)a b a >, 对()I s , 当01x ≤≤时, 从而()I s 在闭区间[,]a b 上一致收敛. 而对于()J s , 当1x ≥时, 11s xb xx e x e ----≤, 由于110b x x e dx --⎰收敛, 从而()J s 在闭区间[,]a b 上一致收敛. 从而()s Γ在0s >上连续.又1100()ln s xs x x e dx x e dx s+∞+∞----∂=∂⎰⎰, 类似可证在[,]a b 上一致收敛. 从而()s Γ在[,]a b 上可导. 故()s Γ在0s >上可导. 且10()10()ln , 0()(ln ), 0s x n s x n s x e xdx s s x e x dx s +∞--+∞--'Γ=>Γ=>⎰⎰.2. 0(1)()(1)!!x s s s n n e dx n +∞-Γ+=⋅Γ⇒Γ+==⎰3. Γ图像4. Γ的延拓定义 (1)(), 10, (0,)s s s s n sΓ+Γ=-<<≠-5. Γ的其他形式22210, ()2, (0)s y x y s y e dy s +∞--=Γ=>⎰10, (), (0,0)s s py x py s p y e dy s p +∞--=Γ=>>⎰二、B 函数1. (,)B p q 在定义域 0,0p q >>上连续.1) 定义域 0,0p q >>. 1,1p q ≥≥为正常积分. 当01,1p q <<≥时, 0为瑕点,1()(0)p f x xx -→. 而当1q <时, 0,1为瑕点,1112102()()()f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰,11()(0),()(1)(1)p q f x x x f x x x --→-→. 从而 0p >时, (,),(0)B p q q >收敛.2) 在 0,0p q >>连续.0,0p q ∀>>, 1111(1)(1), (,)p q p q x x x x p p q q -----≤-≥≥ (,)B p q ⇒在,p p q q ≥≥上一致收敛.1. 对称性 (,)(,)B p q B q p =作变换1x y =-得 1111110(,)(1)(1)(,)p q p q B p q x x dx y y dy B q p ----=-=-=⎰⎰2. 递推公式 1(,)(,1) (0,1)1q B p q B p q p q p q -=->>+-1(,)(1,) (1,0)1p B p q B p q p q p q -=->>+-(1)(1)(,)(1,1) (1,1)(1)(2)p q B p q B p q p q p q p q --=-->>+-+-3. 其他形式2212120cos , (,)sin cos q p x B p q d πϕϕϕϕ--==⎰10, (,)1(1)p p q y y x B p q dy y y -+∞+==++⎰ 11101, (,)(1)p q p q y y x B p q dy t y --++==+⎰三、Γ函数与B 函数的关系 1) ()()(,)()p q B p q p q Γ⋅Γ=Γ+2) (,1)()(1)sin B p p p p p ππ-=Γ⋅Γ-=3)1()2Γ=(120111()(,)222B πΓ===⎰) 11()2()22Γ-=-Γ=-321()()232Γ-=-Γ-=1()2n Γ+=1()2n Γ-= 4) 20111(,)sin cos (,), (,1)222p q p q I p q x xdx B p q π++==>-⎰ 特别地, 0,1q p =>-时,20(21)!!111()()()22(2)!!1222sin (2)!!22(1)()22(21)!!p n p p p nn xdx p p n p np n ππ-⎧++Γ⋅ΓΓ⎪=⎪===⎨≠⎪Γ+Γ⎪+⎩⎰三、利用Euler 积分求积分 例 1 1)6111()(1)16663dx x π+∞=ΓΓ-=+⎰2)10113(,)4444B ==⎰习 题 课例 1 证明: 10()(,)F y f x y dy =⎰连续, 这里1(,)01x y f x y x y x y>⎧⎪==⎨⎪-<⎩.例 2 求22222220ln(sin cos ), (0)(0,0)a x b x dx a b a b π++≠>>⎰例 3 求101sin(ln ), (0)ln b ax x dx b a x x->>⎰例 4 证明: 0xy xe dy +∞-⎰在[,],(0)a b a >上一致收敛, 但在(0,]b 上不一致收敛.例 5 求22222(0)a x b x ee dx b a x --+∞->>⎰例 6 1) 对极限202xy xye dy +∞-⎰能否进行极限与积分运算次序.2) 2130(22)xy dy y xy e dx +∞--⎰⎰能否交换积分次序.3) 对230()xy F x x edy +∞-=⎰能否交换积分与求导次序.例 7 设10()(,)()u x k x y v y dy =⎰,其中(1)(,)(1)x y x y k x y y x x y-≤⎧=⎨->⎩,v 为[0,1]上的连续函数, 求证: ()()u x v x ''=-.。
数学分析(下)19-1含参量正常积分
§1含参量正常积分对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.一、含参量正常积分的定义二、含参量正常积分的连续性三、含参量正常积分的可微性四、含参量正常积分的可积性五、例题返回一、含参量正常积分的定义(,)f x y [,][,]R a b c d =´设是定义在矩形区域上的定义在[,]c d 上以y 为自变量的一元函数. 倘若这时(,)f x y [,]c d 在上可积, 则其积分值()(,)d ,[,](1)d c I x f x y y x a b =Îò是定义在[,]a b 上的函数.一般地, 设(,)f x y 为定义在区域二元函数.当x 取[,]a b 上的定值时,函数是(,)f x yG数在闭区间[(),()]c x d x 上可积, 则其积分值()()()(,)d ,[,] (2)d x c x F x f x y y x a b =Îò是定义在[,]a b 上的函数.()I x ()F x 用积分形式(1) 和(2) 所定义的这函数与通称为定义在[,]a b 上的含参量x 的(正常)积分, 或简称为含参量积分.二、含参量正常积分的连续性()I x 的连续性(,)f x y 定理19.1() 若二元函数在矩形区域[,][,]R a b c d =´上连续, 则函数=ò()(,)d dc I x f x y y 在[ a , b ]上连续.证设对充分小的[,],x a b Î,[,]x x x a b +Î有D D (若x 为区间的端点,则仅考虑00x x D D ><或), 于是()()[(,)(,)]d ,(3)dc I x x I x f x x y f x y y +-=+-òD D 由于(,)f x y 在有界闭区域R 上连续, 从而一致连续,0,e >0,d >即对任意总存在对R 内任意两点1122(,)(,)x y x y 与，只要1212||,||,x x y y d d -<-<就有-<1122|(,)(,)|. (4)f x y f x y e 所以由(3), (4)可得, ||,x d D 当时<+-£+-ò|()()||(,)(,)|d dc I x x I x f x x y f x y yD D d ().d c x d c e e <=-ò即I (x ) 在[,]a b 上连续.同理可证:若(,)f x y 在矩形区域R 上连续,则含参量y 的积分=ò()(,)d (5)b a J y f x y x 在[c ,d ]上连续.注1对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:若(,)f x y 在矩形区域R 上连续,则对任何Î0[,],x a b 都有®®=òò00lim (,)d lim (,)d .d d c c x x x x f x y y f x y y 这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的.[,][,][,],a b c d c d ´Á´上连续可改为在上连续其中Á为任意区间.注2 由于连续性是局部性质,定理19.1中条件f 在()F x 的连续性(,)f x y 定理19.2() 若二元函数在区域=££££{(,)|()(),}G x y c x y d x a x b 上连续, 其中c (x ), d (x )为[,]a b 上的连续函数, 则函数=ò()()()(,)d (6)d x c x F x f x y y在[,]a b 上连续.证对积分(6)用换元积分法, 令()(()()).y c x t d x c x =+-当y 在c (x )与d (x )之间取值时, t 在[0, 1] 上取值,且d (()())d .y d x c x t =-所以从(6)式可得=ò()()()(,)d d x c x F x f x y y 10(,()(()()))(()())d .f x c x t d x c x d x c x t =+--ò由于被积函数+--(,()(()()))(()())f x c x t d x c x d x c x 在矩形区域[,][0,1]a b ´上连续,由定理19.1得积分(6)所确定的函数F (x ) 在[a , b ]连续.Dx x a b +Î[,](,)(,),f x x y f x y q e D =+-<d d注由于可微性也是局部性质, 定理19.3 中条件f 与[,][,][,],x f a b c d c d ´Á´在上连续可改为在上连续其中Á为任意区间.四、含参量正常积分的可积性由定理19.1与定理19.2推得:()I x 的可积性(,)f x y 定理19.5() 若在矩形区域[,][,]R a b c d =´[,]a b 上连续,则I (x )与J (x )分别在和[,]c d 上可积.这就是说: 在(,)f x y 连续性假设下, 同时存在两个求积顺序不同的积分:éùêúëûòò(,)d d bda c f x y y x éùêúëûòò(,)d d .dbca f x y x y 与为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作òòd (,)d bdacx f x y yòòd (,)d .dbcay f x y x 与前者表示(,)f x y 先对y 求积然后对x 求积, 后者则表示求积顺序相反. 它们统称为累次积分.在(,)f x y 连续性假设下,累次积分与求积顺序无关.(,)f x y =´[,][,]R a b c d 定理19.6若在矩形区域上连续, 则d (,)d d (,)d .(8)bddbaccax f x y y y f x y x =òòòò证记定理19.3,五、例题ln(1)xy +例3计算积分x x1a a+æö另一方面解由于(9)中被积函数1(,)()()n F x t x t f t -=-以及同理()()().n x f x j =()x j 于是附带说明:当x = 0 时,及复习思考题()(,)d ,dc I x f x y x =ò()I x [,)a +¥能否推得在上一致连续?。
数学分析第十九章含参量积分
一般,地 设f(x,y)是定义 G在 {(x,y)|c(x)yd(x),axb}
上的二元, 函 其数 中 c(x),d(x)为定义 [a,在 b]上的连续,若 函对 数
于固定 x的 [a,b], f(x,y)作为 y的一元函[c数 ,d]上 在可,积 则其
积分值[是 a,b在 ]上取值 x的 的函,数 记为 F(x),就有
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其结论也:可li写 mI(为 x)I(x0),即求极限与求 序积
xx0
xl ixm 0cdf(x,y)dycdxl ixm 0 f(x,y)dy, x0[a,b]. 同,若 理二f元 (x,y)函 在数 矩 R[a 形 ,b][c,d]上连 ,则 续 函
J(y)a bf(x,y)dx 在 [c,d]上连 . 续 即有 y l y 0 i a b f m ( x ,y ) d x a b y l y 0 i f ( x m ,y ) d x ,y 0 [ c , d ].
定理 19.1知， F(x)在[a,b]上连.续
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证 :设 x,x x [a,b]于 , ,由 是 I(x)c df(x,y)d y得 I(x xx )I(x)c df(x x, yx )f(x,y)d y.
由微分中 ,f(值 xx定 ,y)理 f(x,y)fx(xx,y)x,01. 因 fx(x,y)在有界R闭 上区 连 ,故 域 续 一致,连 从续 而 0,0,Байду номын сангаас只当 要 x时就 ，有
yc(x)t(d(x)c(x)).
当y在c(x)与d(x)之间取值 ,t在时 [0,1]上取,值 dy(d(x)c(x))dt,故
F(x)cd((xx)) f(x,y)dy10f[x,c(x)t(d(x)c(x))]d((x)c(x))dt,
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第19章 含参量积分
则函数
d
I( x) c f ( x, y)dy
在[ a, b]上可微, 且
d
dx
d
d
c
f ( x, y)dy c
fx ( x, y)dy .
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证 对于[a, b]内任意一点x, 设 x x [a, b] (若 x为 区间的端点, 则讨论单侧函数), 则
I( x x) I( x) d f ( x x, y) f ( x, y)dy .
(1)
是定义在 [ a,b]上的函数.
一般地, 设 f ( x, y)为定义在区域
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G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}
上的二元函数, 其中c (x), d (x)为定义在[a, b]上的连
续函数(图19-1),
y
y d(x)
G
y c(x)
限运算与积分运算的顺序是可以交换的.
注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件 f 在 [a,b][c,d ] 上连续可改为在 [c,d ] 上连续, 其中 为任意区间.
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定理19.2 ( F ( x)的连续性 ) 若二元函数 f ( x, y)在区 域 G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}上连续, 其
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dy (d( x) c( x))dt . 所以从(6)式可得
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy c( x) 1 0 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))dt.
由于被积函数 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))
数学分析 第十九章 课件 含参变量的积分
d c
| x | ，就有 | f ( x x, y ) f ( x. y ) | 因此只要
y [c, d ] 都成立，因而
| I ( x x) I ( x) | | f ( x + x) f ( x, y ) | dy
c d
d c
d
，对
d c
即
I ( x, u ) 在 ( x0 , u0 ) 点连续，由 I ( x0 , u0 ) [a, b] [c, d ]
的任意性，便证得 I ( x, u ) 在[a, b] [c, d ]连续。 （2）由微积分基本定理，I 对u有连续的偏导数
I f ( x, u ) u
又由定理19.2，I对x也有连续的偏导数
注意到 I(0)=0，故
I (1) I (1) I (0) I ( ) d
0
1
1 1 [ ln 2 ln(1 )]d 2 0 1 4 2 1 ln(1 ) 1 1 2 [ ln(1 ) ln 2 arctan ]| d 0 0 1 2 8 2
0
dx 1 cos x 0
1 arctan t 1 0 1 2 1 2 2
因此
I ( ) 1 2 1 2 (1 1 2 )
积分得
I ( )
d 1 2 (1 1 2 )
则 F ( x)
d ( x)
c( x)
f ( x, y)dy 在[a, b]连续。
证明: 令u=d (x) ,v=c (x), I ( x, u ) f ( x, y)dy
数学分析19.2含参量积分之含参量反常积分(含习题及参考答案)
第十九章 含参量积分 2含参量反常积分一、一致收敛性及其判别法概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分⎰+∞c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称⎰+∞c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分.定义1： 若含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f Mc Φ-⎰<ε, 即⎰+∞M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有⎰21),(A A dy y x f <ε.定理19.8：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：+∞→A lim F(A)=0, 其中F(A)=⎰+∞∈AIx dy y x f ),(sup .例1：证明含参量反常积分⎰+∞0sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛.解：令u=xy, 则⎰+∞A dy y xysin =⎰+∞Ax du uu sin (A>0). ∵⎰+∞Axdu uusin 收敛，∴∀ε>0, ∃M>0, 使当A ’>M 时，就有⎰∞+'A du u u sin <ε. 取A δ>M, 则当A>δM时，对一切x ≥δ>0，有xA>M, ∴⎰∞+Axdu uusin <ε, 即⎰∞+Ady y xysin <ε, ∴+∞→A lim F(A)=⎰∞++∞∈+∞→A x A dy y xy sin sup lim ),(δ=0, 由定理19.8知 ⎰+∞sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛. 又 F(A)=⎰∞++∞∈Ax dy yxysin sup ),0(=⎰∞++∞∈Ax x du u u sin sup ),0(≥⎰∞+0sin du u u =2π. ∴⎰+∞0sin dy yxy在(0,+∞)上不一致收敛.注：若对任意[a,b]⊂I, 含参量反常积分在[a,b]上一致收敛，则称在I 上内闭一致收敛.定理19.9：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{A n }(其中A 1=c), 函数项级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.证：[必要性]若⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛, 则∀ε>0, ∃M>c, 使 当A ”>A ’>M 时，对一切x ∈I, 总有⎰'''A A dy y x f ),(<ε.又A n →+∞(n →∞), ∴对正数M, ∃正整数N, 只要当m>n>N 时，就有 A m >A n >M. ∴对一切x ∈I, 就有|u n (x)+…+u m (x)|=⎰⎰+++⋯+11),(),(n nm mA A A Ady y x f dy y x f =⎰+1),(m nA Ady y x f <ε.∴∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.[充分性]若∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛, 而⎰+∞c dy y x f ),(在I 上不一致收敛,则存在某正数ε0, 使对任何实数M>c, 存在相应的A ”>A ’>M 和x ’∈I, 使得⎰''''A A dy y x f ),(≥ε0; 现取M 1=max{1,c}, 则存在A 2>A 1>M 1, 及x 1∈I, 使得⎰21),(1A A dy y x f ≥ε0; 一般地, 取M n =max{n,A 2(n-1)} (n ≥2), 则有A 2n >A 2n-1>M n , 及x n ∈I, 使得⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0.由上述所得数列{A n }为递增数列, 且∞→n lim A n =+∞, 而对级数∑∞=1)(n nx u=∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f , 存在正数ε0, 对任何正整数N,只要n>N, 就有某个x n ∈I, 使得|u 2n (x n )|=⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0,与级数∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛矛盾. ∴⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.魏尔斯特拉斯M 判别法：设函数g(y), 使得 |f(x,y)|≤g(y), (x,y)∈I ×[c,+∞). 若⎰+∞c dy y g )(收敛, 则⎰+∞cdy y x f ),(在I 上一致收敛.狄利克雷判别法：设(1)对一切实数N>c, 含参量正常积分⎰Nc dy y x f ),(对参量x 在I 上一致有界, 即存在正数M, 对一切N>c 及一切x ∈I, 都有⎰Nc dy y x f ),(≤M. (2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)关于y 是单调递减且当y →+∞时, 对参量x, g(x,y)一致收敛于0.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.阿贝尔判别法：设(1)⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.(2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)为y 的单调函数, 且对参量x, g(x,y)在I 上一致有界.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.例2：证明含参量反常积分⎰+∞+021cos dx xxy在(-∞,+∞)上一致收敛. 证：∵对任何实数y, 有21cos x xy +≤211x +, 又反常积分⎰+∞+021xdx收敛. 由魏尔斯特拉斯M 判别法知, 含参量反常积分⎰+∞+021cos dx x xy在(-∞,+∞)上一致收敛.例3：证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛. 证：∵反常积分⎰+∞sin dx xx收敛, ∴对于参量y, 在[0,+∞)上一致收敛. 又函数g(x,y)=e -xy 对每个y ∈[0,+∞)单调, 且对任何0≤y<+∞, x ≥0, 都有|g(x,y)|=|e -xy |≤1. 由阿贝尔判别法知, 含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛.例4：证明含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.证：若[a,b]⊂(0,+∞), 则对任意x ∈[a,b],⎰Naxydy sin =Nax xycos -≤a 2. 又'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21y y =()22211yy +-≤0, 即21y y +关于y 单调减, 且当y →+∞时, 21yy+→0(对x 一致), 由狄利克雷判别法知, 含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在[a,b]上一致收敛. 由[a,b]的任意性知, ⎰+∞+121sin dy yxyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.二、含参量反常积分的性质定理19.10：(连续性)设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若含参量反常积分φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上连续. 证：由定理19.9，对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)， 函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.又由f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，∴每个u n (x)都在I 上连续. 由函数项级数的连续性定理知，函数φ(x)在I 上连续.推论：设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上连续.注：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换，即：⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim0=⎰+∞c dy y x f ),(0=⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim 0.定理19.11：(可微性)设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.证：对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)，令u n (x)=⎰+1),(n nA A dy y x f .由定理19.3推得u n ’(x)=⎰+1),(n nA A x dy y x f .由⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛及定理19.9，可得函数项级数∑∞='1)(n n x u =∑⎰∞=+11),(n A A x n ndy y x f 在I 上一致收敛.根据函数项级数的逐项求导定理，即得：φ’(x) =∑∞='1)(n nx u =∑⎰∞=+11),(n A Ax n ndy y x f =⎰+∞cx dy y x f ),(.或写作⎰+∞c dy y x f dxd ),(=⎰+∞c x dy y x f ),(.推论：设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.定理19.12：(可积性)设f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛，则φ(x)在[a,b]上可积，且⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.证：由定理19.10知φ(x)在[a,b]上连续，从而在[a,b]上可积. 又函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛，且各项u n (x)在[a,b]上连续，根据函数项级数逐项求积定理，有⎰Φbadx x )(=∑⎰∞=1)(n ban dx x u =∑⎰⎰∞=+11),(n baA A n ndy y x f dx =∑⎰⎰∞=+1),(1n baA A dx y x f dy n n，即⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.定理19.13：设f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上连续，若(1)⎰+∞a dx y x f ),(关于y 在[c,+∞)上内闭一致收敛，⎰+∞c dy y x f ),(关于x 在[a,+∞)上内闭一致收敛；(2)积分⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|与⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy |),(|中有一个收敛. 则⎰⎰+∞+∞cady y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞acdx y x f dy ),(.证：不妨设⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|收敛，则⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(收敛. 当d>c 时，记Jd =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(| =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞dc a dy y x f dx ),(-⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|. 由条件(1)及定理19.12可推得：J d =|⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|≤|⎰⎰+∞d Aa dy y x f dx ),(|+⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|. 由条件(2)，∀ε>0, ∃G>a ，使当A>G 时，有⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|<2ε. 选定A 后，由⎰+∞c dy y x f ),(的一致收敛性知，∃M>a ，使得当d>M 时， 有|⎰+∞d dy y x f ),(|<)(2a A -ε. ∴J d <2ε+2ε=ε，即有+∞→d lim J d =0，∴⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy ),(.例5：计算：J=⎰+∞--0sin sin dx xaxbx e px (p>0,b>a). 解：∵xax bx sin sin -=⎰ba xydy cos ，∴J=⎰⎰+∞-0cos b a pxxydy dx e =⎰⎰+∞-0cos ba px xydy e dx .由|e -px cosxy|≤e -px 及反常积分⎰+∞-0dx e px 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知，含参量反常积分⎰+∞-0cos xydx e px 在[a,b]上一致收敛.又e -px cosxy[0,+∞)×[a,b]上连续，根据定理19.12交换积分顺序得： J=⎰⎰+∞-0cos xydx e dy px ba =⎰+bady y p p22=arctan p b - arctan p a .例6：计算：⎰+∞sin dx xax. 解：利用例5的结果，令b=0，则有F(p)=⎰+∞-0sin dx xaxe px=arctan p a (p>0).由阿贝尔判别法可知含参量反常积分F(p)在p ≥0上一致收敛， 又由定理19.10知，F(p)在p ≥0上连续，且F(0)=⎰+∞sin dx xax . 又F(0)=)(lim 0p F p +→=+→0lim p arctan p a =2πagn a. ∴⎰+∞0sin dx xax =2πagn a.例7：计算：φ(r)=⎰+∞-0.cos 2rxdx e x .解：∵|2x e -cosrx|≤2x e -对任一实数r 成立且反常积分⎰+∞-02dx e x 收敛， ∴含参量反常积分φ(r)=⎰+∞-0cos 2rxdx e x 在(-∞,+∞)上收敛. 考察含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x =⎰+∞--0sin 2rxdx xe x ，∵|-x 2x e -sinrx|≤x 2x e -对一切x ≥0, r ∈(-∞,+∞)成立且⎰+∞-02dx e x 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知， 含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x 在(-∞,+∞)上一致收敛.由定理19.11得φ’(r)=⎰+∞--0sin 2rxdx xex =⎰-+∞→-Ax A rxdxxesin lim2=⎪⎭⎫⎝⎛-⎰--+∞→A x Ax A rxdx e r rx e 00cos 2sin 21lim 22=⎰--A x rxdx e r 0cos 22=2r -φ(r). ∴φ(r)=c 42r e -. 又φ(0)=⎰+∞-02dx e x =2π=c. ∴φ(r)=422πr e-.概念2：设f(x,y)在区域R=[a,b]×[c,d)上有定义，若对x 的某些值，y=d 为函数f(x,y)的瑕点，则称⎰dc dy y x f ),(为含参量x 的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分. 若对每一个x ∈[a,b]，⎰dc dy y x f ),(都收敛，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数.定义2：对任给正数ε, 总存在某正数δ<d-c, 使得当0<η<δ时, 对一切x ∈[a,b], 都有⎰-dd dy y x f η),(<ε, 则称含参量反常积分⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛.习题1、证明下列各题 (1)⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛；(2)⎰+∞-02dy eyx 在[a,b] (a>0)上一致收敛；(3)⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛； (4)⎰+∞-0dy xe xy (i)在[a,b] (a>0)上一致收敛，(ii)在[0,b]上不一致收敛； (5)⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛；(6)⎰1px dx(i)在(-∞,b] (b<1)上一致收敛，(ii)在(-∞,1]内不一致收敛； (7)⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.证：(1)∵22222)(y x x y +-≤22222)(y x x y ++≤21x ，且⎰+∞12x dx 收敛，∴⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛. (2)∵当0<a ≤x ≤b 时，yx e2-=yx e21≤ya e21，且⎰+∞12ya edy 收敛，∴⎰+∞-02dy e y x 在[a,b] (a>0)上一致收敛.(3)对任何N>0，∵⎰-Nt atdt e 0sin ≤⎰-Nt dt e 0≤1，即⎰-Nt atdt e 0sin 一致有界. 又t1关于在(0,+∞)单调，且t1→0 (t →∞)，由狄利克雷判别法知，⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛. (4)(i)∵当0<a ≤x ≤b 时，|xe -xy|≤be -ay，且⎰+∞0ay -be 收敛， ∴⎰+∞-0dy xe xy 在[a,b] (a>0)上一致收敛. (ii)方法一：取ε0=21e<0, 则对任何M>0, 令A 1=M, A 2=2M, x 0=M 1, 有 ⎰-2100A A y x dy e x =MM yx e 20-=21e e ->21e=ε0，∴⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛. 方法二：∵⎰+∞-0dy xe xy =⎩⎨⎧≤<=bx x 0,10,0，且xe -xy 在[0,b]×(0,+∞)内连续，由连续性定理知⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛.(5)∵在[b1,b]×(0,1] (b>1)内, |ln(xy)|=|lnx+lny|≤|lnx|+|lny|≤lnb-lny, 且⎰-10)ln (ln dy y b 收敛, ∴⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛.(6)(i)∵当p ≤b<1, x ∈(0,1]时，p x 1≤b x 1，又⎰10b xdx 收敛，∴⎰1px dx在(-∞,b] (b<1)上一致收敛.(ii)当p=1时，⎰1xdx发散，∴对任何A<1，在[A,1]内不一致收敛，即 ⎰1p xdx在(-∞,1]内不一致收敛. (7)记⎰---1011)1(dx x xq p =⎰---21011)1(dx x xq p +⎰---12111)1(dx x x q p =I 1+I 2.对I 1在0≤x ≤21, 0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上， ∵|x p-1(1-x)q-1|≤1100)1(---q p x x且⎰---210110)1(dx x x q p 收敛，∴I 1在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛； 同理可证I 2在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛. ∴⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.2、从等式⎰-ba xydy e =x e e by ay ---出发，计算积分⎰∞+---0dx xe e byay (b>a>0). 解：∵⎰-ba xy dy e=x e e by ay ---，∴⎰∞+---0dx xe e byay=⎰⎰-+∞b a xy dy e dx 0. 又 e -xy 在[0,+∞)×[a,b]内连续，由M 判别法知, ⎰+∞-0dx e xy 在[a,b]内一致收敛.∴⎰∞+---0dx x e e by ay =⎰⎰+∞-0dx e dy xyb a =⎰b a dy y 1=ln ab .3、证明函数F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续. (提示：利用⎰+∞-02dx e x =2π) 证：令x-y=u, 则F(y)=⎰+∞-yu du e2=⎰-02yu du e+⎰+∞-02du eu =⎰-02yu du e +2π. ∵关于y 的积分下限函数⎰-02y u du e 在(-∞,+∞)上连续， ∴F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续.4、求下列积分： (1)⎰∞+---022222dx x e e xb xa(提示：利用⎰+∞-02dx ex =2π)； (2)⎰+∞-0sin dt t xt e t；(3)⎰+∞--02cos 1dx x xye x . 解：(1)∵22222x e e xbxa---=⎰-ba x y dy ye 222，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222bax y dy ye dx ，由M 判别法知⎰+∞-0222dx ye x y 在[a,b]内一致收敛，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222dx yedy x y ba=⎰⎰+∞-0)(222xy d edy x y ba =⎰bady π=(b-a)π.(2)利用例5结果：⎰+∞--0sin sin dt tatbt e pt=arctan p b - arctan p a . (p>0,b>a).当p=1, a=0, b=x 时，有⎰+∞-0sin dt txte t=arctanx. (3)∵2cos 1x xy e x --=⎰-y x dt x xt e 0sin ，∴⎰⎰-+∞yx dt x xt e dx 00sin . 由x xt e x x sin lim 0-→=t 知, x=0不是xxte x sin -的瑕点，又 含参量非正常积分⎰+∞-0sin dx xxte x 在t ∈[0,M]上一致收敛, ∴由(2)有2cos 1x xy e x--=⎰⎰+∞-00sin dx xxt e dt x y =⎰y tdt 0arctan =yarctany-21ln(1+y 2).5、回答下列问题： (1)对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 能否运用极限与积分运算顺序的交换求解？(2)对⎰⎰+∞--132)22(dx e xy y dy xy 能否运用积分顺序交换来求解？(3)对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？ 解：(1)∵F(x)=⎰+∞-022dy xye xy =⎩⎨⎧=>0,00,1x x , ∴F(x)lim 0+→x =1，但⎰+∞-→+022lim dy xye xy x =0，即交换运算后不相等，∴对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 不能运用极限与积分运算顺序的交换求解.注：⎰+∞-022dy xye xy =⎰+∞-0du xe xu 在[0,b]上不一致收敛，并不符合连续性定理的条件.(2)∵⎰⎰+∞--10032)22(dx exy y dy xy =⎰∞+-122dy xyexy =⎰10dy =0；⎰⎰-+∞-1032)22(dy exy y dx xy =⎰+∞-0122dx ey xy =⎰-1dx e x =1；∴对⎰⎰+∞--10032)22(dx e xy y dy xy 不能运用积分顺序交换来求解.注：⎰+∞--032)22(dx e xy y xy =0且⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=-2My 2My e -. 对ε0=1，不论M 多大，总有y 0=M1∈[0,1]，使得⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=2M e 1->1,∴⎰+∞--032)22(dx e xy y xy 在[0,1]不一致收敛，不符合可积性定理的条件. (3)∵F(x)=⎰+∞-032dy e x y x =x, x ∈(-∞,+∞)，∴F ’(x)≡1. 但y x e x x23-∂∂=(3x 2-2x 4y)y x e 2-, 而当x=0时，⎰+∞--0422)23(dy e y x x y x =0. ∴对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 不能运用积分与求导运算顺序交换来求解. 注：∵⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx =⎩⎨⎧=≠0,00,1x x ，∴⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx 在[0,1]上不一致收敛,不符合可微性定理的条件.6、应用：⎰+∞-02dx e ax =212π-a (a>0)，证明： (1)⎰+∞-022dt e t at=234π-a ；(2)⎰+∞-022dt e t at n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n .证：(1)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛， ∴⎰+∞-02dt e da d at =⎰+∞-02dt e dad at =-⎰+∞-022dte t at . 又⎰+∞-02dt e da d at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa da d =-234π-a . ∴⎰+∞-02dx e ax =234π-a . 方法二：⎰+∞-022dt et at =-⎰+∞-0221at tdea =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞-∞+-02221dt ete a at at=⎰+∞-0221dt e aat =234π-a .(2)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at n 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞+-02dt eda d at nn=⎰∞+-02dt e da d at nn =(-1)n ⎰+∞-022dt e t at n . 又⎰∞+-02dt e dad atnn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa dad nn=(-1)n ⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n . ∴⎰+∞-022dt e t atn =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn nan . 方法二：记I n =⎰+∞-022dt e t at n , n=0,1,2,…，(1)中已证I 1=⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯2112)112(2πa=a 2)112(-⨯I 0. 可设I k =a k 2)12(-⨯I k-1，则 I k+1=⎰+∞-+0)1(22dt e t at k =-⎰+∞-+012221at k de t a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞+-∞+-+0120122221k at at k dt e e t a=⎰+∞-+022212dt e t a k at k =ak 21)1(2-+I k=2)2()12](1)1(2[a k k --+I k-1=…= 1)2(!]!1)1(2[+-+k a k I 0=211)2(!]!1)1(2[2π-+-+a a k k .当n=k+1时，有I n =⎰+∞-022dt e t at n =21)2(!)!12(2π--a a k n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn na n . 7、应用⎰+∞+022a x dx =a2π，求()⎰+∞++0122n a x dx.解：记A=a 2, ∵()⎰+∞++012n Axdx在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞++02A x dx dA d nn =⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+021dx A x dA d n n=(-1)nn!()⎰+∞++012n A x dx . 又⎰∞++02A x dx dAd nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛A dA d n n 2π=(-1)n 212!)!12(2π---n n A n . ∴()⎰+∞++012n Axdx=212!!)!12(2π---n n A n n =12!)!2(!)!12(2π---n a n n .8、设f(x,y)为[a,b]×[c,+∞)上连续非负函数，I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(在[a,b]上连续，证明：I(x)在[a,b]上一致收敛.证：任取一个趋于的∞递增数列{A n } (其中A 1=c)，考察级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u .∵f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上非负连续, ∴u n (x)在[a,b]上非负连续. 由狄尼定理知，∑∞=1)(n n x u 在[a,b]上一致收敛，从而∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f 在[a,b]上一致收敛. 又I(x)=dy y x f ⎰+∞),(在[a,b]上连续.∴I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(=∑⎰∞=∞→+11),(lim n A An n ndy y x f [a,b]上一致收敛.9、设在[a,+∞)×[c,d]内成立不等式|f(x,y)|≤F(x,y). 若dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，证明：dx y x f ⎰+∞),(在y ∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.证：∵dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，∴∀ε>0, ∃M>0，对任何A2>A1>M和一切y∈[c,d]，都有⎰21) , (A AdxyxF<ε.∵|f(x,y)|≤F(x,y)，∴⎰21) , (A Adxyxf≤⎰21),(AAdxyxf≤⎰21),(AAdxyxF<ε，∴dxyxf⎰+∞0),(在y∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.。
数学分析19.1含参量积分之含参量正常积分(含练习及答案)
第十九章 含参量积分 1含参量正常积分概念：1、设f(x,y)是定义在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上的二元函数. 当x 取[a,b]上某定值时，函数f(x,y)则是定义在[c,d]上以y 为自变量的一元函数. 若这时f(x,y)在[c,d]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记作φ(x)=⎰dc dy y x f ),(, x ∈[a,b].2、设f(x,y)是定义在区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}上的二元函数, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数，若对于[a,b]上每一固定的x 值，f(x,y)作为y 的函数在闭区间[c(x),d(x)]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记为F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f , x ∈[a,b].3、上面两个函数通称为定义在[a,b]上含参量x 的(正常)积分，或简称含参量积分.定理19.1：(连续性)若二元函数f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则函数φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上连续.证：设x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 于是 φ(x+△x)-φ(x)=⎰-∆+d c dy y x f y x x f )],(),([.∵f(x,y)在有界闭域R 上连续，从而一致连续，即∀ε>0, ∃δ>0, 对R 内任意两点(x 1,y 1)与(x 2,y 2),只要|x 1-x 2|<δ, |y 1-y 2|<δ, 就有|f(x 1,y 1)-f(x 2,y 2)|<ε. ∴当|△x |<δ时, |φ(x+△x)-φ(x)|≤⎰-∆+d c dy y x f y x x f |),(),(|<⎰dc dy ε=ε(d-c). 得证！注：1、同理：若f(x,y)在R 上连续，则含参量y 的积分ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(在[c,d]上连续.2、若f(x,y)在R 上连续，则对任何x 0∈[a,b], 有⎰→dcx x dy y x f ),(lim0=⎰→dc x x dy y x f ),(lim 0.定理19.2：(连续性)设区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数. 若二元函数f(x,y)在G 上连续，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.证：令y=c(x)+t(d(x)-c(x)),∵y ∈[c(x),d(x)],∴t ∈[0,1],且dy=(d(x)-c(x))dt, ∴F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f =⎰--+10))()()))(()(()(,(dt x c x d x c x d t x c x f . 由 被积函数f(x,c(x)+t(d(x)-c(x)))(d(x)-c(x))在矩形区域[a,b]×[0,1]上连续知, F(x)在[a,b]上连续.定理19.3：(可微性)若函数f(x,y)与其偏导数x∂∂f(x,y)都在矩形区域 R=[a,b]×[c,d]上连续，则φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上可微, 且⎰dcdy y x f dx d ),(=⎰∂∂d c dy y x f x ),(. 证：设任一x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 则xx x x ∆-∆+)()(ϕϕ=⎰∆-∆+dcdy xy x f y x x f ),(),(. 由拉格朗日中值定理及f x (x,y)在有界闭域R 上连续(从而一致连续), ∀ε>0, ∃δ>0, 只要|△x|<δ,就有),(),(),(y x f xy x f y x x f x -∆-∆+=|f x (x+θ△x,y)-f x (x,y)|<ε, θ∈(0,1).∴⎰-∆∆d cx dy y x f x ),(ϕ≤⎰-∆-∆+d c x dy y x f x y x f y x x f ),(),(),(<ε(d-c). 即 对一切x ∈[a,b], 有⎰dc dy y x f dxd ),(=⎰∂∂d c dy y x f x),(.定理19.4：(可微性)设f(x,y), f x (x,y)在R=[a,b]×[p,q]上连续，c(x), d(x)为定义在[a,b]上其值含于[p,q]内的可微函数，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微，且F ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x). 证：作复合函数F(x)=H(x,c,d)=⎰dc dy y x f ),(, c=c(x), d=d(x). 由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则有：F ’(x)=H x +H c c ’(x)+H d d ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x).定理19.5：(可积性)若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则 φ(x)=⎰dc dy y x f ),(和ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(分别在[a,b]和[c,d]上可积.注：即在f(x,y)连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡ba d c dx dy y x f ),(与⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a dy dx y x f ),(,或⎰⎰b a d c dy y x f dx ),(与⎰⎰d c b a dx y x f dy ),(.它们统称为累次积分，或二次积分.定理19.6：若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则⎰⎰bad cdy y x f dx ),(=⎰⎰d cbadx y x f dy ),(.证：记φ1(u) =⎰⎰ua dc dy y x f dx ),(, φ2(u) =⎰⎰dc ua dx y x f dy ),(, u ∈[a,b], 则φ1’(u)=⎰uc dx x dud )(ϕ=φ(u). 令H(u,y)=⎰u a dx y x f ),(, 则φ2(u) =⎰d c dy y u H ),(,∵H(u,y)与H u (u,y)=f(u,y)都在R 上连续， ∴φ2’(u)=⎰dc dy y u H dud ),(=⎰d c u dy y u H ),(=⎰d c dy y u f ),(=φ(u). ∴φ1’(u)=φ2’(u), ∴对一切u ∈[a,b], 有φ1(u)=φ2(u)+k (k 为常数). 当u=a 时，φ1(a)=φ2(a)=0, ∴k=0, 即得φ1(u)=φ2(u), u ∈[a,b]. 取u=b, 证得：⎰⎰ba dc dy y x f dx ),(=⎰⎰dc ba dx y x f dy ),(.例1：求⎰+→++aaa a x dx12201lim .解：记φ(a)=⎰+++a a a x dx 1221, ∵a, 1+a, 2211ax ++都是a 和x 的连续函数, 由定理19.2知φ(a)在a=0处连续, ∴)(lim 0a a ϕ→=φ(0)=⎰+1021xdx =4π.例2：设f(x)在x=0的某个邻域U 上连续, 验证当x ∈U 时, 函数φ(x)=⎰---x n dt t f t x n 01)()()!1(1的各阶导数存在, 且φ(n)(x)=f(x). 证：∵F(x,t)=(x-t)n-1f(t)及其偏导数F x (x,t)在U 上连续,由定理19.4可得:φ’(x)=⎰----x n dt t f t x n n 02)())(1()!1(1+)()()!1(11x f x x n n --- =⎰---x n dt t f t x n 02)()()!2(1. 同理φ”(x)=⎰---x n dt t f t x n 03)()()!3(1. 如此继续下去，求得k 阶导数为φ(k)(x)=⎰-----x k n dt t f t x k n 01)()()!1(1.当k=n-1时，有φ(n-1)(x)=⎰xdt t f 0)(. ∴φ(n)(x)=f(x).例3：求I=⎰-1ln dx xx x ab . (b>a>0)解：∵⎰baydy x =x x x ab ln -, ∴I=⎰⎰b a y dy x dx 10. 又x y 在[0,1]×[a,b]上满足定理19.6的条件, ∴I=⎰⎰10dx x dy y ab =⎰+ab dy y 11=ln ab ++11.例4：计算积分I=⎰++121)1ln(dx xx . 证：记φ(a)=⎰++1021)1ln(dx x ax , 则有φ(0)=0, φ(1)=I, 且函数21)1ln(x ax ++在R=[0,1]×[0,1]上满足定理19.3的条件，于是φ’(a)=⎰++102)1)(1(dx ax x x =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++10221111dx ax a x xa a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++⎰⎰⎰10101022211111dx ax a dx x x dx x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++10102102)1ln()1ln(21arctan 11ax x x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++)1ln(2ln 214112a a aπ. ∴⎰'1)(da a ϕ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++102)1ln(2ln 21411da a a a π=102)1ln(8a +π+10arctan 2ln 21a -I =2ln 4π-I. 又⎰'10)(da a ϕ=φ(1)-φ(0)=I, ∴I=2ln 4π-I, 解得I=2ln 8π.习题1、设f(x,y)=sgn(x-y), 试证由含参量积分F(y)=⎰10),(dx y x f 所确定的函数在(-∞,+∞)上连续，并作函数F(y)的图像.证：∵x ∈[0,1], ∴当y<0时, f(x,y)=1; 当y>1时, f(x,y)=-1; 当0≤y ≤1时, F(y)=⎰ydx y x f 0),(+⎰1),(y dx y x f =⎰-y dx 0)1(+⎰1y dx =1-2y.∴F(y)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<11102101y ，y y ，y ，在(-∞,+∞)上连续，图像如图：2、求下列极限：(1)⎰-→+11220lim dx a x a ；(2)⎰→220cos lim axdx x a . 解：(1)∵函数f(x,a)=22a x +在矩形区域R=[-1,1]×[-1,1]上连续，∴⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-11||dx x =1. (2)∵函数f(x,a)=x 2cosax 在矩形区域R=[0,2]×[-1,1]上连续，∴⎰→2020cos lim axdx x a =⎰→2020cos lim axdx x a =⎰202dx x =38.3、设F(x)=⎰-22x x xy dy e , 求F ’(x). 解：F ’(x)=-⎰-222x x y x dy e y +2x 5x e --3x e -.4、应用对参量的微分法，求下列积分：(1)⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a (a 2+b 2≠0)；(2)⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .解：(1)若a=0, 则b ≠0,原式=⎰2022)cos ln(πdx x b =πln|b|+2⎰20)ln(cos πdx x =πln|b|-πln2=πln 2||b ; 同理，若b=0, 则a ≠0, 原式=πln 2||a ; 若a ≠0,b ≠0, 可设 I(b)=⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a , 则 I ’(b)=⎰+2022222cos sin cos ||2πdx x b x a x b =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22tan 1||2πx b a dx b . 记u=ba, t=utanx, 则 I ’(b)=⎰∞+⋅+022211||2dt t u u t b =⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-022222111)1(2dt t u t u b u =||||b a +π.又I(0)=⎰2022)sin ln(πdx x a =πln2||a , I(x)=⎰+x dt t a 0||π+πln 2||a =πln(|a|+x)-πln2. ∴⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =πln(|a|+|b|)-πln2=πln 2||||b a +. (2)设I(a)=⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .当|a|<1时，1-2acosx+a 2≥1-2|a|+a 2=(1-|a|)2>0,∴ln(1-2acosx+a 2)为连续函数，且具有连续导数， ∴I ’(a)=⎰+--π2cos 21cos 22dx ax a x a =⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+π022cos 21111dx a x a a a =a π-⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-π222cos 121)1(1x a a dx a a a =a π-π02tan 11arctan 2⎪⎭⎫⎝⎛-+x aa a =0. ∴当|a|<1时，I(a)=c(常数)，又I(0)=0, ∴I(a)=0. 当|a|<1时，令b=a1, 则|b|<1，有I(b)=0, 于是 I(a)=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-π221cos 2ln dx b x b b =I(b)-2πln|b|=2πln|a|. 当|a|=1时，I(1)=⎰-π0)2cos ln 22ln 2(dx x=0; 同理I(-1)=0, ∴I(a)=⎩⎨⎧>≤1||||ln 21||0a ，a a ，π .注：由(2)或推出(1), 即⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =⎰-++202222)2cos 22ln(πdx x b a b a=⎰-++π02222)cos 22ln(21dt t b a b a=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--π02||||||||cos ||||||||21ln 21dt b a b a t b a b a +πln 2||||b a +=πln 2||||b a +.5、应用积分号下的积分法，求下列积分：(1)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln sin dx x x x x a b (b>a>0)；(2)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x xx x ab (b>a>0). 解：(1)记g(x)=xxx x ab ln 1ln sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛, ∵+→0lim x g(x)=0,∴令g(0)=0时，g(x)在[0,1]连续，于是有I=⎰10)(dx x g =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y .记f(x,y)=x y sin ⎪⎭⎫⎝⎛x 1ln (x>0), f(0,y)=0, 则f(x,y)在[0,1]×[a,b]上连续,∴I=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a y dy dx x x 101ln sin =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-b a t y dydt t e 0)1(sin=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-ba t y dy dt t e 0)1(sin =⎰++b a y dy 2)1(1=arctan(1+b)-arctan(1+a). (2)类似于(1)题可得：⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x x x x ab =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ydy dx x x 101ln cos =dy y y b a ⎰+++2)1(11=2222ln 2122++++a a b b .6、试求累次积分：⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx 与⎰⎰+-102222210)(dx y x y x dy ，并指出，它们为什么与定理19.6的结果不符.解：∵22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x ,22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂22y x y y , ∴⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-101022dy y x x=-⎰+1021y dy =-4π.∵22222)(y x y x +-在点(0,0)不连续，∴与定理19.6的结果不符.7、研究函数F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf 的连续性，其中f(x)在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解：∵f(x)在[0,1]上是正的连续函数, ∴存在正数m, 使得f(x)≥m>0, x ∈[0,1]. 当y>0时, F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf ≥m ⎰+1022dx y x y=marctan y 1; 当y<0时, F(y)=⎰+122)(dx y x x yf ≤m ⎰+1022dx y x y =marctan y 1; ∴+→0lim y F(y)≥+→0lim y marctan y 1=2πm >0, -→0lim y F(y)≤-→0lim y marctan y 1=-2πm <0.∵+→0lim y F(y)≠-→0lim y F(y), ∴F(y)在y=0处不连续. 又当0∉[c,d]时，22)(y x x yf +在[0,1]×[c,d]上连续，∴当y ≠0时，F(y)连续.8、设函数f(x)在闭区间[a,A]上连续，证明：⎰-+→xah dt t f h t f h )]()([1lim0=f(x)-f(a) (a<x<A). 证：⎰-+xa dt t f h t f )]()([=⎰++hx h a dt t f )(-⎰xa dt t f )(=⎰++hx h a dt t f )(-⎰+xh a dt t f )(-⎰+ha a dt t f )(=⎰+hx xdt t f )(-⎰+ha adt t f )(=hf(ξ1)-hf(ξ2), x ≤ξ1≤x+h, a ≤ξ2≤a+h. 当h →0时,ξ1→x, ξ2→a, ∴⎰-+→xa h dt t f h t f h )]()([1lim 0=0lim →h [f(ξ1)-f(ξ2)]=f(x)-f(a).9、设F(x,y)=⎰-xyyx dz z f yz x )()(, 其中f(z)为可微函数, 求F xy (x,y).解：F x (x,y)=⎰xyyxdz z f )(+(x-xy 2)f(xy)y-(x-y·y x )f(y x )·y 1=⎰xy yx dz z f )(+xy(1-y 2)f(xy).F xy (x,y)=xf(xy)+f(y x )·2yx +x(1-y 2)f(xy)-2xy 2f(xy)+x 2y(1-y 2)f ’(xy).10、设E(k)=⎰-2022sin 1πϕϕd k , F(k)=⎰-2022sin 1πϕϕk d . 其中0<k<1.(这两个积分称为完全椭圆积分)(1)试求E(k)与F(k)的导数，并以E(k)与F(k)来表示它们； (2)证明E(k)满足方程：E ”(k)+k1E ’(k)+211k -E(k)=0. (1)解：E ’(k)=-⎰-20222sin 1sin πϕϕϕd k k =-⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----20222222sin 1sin 1sin 111πϕϕϕϕd k k k k =- ⎝⎛-⎰2022sin 111πϕϕd k k +⎪⎪⎭⎫-⎰2022sin 1πϕϕd k =k 1E(k)-k 1F(k). F ’(k)=ϕϕϕπd k k ⎰-203222)sin 1(sin =⎰-20322)sin 1(1πϕϕk d k -⎰-2022sin 11πϕϕk d k . 又322)sin 1(1ϕk -=ϕ222sin 111k k ---ϕϕϕϕ2222sin 1cos sin 1k d d k k --. ∴⎰-20322)sin 1(πϕϕk d =⎰--2222sin 111πϕϕd k k =211k-E(k). 从而有F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k1F(k).(2)证：∵E ”(k)=[k 1E(k)-k 1F(k)]’=-21k E(k)+21k F(k)+k 1E ’(k)-k 1F ’(k),k 1E ’(k)=21k E(k)-21kF(k), ∴E ”(k)=-k 1F ’(k). 又F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k 1F(k)=)1(12k k -E(k)+E ’(x)-k 1E(k)=E ’(x)+21k k -E(k).∴E ”(k)=-k 1E ’(x)-211k -E(k), 即E ”(k)+k 1E ’(k)+211k -E(k)=0.。
冲刺高考数学含参量积分的概念与性质
冲刺高考数学含参量积分的概念与性质在高考数学的众多考点中，含参量积分是一个相对较难但又十分重要的部分。
对于即将面临高考的同学们来说，深入理解含参量积分的概念与性质，掌握相关的解题方法和技巧，是在数学考试中取得高分的关键之一。
一、含参量积分的概念含参量积分是指被积函数中含有参量的积分。
简单来说，如果积分表达式中的被积函数不仅仅是变量 x 的函数，还包含了另一个变量 y （或其他符号表示的参量），那么这样的积分就称为含参量积分。
例如，我们有积分：∫f(x,y)dx ，其中 y 就是参量。
含参量积分主要有两种类型：含参量正常积分和含参量反常积分。
含参量正常积分是指积分上限和下限都是确定的有限值，并且被积函数在积分区间上连续。
比如：∫ₐᵇ f(x,y)dx ，其中 a 和 b 是确定的常数。
含参量反常积分则是指积分上限或者下限是无穷，或者被积函数在积分区间内存在奇点（即函数在该点无定义或极限不存在）。
比如：∫₀^＋∞ f(x,y)dx 。
二、含参量积分的性质1、连续性若函数 f(x,y) 在矩形区域 a,b×c,d 上连续，则含参量正常积分 I(y) ＝∫ₐᵇ f(x,y)dx 在 c,d 上连续。
这意味着当参量 y 在 c,d 内连续变化时，积分的值也会连续变化。
2、可微性若函数 f(x,y) 及其偏导数f'ₓ(x,y) 在矩形区域 a,b×c,d 上连续，则含参量正常积分 I(y) ＝∫ₐᵇ f(x,y)dx 在 c,d 上可微，并且其导数为 I'（y) ＝∫ₐᵇf'ₓ(x,y)dx 。
这个性质在解决一些与导数相关的问题时非常有用。
3、积分顺序交换对于一些特定的含参量积分，我们可以交换积分顺序。
比如对于二元连续函数 f(x,y) 在矩形区域 a,b×c,d 上的积分，∫ₐᵇ（∫ₐᵈ f(x,y)dy)dx ＝∫ₐᵈ（∫ₐᵇ f(x,y)dx)dy 。
《数学分析》第19章 含参量积分ppt课件
c xx0
这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极
限运算与积分运算的顺序是可以交换的.
注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件 f 在 [a,b][c,d ] 上连续可改为在 [c,d ] 上连续, 其中 为任意区间.
定理19.2 ( F ( x)的连续性 ) 若二元函数 fx) y d( x) ,a x b}上连续, 其
三、含参量正常积分的可微性
定理19.3 ( I( x) 的可微性 ) 若函数 f ( x, y)与其偏导
数 fx ( x, y) 都在矩形区域 R [a, b][c, d]上连续,
则函数
d
I( x) c f ( x, y)dy
在[ a, b]上可微, 且
d
dx
d
d
c f ( x, y)dy c fx ( x, y)dy .
设 f ( x, y)是定义在矩形区域 R [ a, b][ c, d]上的
二元函数.当 x取[ a, b]上的定值时,函数 f ( x, y) 是
定义在[ c, d ]上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时
f ( x, y)在[ c, d ]上可积, 则其积分值
d
I( x) c f ( x, y)dy , x [a, b]
(1)
是定义在 [ a,b]上的函数.
一般地, 设 f ( x, y)为定义在区域
G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}
上的二元函数, 其中c (x), d (x)为定义在[a, b]上的连
续函数(图19-1),
y
y d(x)
G
y c(x)
Oa
bx
图 19 1
19数学分析课件含参量积分
第十九章 含参量积分目的与要求：1. 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则；2. 掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法．3. 了解Γ函数与B 函数的定义与有关性质重点与难点：本章重点是含参量正常积分的连续性，可微性和可积性, 含参量反常积分的一致收敛性概念，性质；难点则是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明第一节 含参量正常积分一 含参量正常积分的概念1 定义设二元函数),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上有定义，且对[]b a ,内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间[]d c ,上可积，则定义了x 的函数)(x I =⎰d c dy y x f ),(，∈x []b a , （1）设二元函数),(y x f 在区域{}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=),()(),(上有定义，函数()()x d x c ,为[]b a ,上的连续函数，且对[]b a ,内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间[])(),(x d x c 上可积，则定义了x 的函数)(x F =()()⎰x d x c dy y x f ),(，∈x []b a ,（2） 称（1）和（2）为含参量x 的正常积分．类似可定义含参量y 的正常积分．二 含参量正常积分的连续性、可微性与可积性1 连续性定理19．1(连续性) 若二元函数),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则函数)(x I =⎰dc dy y x f ),(在[]b a ,上连续．证 设∈x []b a ,，对充分小的x ∆，有∈∆+x x []b a ,（若x 为区间端点则考虑0>∆x 或0<∆x ），于是-∆+)(x x I )(x I =⎰-∆+dcdy y x f y x x f )],(),([ （3）由于),(y x f 在有界闭区域R 上连续，从而一致连续，即对任给的正数ε，总存在某个正数δ，对R 内任意两点()11,y x 与()22,y x ，只要δ<-21x x , δ<-21y y就有 ()()ε<-2211,,y x f y x f （4）所以由（3）（4）可得：当δ<∆x ，)()(x I x x I -∆+≤⎰-∆+d c dy y x f y x x f ),(),(≤⎰dc dy ε=()cd -ε这就证得)(x I 在[]b a ,上连续．（同理，若二元函数),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则函数)(y J =⎰ba dx y x f ),(在[]d c ,上连续．） 定理19．1的结论可写成：若二元函数),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则∈∀0x []b a , 都有 ⎰→d c x x dy y x f ),(lim 0⎰→=dc x x dy y x f ),(lim 0（极限运算与积分运算交换顺序）. 定理19．2(连续性) 设二元函数),(y x f 在区域{}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=),()(),(上连续，其中函数()()x d x c ,为[]b a ,上的连续函数，则函数)(x F =()()⎰x d x c dy y x f ),(，∈x []b a , （6） 在[]b a ,上的连续．证明： 对积分（6）作换元，令))()(()(x c x d t x c y -+=，则)(x F =()()⎰x d x c dy y x f ),(=⎰--+10))()()))(()(()(,(dt x c x d x c x d t x c x f 由于))()()))(()(()(,(x c x d x c x d t x c x f --+在矩形[][]1,0,⨯b a 上连续，由定理19．1即得)(x F 在[]b a ,上的连续.2 可微性定理19．3(可微性) 若函数),(y x f 与其偏导数),(y x f x∂∂都在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则)(x I =⎰d cdy y x f ),(在[]b a ,上可微，且⎰d c dy y x f dx d ),(=⎰∂∂dcdy y x f x ),( 证明：设∈x []b a ,，对充分小的x ∆，有∈∆+x x []b a ,（若x 为区间端点则考虑单侧导数），于是 x x I x x I ∆-∆+)()(⎰∆-∆+=dcdy x y x f y x x f ),(),(. 由于拉格朗日中值定理及),(y x f x ∂∂在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续（从而一致连续），即对任给的正数ε，总存在某个正数δ，只要δ<∆x ，就有 ()()()y x f xy x f y x x f x ,,,-∆-∆+=()()εθ<-∆+y x f y x x f x x ,, ()10<<θ 因此()⎰-∆∆dc x dy y x f x I ,()()()dy y x f x y x f y x x fd c x ⎰-∆-∆+≤,,,()c d -<ε 这就证得对一切∈x []b a ,，有 ()x I dx d =⎰∂∂dc dy y x f x ),(． 定理19．4(可微性) 若函数),(y x f 与其偏导数),(y x f x∂∂都在区域[][]q p b a R ,,⨯=上连续，()()x d x c ,为定义在[]b a ,上其值含于[]q p ,的可微函数，则)(x F =()()⎰x d x c dy y x f ),(， 在[]b a ,上可微，且)(x F '=()()⎰x d x c x dy y x f ),(+)())(,(x d x d x f ')())(,(x c x c x f '- （7）证 把)(x F 看作复合函数：)(x F ＝),,(d c x H =⎰dc dy y x f ),(,其中 ()()xd d x c c ==,由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有)(x F dxd =dx dd d H dx dc c H x H ∂∂+∂∂+∂∂=()()⎰x d x c x dy y x f ),(+)())(,(x d x d x f ')())(,(x c x c x f '-3 可积性定理19．5(可积性) 若二元函数),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则函数)(x I =⎰d c dy y x f ),(和)(y J =⎰ba dx y x f ),(分别在[]b a ,和[]dc ,上可积．证 由)(x I ,)(y J 的连续性即知.定理19．6(可积性) 若二元函数),(y x f 在矩形[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则⎰⎰d c b a dy y x f dx ),(=⎰⎰bad c dx y x f dy ),(证 记()=u I 1⎰⎰d c u a dy y x f dx ),(，()=u I 2⎰⎰ua d c dx y x f dy ),(其中∈u []b a ,，现分别求()u I 1与()u I 2的导数.对于()u I 2，令()y u H ,=⎰u a dx y x f ),(，则有()=u I 2()⎰dc dy y u H ,因为()y u H ,与()y u H u ,=),(y u f 都在R 上连续，由定理19．3()u I 2'=()⎰d c dy y u H du d ,()⎰=d c u dy y u H ,⎰=dcdy y u f ),()(u I = 故得()='u I 1()u I 2'，∈u []b a ,，又()a I 1=()a I 20= 故得()u I 1=()u I 2，∈u []b a ,，取b u =即得⎰⎰d c b a dy y x f dx ),(=⎰⎰b ad c dx y x f dy ),(．三 应用的例例1 求⎰+→++αααα12201lim x dx 解 记()=αI ⎰+++ααα1221x dx ，由于2211,1,ααα+++x 连续，所以 ⎰+→++αααα12201lim x dx ＝41102π=+⎰xdx 例2 计算积分解 考虑()=αI ()dx x x ⎰++10211ln α，由定理19．3 =dx x x x x ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++1022211111αααα =()()10221ln 1ln 21arctan 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++x x x ααα =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++απαα1ln 2ln 214112 所以 ()='⎰10ααd I ()ααπααd ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++1021ln 2ln 21411 =()1021ln 8απ+10arctan 2ln 21α+()1I - =2ln 4π()1I -另一方面 ()='⎰10ααd I ()()01I I -()1I =所以 I ()1I =2ln 8π=例3 设()x f 在0=x 的某个邻域内连续，验证当x 充分小时，函数()x ϕ=()()()⎰---x n dt t f t x n 01!11的各阶导数存在，且()()x n ϕ=()x f . 解 ()t x F ,=()()t f t x n 1--及其偏导数()t x F x ,在原点的某方邻域内连续，()x ϕ'=()()()()⎰----xn dt t f t x n n 021!11()()()t f x x n n 1!11---+ =()()()⎰---xn dt t f t x n 02!21 同理 ()()x k ϕ=()()()⎰-----xk n dt t f t x k n 01!11 特别当1-=n k 时有 ()()x n 1-ϕ=()⎰xdt t f 0， 故 ()()x n ϕ=()x f . 例4 求=I dx x x x ab ⎰-1ln 解 因为 ⎰b a y dy x =x x x ab ln -， 所以=I dx x x x a b ⎰-10ln =⎰⎰b a y dy x dx 10=⎰⎰b a y dx x dy 10=⎰+b a dy y 11=a b ++11ln 注：从例子中可体会到含参量的正常积分的分析性质对一些困难的积分的求出提供了方便.作业 p178 1，2，3，4，5，6.第二节 含参量反常积分一 一致收敛性概念及其判别法1 含参量x 的无穷限反常积分定义设函数),(y x f 定义在无界区域{}b x a y c y x R ≤≤+∞<≤=,),(上，若对[]b a ,内每一个固定的x ，反常积分⎰+∞cdy y x f ),(都收敛，则它的值定义了[]b a ,上一个x 的函数，记为)(x I =⎰+∞cdy y x f ),(，∈x []b a , （1）称（1）式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分.2 一致收敛的定义定义1 若含参量的反常积分（1）与函数)(x I 对任给的正数ε，总存在某个实数c N >，使得当N M >时，对一切∈x []b a ,，都有即则称含参量的反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛于)(x I3 一致收敛的柯西准则定理19．7含参量的反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给的正数ε，总存在某个实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切∈x []b a ,，都有例1 证明参量的反常积分在),[+∞δ上一致收敛（其中0>δ），但在),0(+∞上不一致收敛．证 令 xy u =⎰+∞A dy y xy sin =⎰+∞Axdu u u sin 其中0>A ，由于⎰+∞0sin du u u 收敛，故对任给的0>ε，总存在正数M ，使当M A >'时就有ε<⎰+∞'A du u u sin 取M A >δ，则当δM A >时，对一切0>≥δx ，由⎰+∞A dy y xy sin =⎰+∞Axdu u u sin 有 所以⎰+∞0sin dy y xy 在0>≥δx 上一致收敛． 再证⎰+∞sin dy y xy 在),0(+∞上不一致收敛． 按一致收敛的定义,只要证明：存在某一正数0ε，使对任何实数()c M >，总相应地存在某个M A >及某个()∞+∈,0x ，使得 因⎰+∞sin du u u 收敛，故对任何正数0ε与()c M >，总相应地存在某个()0>x ，使得00sin sin ε<-⎰⎰∞+∞+xM du u u du u u 即有 00sin ε-⎰+∞du u u <<⎰+∞du u u x M sin 00sin ε+⎰+∞du u u令0sin 2100>=⎰+∞du uuε,则可得所以⎰+∞sin dy y xy在),0(+∞上不一致收敛． 4 一致收敛的充要条件定理19．8 含参量的反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =()x u n n∑∞=1（7）在[]b a ,上一致收敛．证 [必要性]由（1）在[]b a ,上一致收敛，故对任给的正数ε，必存在c M >，使当M A A >'>''时，对一切∈x []b a ,总有ε<⎰'''A A dy y x f ),( （8）又由()∞→+∞→n A n ，所以对正数M ，存在正整数N ，只要N n m >>时，就有M A A n m >>．由（8）对一切∈x []b a ,，就有 这就证明了级数(7)在[]b a ,上一致收敛. [充分性] 略5 一致收敛的M 判别法设有函数()y g ，使得)(),(y g y x f ≤，b x a ≤≤，+∞<≤y c若()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛．6 一致收敛的狄里克莱判别法（1）对一切实数c N >，含参量的反常积分()⎰Nc dy y x f ,对参量x 在[]b a ,上一致有界，即存在正数M ，对一切，c N >及一切∈x []b a ,，都有()M dy y x f Nc≤⎰,；（2）对每一个∈x []b a ,，函数()y x g ,关于y 是单调递减且当+∞→y 时，对参量x ，()y x g ,一致地收敛于0，则含参量的反常积分()⎰+∞cdy y x g y x f ,),(在[]b a ,上一致收敛．7 一致收敛的阿贝尔判别法（1）设⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛（2）对每一个∈x []b a ,，函数()y x g ,关于y 是单调函数，且对参量x ，()y x g ,在[]b a ,上一致有界，则含参量的反常积分，()⎰+∞cdy y x g y x f ,),(在[]b a ,上一致收敛．例2 证明含参量的反常积分dy xxy⎰+∞+021cos 在()+∞∞-,上一致收敛．证 由22111cos x x xy +≤+，因dy x ⎰+∞+0211收敛和一致收敛的M 判别法即可得．含参量的反常积分dy x xy⎰+∞+021cos 在()+∞∞-,上一致收敛． 例3 证明含参量的反常积分dy xxe xy⎰+∞-0sin 在[]d ,0上一致收敛． 证 由dx x x ⎰+∞sin 收敛从而一致收敛，=-xy e 1≤-xye ，()[]d y x ,0),0[,⨯+∞∈及对每一个[]d y ,0∈,xye -单调，据阿贝尔判别法即得含参量的反常积分dy xxe xy⎰+∞-0sin 在[]d ,0上一致收敛．例4 证明：若),(y x f 在[]),[,+∞⨯c b a 上连续，又⎰+∞cdy y x f ),(在),[b a 上一致收敛，但在b x =处发散，则⎰+∞cdy y x f ),(在),[b a 上不一致收敛．证 反证法．假若积分⎰+∞cdy y x f ),(在),[b a 上一致收敛．则对于任给的0>ε，总存在c M >，当M A A >',时对一切∈x ),[b a 恒有， 由假设),(y x f 在[]),[,+∞⨯c b a 上连续，所以⎰+∞cdy y x f ),(在),[b a 上是x 的连续函数．在上面不等式中令b x →，得到当M A A >>'时，而ε是任给的，因此⎰+∞cdy y x f ),(在b x =处收敛，这与假设矛盾．所以⎰+∞cdy y x f ),(在),[b a 上不一致收敛．二 含参量反常积分的性质 1 连续性定理19．9设),(y x f 在[]),[,+∞⨯c b a 上连续，若含参量反常积分)(x I =⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛，则)(x I 在[]b a ,上连续．证 由定理19．8，对任一递增且趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数)(x I =∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛．又由于),(y x f 在[]),[,+∞⨯c b a 上连续，故每个()x u n 都在[]b a ,上连续．由函数项级数的连续性定理，函数)(x I 在[]b a ,上连续． 2 可微性定理19．10设),(y x f 和),(y x f x 在[]),[,+∞⨯c b a 上连续，若含参量反常积分)(x I =⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上收敛，⎰+∞cxdy y x f),(在[]b a ,上一致收敛，则)(x I 在[]b a ,上可微，且 )(x I '=⎰+∞cxdy y x f),(证 对任一递增且趋于∞+的数列{}n A （其中c A =1），令由定理19．3推得 ()⎰+='1),(n nA A xndy y x fx u由⎰+∞c xdy y x f),(在[]b a ,上一致收敛，及定理19．8，可得()='∑∞=x u n n1∑⎰∞=+11),(n A A xn ndy y x f在[]b a ,上一致收敛，据函数项级数逐项求导定理,即得=')(x I ()='∑∞=x u n n1∑⎰∞=+11),(n A A xn ndy y x f=⎰+∞cxdy y x f),(即⎰+∞cdy y x f dxd),(=⎰+∞cxdy y x f),(3 可积性定理19．11 设),(y x f 在[]),[,+∞⨯c b a 上连续，若)(x I =⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛，则)(x I 在[]b a ,上可积，且⎰⎰+∞bacdy y x f dx ),(=⎰⎰+∞cbadx y x f dy ),(证 由定理19．9知)(x I 在[]b a ,上连续从而可积，又由定理19．9的证明函数项级数)(x I =∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛，由逐项求积定理，即有⎰⎰+∞b acdy y x f dx ),(=⎰badx x I )(=()dxx u n ban∑⎰∞=1=∑⎰⎰∞=+11),(n baA A n ndy y x f dx=∑⎰⎰∞=+11),(n A A ban ndx y x f dy=⎰⎰+∞cbadx y x f dy ),(定理19．12 设),(y x f 在),[),[+∞⨯+∞c a 上连续，若（1）⎰+∞adx y x f ),(关于y 在任何闭区间[]d c ,上一致收敛，⎰+∞cdy y x f ),(于x 在任何闭区间[]b a ,上一致收敛， （2）积分()dy y x f dx ca⎰⎰+∞+∞,与()dx y x f dy ac⎰⎰+∞+∞, （18）中有一个收敛，则dy y x f dx ca⎰⎰+∞+∞),(=dx y x f dy ac⎰⎰+∞+∞),(证 不妨设（18）中第一个积分收敛，由此得 也收敛．当c d >时，d I =dy y x f dx dx y x f dy cadca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞-),(),(=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞--addcadcady y x f dx dy y x f dx dx y x f dy ),(),(),(根据条件（1）及定理19．11，可推得d I =⎰⎰+∞+∞addy y x f dx ),(+≤⎰⎰+∞A addy y x f dx ),(⎰⎰+∞+∞Addy y x f dx ),(+≤⎰⎰+∞Aaddy y x f dx ),(dy y x f dx Ad⎰⎰+∞+∞),( （20）由条件（2），对任给的0>ε，有0>G ，使当G A >时，有选定A 后，由⎰+∞cdy y x f ),(的一致收敛性，存在0>M ，使得当M d >时有这两个结果应用到（20）式得到 即0lim =+∞→d d I ，这就证明了（19）式．三 应用举例例5 计算 I =⎰+∞--0sin sin dx xaxbx e px（a b p >>,0）解 x ax bx sin sin -=⎰baxydy cosI =⎰+∞--0sin sin dx x ax bx epx=⎰⎰+∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0cos dx xydy e b a px=⎰⎰+∞-0cos xydy e dx bapx由于pxpxexy e--≤cos 及反常积分⎰+∞-0dx epx收敛,所以⎰+∞-0cos xydx e px 在],[b a 上一致收敛.又xy e px cos -在],[),0[b a ⨯+∞上连续,I =⎰⎰+∞-b apx xydx e dy cos 0=⎰+badyy p p22=-p b arctan p a arctan 例6 计算⎰+∞sin dx x ax 解 在上例中,令0=b ,则有)(p F ⎰+∞-=0sin dx xaxe px=p a arctan ()0>p由于上述反常积分在0≥p 上一致收敛.从而)(p F 在0≥p 上连续.⎰+∞sin dx x ax=)0(F )(lim 0p F p +→= ⎰+∞-→+=0sin lim dx xaxe pxp =p a p arctan lim 0+→=a sgn 2π例7 计算 )(r ϕ=dx rx e x ⎰+∞-0cos 2解 由 ≤-rx ex cos 22x e-和⎰+∞-02dx ex 收敛，dx rx e x ⎰+∞-0cos 2一致收敛，类似地 ()dx rx e r x ⎰+∞-∂∂0cos 2=dx rx xe x ⎰+∞--0sin 2也一致收敛，)(r ϕ'=dx rx xe x ⎰+∞--0sin 2dx rx xeAxA ⎰-+∞→-=0sin lim 2=Ax A rx e 0sin 21(lim 2-+∞→)cos 2102⎰--Ax rxdx re=⎰+∞--0cos 22rxdx e rx =)(2r r ϕ-于是 )(ln r ϕ=c rln 42+-， )(r ϕ=42r ce -由 )0(ϕ=⎰+∞-02dx e x =2π， 得)(r ϕ=422r e-π四 含参量的无界函数反常积分设),(y x f 在区域],[],[d c b a R ⨯=上有定义，若对某些x 的值，d y =为函数),(y x f 的瑕点，则称⎰dcdy y x f ),(为参量x 的无界函数反常积分．定义2 对任给正数ε，总存在某正数c d -<δ，使得当δη<<0时，对一切],[b a x ∈，都有则称含参量反常积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛．注：可参照含参量无穷限反常积分的办法建立相应的含参量的无界函数反常积分的一致收敛判别法,并讨论它们的性质. 作业 P189 1，2，3，4.第三节 欧拉积分一 欧拉积分的概念 含参量积分)(s Γ=⎰+∞--01dx e x xs ，0>s 称为格马函数),(q p B =⎰---111)1(dx x xq p ，0,0>>q p 称为贝塔函数注：相当一部分困难的定积分和反常积分（如原函数为非初等函数），可通过合适的变量变换转化为欧拉积分，利用欧拉积分的性质，查表来得到近似值． 二 Γ函数 1 定义域由于格马函数)(s Γ=⎰+∞--01dx e x x s ，0>s 可以写成)(s Γ=⎰+∞--01dx e x x s =⎰--101dx e x xs ⎰+∞--+11dx e x xs ()()s J s I +=（1）定义域 由于()s I =⎰--11dx e x x s 当1≥s 时是正常积分，当10<<s 是收敛的反常积分，()s J =⎰+∞--11dx e x x s 当0>s 是收敛的反常积分，故知Γ函数)(s Γ=()s I +()s J 的定义域为0>s （2）Γ函数在定义域0>s 内连续且可导在任何区间[]b a ,()0>a 上，对于函数()s I ，当10≤<x 时有x a x s e x e x ----≤11，由于⎰--101dx e x x a 收敛，从而()s I 在区间[]b a ,上一致收敛，因而连续， 对于()s J ，当∞+≤x 1时，有xb xs e x ex ----≤11，由于⎰+∞--11dx e x x b 收敛，从而()s J 在区间[]b a ,()0>a 上也一致收敛，因而连续，于是Γ函数)(s Γ=()s I +()s J 在定义域0>s 内连续． 用上述同样的方法考察积分()⎰+∞--∂∂01dx e x s xs ⎰+∞--=01ln xdx e x xs 它在任何区间[]b a ,()0>a 上一致收敛.于是)(s Γ在[]b a ,上可导,由b a ,的任意性,)(s Γ在0>s 上可导,且)(s Γ'⎰+∞--=1ln xdx e xxs ,0>s仿照上面的方法,还可推得)(s Γ函数在定义域0>s 内存在任意阶导数．())(s n Γ()⎰+∞--=1ln dx x e x nx s ,0>s2 递推公式)1(+Γs =)(s s Γ⎰-Axs dx e x 0=Ax sex 0--+⎰--Axs dx e x s 01=As eA --+⎰--Ax s dx e x s 01,令+∞→A 即得 )1(+Γs =)(s s Γ设 1+<≤n s n 则 )1(+Γs =)(s s Γ()()()n s n s s s -Γ--== 1n 为正整数时：)1(+Γn =()()1121Γ⋅- n n =⎰+∞-=0!!n dx e n x3 图象()+∞=Γ+→s s 0lim ，()+∞=Γ+∞→s s lim4 延拓()()ss s 1+Γ=Γ，（除了 ,2,1,0--=s 以外） 5 )(s Γ的其他形式（1）令2y x =可得)(s Γ=⎰+∞--01dx e x xs =⎰+∞--01222dy e y ys ,(0>s )（2）令py x =可得)(s Γ=⎰+∞--01dx e x xs =⎰+∞--01dx e y ppy s s,(0>s ,0>p ) 三 B 函数1 ),(q p B 在定义域0,0>>q p 内连续),(q p B =⎰---111)1(dx x xq p ，0,0>>q p 当1<p 时0=x 为瑕点，当1<q 时1=x 为瑕点，应用柯西判别法可证得当0,0>>q p 时,这两个反常积分都收敛,所以),(q p B 的定义域为0,0>>q p .对于任何00>p ,00>q ，有()()11110011-----≤-q p q p x x x x , 00,q q p p ≥≥，而积分()⎰---111001dx x xq p 收敛,故⎰---111)1(dx x x q p 在00,q q p p ≥≥上一致收敛，因而推得),(q p B 函数在定义域0,0>>q p 内连续.2 对称性 ),(q p B =),(p q B作变换y x -=1，),(q p B =⎰---111)1(dx x xq p =⎰---111)1(dy y y q p =),(p q B3 递推公式),(q p B =()1,11-B -+-q p q p q ， （1,0>>q p ） （8）),(q p B =()q p q p p ,111-B -+-， （0,1>>q p ） （9）),(q p B =()()()()()1,12111--B -+-+--q p q p q p q p ， （1,1>>q p ） 证明 当1,0>>q p 时，),(q p B =⎰---111)1(dx x xq p =()()⎰----+-1211111dx x x p q px x q p q p=()[]()⎰-------1211111dx x x x x p q q p p =()⎰----102111dx x x p q q p ()⎰-----101111dx x x p q q p =()1,1-B -q p p q ()q p pq ,1B -- 移项整理即得 ),(q p B =()1,11-B -+-q p q p q公式（9）可由对称性和公式（8）推得,而最后一个公式则可由公式（8）,（9）推得. 4 ),(q p B 的其他形式 （1）令ϕ2cos =x ，则有),(q p B =⎰---111)1(dx x xq p =⎰--21212cos sin 2πϕϕϕd p q .（2）令yyx +=1，则有 ),(q p B =⎰---111)1(dx x xq p =()dy y y qp p ⎰+∞+-+011.（3）令ty 1=，则有()()⎰⎰+-+∞+-+-=+0111111dt t t dy y y qp q qp p ()dy y y qp q ⎰+-+=111),(q p B =()dy y y qp p ⎰+∞+-+011=()dy y y qp p ⎰+-+111()dy y y qp p ⎰+∞+-++111=()dy y y qp p ⎰+-+111()dy y y qp q ⎰+-++111()dy y y y qp q p ⎰+--++=1111四 Γ函数与B 函数的关系当n m ,为正整数时，由于)1,(m B =mdx x m 111=⎰-， ),(n m B =()1,11-B -+-n m n m n =11-+-n m n 22-+-n m n 11+m )1,(m B=11-+-n m n 22-+-n m n 11+m m1=11-+-n m n 22-+-n m n 11+m m 1()()!1!1--m m()()()!1!1!1-+--=n m m n =()()()m n m n +ΓΓΓ 对于任何实数0,0>>q p 也有相同的关系式（待以后证明）),(q p B =()()()q p q p +ΓΓΓ （0,0>>q p ）作业 P194 1，2，3，4.。
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第十九章含参量积分教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。
教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。
教学时数：12学时§1含参量正常积分一. 含参积分:以实例和引入.定义含参积分和.含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分.1. 含参积分的连续性:Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数在上连续 . ( 证) P172Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和在上连续, 则函数在上连续. ( 证) P1732. 含参积分的可微性及其应用:Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数在上可导, 且.( 即积分和求导次序可换) . ( 证) P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在, 值域在上, 且可微, 则含参积分在上可微, 且. ( 证)P174例1 计算积分. P176.例2设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数的阶导数存在, 且. P177.§2 含参反常积分一. 含参无穷积分:1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是无穷区间) . 以为例介绍含参无穷积分表示的函数.2. 含参无穷积分的一致收敛性:逐点收敛( 或称点态收敛) 的定义: , , 使.引出一致收敛问题 .定义(一致收敛性) 设函数定义在上 . 若对, 使对成立, 则称含参无穷积分在( 关于)一致收敛.Th 19.5 ( Cauchy收敛准则) 积分在上一致收敛,对成立 .例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛, 其中. 但在区间内非一致收敛 . P1803. 含参无穷积分与函数项级数的关系:Th 19.6 积分在上一致收敛, 对任一数列, ↗, 函数项级数在上一致收敛. ( 证略)二. 含参无穷积分一致收敛判别法:1. Weierstrass M 判别法: 设有函数, 使在上有. 若积分, 则积分在一致收敛.例2 证明含参无穷积分在内一致收敛. P1822. Dirichlet判别法和Abel判别法: P182三. 含参无穷积分的解析性质: 含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质.1. 连续性: 积分号下取极限定理.Th 19.7 设函数在上连续 . 若积分在上一致收敛, 则函数在上连续. ( 化为级数进行证明或直接证明)推论在Th.7的条件下, 对, 有2. 可微性: 积分号下求导定理.Th 19.8 设函数和在上连续. 若积分在上收敛, 积分在一致收敛. 则函数在上可微,且.3. 可积性: 积分换序定理.Th 19.9 设函数在上连续. 若积分在上一致收敛, 则函数在上可积, 且有.例3 计算积分P186四.含参瑕积分简介:§3 Euler积分本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数, 即和. 它们统称为Euler积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数.一. Gamma函数——Euler第二型积分：1. Gamma函数: 考虑无穷限含参积分,当时, 点还是该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为来讨论其敛散性 .: 时为正常积分 .时, .利用非负函数积的Cauchy判别法, 注意到时积分收敛 . (易见时, 仍用Cauchy判别法判得积分发散). 因此, 时积分收敛 .: 对R成立,.因此积分对R收敛.综上, 时积分收敛 . 称该积分为Euler第二型积分.Euler 第二型积分定义了内的一个函数, 称该函数为Gamma函数, 记为,即=, .函数是一个很有用的特殊函数 .2. 函数的连续性和可导性:在区间内非一致收敛 . 这是因为时积分发散. 这里利用了下面的结果: 若含参广义积分在内收敛, 但在点发散, 则积分在内非一致收敛 .但在区间内闭一致收敛 .即在任何上,一致收敛 . 因为时, 对积分, 有, 而积分收敛.对积分, , 而积分收敛. 由M—判法, 它们都一致收敛, 积分在区间上一致收敛 .作类似地讨论, 可得积分也在区间内闭一致收敛. 于是可得如下结论:的连续性: 在区间内连续 .的可导性: 在区间内可导, 且.同理可得: 在区间内任意阶可导, 且.3. 凸性与极值:, 在区间内严格下凸.( 参下段), 在区间内唯一的极限小值点( 亦为最小值点) 介于1与2 之间 .4. 的递推公式函数表:的递推公式: .证..于是, 利用递推公式得:,,, …………, ,一般地有.可见, 在上, 正是正整数阶乘的表达式 . 倘定义, 易见对,该定义是有意义的. 因此, 可视为内实数的阶乘. 这样一来, 我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了内的所有实数上,于是, 自然就有, 可见在初等数学中规定是很合理的.函数表: 很多繁杂的积分计算问题可化为函数来处理. 人们仿三角函数表、对数表等函数表, 制订了函数表供查. 由函数的递推公式可见, 有了函数在内的值, 即可对, 求得的值. 通常把内函数的某些近似值制成表, 称这样的表为函数表也有在内编制的函数表.)5. 函数的延拓:时, 该式右端在时也有意义 . 用其作为时的定义, 即把延拓到了内.时, 依式, 利用延拓后的, 又可把延拓到内 .依此, 可把延拓到内除去的所有点. 经过如此延拓后的的图象如P192图表19—2.例1 求, , . ( 查表得.)解.), .6. 函数的其他形式和一个特殊值:某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为函数 . 倘能如此, 可查函数表求得该积分的值.常见变形有:ⅰ> 令, 有=,因此, , .ⅱ> 令.注意到P7的结果, 得的一个特殊值.ⅲ> 令, 得. 取, 得.例2 计算积分, 其中.解I.二. Beta函数——Euler第一型积分：1．Beta函数及其连续性：称( 含有两个参数的)含参积分为Euler第一型积分. 当和中至少有一个小于1 时, 该积分为瑕积分. 下证对, 该积分收敛. 由于时点和均为瑕点. 故把积分分成和考虑.: 时为正常积分; 时, 点为瑕点. 由被积函数非负,和,( 由Cauchy判法) 积分收敛 . ( 易见时积分发散).: 时为正常积分; 时, 点为瑕点. 由被积函数非负,和,( 由Cauchy判法) 积分收敛 . ( 易见时积分发散).综上, 时积分收敛. 设D,于是, 积分定义了D内的一个二元函数. 称该函数为Beta函数, 记为, 即=不难验证, 函数在D内闭一致收敛. 又被积函数在D内连续, 因此, 函数是D内的二元连续函数.2. 函数的对称性: .证=.由于函数的两个变元是对称的, 因此, 其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有.3. 递推公式: .证,而,代入式, 有,解得.由对称性, 又有.4. 函数的其他形式:ⅰ> 令, 有,因此得, .ⅱ> 令, 可得, .特别地, , .ⅲ> 令, 有==,即,ⅳ> 令, 可得.ⅴ> , .三. 函数和函数的关系: 函数和函数之间有关系式,以下只就和取正整数值的情况给予证明. 和取正实数值时, 证明用到函数的变形和二重无穷积分的换序.证反复应用函数的递推公式, 有,而.特别地, 且或时, 由于, 就有.余元公式——函数与三角函数的关系：对，有.该公式的证明可参阅: Фихтенгалъц, 微积分学教程Vol 2 第3分册, 利用余元公式, 只要编制出时的函数表, 再利用三角函数表, 即可对, 查表求得的近似值.四.利用Euler积分计算积分:例3 利用余元公式计算.解, .例4 求积分.解令, 有I.例5 计算积分.解, 该积分收敛 . ( 亦可不进行判敛,把该积分化为函数在其定义域内的值, 即判得其收敛 . )I.例6 , 求积分,其中V : .解.而.因此, .第二十章曲线积分教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。
教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。
教学时数：10学时§1 第一型曲线积分一. 第一型线积分的定义:1.几何体的质量: 已知密度函数, 分析线段的质量2.曲线的质量:3.第一型线积分的定义: 定义及记法.线积分,.4.第一型线积分的性质: P198二. 第一型线积分的计算:1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 .Th20.1 设有光滑曲线, . 是定义在上的连续函数 . 则. ( 证) P199若曲线方程为: , 则.的方程为时有类似的公式.例1 设是半圆周, .. P200例1例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分. P200例2空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线,. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有.例3计算积分, 其中是球面被平面截得的圆周 . P201例3解由对称性知, ,=. ( 注意是大圆)§2 第二型曲线积分一.第二型曲线积分的定义:1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功:先用微元法, 再用定义积分的方法讨论这一问题, 得, 即.2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例).设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点处的切向量为, ( 是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段上的流量.,因此,.由, 得.于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为.3. 第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法. 按这一定义, 有力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为.流速场在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为.第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有,因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场沿空间曲线AB所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分.4. 第二型曲线积分的性质:第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma的思想建立的积分 . 因此, 第二型曲线积分具有(R )积分的共性, 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性, 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.二. 第二型曲线积分的计算:曲线的自然方向: 设曲线L由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.设L为光滑或按段光滑曲线, L : .A, B; 函数和在L上连续, 则沿L的自然方向( 即从点A到点B的方向)有. (证略) 例1 计算积分, L的两个端点为A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分从点A到点B或闭合, 路径为ⅰ> 直线段ABⅱ> 抛物线;ⅲ> A( 1, 1 )D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 ), 折线闭合路径 .P205例1例2计算积分, 这里L :ⅰ> 沿抛物线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 );ⅱ> 沿直线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 );ⅲ> 沿折线闭合路径O(0,0)A(1,0 ) B(1,2 ) O(0,0). P205例1例3 计算第二型曲线积分I = , 其中L是螺旋线, 从到的一段 . P207例3例4 求在力场作用下,ⅰ> 质点由点A沿螺旋线到点B所作的功, 其中L: , .ⅱ> 质点由点A沿直线L到点B所作的功P207例4。