用高斯消元法求解线性代数方程组.(优选)

用高斯消元法求解线性代数方程组

1234111

5

-413-2823113-2104151

3-21719x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1111X *⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（X*是方程组的精确解）

1 高斯消去法

1.1 基本思想及计算过程

高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。

为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。

⎪⎩⎪

⎨⎧=++II =++I =++III)

(323034)(5

253)(6432321

321321x x x x x x x x x 把方程（I ）乘（2

3

-

）后加到方程（II ）上去，把方程（I ）乘（2

4-

）后加到方程（III ）上

去，即可消去方程（II ）、（III ）中的x 1，得同解方程组

⎪⎩

⎪

⎨⎧=+-II -=-I =++III)

(20

223)(445.0)(6

4323232321x x x x x x x

将方程（II ）乘（

5

.03

）后加于方程（III ），得同解方程组： ⎪⎩

⎪

⎨⎧-=-II -=-I =++III)

(42)(445.0)(6432332321x x x x x x

由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8，x 1 = -13。

下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将b i 写成a i , n +1，i = 1, 2,…,n 。

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨⎧=++++=++++=+++++++1,3322111

,223232221211,11313212111n n n nn n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a

（1-1）

如果a 11 ≠ 0，将第一个方程中x 1的系数化为1，得

)

1(1,1)1(12)1(121+=+++n n n a x a x a x

其中)0(11

)

0()1(1a

a a

ij

j

=

， j = 1, …, n + 1（记ij ij a a =)

0(，i = 1, 2, …, n ; j = 1, 2, …, n + 1）

从其它n –1个方程中消x 1，使它变成如下形式

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨⎧=++=++=++++++)1(1,)1(2)1(2)

1(1

,2)1(22)1(22)

1(1,1)1(12)1(121n n n nn n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x

（1-2）

其中n i a m a a

ij i ij ij ,,2)1(1)

1( =⋅-=，1,,3,211

)1(1

1+==

n j a a m i i

由方程（1-1）到（1-2）的过程中，元素11a 起着重要的作用，特别地，把11a 称为主元素。

如果（1-2）中0)

1(22≠a ，则以)

1(22a 为主元素，又可以把方程组（1-2）化为：

⎪⎪

⎪

⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=+++=+++++++)2(1

,)2(3)2(3)

3(1,3)2(33)2(33)

2(1

,2)2(23)2(232)

1(1,1)1(12)1(121 n n n nn n n n n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x a x a x a x （1-3）

针对（1-3） 继续消元，重复同样的手段，第k 步所要加工的方程组是：

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪

⎪

⎪⎪⎨⎧=++=++=+++=+++=++++-+---+---+-----++)

1(1,)1()1()

1(1,)1()1()

1(1,1)1()1(11)

2(1

,2)2(23)2(232)

1(1,1)1(13)1(132)1(121 k n n n k nn k k nk k n k n k nn k k kk k n k n k kn k k k k n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x

设0)

1(≠-k kk

a ，第k 步先使上述方程组中第k 个方程中x k 的系数化为1： )

(1,)()(1,k n k n k kn k k k k k a x a x a x ++=++

然后再从其它（n - k ）个方程中消x k ，消元公式为：

⎪⎪⎪

⎩⎪⎪

⎪⎨⎧+=++=⋅-=++==----n

k i n k j a a a a n k k j a a a k kj

k ik k ij k ij k kk k kj

k kj ,11,,11,,1,)

()1()1()()

1()

1()( (1-4) 按照上述步骤进行n 次后，将原方程组加工成下列形式：

⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪⎪⎨

⎧==+=+++=+++++-+---++)(1,)

1(1,1)1(1)

2(1

,2)2(23)2(232)1(1,1)1(13)1(132)1(121 n n n n n n n n n nn n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x

回代公式为：

⎪⎩

⎪

⎨⎧-=-==∑+=++1

,,11

)()

(1,)

(1

, n k x a

a x a x n

k j j

k kj k n k k n n n

n （1-5）

综上所述，高斯消去法分为消元过程与回代过程，消元过程将所给方程组加工成上三角

形方程组，再经回代过程求解。

由于计算时不涉及x i , i = 1, 2, …, n ，所以在存贮时可将方程组AX = b ，写成增广矩阵（A,

b ）存贮。

下面，我们统计一下高斯消去法的工作量；在（1-4）第一个式子中，每执行一次需要