第四章 二次剩余
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所以137(227－1)/2 ≡－1 (mod 227) 因此，137为模227的平方非剩余。
推论 设p是奇素数，(a1, p) ＝1, (a2, p) ＝1, 则
(1)如果a1, a2是模p的平方剩余，则a1a2是模p的平方剩 余；
(2)如果a1, a2是模p的平方非剩余，则a1a2是模p的平方 剩余；
x2 ≡ 46 ≡1(mod 3) x2 ≡ 46 ≡1(mod 5) x2 ≡ 46 ≡4(mod 7) 分别求出三个同余式的解： x ≡ x1 ≡1，－1(mod 3)，x ≡ x2 ≡1，－1(mod 5)， x ≡ x3≡2，－2(mod 7)， 所以原同余式的解为如下同余式组的解：
例5 求解同余式：x2 ≡ 46(mod 105) 。
137(227－1)/2＝137113 (mod 227) 用模重复平方法计算。设m＝227，b＝137，令a＝1， 将113写成二进制：
113＝1＋24＋25＋26 依次计算如下：
运用模重复平方法，依次计算如下：
(1) n0＝1 , 计算 a 0＝a·bn0≡137, b1≡b2 ≡ 1372 ≡155 (mod 227)
(mod
p)
作业：p163 1. 求模 p=13 的二次剩余和二次非剩余。 2.p163 (2) 3. p163(9)
例5 求解同余式：x2 ≡ 46(mod 105) 。
即同余式 x2 ≡ 46(mod 105)的解为： x≡16 ，61 ，79 ，19 ，86 ，26 ，44 ，89 (mod 105) 所以46 是模 105 的平方剩余.
4.2 模ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ奇素数的平方剩余与平方非剩余
定理4.2.1(欧拉判别条件)：设p是奇素数，(a, p)＝1，则
例2 因 12≡1， 22≡4， 32≡2， 42≡2， 52≡4， 62≡1 (mod 7 ) ，所以1，2，4 是模 7 的平方剩余； 而3，5，6是模 7 的平方非剩余。
例3 因为12≡162≡1， 22≡152≡4， 32≡142≡9， 42≡132≡16， 52≡122≡8， 62≡112≡2， 72≡102≡15， 82≡92≡13 (mod 17 ) 。 所以
(2) n1＝0 , 计算 a1＝a0≡137, b2≡b12 ≡ 1552 ≡190 (mod 227)
(3) n2＝0, 计算 a2＝a1≡137, b3≡b22 ≡ 190 2 ≡7 (mod 227)
运用模重复平方法，依次计算如下：
(4) n3＝0 , 计算 a 3＝a2≡137, b4≡b32 ≡72 ≡49 (mod 227)
(i) a 是模 p 的平方剩余的充分必要条件是
p 1
a 2 1(mod p)
(ii) a 是模 p 的平方非剩余的充分必要条件是
p 1
a 2 1(mod p)
当a 是模 p 的平方剩余时，同余式
x2≡a (mod p ) 恰好有两个解。
例1 判断137是否为模227的平方剩余。 解 根据定理4.2.1，计算：
等价于同余式组：
ax2＋bx＋c ≡0 (mod
p1 1
)
ax2＋bx＋c ≡0 (mod
p
2
2
)
…………………………
ax2＋bx＋c ≡0 (mod pk k )
因此，只需讨论模为素数幂 p 的二次同余式：
ax2＋bx＋c ≡0 (mod p )
(2)
其中 p a,
将同余式： ax2＋bx＋c ≡0 (mod p )
而3，5，6，7，10，11，12，14是模 17 的平方非剩余。
1 17
2 17
4 17
8 17
9 17
13 17
15 17
16 17
1
3 17
x ≡1(mod 3) x ≡1(mod 5) x ≡2(mod 7)
x ≡1(mod 3) x ≡ 1(mod 5) x ≡－2 (mod 7)
x ≡1(mod 3) x ≡ － 1(mod 5) x ≡2(mod 7)
x ≡1(mod 3) x ≡ － 1(mod 5) x ≡ － 2(mod 7)
因 12≡1， 22≡4， 32≡4， 42≡1 (mod 5 ) ， 所以1，4 是模 5 的平方剩余； 而2，3是模 5 的平方非剩余。
例4 求满足方程E：y2 ≡x 3＋x＋1(mod 7)的所有整数 对。
解 对 x＝0，1，2，3，4 ，5，6，分别求出 y 。 x＝0， y2 ≡ 1 (mod 7)，y ≡ 1，6 (mod 7 ) ， x＝1， y2 ≡ 3 (mod 7)，无解 ， x＝2， y2 ≡ 4 (mod 7)，y ≡ 2，5 (mod 7 ) ， x＝3， y2 ≡ 3 (mod 7)，无解 ， 所以，满足方程 x＝4， y2 ≡ 6 (mod 7)，无解 ， 的整数对为： x＝5， y2 ≡ 5 (mod 7)，无解 ， (0, 1)， (0, 6)， x＝6， y2 ≡ 6 (mod 7)，无解 。 (2, 2)， (2, 5)，
例5 求解同余式：x2 ≡ 46(mod 105) 。
由中国剩余定理解这些同余式组： 令 m1 ＝3, m2 ＝5, m3 ＝7, m ＝ m1 ·m2 ·m3 ＝105 M1 ＝ m2 ·m3 ＝35, M2 ＝ m1 ·m3 ＝21 , M3 ＝ m1 ·m2 ＝15 分别求解同余式 35M1≡1 (mod 3)，21M2≡1 (mod 5) ， 15M2≡1 (mod 7) 得 M1 ≡ 2 (mod 3)，M2 ≡ 1 (mod 5)，M3 ≡ 1 (mod 7)
有解，则 a 叫做模 m 的平方剩余(或二次剩余)； 否则，a 叫做模 m 的平方非剩余(或二次非剩余)。
例1 因x2≡1 (mod 4 ) 有解 x≡1，－1 (mod 4 )，所 以 1 是模 4 的平方剩余；
对x2≡－1 (mod 4 ) ， x ＝ 0，1，2，3 都不是解， 即x2≡－1 (mod 4 )没有解 ，所以 －1 是模 4 的平 方非剩余；
1，2，4 ，8，9，13，15，16是模 17 的平方剩余； 而3，5，6，7，10，11，12，14是模 17 的平方非剩 余。
1. 求模 4 的平方剩余和平方非剩余。 2. 求模 5 的平方剩余和平方非剩余。
因 12≡1， 32≡1 (mod 4 ) ，所以1是模 4 的平方剩余； 而3是模 4 的平方非剩余。
下：
a p
＝
1 ， 若a 是模 p 的平方剩余 －1 ， 若a 是模 p 的平方非剩余
0， 若pa .
对于(a, p)＝1，有
a
p
＝1
x2≡a (mod m ) 有解，
a
p
＝
－
1
x2≡a (mod m ) 无解，
由例3
1，2，4 ，8，9，13，15，16是模 17 的平方剩余；
(2) n4＝1 , 计算 a4＝a3·b4n4≡130, b5≡b42 ≡ 492 ≡131 (mod 227)
(3) n5＝1, 计算 a5＝a4·b5n5≡5, b6≡b52 ≡1312 ≡136 (mod 227)
(6) n6＝1, 计算 a6＝a5·b6n6≡226≡－1 (mod 227)
(3)如果a1是模p的平方剩余， a2是模p的平方非剩余， 则a1a2是模p的平方非剩余；
定理4.2.2 设p是奇素数，则模p的简化剩余系中平方剩
余与平方非剩余的个数各为(p－1)/2，且(p－1)/2个平
方剩余与序列
12
,22
,…,
(
p
1)
2
2
中的一个且仅与一个同余。
4.3 勒让德符号
定义4.3.1：设p是素数，定义勒让德(Legendre)符号如
第四章 二次同余式与平方剩余
4.1 二次同余式与平方剩余
二次同余式的一般形式是：
ax2＋bx＋c ≡0 (mod m)
(1)
其中 a ≡ 0 (mod m) ,
设 m 有素因数分解：
m
p1 1
p2 2 …
pk k
定理2.1.11和定理2.1.12(定理3.3.1)，二次同余式
ax2＋bx＋c ≡0 (mod m)
定义4.1.1 设 m 是正整数。若同余式
x2≡a (mod m )
(a, m)＝1
有解，则 a 叫做模 m 的平方剩余(或二次剩余)； 否则，a 叫做模 m 的平方非剩余(或二次非剩余)。
例5 求解同余式：x2 ≡ 46(mod 105) 。 解 因为105＝3·5·7，原同余式等价于同余式组：
x ≡ － 1(mod 3) x ≡ － 1(mod 3) x ≡1(mod 5) x ≡ 1(mod 5) x ≡2(mod 7) x ≡－2 (mod 7)
x ≡ － 1(mod 3) x ≡ － 1(mod 5) x ≡2(mod 7)
x ≡ － 1(mod 3) x ≡ － 1(mod 5) x ≡ － 2(mod 7)
例5 求解同余式：x2 ≡ 46(mod 105) 。 由中国剩余定理解这些同余式组： 故 x≡1 ·35 ·2＋1 ·21 ·1 ＋2 ·15 ·1 ≡121≡16 (mod 105) x≡1·35·2＋1 ·21 ·1 ＋(－2) ·15 ·1 ≡61≡61 (mod 105) x≡1·35 ·2＋(－1) ·21 ·1＋2 ·15 ·1 ≡79≡79 (mod 105) x≡1·35·2＋(－1)·21·1＋(－2)·15·1 ≡19≡19 (mod 105) x≡(－1)·35·2＋1·21·1＋2 ·15 ·1 ≡ － 19≡86 (mod 105) x≡(－1)·35·2＋1·21·1＋(－2)·15·1 ≡－79 ≡26 (mod 105) x≡(－1)·35·2＋(－1)·21·1＋2·15 ·1 ≡－62≡44 (mod 105) x≡(－1)·35·2＋(－1)·21·1＋(－2)·15·1≡89 (mod 105)
(2)
两端同时乘以4a，得：
4a2x2＋4abx＋4ac ≡0 (mod p )
或 (2ax＋b) 2≡ b 2 －4ac (mod p )
令 y＝ 2ax＋b， d＝b 2 －4ac有
y 2≡ d (mod p )
定义4.1.1 设 m 是正整数。若同余式
x2≡a (mod m )
(a, m)＝1
5 17
6 17
7 17
10 17
11 17
12 17
14 17
1
定理4.3.1(欧拉判别条件)：设p是奇素数，则对任意整 数a ，
a p
a
p 1 2
推论 设p是奇素数，(a1, p) ＝1, (a2, p) ＝1, 则
(1)如果a1, a2是模p的平方剩余，则a1a2是模p的平方剩 余；
(2)如果a1, a2是模p的平方非剩余，则a1a2是模p的平方 剩余；
x2 ≡ 46 ≡1(mod 3) x2 ≡ 46 ≡1(mod 5) x2 ≡ 46 ≡4(mod 7) 分别求出三个同余式的解： x ≡ x1 ≡1，－1(mod 3)，x ≡ x2 ≡1，－1(mod 5)， x ≡ x3≡2，－2(mod 7)， 所以原同余式的解为如下同余式组的解：
例5 求解同余式：x2 ≡ 46(mod 105) 。
137(227－1)/2＝137113 (mod 227) 用模重复平方法计算。设m＝227，b＝137，令a＝1， 将113写成二进制：
113＝1＋24＋25＋26 依次计算如下：
运用模重复平方法，依次计算如下：
(1) n0＝1 , 计算 a 0＝a·bn0≡137, b1≡b2 ≡ 1372 ≡155 (mod 227)
(mod
p)
作业：p163 1. 求模 p=13 的二次剩余和二次非剩余。 2.p163 (2) 3. p163(9)
例5 求解同余式：x2 ≡ 46(mod 105) 。
即同余式 x2 ≡ 46(mod 105)的解为： x≡16 ，61 ，79 ，19 ，86 ，26 ，44 ，89 (mod 105) 所以46 是模 105 的平方剩余.
4.2 模ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ奇素数的平方剩余与平方非剩余
定理4.2.1(欧拉判别条件)：设p是奇素数，(a, p)＝1，则
例2 因 12≡1， 22≡4， 32≡2， 42≡2， 52≡4， 62≡1 (mod 7 ) ，所以1，2，4 是模 7 的平方剩余； 而3，5，6是模 7 的平方非剩余。
例3 因为12≡162≡1， 22≡152≡4， 32≡142≡9， 42≡132≡16， 52≡122≡8， 62≡112≡2， 72≡102≡15， 82≡92≡13 (mod 17 ) 。 所以
(2) n1＝0 , 计算 a1＝a0≡137, b2≡b12 ≡ 1552 ≡190 (mod 227)
(3) n2＝0, 计算 a2＝a1≡137, b3≡b22 ≡ 190 2 ≡7 (mod 227)
运用模重复平方法，依次计算如下：
(4) n3＝0 , 计算 a 3＝a2≡137, b4≡b32 ≡72 ≡49 (mod 227)
(i) a 是模 p 的平方剩余的充分必要条件是
p 1
a 2 1(mod p)
(ii) a 是模 p 的平方非剩余的充分必要条件是
p 1
a 2 1(mod p)
当a 是模 p 的平方剩余时，同余式
x2≡a (mod p ) 恰好有两个解。
例1 判断137是否为模227的平方剩余。 解 根据定理4.2.1，计算：
等价于同余式组：
ax2＋bx＋c ≡0 (mod
p1 1
)
ax2＋bx＋c ≡0 (mod
p
2
2
)
…………………………
ax2＋bx＋c ≡0 (mod pk k )
因此，只需讨论模为素数幂 p 的二次同余式：
ax2＋bx＋c ≡0 (mod p )
(2)
其中 p a,
将同余式： ax2＋bx＋c ≡0 (mod p )
而3，5，6，7，10，11，12，14是模 17 的平方非剩余。
1 17
2 17
4 17
8 17
9 17
13 17
15 17
16 17
1
3 17
x ≡1(mod 3) x ≡1(mod 5) x ≡2(mod 7)
x ≡1(mod 3) x ≡ 1(mod 5) x ≡－2 (mod 7)
x ≡1(mod 3) x ≡ － 1(mod 5) x ≡2(mod 7)
x ≡1(mod 3) x ≡ － 1(mod 5) x ≡ － 2(mod 7)
因 12≡1， 22≡4， 32≡4， 42≡1 (mod 5 ) ， 所以1，4 是模 5 的平方剩余； 而2，3是模 5 的平方非剩余。
例4 求满足方程E：y2 ≡x 3＋x＋1(mod 7)的所有整数 对。
解 对 x＝0，1，2，3，4 ，5，6，分别求出 y 。 x＝0， y2 ≡ 1 (mod 7)，y ≡ 1，6 (mod 7 ) ， x＝1， y2 ≡ 3 (mod 7)，无解 ， x＝2， y2 ≡ 4 (mod 7)，y ≡ 2，5 (mod 7 ) ， x＝3， y2 ≡ 3 (mod 7)，无解 ， 所以，满足方程 x＝4， y2 ≡ 6 (mod 7)，无解 ， 的整数对为： x＝5， y2 ≡ 5 (mod 7)，无解 ， (0, 1)， (0, 6)， x＝6， y2 ≡ 6 (mod 7)，无解 。 (2, 2)， (2, 5)，
例5 求解同余式：x2 ≡ 46(mod 105) 。
由中国剩余定理解这些同余式组： 令 m1 ＝3, m2 ＝5, m3 ＝7, m ＝ m1 ·m2 ·m3 ＝105 M1 ＝ m2 ·m3 ＝35, M2 ＝ m1 ·m3 ＝21 , M3 ＝ m1 ·m2 ＝15 分别求解同余式 35M1≡1 (mod 3)，21M2≡1 (mod 5) ， 15M2≡1 (mod 7) 得 M1 ≡ 2 (mod 3)，M2 ≡ 1 (mod 5)，M3 ≡ 1 (mod 7)
有解，则 a 叫做模 m 的平方剩余(或二次剩余)； 否则，a 叫做模 m 的平方非剩余(或二次非剩余)。
例1 因x2≡1 (mod 4 ) 有解 x≡1，－1 (mod 4 )，所 以 1 是模 4 的平方剩余；
对x2≡－1 (mod 4 ) ， x ＝ 0，1，2，3 都不是解， 即x2≡－1 (mod 4 )没有解 ，所以 －1 是模 4 的平 方非剩余；
1，2，4 ，8，9，13，15，16是模 17 的平方剩余； 而3，5，6，7，10，11，12，14是模 17 的平方非剩 余。
1. 求模 4 的平方剩余和平方非剩余。 2. 求模 5 的平方剩余和平方非剩余。
因 12≡1， 32≡1 (mod 4 ) ，所以1是模 4 的平方剩余； 而3是模 4 的平方非剩余。
下：
a p
＝
1 ， 若a 是模 p 的平方剩余 －1 ， 若a 是模 p 的平方非剩余
0， 若pa .
对于(a, p)＝1，有
a
p
＝1
x2≡a (mod m ) 有解，
a
p
＝
－
1
x2≡a (mod m ) 无解，
由例3
1，2，4 ，8，9，13，15，16是模 17 的平方剩余；
(2) n4＝1 , 计算 a4＝a3·b4n4≡130, b5≡b42 ≡ 492 ≡131 (mod 227)
(3) n5＝1, 计算 a5＝a4·b5n5≡5, b6≡b52 ≡1312 ≡136 (mod 227)
(6) n6＝1, 计算 a6＝a5·b6n6≡226≡－1 (mod 227)
(3)如果a1是模p的平方剩余， a2是模p的平方非剩余， 则a1a2是模p的平方非剩余；
定理4.2.2 设p是奇素数，则模p的简化剩余系中平方剩
余与平方非剩余的个数各为(p－1)/2，且(p－1)/2个平
方剩余与序列
12
,22
,…,
(
p
1)
2
2
中的一个且仅与一个同余。
4.3 勒让德符号
定义4.3.1：设p是素数，定义勒让德(Legendre)符号如
第四章 二次同余式与平方剩余
4.1 二次同余式与平方剩余
二次同余式的一般形式是：
ax2＋bx＋c ≡0 (mod m)
(1)
其中 a ≡ 0 (mod m) ,
设 m 有素因数分解：
m
p1 1
p2 2 …
pk k
定理2.1.11和定理2.1.12(定理3.3.1)，二次同余式
ax2＋bx＋c ≡0 (mod m)
定义4.1.1 设 m 是正整数。若同余式
x2≡a (mod m )
(a, m)＝1
有解，则 a 叫做模 m 的平方剩余(或二次剩余)； 否则，a 叫做模 m 的平方非剩余(或二次非剩余)。
例5 求解同余式：x2 ≡ 46(mod 105) 。 解 因为105＝3·5·7，原同余式等价于同余式组：
x ≡ － 1(mod 3) x ≡ － 1(mod 3) x ≡1(mod 5) x ≡ 1(mod 5) x ≡2(mod 7) x ≡－2 (mod 7)
x ≡ － 1(mod 3) x ≡ － 1(mod 5) x ≡2(mod 7)
x ≡ － 1(mod 3) x ≡ － 1(mod 5) x ≡ － 2(mod 7)
例5 求解同余式：x2 ≡ 46(mod 105) 。 由中国剩余定理解这些同余式组： 故 x≡1 ·35 ·2＋1 ·21 ·1 ＋2 ·15 ·1 ≡121≡16 (mod 105) x≡1·35·2＋1 ·21 ·1 ＋(－2) ·15 ·1 ≡61≡61 (mod 105) x≡1·35 ·2＋(－1) ·21 ·1＋2 ·15 ·1 ≡79≡79 (mod 105) x≡1·35·2＋(－1)·21·1＋(－2)·15·1 ≡19≡19 (mod 105) x≡(－1)·35·2＋1·21·1＋2 ·15 ·1 ≡ － 19≡86 (mod 105) x≡(－1)·35·2＋1·21·1＋(－2)·15·1 ≡－79 ≡26 (mod 105) x≡(－1)·35·2＋(－1)·21·1＋2·15 ·1 ≡－62≡44 (mod 105) x≡(－1)·35·2＋(－1)·21·1＋(－2)·15·1≡89 (mod 105)
(2)
两端同时乘以4a，得：
4a2x2＋4abx＋4ac ≡0 (mod p )
或 (2ax＋b) 2≡ b 2 －4ac (mod p )
令 y＝ 2ax＋b， d＝b 2 －4ac有
y 2≡ d (mod p )
定义4.1.1 设 m 是正整数。若同余式
x2≡a (mod m )
(a, m)＝1
5 17
6 17
7 17
10 17
11 17
12 17
14 17
1
定理4.3.1(欧拉判别条件)：设p是奇素数，则对任意整 数a ，
a p
a
p 1 2