等腰三角形的判定

不考虑风浪因素）？
O
A
B
.
探 究 新 知
做一做
● 操作一 画△ABC.使∠B＝∠C＝30°
● 操作二 量一量，线段AB与AC的长度。
你发现了什么结论？其他同学的结果与你
的相同吗？
怎样用数
学推理进
AB=AC
行证明呢？
.
如果一个三角形有两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等
已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。
C
符号语言：
在△ABC 中，
∵ BC =AC，∠A =60°
∴ △ABC 是等边三角形． A
B
.
△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分别交AB， AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形.
A
证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
∵ DE∥BC，
D
E
∴ ∠ADE =∠B =60° ， B
A
B
.
已知：在等腰△ABC中，AB=AC， ∠A=60°(或者∠B=60°）
求证：AB=AC=BC A
60°
60°
B
C
你又可以得到什么？
.
推论2：有一个角等于60°的等腰三 角形是等边三角形。
这是由判定定理推导出的又一个定理， 即判定一个三角形是等边三角形的另 外一种方法。
.
等边三角形的判定定理2： 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
A
求证：AB=AC
证明: 作∠BAC的平来自百度文库线AD
∴∠1=∠2 在△BAD和△CAD中
∠B=∠C(已知)
∵ ∠1=∠2(已证)
AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (A.A.S.)
12
B
DC
你还有其 他证法吗
∴ AB= AC (全等三角形的对应边相等)
?
.
已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。
B
C
从以上讲解我们可以得到什么结论？
.
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 。
这是由判定定理推导出的一个定理， 即判定一个三角形是等边三角形的一 种方法。
.
细心观察，探索性质
等边三角形的判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
符号语言：
C
在△ABC 中，
∵ ∠A=∠B =∠C ，
∴ △ABC 是等边三角形．
D
∴AB=AC (等角对等边)
1
3
∵ AD平分∠BAC
2
4
∴ ∠BAD=∠CAD
B
C
∴ AD在等腰△ABC 的顶角的角平分线上
∴ AD⊥BC (等腰三角形的“三线合一”)
小试牛刀
例：如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里
每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从
A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°∠NBC=80°求
∵ BD平分∠ABC B
C
∴ ∠ABD=∠DBC
∴ ∠ABD=∠ADB(等量代换)
∴ AB=AD(等角对等边)
∴AB=AC (等角对等边)
.
已知：在△ABC 中，∠1=∠3,∠2=∠4，AD
平分∠BAC。求证：AD⊥BC
A
证明： ∵ ∠1=∠3,∠2=∠4
∴ ∠1+∠2=∠3+∠4
即 ∠ABC=∠ACB
于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.请你写出
图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关
系
AA
解：EF=BE+CF 理由如下：
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠2＝∠ABO ，∠3＝∠ACO ∵ EF∥BC ∴∠1＝∠2 ，∠3＝∠4
E E
B B
O FF
1 4C
2
3C
∴∠1＝∠ABO ∠4＝∠ACO ∴BE＝EO FC=FO (等角对等边)
求证：AB=AC
A
证明：作AD⊥BC，垂足为D
∴ ∠ADB= ∠ADC=900
在 △BAD和△CAD中，
□
∵
∠B=∠C(已知) ∠ADB= ∠ADC(已证)
B
□ D
AD=AD(公共边） C ∴ △BAD≌△CAD（A.A.S.）
∴AB=AC（全等三角形的对应边
相等）
.
注意：在同一个 等腰三角形的判定定理： 三角形中应用哟！
.
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角， ∠1=∠2， AD∥BC。求证：AB=AC
解：∵AD∥BC
E
1
A2
∴∠1= ∠B (两直线平行，同位角相等） D ∠ 2 ＝ ∠C(两直线平行，内错角相等）
∵ ∠1= ∠2
B
C
∴ ∠B ＝ ∠C(等量代换)
∴AB=AC (等角对等边）
.
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C 求证：AB=AC=BC A
从B处到灯塔C的解距：离∵ ∠NAC=40°∠NBC=80°
∴∠C=∠NBC-∠NAC
C
80° N 北
=80°-40° = 40°
B
∴ ∠C = ∠A
40°
∴ BA=BC（等角对等边）
A
里）∵AB=20×（12-10）=40（海 ∴BC=40 （海里）
答：B处到达灯塔C的距离为40海里。
.
在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交
若AB≠AC，其他 条件不变，图中 还有等腰三角形
∵ EF=EO+FO
吗？(1)中结论还
∴EF＝BE+FC
成立吗？
.
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三 角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
E
1
A2
已知：如图，∠CAE是△ABC D 的外角， ∠1=∠2，AD∥BC
求证：AB=AC
B
C
分析：要证AB=AC，就要证∠B=∠C，而已知 有∠1= ∠2，只要找出∠B、 ∠C与∠1、 ∠2的 关系就可以了。
如果一个三角形有两个角相等，那么 这两个角所对的边也相等
(简写成“等角对等边”)。
A
几何语言：
∵∠B =∠C (已知)
∴ AB=AC(等角对等边) B
C
.
等腰三角形的性质与判定有区别吗? 性质是:1.等边 等角 2.三线合一 判定是:等角 等边
.
已知:如图,DE∥BC,∠1=∠2.求证:BD=CE.
一、复习引入 等腰三角形 定义： 有两边相等的三角形是等腰三角形。 性质1： 等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)
性质2： 等腰三角形的底边上的中线和高线、 顶角平分线互相重合。 (三线合一)
.
问题情境 ：
如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处 遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生 船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（
A
证明： ∵ DE∥BC ∴ ∠1=∠B,∠2=∠C ∵ ∠1=∠2 ∴AD=AE(等角对等边) ∠B=∠C(等量代换)
∴AB=AC (等角对等边) ∴AB-AD=AC-AE
即 BD=CE
D1 2 E
B
C
.
已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC
求证：AB=AD
A
D
证明： ∵ AD∥BC
∴ ∠ADB=∠DBC