等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
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为“藏传佛教的八大神山之首。”我们到达梅里雪山的时候是在早晨，结束了几天的地下生活，到了梅里雪山脚下，阳光刺的我睁不 开眼睛，过了一会终于适应了。阳光明媚，山上的雪被阳光照得熠熠生辉，极蓝与极白相交辉映，看着这样的风景好像心也被洗干净 了，空气里都满是雪的味道。我现在终于体会到什么是壮观，在大自然的面前人类是多么的渺小。巍峨的雪山直插云霄，真是雾笼云 遮缥缈中，浑然浩气贯苍穹。山神说拉着我的手，我啊了一声，有点不好意思，脸红的发烫，感觉都红到耳根了。山神看着我说： “想什么呢，拉着我，我们飞上去，这样会节省不少时间。”这是要是有一条地缝，不管多小，我都要挤进去。可等了半天，山神也 没什么动静，他的手依旧如此冰凉。我以为他还在酝酿，只见他眉头紧皱，我说怎么了，我们怎么还在这里。山神说：“在这里，我 居然不能使用法术，我的法术好像被什么禁锢了一样，没法使出来。”我心想这座山这么厉害，居然连山神的法力都被禁锢了，看来， 我们凶多吉少了，真是壮士一去兮不复返啊。我说：“这样啊，那我们还是走吧，万一在这里挂掉了，我还好，你可怎么办啊，多不 划算啊。”我边说边往回走。山神说：“来都来了，再说了，怕什么，这是神山，不会有什么妖怪的。看来，我们只有爬上去了”。 这里有十三座峰，主峰卡瓦格博峰海拔高达6740米，看着主峰，我咽了口唾沫，心想这次不死也要退层皮了。我们修整了一会开始爬 山，我们就一直走，也无心欣赏身边的风景了，山很陡峭，有几次险些摔倒下去，我们一直提心吊胆地走了一天，到傍晚的时候终于 到达了雪线，我们又继续往前走，天也渐渐暗下来了，想想开始露出来，星星离我们很近，温度逐渐降低，风越来越大，尽管穿着很 厚很厚地冬衣，依然感觉很冷，只要一张口，风吹着雪就直往喉咙里灌，山神怕我摔倒后爬不起来，就一直拉着我走，满眼的白色， 一直看着白色突然头一阵眩晕，一不小心就跌了个狗**。山神连忙把我扶起来。山神还是一身玄色衣服，他无论在什么样的恶劣条件 都是这样，丝毫不受影响。走到后来就是他拖着我走了，他怕我失去意识，就一直不停的跟我说话。我们又走了一夜，到第二天中午， 我们来到了一个山洼里，这的山洼很奇怪，它很宽很大，周围长满了野花和野草，还能看到很多蝴蝶，一条清澈的小溪从旁边流过， 这里这的是一处世外桃源啊，想不到大山之中还能有这样的地方不受风雪的侵扰。山神的眼睛很尖，一下就看到了被草掩埋的相机， 拿起来一看，这是尼康FM3A上面的金属机身已经长锈了，相机更新速度很快，现在已经停产了，我们也不能评这个就判断时间，万一 他是胶卷相机的忠实用户呢，这也说不定，随后我们又找到
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定一．知识点：等腰三角形的判定方法 ①定义：有 的三角形叫做等腰三角形。
②定理：如果一个三角形有 ,那么这两个角所对的边也相等. 简写成“ ”.二．典例分析：例1：如图：（1）已知：OD 平分∠AOB ，ED ∥OB ，求证：EO=ED 。
（2）已知：OD 平分∠AOB ，EO=ED 。
求证：ED ∥OB 。
（3）已知：ED ∥OB ，EO=ED 。
求证：OD 平分∠AOB 。
例2：（1）已知：如图a ，AB=AC ，BD 平分 ∠ABC ，CD 平分∠ACB ，过D 作EF ∥BC 交AB 于E,交AC 于F,则图中有几个等腰三角形?（2）如图b,AB=AC,BF 平分∠ABC 交AC 于F ，CE 平分∠ACB 交AB 于E ，BF 和BE 交于点D ，且EF ∥BC ，则图中有几个等腰三角形?（3）等腰三角形ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，过A 作EF ∥BC 交CD 延长线于E,交BD 延长线于F,则图中有几个等腰三角形?（自己画图）（4）如图c,若将第(1)题中的AB=AC 去掉,其他条件不变,情况会如何?还可证出哪些线段的和差关系?EDCAB （5）如图,若BD,CD 分别平分∠ABC 和∠ACB,过D 作DE ∥AB 交BC 于E,作DF ∥AC 交BC 于F.求证:BC 的长等于△DEF 的周长.推广① 当过△ABC 的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时：(6)如图，已知CE 、CF 分别平分∠ACB 和它的外角，EF∥BC，EF 交AC 于D 。
求证：DE=DF 。
(7)已知BD 、CD 分别平分∠A BC 和∠ACB 的外角，EF∥BC，BD 、CD 与EF 交于D 。
求证： EF ＝ BE －CF ．AE F D B C推广②当过△ABC 的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时：(8)已知AD 、CD 分别平分∠ACB 的外角和∠ACB 的外角，EF∥AC ，AD 、CD 与EF 交于D 。
等腰三角形的判定
A
B
O 已知：如图，在ΔOAB中， ∠A=∠B，求证:OA=OB. A C 证明：过O点作OC⊥AB，垂足为C. 在ΔOAC和ΔOBC中， ∠A=∠B ∠OCA= ∠OCB=90° OC=OC ∴ ΔOAC ≌ΔOBC ∴ OA=OB
B
等腰三角形的判定：
如果一个三角形中有两个角 相等,那么这两个角所对的边也相 等.(等角对等边)
A 有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形。 C
1.两边相等。
2.等边对等角, 3. 三线合一。 4.是轴对称图形.
2.等角对等边,
思考题1 如图,线段AB的端点B在直线 l 上(AB与直线 l 不 垂直)，请在直线 l 上另找一点C,使ΔABC为等腰 三角形，这样的点能找几个？你能说出它们的画 法吗？ A
理由．
B
30
O
60
O
A D
C
心动
不如行动
A
如图:△ABC中AB=AC,∠B=∠C， BD=CE，说明∠1=∠2的理由，
B D
1
2
E ∠1=∠2
C
方法一:
BD=CE ∠B=∠C AB=AC
△ABD≌ △ACE
AD=AE
方法二: △ABD≌ △ACE
方法三:
BE=CD ∠B=∠C AB=AC
∠ADB＝∠AEC
A C
如图，标杆AB高5m， 为了将它固定，需要由 它的中点C向地面上与点 B距离相等的D，E两点 拉两条绳子，使得点D， B，E在一条直线上。量 得DE=4m，绳子CD和 CE要多长？
E
D
B
例1：一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即 测量A,B之间的距离.同学们想出了许多方法,其中小聪 的方法是：从点Ａ出发,沿着与直线AB成60°角的AC方 向前进至C，在C处测得∠C＝30°.量出AC的长，它就是 河宽（即A,B之间的距离）．这个方法正确吗？请说明
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
首先，我们来看一下如何判定一个三角形是否为等腰三角形。
一个三角形是等
腰三角形的条件是它的两条边相等。
这意味着三角形的两条边的长度必须相等，而第三条边可以与它们不相等。
当我们知道一个三角形的三条边的长度时，我们可以通过比较这些长度来判断它是否为等腰三角形。
另外，等腰三角形还具有一些独特的性质。
首先，等腰三角形的两个底角（即
两条边对应的角）是相等的。
这意味着如果我们知道一个等腰三角形的两个底角的大小，我们就可以确定它是等腰三角形。
其次，等腰三角形的高（即从顶点到底边的垂直距离）是对称轴，这意味着等腰三角形的高将底边分成两个相等的部分。
最后，等腰三角形的顶角（即顶点对应的角）是小于180度的锐角。
等腰三角形在几何学中有着广泛的应用。
首先，等腰三角形是其他类型三角形
的特例，因此我们可以通过研究等腰三角形来理解更一般的三角形性质。
其次，等腰三角形的性质可以应用于解决各种几何问题，例如计算三角形的面积、判断一个三角形是否为等边三角形等等。
另外，等腰三角形还经常出现在建筑和工程中，例如等腰三角形的结构可以用于设计桥梁、建筑物和其他结构。
总之，等腰三角形是一种常见的三角形，它具有独特的性质和特征。
通过研究
等腰三角形，我们可以更好地理解三角形的性质和几何学的基本原理。
同时，等腰三角形的应用也广泛存在于各个领域，包括数学、建筑和工程等。
希望本文对读者对等腰三角形有所帮助，也希望读者能够进一步深入研究和应用等腰三角形的知识。
等腰三角形判定
⑶过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，
G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH， 过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式 是否成立？若成立，请证明：
已知:如图,DE∥BC,∠1=∠2.
求证:BD=CE.
证明: ∵∠1=∠2（已知）
∴AD=AE（等角对等边） ∵DE∥BC（已知） ∴∠1=∠B，∠2=∠C ∴∠B=∠C ∴AB=AC（等角对等边） ∴AB－AD=AE－AC B D 1
A
2 E
C
即 BD=CE
例3、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合 的部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 2 解：重合部分是等腰三角形。 理由：由ABDC是矩形知 AD∥BC A ∴∠ 3= ∠ 2 由沿对角线折叠知 1 ∠1=∠3 B 3 ∴ ∠ 1= ∠ 2 ∴ BF=DF（等角对等边）
3、注意：该方法不能直接使用，只能提供一种证等腰 的基本思想，要运用必须予以证明。
1、已知:如图,AD交BC于点O, AB∥CD,OA=OB. 求证:OC=OD
证明:
∵OA=OB(已知) ∴∠A=∠B(等边对等角）
∵AB∥CD(已知) C
A O
B
D
∴∠C= A=∠D. D,∠B=∠C(两直线平行,内错 角相等) ∴OC=OD(等角对等边）
C 110° 20° 50°
A
B
比较本题和练习册P37 7的不同之处。
1、对∠A进行讨论
2、对∠B进行讨论
3、对∠C进行讨论
C
20° 20°
C
65° 65° 50° 35°
C
110° 35°
A C
20° 20°
BA C
50°
等腰三角形的判定和性质
一、等腰三角形的性质 1.定理:等腰三角形的两个底角相等.简述为: 等边对等角 . 2.定理:等腰三角形顶角的平分线、底边上的 中线 、底边上的 高
互相
重合.这一结论通常简述为“三线合一”. 3.等腰三角形两底角的平分线 相等 ;两条腰上的中线 相等 的高 相等 .
;两条腰上
【知识拓展】 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高. 二、等腰三角形的判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形.简述为: 等角对等边 .
知识点一 等腰三角形的性质
【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E. 求证:∠CBE= ∠BAD.
证 明 : 法 一 因 为 AB=AC,AD 是 BC 边 上 的 中 线 , 所 以 AD⊥BC,∠BAD=∠CAD, 所 以 ∠ CAD+ ∠C=90°. 因 为 BE⊥AC, 所 以 ∠ CBE+∠C=90°. 所 以 ∠ CBE=∠CAD, 所 以 ∠CBE=∠BAD. 法二 因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.又因为AD是BC边上的中线,所以AD⊥BC,所以 ∠BAD+ ∠ABC=90°.因为BE⊥AC,所以∠CBE+∠C=90°,所以∠CBE=∠BAD.
解:(1)①②;①③.
(2)请选择(1)中的一种情形,写出证明过程.
解:(2)选①②证明如下:在△BOE和△COD中, 因为∠EBO=∠DCO,∠EOB=∠DOC,BE=CD, 所以△BOE≌△COD,所以BO=CO, 所以∠OBC=∠OCB, 所以∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB, 即∠ABC=∠ACB,所以AB=AC, 即△ABC是等腰三角形. 选①③证明如下: 在△BOC中,因为OB=OC,所以∠OBC=∠OCB. 因为∠EBO=∠DCO, 所以∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB, 即∠ABC=∠ACB,所以AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
等腰三角形的判定
结论： 如果三角形一个外角的平分线 平行于三角形的一边，那么这个三 角形是等腰三角形。
巩固练习三
1.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,试判断 △ABD的形状,并说明理由? 答:△ABD是等腰三角形. A D 3 理由: ∵BD平分∠ABC ∴∠1=∠2 (角平分线定义) 1 2 ∵AD∥BC B C ∴∠2=∠3 (两直线平行,内错角相等) ∴∠1=∠3 ∴AB=AD (等角对等边) 即△ABD是等腰三角形.
开启
智慧
思考1:如图,在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB， BF平分∠ABC，CF平分∠ACB,请想想看,由以上 条件,你能推导出什么结论?并说明理由.
如ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱEG∥BC？ A
E
F
G
B
C
开启 思考 2:
智慧
下例各说法对吗？为什么？
等腰三角形两底角的平分线相等. 等腰三角形两腰上的中线相等. 等腰三角形两腰上的高相等.
巩固练习三
2.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，两 A 底角的平分线BE和CD相交于点O，那么 △OBC是什么三角形？为什么？ 答：△OBC是等腰三角形。 D O E 理由：∵△ABC中，AB=AC ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角） 1 2 C ∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB B 1 1 ∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB， （角平分线定义） 2 2 ∴∠1=∠2 ∴OB=OC （等角对等边） 即△OBC是等腰三角形。
小 结
名称 图 等
腰 三 角 形 B D
形
概 念 性质与边角关系
识
别
A
1.如果AB=AC, 1.两腰相等， 则△ABC是等腰 即AB=AC 有两边 三角形。 相等的 三角形 2.等边对等角,即 2.等角对等边, 即∵ ∠B=∠C 是等腰 ∵AB=AC, ∴ AB=AC。 三角形。 ∴∠B=∠C。 C 3.顶角的平分线、 底边上的中线和高 三线合一。 4.是轴对称图形.
等腰三角形的判定
课堂作业： 课堂作业： 课本P99： ： 课本 第1，2，3，4 ， ， ， 题
敬 请 各 位 老 师 指 导
再见
D
等腰三角形的判定方法： 等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等， 如果一个三角形有两个角相等，那 么这两个角所对的边也相等， 么这两个角所对的边也相等，即这个三角 形是等腰三角形。简单地说， 形是等腰三角形。简单地说， 在同一个三角形中，等角对等边。 在同一个三角形中，等角对等边。 A 用数学语言叙述此判定: 用数学语言叙述此判定 在△ABC中， 中 ∵∠B=∠ ∵∠ ∠C ∴AB=AC(在一个三角形 在一个三角形 B C 中,等角对等边 等角对等边) 等角对等边
欢迎你走进今天的 数学 课堂！
我们在上一节学习了 等腰三角形的性质。 等腰三角形的性质。 现在你能回答我一些 问题吗？ 问题吗？
复习引入
等腰三角形有哪些特征呢？ 等腰三角形有哪些特征呢？ 1.等腰三角形的两腰相等； 等腰三角形的两腰相等 1.等腰三角形的两腰相等； 2.等腰三角形的两个底角相等, 2.等腰三角形的两个底角相等, 等腰三角形的两个底角相等 简称“等边对等角” （简称“等边对等角”）； 3.等腰三角形顶角的平分线 等腰三角形顶角的平分线、 3.等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线和底边上的高互 B 相重合。（简称“三线合一”） 相重合。（简称“三线合一” 。（简称 4.等腰三角形是轴对称图形 对称轴 等腰三角形是轴对称图形,对称轴 等腰三角形是轴对称图形 是底边的中垂线。 是底边的中垂线。 A
A
解： ⊿ABC中 中 ∵AB=AC， ， 等边对等角） ∴ ∠B=∠C （等边对等角） ∠ ∵ ∠ A=600 ∴ ∠B=∠C = 600 ∠ ∴AB=AC=BC
等腰三角形判定定理的证明
等腰三角形判定定理的证明
要证明一个三角形是等腰三角形，需要证明其两条边相等。
设三角形的三条边分别为a、b、c，且为等腰三角形。
不失一般性，假设a=b，则有以下两种情况：
1. 如果a=b=c，则三角形是等边三角形，也是等腰三角形。
2. 如果a=b≠c，则根据等腰三角形的定义，只需要证明c是a 和b的中线即可。
我们可以通过使用三角形的余弦定理来证明这一点。
根据三角形的余弦定理，可以得到以下等式：
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(∠C)
由于a=b，所以a^2 = b^2，上述等式可以简化为：
c^2 = 2a^2 - 2a^2 * cos(∠C)
因为∠C是锐角或直角，所以cos(∠C) < 1，因此2a^2 * cos(∠C) < 2a^2。
因此，c^2 < 2a^2，或者说c < √2 * a。
因此，在这种情况下，c < √2 * a，证明了c是a和b的中线。
因此，三角形是等腰三角形。
综上所述，根据等腰三角形的定义和余弦定理的推导，我们可以得出等腰三角形判定定理的证明。
等腰三角形的判定课件(共21张PPT)
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
等腰三角形的全等判定
等腰三角形的全等判定
有顶角和一底角相等，则三角均对应相等，又知是等腰三角形，所以可以用角边角（底角—腰—顶角）或（腰—顶角—腰）来证明全等。
在一个三角形中，一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
有一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
有一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定等腰三角形是指两条边长相等的三角形。
在几何学中，判断一个三角形是否为等腰三角形一直是重要的问题，本文将介绍几种判定方法。
方法一：根据角度判定一个三角形是等腰三角形的充分必要条件是它有两个角度相等。
设三角形的三个角度为A、B、C，则可以通过比较角度大小来判断等腰三角形。
方法二：根据边长判定另一种常用的判断等腰三角形的方法是根据三角形的边长。
一个三角形是等腰三角形的充分必要条件是它有两条边长相等。
具体判定步骤如下：1. 测量三角形的三条边长，记作a、b、c；2. 判断是否存在两条边长相等的边；3. 如果有两条边长相等的边，那么该三角形就是等腰三角形；4. 如果不存在两条边长相等的边，那么该三角形就不是等腰三角形。
方法三：根据边与角的关系判定还有一种判定等腰三角形的方法是根据边和角之间的关系。
一个三角形是等腰三角形的充分必要条件是它两边之间的夹角相等。
具体判定步骤如下：1. 测量三角形的三个角度，记作A、B、C；2. 查找两个相等的角度；3. 对应这两个相等的角度，判断它们对应的两条边是否相等；4. 如果相等，那么该三角形是等腰三角形。
方法四：使用勾股定理判定勾股定理是指直角三角形中的一个性质，即直角边的平方等于另外两条边平方的和。
据此，可以使用勾股定理判定等腰三角形。
具体判定步骤如下：1. 设等腰三角形的两条等边长度为a，底边长度为b；2. 根据勾股定理，可以得到a^2=b^2/2，或者b^2=2a^2；3. 根据等式判断三角形是否为等腰三角形。
总结：判定一个三角形是否为等腰三角形，可以根据角度、边长、边与角的关系以及勾股定理进行判定。
根据需求选择不同的判定方法，更加准确地判断等腰三角形。
注意：在进行判定时，需要准确测量三角形的角度和边长，以避免误判。
同时，可以结合不同的判定方法进行综合分析，提高判断的准确性。
等腰三角形的判定
思考 2:
下例各说法对吗？为什么？
等腰三角形两底角的平分线相等. 等腰三角形两腰上的中线相等. 等腰三角形两腰上的高相等.
A A A M Q C B
E
B
● ●
D
●● ●●
N C B
P
C
A D ∴∠ADB=∠DBC ∵ BD平分∠ABC
B
B
∴∠ABD=∠DBC
C
∴∠ABD=∠ADB ∴AB=AD
小 结
名称 图 等
腰 三 角 形 B D
形
概 念 性质与边角关系
识
别
A
1.如果AB=AC, 1.两腰相等， 则△ABC是等腰 即AB=AC 有两边 三角形。 相等的 三角形 2.等边对等角,即 2.等角对等边, 即∵ ∠B=∠C 是等腰 ∵AB=AC, ∴ AB=AC。 三角形。 ∴∠B=∠C。 C 3.顶角的平分线、 底边上的中线和高 三线合一。 4.是轴对称图形.
B
D
E
A
3、如图，AC和BD相交于点O，且 AB∥DC，OA=OB。
求证：OC=OD。
C 4、已知：如图，CD是等腰直角三 角形ABC斜边上的高，找出图中有 哪些等腰直角三角形。 等腰直角三角形有： △ABC ， A D △ACD ，△BCD。 5、已知：如图，AD ∥BC，BD平分∠ABC。 证明：∵ AD ∥BC 求证：AB=AD
思考：如图，位于海上A、B两处的两艘救生船 接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果 这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时 赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
O
A
B
1、如图，∠A=36°，∠DBC=36°， ∠C=72°。分别计算∠1、∠2的度数， 并说明图中有哪些等腰三角形。 ∠1=72°，∠2=36° 等腰三角形有：△ABC，△ABD， △BCD。 2、如图，把一张矩形的纸沿对角线 C 折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？
等腰三角形的判定
C
怎样判断一个三角形是 思考 ∴ :作底边上的高可以吗 ⊿ABC是等腰三角形 ?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
数学描述：
A
在△ABC中 ∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC （等角对等边）
B
C
思考：
等腰三角形的性质与判定有区别吗? 不同点： 性质是:等边 判定是:等角 相同点：
二、引入：
等腰三角形的两个底角相等。 （可以简称：等边对等角） 问题：这个命题的逆命题是什么？ 如果一个三角形有两个角相等， 那么这个三角形是等腰三角形。 质疑：这个命题正确吗？
探究一 已知：⊿ABC中，∠B=∠C 求证：（1）AB=AC （2） ⊿ABC是等腰三角形吗？
证明：
作∠BAC的平分线AD A ∴ ∠1=∠2 1 2 在⊿BAD和⊿CAD中， ∠1=∠2， ∠B=∠C， B D AD=AD ∴ ⊿BAD≌ ⊿CAD（AAS） ∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
C
（11）
3、已知：如图（10）， ∠1=∠2， ∠3=∠4， DE∥BC; 求证：DE=DB+EC。
A
F D 证明： E 1 4 ∵DE∥BC 2 3 B ∴∠2=∠DFB,∠3=∠EFC C （10） 又∵∠1=∠2，∠3=∠4 ∴∠1=∠DFB，∠4=∠EFC ∴DF=BD, EF = EC 又∵DE=DF+EF ∴DE=DB+EC
∠ABD= ∠ACE,试判断⊿ADE为正三角形 A E
D B C
再见
综合运用
1、如图△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D 、E分别是BC边上两点，且 ∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三 角形有（ ）个。
2.等腰三角形的判定
反思
1. 等腰三角形的识别 1).根据等腰三角形定义；
2).等角对等边 2.思考等边三角形识别？等边三角形的判定定理有：
1).三个角都相等 的三角形是等边三角形
2).有一个角等于60°等腰三角形叫做等边三角形
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
人要独立生活，学习有用的技艺。 —— 凯德
③等腰三角形是轴对称图形。
思考： 把“等腰三角形的两个底角相等”改写成 “如果------那么-----”的形式。
如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两 个底角相等.
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形 是等腰三角形.
推进新课
如果一个三角形有两个角相等,那么这两 A 个角所对的边也相等
2、如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°。 分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些等腰 三角形。
∠1=72°，∠2=36° 等腰三角形有：△ABC， △ABD， △BCD。
课堂小结
今天你学到了什么?
1、等腰三角形的判定定理：等角对等边。
2、会运用等腰三角形的性质和判定定理进行计 算、证明。
注意：在同 一个三角形 中应用哟！
如果一个三角形有两个角相等，那么这两 个角所对的边也相等 (简写成“等角对等边”)。
几何语言：
A
∵∠B =∠C (已知)
∴ AB=AC(等角对等边)
B C
下列两个图形是否是等腰三角形？
600
600
随堂演练
1.如图，OB=OC,∠ABO=∠ACO,求证：AB=AC. 分析：连结BC, BO=OC ∠OBC=∠OCB ∠ABC=∠ACB AB=AC 证明：连结BC, ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB, 又∵∠ABO=∠ACO，∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC.
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一些独特的性质和判定方法。
在本文中，我们将深入探讨等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。
1. 等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在一个等腰三角形中，两个底边（即两条边长度相等的边）的夹角被称为顶角，而与顶角相对的边被称为等腰边。
下面是等腰三角形具有的一些性质：性质1：等腰三角形的两个底角（即两个底边对应的角）是相等的。
性质2：等腰三角形的顶角（即顶边对应的角）是比两个底角小的锐角。
性质3：等腰三角形的高（从顶角垂直地落到底边的垂线段）会将底边平分。
性质4：等腰三角形的中线（连接两个底角的中垂线）与高重合，且都与底边垂直且等长。
性质5：等腰三角形的重心、内心、外心和垂心会重合在底边上。
2. 判定一个三角形是否为等腰三角形有多种方法可以判定一个三角形是否为等腰三角形。
下面介绍两种常用的判定方法：方法一：通过边长判定若一个三角形的两条边长度相等，则这个三角形是等腰三角形。
我们可以通过测量三角形的边长来判定它是否为等腰三角形。
方法二：通过角度判定若一个三角形的两个底角（即两个底边对应的角）相等，则这个三角形是等腰三角形。
我们可以通过测量三角形的角度来判定它是否为等腰三角形。
3. 应用等腰三角形的性质等腰三角形的性质在几何学中有着广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景：应用一：求解等腰三角形的边长和角度已知等腰三角形的一些长度或角度信息，可以利用等腰三角形的性质来求解剩余的边长和角度。
应用二：证明几何定理在证明几何定理的过程中，可以利用等腰三角形的性质来辅助推导或证明其他定理。
应用三：解决实际问题等腰三角形的性质在实际问题中也有一定的应用价值，例如在设计对称物体、计算三角形的面积等方面。
总结：等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有两个底角相等、顶角较小等性质。
我们可以通过边长或角度来判定一个三角形是否为等腰三角形。
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从B处到灯塔C的解距：离∵ ∠NAC=40°∠NBC=80°
∴∠C=∠NBC-∠NAC
C
80° N 北
=80°-40° = 40°
B
∴ ∠C = ∠A
40°
∴ BA=BC（等角对等边）
A
里）∵AB=20×（12-10）=40（海 ∴BC=40 （海里）
答：B处到达灯塔C的距离为40海里。
.
在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交
若AB≠AC，其他 条件不变，图中 还有等腰三角形
∵ EF=EO+FO
吗？(1)中结论还
∴EF＝BE+FC
成立吗？
.
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三 角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
E
1
A2
已知：如图，∠CAE是△ABC D 的外角， ∠1=∠2，AD∥BC
求证：AB=AC
B
C
分析：要证AB=AC，就要证∠B=∠C，而已知 有∠1= ∠2，只要找出∠B、 ∠C与∠1、 ∠2的 关系就可以了。
∵ BD平分∠ABC B
C
∴ ∠ABD=∠DBC
∴ ∠ABD=∠ADB(等量代换)
∴ AB=AD(等角对等边)
∴AB=AC (等角对等边)
.
已知：在△ABC 中，∠1=∠3,∠2=∠4，AD
平分∠BAC。求证：AD⊥BC
A
证明： ∵ ∠1=∠3,∠2=∠4
∴ ∠1+∠2=∠3+∠4
即 ∠ABC=∠ACB
不考虑风浪因素）？
O
A
B
.
探 究 新 知
做一做
● 操作一 画△ABC.使∠B＝∠C＝30°
● 操作二 量一量，线段AB与AC的长度。
你发现了什么结论？其他同学的结果与你
的相同吗？
怎样用数
学推理进
AB=AC
行证明呢？
.
如果一个三角形有两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等
已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。
D
∴AB=AC (等角对等边)
1
3
∵ AD平分∠BAC
2
4
∴ ∠BAD=∠CAD
B
C
∴ AD在等腰△ABC 的顶角的角平分线上
∴ AD⊥BC (等腰三角形的“三线合一”)
小试牛刀
例：如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里
每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从
A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°∠NBC=80°求
A
求证：AB=AC
证明: 作∠BAC的平分线AD
∴∠1=∠2 在△BAD和△CAD中
∠B=∠C(已知)
∵ ∠1=∠2(已证)
AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (A.A.S.)
12
B
DC
你还有其 他证法吗
∴ AB= AC (全等三角形的对应边相等)
?
.
已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。
求证：AB=AC
A
证明：作AD⊥BC，垂足为D
∴ ∠ADB= ∠ADC=900
在 △BAD和△CAD中，
□
∵
∠B=∠C(已知) ∠ADB= ∠ADC(已证)
B
□ D
AD=AD(公共边） C ∴ △BAD≌△CAD（A.A.S.）
∴AB=AC（全等三角形的对应边
相等）
.
注意：在同一个 等腰三角形的判定定理： 三角形中应用哟！
A
B
.
已知：在等腰△ABC中，AB=AC， ∠A=60°(或者∠B=60°）
求证：AB=AC=BC A
60°
60°
B
C
你又可以得到什么？
.
推论2：有一个角等于60°的等腰三 角形是等边三角形。
这是由判定定理推导出的又一个定理， 即判定一个三角形是等边三角形的另 外一种方法。
.
等边三角形的判定定理2： 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
A
证明： ∵ DE∥BC ∴ ∠1=∠B,∠2=∠C ∵ ∠1=∠2 ∴AD=AE(等角对等边) ∠B=∠C(等量代换)
∴AB=AC (等角对等边) ∴AB-AD=AC-AE
即 BD=CE
D1 2 E
B
C
.
已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC
求证：AB=AD
A
D
证明： ∵ AD∥BC
∴ ∠ADB=∠DBC
一、复习引入 等腰三角形 定义： 有两边相等的三角形是等腰三角形。 性质1： 等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)
性质2： 等腰三角形的底边上的中线和高线、 顶角平分线互相重合。 (三线合一)
.
问题情境 ：
如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处 遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生 船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（
如果一个三角形有两个角相等，那么 这两个角所对的边也相等
(简写成“等角对等边”)。
A
几何语言：
∵∠B =∠C (已知)
∴ AB=AC(等角对等边) B
C
.
等腰三角形的性质与判定有区别吗? 性质是:1.等边 等角 2.三线合一 判定是:等角 等边
.
已知:如图,DE∥BC,∠1=∠2.求证:BD=CE.
.
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角， ∠1=∠2， AD∥BC。求证：AB=AC
解：∵AD∥BC
E
1
A2
∴∠1= ∠B (两直线平行，同位角相等） D ∠ 2 ＝ ∠C(两直线平行，内错角相等）
∵ ∠1= ∠2
B
C
∴ ∠B ＝ ∠C(等量代换)
∴AB=AC (等角对等边）
.
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C 求证：AB=AC=BC A
B
C
从以上讲解我们可以得到什么结论？
.
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 。
这是由判定定理推导出的一个定理， 即判定一个三角形是等边三角形的一 种方法。
.
细心观察，探索性质
等边三角形的判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
符号语言：
C
在△ABC 中，
∵ ∠A=∠B =∠C ，
∴ △ABC 是等边三角形．
于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.请你写出
图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关
系
AA
解：EF=BE+CF 理由如下：
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠2＝∠ABO ，∠3＝∠ACO ∵ EF∥BC ∴∠1＝∠2 ，∠3＝∠4
E E
B B
O FF
1 4C
2
3C
∴∠1＝∠ABO ∠4＝∠ACO ∴BE＝EO FC=FO (等角对等边)
C
符号语言：
在△ABC 中，
∵ BC =AC，∠A =60°
∴ △ABC 是等边三角形． A
B
.
△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分别交AB， AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形.
A
证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
∵ DE∥BC，
D
∴ ∠ADE =∠B =60° ， B