附录圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程介绍
节故所求椭圆方程为 x2 y2 1 ． 36 27
肀（II）记椭圆的右顶点为 A ，并设 AFPi i （ i 1，2，3），不失一般性，
莇假设 0 ≤1
2 3
，且 2
1
2 3
，3
1
4 3
．
螆又设点
Pi
在l
上的射影为 Qi
，因椭圆的离心率 e
c a
1 2
，从而有
蚃 FPi
PiQi
e
a2 c
来确定：
肄作射线 OM（如图二）使 XOM ，在 OM 的反向延长线上 P 点，使| OP || | ， 那么 P 点就是极坐标是（ ， ）的点 ( 0) ．
蒈
羅l
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。3
命运如同手中的掌纹，无论多曲折，终掌握在自己手中。
艿 袃O
芆M 莀X
芃 P(, ) ( <0)
命运如同手中的掌纹，无论多曲折，终掌握在自己手中。
袀(22) (本小题满分 12 分)如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（3，0），右准线的 方程为：x = 12。 羇（1）求椭圆的方程；
薃（2）在椭圆上任取三个不同点 P1 , P2 , P3 ，使 P1FP2 P2 FP3 P3 FP1 ，证明
袇这就是圆锥曲线的极坐标方程．
膃注意：对于椭圆和双曲线的一支，有 p b2 (b, c 0) ．然而对于抛物线，其中的 p c
即为抛物线标准方程 y2 2 px( p 0) 中的 p ．
虿下面我们就可以使用极坐标方程的方法很容易的解出重庆市０７年高考最后一题的 第二问．
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。3
莃Q 肂
肁 蒃p 袂G 蒇F
圆锥曲线的参数方程与极坐标方程的性质解析
圆锥曲线的参数方程与极坐标方程的性质解析圆锥曲线是在平面上绕着一个固定点旋转而生成的曲线。
它可以通过参数方程或极坐标方程来描述。
本文将重点分析圆锥曲线的参数方程和极坐标方程的性质，并对其进行解析。
一、参数方程的性质解析参数方程是将曲线上的每一个点的坐标表示为一个参数的函数。
对于圆锥曲线而言，其参数方程形式为:x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示曲线上某一点的坐标，t是参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。
1. 参数方程的灵活性相比于其他方程形式，参数方程具有较高的灵活性。
它可以描述复杂的曲线形状，并能够轻易地对曲线进行调整和变换。
例如，通过改变参数的取值范围或参数方程的函数表达式，可以得到不同形状的圆锥曲线。
2. 参数方程的解析性质由于参数方程中的每个变量都是独立的，因此可以分别研究x和y与参数t的关系。
这使得我们能够更好地理解曲线的性质和特点。
例如，通过对参数t的逐渐增减，可以得到曲线上的点的轨迹，并进一步分析其变化规律。
3. 曲线的方程与参数方程的关系圆锥曲线的参数方程可以通过消除参数t来得到与之对应的方程。
具体而言，将参数方程中的t表示为与x和y有关的表达式后，将其代入另一个参数方程中，消去t即得到方程形式。
这种转换使得我们能够从方程的角度更加全面地理解曲线。
二、极坐标方程的性质解析极坐标方程是将曲线上的每一个点的坐标表示为极坐标下的径向距离r和极角θ。
对于圆锥曲线而言，其极坐标方程形式为: r = f(θ)其中，r表示点到极点的距离，θ表示点与极轴的夹角，f(θ)是关于θ的函数。
1. 极坐标方程的简洁性极坐标方程是用极坐标形式直接描述曲线的方程形式，相比于笛卡尔坐标系下的方程，更具有简洁性。
通过极坐标方程，我们可以直观地了解曲线在极坐标系下的性质和特点。
2. 极坐标方程的周期性对于某些特定的圆锥曲线，它们的极坐标方程具有周期性。
也就是说，当θ的取值范围在一定的区间内变化时，曲线的形状会在一定的规律下重复出现。
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。
今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而θρρcos +==p DPOP e ，即θρcos 1e ep -=椭圆（双曲线）的焦参数cb p 2=（极和极线的距离）椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（如右图）其中02>=cb p 是定点F 到定直线的距离， 当10<<e 时，方程表示椭圆；当1>e 时，方程表示双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线右支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向右的抛物线。
引论:（1）若θρcos 1e ep+=当10<<e 时，方程表示极点在右焦点上的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在左焦点的双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线左支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向左的抛物线。
（2）若θρsin 1e ep-=10<<e 时，方程表示极点在下焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在上焦点上的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向上的抛物线。
（3）1sin ep e ρθ=+当10<<e 时，方程表示极点在上焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在下焦点的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向下的抛物线。
整体对比：θρcos 1e ep -=θρcos 1e ep +=θρsin 1e ep-=θρsin 1e ep +=例题：一、二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程θρcos 3510-=表示的曲线的离心率，焦距，长短轴长。
4.2.2 第2课时 圆锥曲线的极坐标方程及应用
第2课时圆锥曲线的极坐标方程及应用1．掌握极坐标系中圆锥曲线的方程．2．会求简单的圆锥曲线的极坐标方程．3．感受在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的完美统一．[基础·初探]圆锥曲线的统一极坐标方程ρ＝θ)，(***)其中p为焦点到相应准线的距离，称为焦准距．当0＜e＜1时，方程ρ＝θ)表示椭圆；当e＝1时，方程(***)为ρ＝θ)，表示抛物线；当e＞1时，方程ρ＝θ)表示双曲线，其中ρ∈R.[思考·探究]1．用圆锥曲线统一极坐标方程的标准形式判别圆锥曲线需注意什么？【提示】应注意统一极坐标方程的标准形式，只有方程右边分母中的常数为1时，θ的系数的绝对值才表示曲线的离心率．如果该常数不是1，一定要将其转化为1，再去判别，例如方程ρ＝θ)的离心率不是1，其不表示抛物线，将方程变形为ρ＝θ)，则e＝，表示椭圆．2．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？【提示】如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：疑问4：解惑：已知A、B为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上两点，⊥(O为原点)．求证：＋为定值．【自主解答】以O为极点，x轴正方向为极轴，长度单位不变建立极坐标系，则x＝ρθ，y＝ρθ，代入＋＝1中得＝＋.设A(ρ1，α)，＋＝＋＝＋(为定值)．[再练一题]1．本例条件不变，试求△面积的最大值和最小值．【解】由例题解析得，S△＝ρ1ρ2，而ρ1＝，ρ2＝，∴S△＝·＝·＝∴当2α＝1时，(S△)＝；∴当2α＝时，(S△)＝.过双曲线－＝1的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线于A、B两点，求.【思路探究】求出双曲线极坐标方程，得出A、B两点极坐标，进而求.【自主解答】双曲线－＝1中，a＝2，b＝，c＝3，所以e＝，p＝＝.取双曲线的右焦点为极点，x轴正方向为极轴正方向建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为ρ＝θ).代入数据并化简，得ρ＝θ).设，，于是＝|ρ1＋ρ2|＝＝.应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便．椭圆和抛物线中，该弦长都表示为ρ1＋ρ2，而双曲线中，弦长的一般形式是|ρ1＋ρ2|.[再练一题]2．已知双曲线的极坐标方程是ρ＝θ)，求双曲线的实轴长、虚轴长和准线方程．【解】双曲线方程ρ＝θ)可以化为ρ＝θ)，所以e＝，p＝.设c＝5r，a＝4r，则b2＝c2－a2＝9r2.由p＝＝，得r＝1.所以2a＝8,2b＝6.所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为6.准线方程ρθ＝－p，即ρθ＝－；或ρθ＝－p－2，即ρθ＝－.(1)以F为极点，x轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；(2)过F作直线l交抛物线于A，B两点，若＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l的倾斜角．【自主解答】(1)极坐标方程为ρ＝θ).(2)设A(ρ1，θ)，B(ρ2，π＋θ)．＝ρ1＋ρ2＝θ)＋＝＝16，即2θ＝得θ＝±.故l的倾斜角为或π.[再练一题]3．平面直角坐标系中，有一定点F(2,0)和一条定直线l：x＝－2.求与定点F 的距离和定直线l的距离的比等于常数的点的轨迹的极坐标方程．【导学号：98990015】【解】过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，的反向延长线为极轴，建立极坐标系．由题意，设所求极坐标方程为ρ＝θ)，∵定点F(2,0)，定直线l：x＝－2，∴p为F点到直线l的距离，为2－(－2)＝4.又∵常数＝e，∴所求点的轨迹的极坐标方程为ρ＝θ)＝θ)，即ρ＝θ).[真题链接赏析](教材第33页习题4.2第10题)我国自行研制的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，轨道的近地点和远地点分别为439 和2 384 .若地球半径取6 378 ，试写出卫星运行轨道的极坐标方程．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝θ)，过极点作直线与它交于A，B 两点，且＝6，求直线的极坐标方程．【命题意图】本题主要考查圆锥曲线的统一极坐标方程和直线的极坐标方程．【解】设直线的极坐标方程为θ＝θ1，A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)．则ρ1＝θ1)，ρ2＝＝θ1).＝|ρ1＋ρ2|＝θ1)＋θ1)|＝|＝6，∴＝±1.∴θ1＝0或θ1＝±.故直线的极坐标方程为θ＝或θ＝或θ＝.1．抛物线ρ＝θ)(ρ＞0)的准线方程为．【答案】ρθ＝－42．设椭圆的极坐标方程是ρ＝θ)，则λ的取值范围是．【导学号：98990016】【解析】ρ＝θ)＝θ)，所以离心率e＝，由0＜＜1，得λ∈(0,2)．【答案】(0,2)3．椭圆ρ＝θ)的焦距是．【答案】4．双曲线ρ＝θ)的焦点到准线的距离为．【答案】我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式good
圆锥曲线的极坐标方程知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。
）若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ.3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1pp p MN =--+-=例1过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3π的直线，交双曲线与A 、B 两点，求AB ｜｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 即得 所以 又由得 注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。
(三)圆锥曲线的极坐标方程
直线方程的极坐标形式
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
1、当直线l过极点，即0＝0时，直线l的方程 是什么？
2、当直线l过点M(b, )且平行于极轴时，直线的极 2 坐标方程是什么？ sin b
3、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程。 ρcosθ=a
圆锥曲线的极坐标形式
则有 表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双曲线)
y
F
x
再见
5 B 3、椭圆 的长轴长是____ 3 2 cos
A 3 B 6 C 9 D 12
另解：
O
x
极坐标小结
M ( , )
O
x
设M是平面内一点，极点O与点M的距离 OM 叫做点M的极径，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的xOM叫做点 M的极角，记为。有序数对( , )叫做点 M的极坐标，记做M ( , )
三种圆锥曲线的统一定义为：
平面内，到一个定点（焦点F）和一条定直线 （准线L)的距离之比等于常数（离心率e）的点的轨迹。 若设定点F到定直线L的距离为p，则可求到定点F和定 直线L的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程。
三种圆锥曲线的统一的极坐标方程: 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
的值，使|MN|等于短轴长．
解：以F1为极点，F1F2为极轴建立极坐标系
椭圆的极坐标方程为 设M(ρ1，θ)、N(ρ2，θ+π)，则
练习3
2 曲线 = 的一条准线方程是 cos 1, 3-2cos 其另一条准线方程是：
圆锥曲线的极坐标方程
3.
F L
F L
F L
x
当0<e<1时，方程表 x 示椭圆，F是左焦点，
l是左准线。
当1<e时，方程表示 x 双曲线，F是右焦点，
l是右准线。
当e=1时，方程表示 抛物线，F是焦点，l 是准线，开口向右。
怎么求圆锥曲线的极坐标方程？
根据圆锥曲线的统一定义，只要求到定点F和 定直线l的距离之比e点的轨迹的极坐标方程.
为了方便，我们设定点F到定直线l的距离为p，F在直线l上的射影为K，以F为极点，以向量KF的方向为极轴的正方向，建立极坐标系。
MF 当e=1时，方程表示抛物线，F是焦点，l是准线，开口向右。
e 三种圆锥曲线的统一的极坐标方程
当0<e<1时，方程表示椭圆，F是左焦点，l是左准线。
MA 当e=1时，方程表示抛物线，F是焦点，l是准线，开口向右。
表示双曲线右支
当e=1时，方程表示抛物线，F是焦点，l是准线，开口向右。
K
B
x
表示双曲线右支
如图建立坐标系，设圆锥曲线
上任一
整理得： e 当1<e时，方程表示双曲线，F是右焦点，l是右准线。
当1<e时，方程表示双曲线，F是右焦点，l是右准线。
Pcos 当1<e时，方程表示双曲线，F是右焦点，l是右准线。
F
此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程
表示椭圆
此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程
eP 1ecos
eP 1ecos
0e1 表示椭圆
e 1 表示抛物线
e 1 表示双曲线右支
(允许 0表示整个双曲线)
l
y
F
圆锥曲线的极坐标方程与直角坐标方程的应用场景对比
圆锥曲线的极坐标方程与直角坐标方程的应用场景对比圆锥曲线是数学中重要的概念之一，它包含了多种曲线，如椭圆、双曲线和抛物线。
在研究圆锥曲线时，常常会涉及到其极坐标方程和直角坐标方程。
本文将对这两种方程的应用场景进行对比。
一、极坐标方程的应用场景极坐标方程是表示曲线上点的位置所用的坐标系。
在极坐标系中，点的坐标由距离和角度两个值确定。
对于圆锥曲线而言，它们的极坐标方程的形式如下：1. 椭圆的极坐标方程：r = a(1 - e * cosθ)其中，a是半长轴的长度，e是离心率，θ是点在极坐标系中的角度。
椭圆的极坐标方程在许多实际问题中有广泛的应用，比如轨道、天体运动等。
例如，地球绕太阳的运动可以用椭圆的极坐标方程描述。
地球离太阳远近的变化可以通过调整离心率的大小来模拟。
2. 双曲线的极坐标方程：r = a(e * coshθ - 1)其中，a是双曲线的实轴长度，e是离心率，θ是点在极坐标系中的角度。
双曲线的极坐标方程在物理和工程学中经常出现。
比如，天线的辐射范围可以用双曲线的极坐标方程来描述。
双曲线的性质使得辐射范围在水平方向上具有无限大的延伸，因此适用于实现远距离通信。
3. 抛物线的极坐标方程：r = a / (1 + cosθ)其中，a是抛物线的参数，θ是点在极坐标系中的角度。
抛物线的极坐标方程在物体轨迹、天体运动和抛射物问题中有广泛应用。
例如，投掷物体的运动轨迹可以用抛物线的极坐标方程描述。
抛物线的特性使得物体在平面上的运动方向和轨迹更可靠和易于预测。
二、直角坐标方程的应用场景直角坐标方程是表示曲线上点的位置所用的坐标系。
在直角坐标系中，点的坐标由横坐标和纵坐标两个值确定。
对于圆锥曲线而言，它们的直角坐标方程的形式如下：1. 椭圆的直角坐标方程：(x² / a²) + (y² / b²) = 1其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
椭圆的直角坐标方程常常出现在几何学和工程学中。
圆锥曲线的极坐标方程 焦半径公式 焦点弦公式
椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为
ρ = ep . 1 − e cosθ
其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞0 ．
当 0 e 1 时，方程表示椭圆
当 e＞1 时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允
许ρ 0，方程就表示整个 曲线
当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
推论 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，则有 1 + 1 = 2 . MF NF ep
、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，
1、椭圆中， p = a 2 − c = b2 ， MN = ep +
ep
= 2ab2 .
c
c
1− ecosθ 1− ecos(π −θ) a2 − c2 cos2 θ
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
湖北省天门中学 薛德斌
一、圆锥曲线的极坐标方程
椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定
直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相
应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．
3、抛物线中， MN = p +
p
= 2p .
1 − cosθ 1 − cos(π − θ ) sin 2 θ
四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P x,y 是圆锥曲线 的点，
1、若 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF1 = a + ex ，、 F2 分别是 曲线的左、右焦点，
设 F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线 的右支、抛物线) 任一点，则
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K，以FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为 θρcos 1e ep −=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p＞0 ．当0 e 1时，方程表示椭圆当e＞1时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允许ρ 0，方程就表示整个 曲线当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线的右支、抛物线) 任一点，则 PQ e PF =， )cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ x 轴，FP 焦半径θcos 1e ep PF −=． 当P 在 曲线的左支 时，θcos 1e ep PF +−=. 推论 若圆锥曲线的弦MN 过焦点F，则有epNF MF 211=+.、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 过焦点F， 1、椭圆中，cb c c a p 22=−=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−=. 2、 曲线中，若M、N 在 曲线同一支 ，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−= 若M、N 在 曲线 同支 ，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN −=−−+−=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =−−+−=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P x,y 是圆锥曲线 的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF −=22、若1F 、2F 分别是 曲线的左、右焦点，当点P 在 曲线右支 时，a ex PF +=1，a ex PF −=2 当点P 在 曲线左支 时，ex a PF −−=1，ex a PF −=23、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。
圆锥曲线统一的极坐标方程
所以 ρ2＋ρ21－2ρρ1cos(θ－θ1)＝r2， 可以检验，当 O、C、M 三点共线时的 点 M 的坐标也适合上式，所以半径为 r，圆 心在 C(ρ1，θ1)的圆的极坐标方程为 ρ2＋ρ12－ 2ρρ1cos(θ－θ1)－r2＝0.
【答案】 ρ＝2cos θ 化曲线的极坐标方程为直角
坐标方程
化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断 曲线的形状．
(1)ρcos θ＝2；(2)ρ＝2cos θ；(3)ρ2cos 2θ＝2； (4)ρ＝1－c1os θ. 【思路探究】
ρcos θ＝x 极坐标方程 ――→ 直角坐标方程―→曲线的形状
θ＝α(ρ∈R)或
过点 A(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcos θ＝a
(－π2＜θ＜π2) 过点 A(a，π2)，与极轴平行的直线
(0＜θ＜π)
ρsin θ＝a
过点 A(a,0)，且与极轴成 α 角的直线的极坐标方程
ρsin(α－θ)
＝asin α (0＜θ＜π) 3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系 xOy 的 x 的正
－2－6，设定点 F 到直线 l 的距离|FK|＝p，M(ρ，θ)为曲线上任意一
点，曲线的极坐标方程为 ρ＝1－eecpos θ.
图 1－2－6 ①当 0＜e＜1 时，方程表示椭圆． ②当 e＝1 时，方程表示开口向右的抛物线． ③当 e＞1 时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点．
1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的含义有什么不同？ 【提示】 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)， (ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与 点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多 种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极 坐标方程 ρ＝θ，点 M(π4，π4)可以表示为(π4，π4＋2π)或(π4，π4－2π)或(－ π4，54π)等多种形式，其中，只有(π4，π4)的极坐标满足方程 ρ＝θ. 2．在极坐标系内，如何确定某一个点 P 是否在某曲线 C 上？ 【提示】 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的 方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程， 所以在极坐标系内，确定某一个点 P 是否在某一曲线 C 上，只需判 断点 P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线 C 的方程即可． 3．试结合教材 P12－14 例 4－例 8，总结求简单曲线的极坐标方程 的关键是什么？常需用到什么知识？ 【提示】 求简单曲线的极坐标方程的关键，就是要找到极径 ρ 和极角 θ 之间的关系，这常用到解三角形(正弦定理、余弦定理)的知 识及利用三角形的面积相等等来建立 ρ，θ 之间的关系． 4．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如 何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？ 【提示】 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一 的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标 方程再判断其是哪种曲线．
圆锥曲线的极坐标方程大题题型归纳
圆锥曲线的极坐标方程大题题型归纳本文将对圆锥曲线的极坐标方程大题题型进行归纳总结。
圆锥曲线是平面上的一类重要曲线，在解题过程中掌握其极坐标方程的应用是非常有帮助的。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是指平面上满足特定条件的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
2. 极坐标方程的基本形式圆锥曲线的极坐标方程通常具有以下形式：- 椭圆的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 - e \cdot \cos \theta}$，其中 $p$ 是焦点到准线的距离，$e$ 是离心率。
- 双曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{e \cdot \cos \theta - 1}$，其中 $p$ 是焦点到准线的距离，$e$ 是离心率。
- 抛物线的极坐标方程：$r = \frac{2p}{1 + \cos \theta}$，其中$p$ 是焦点到准线的距离。
3. 极坐标方程大题题型归纳根据圆锥曲线的不同类型，极坐标方程的大题题型也会有所不同。
以下是一些常见题型的归纳总结：3.1 椭圆的极坐标方程题型- 已知离心率和焦点到准线的距离，求椭圆的极坐标方程。
- 已知焦点和准线的坐标，求椭圆的极坐标方程。
3.2 双曲线的极坐标方程题型- 已知离心率和焦点到准线的距离，求双曲线的极坐标方程。
- 已知焦点和准线的坐标，求双曲线的极坐标方程。
3.3 抛物线的极坐标方程题型- 已知焦点和准线的坐标，求抛物线的极坐标方程。
4. 解题技巧和注意事项在解题过程中，可以采用以下技巧和注意事项：- 根据问题中给出的已知条件，逐步求解极坐标方程中的参数。
- 注意离心率、焦点和准线的坐标的关系，可以通过该关系求解未知参数。
- 验证求得的极坐标方程是否符合圆锥曲线的性质，如焦点到准线距离的关系等。
通过对圆锥曲线的极坐标方程大题题型进行归纳归纳，可以更好地掌握解题方法和技巧，提高解题效率和准确性。
以上就是对圆锥曲线的极坐标方程大题题型归纳的完整内容。
圆锥曲线的极坐标
圆锥曲线的极坐标
圆锥曲线是一种极坐标曲线，它是由一个圆锥形的曲线组成的，它的极坐标表示为：
r=a/cosθ，其中a是圆锥的参数，θ是极角。
圆锥曲线的极坐标表示法可以用来描述一些物理现象，比如电磁场、电磁波等。
圆锥曲线的极坐标表示法可以用来描述一些物理现象，比如电磁场、电磁波等。
圆锥曲线的极坐标表示法可以用来描述一些物理现象，比如电磁场、电磁波等。
圆锥曲线的极坐标表示法也可以用来描述一些几何图形，比如圆锥、椭圆、抛物线等。
圆锥曲线的极坐标表示法可以用来描述一些几何图形，比如圆锥、椭圆、抛物线等。
圆锥曲线的极坐标表示法也可以用来描述一些数学模型，比如振动模型、热传导模型等。
圆锥曲线的极坐标表示法可以用来描述一些数学模型，比如振动模型、热传导模型等。
总之，圆锥曲线的极坐标表示法是一种非常有用的表示方法，它可以用来描述物理现象、几何图形和数学模型等。
它的优点在于可以清晰地表示出曲线的形状，从而更好地理解曲线的特性。
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一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
M(ρ,θ)
ep 1ecos
F
x
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b 2
c
注2：若AB为焦点弦，则
2ep
|AB|1e2co2s ;
1 1 2 | AF| |BF| ep
41 2co 2 s1 2si2n1
整理得
1
2 1
23sin2
42 2 c2 ( o 9 s0 ) 02 2 s2 i( n 90 ) 0 1
即
1
2 1
1
22
3
,故O到直线MN的距离为
1
22
13s
in2
3 |OM||ON| 12 1 1
| MN|
2 1
22
2 1
22
(7)(课本P：15 Ex6)已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的
极坐标与直角坐标的互化
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合 （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 （3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
（1）形法： 类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
x cos
y
sin
sin
y
cos
x
tan
即普通方程与极坐标方程的互化
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系， 其中 l 是准线， FKP 由圆锥曲线的统一定义得
MF e
MA
A
M()
K
FB x
l
而 MA KB K F F Bpco s
即
e Pcos
整理得圆锥曲线统一的极坐标方程为：
ep 1ecos
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
321 2co s321 2co s98c6o2 s 2
得 co s3又因
2
0.故
或5
6
6
(2)(2014年新课标Ⅱ)设F为抛物线 C: y2=3x 的焦点，
过F且倾斜角为300的直线交于C于A，B两点，则|AB|=
A.
30 3
B.6
C.12
D. 7 3
法1：直角坐标系普通方程+设而不求
二、以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：
即普通方程与极坐标方程的互化
常见的坐标系
平面坐标 空间坐标
直角坐标 (x,y)
极坐标 (ρ,θ)
直角坐标 (x,y,z)
极坐标 球坐标 (r,φ,θ) 柱坐标(ρ,θ,z)
极坐标系
1.概念
①极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点；引一条射线OX，
叫做极轴；再选定一个长度单位和角度单位及它的
正方向。这样就建立了一个极坐标系。
M
②极坐标的规定：
ρ
对于平面上任意任意一点M O
X
用ρ表示线段OM的长度， 用θ表示从OX到OM的角度
有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标
ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角
极坐标系的分类
常用极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈R 狭义极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈[0，2π) 广义极坐标系： ρ ,θ∈R
注2：若AB为焦点弦，则
2ep
|AB|1e2co2s ;
1 1 2 | AF| |BF| ep
设 A(1), B(2)
故 | AB| |A| F |B| F 1 21eecpo s1eceop s()
1eecpo s1eecpos1e22ecpo2s
1 1 11
| AF| | BF| 1 2
建立如图所示的极坐标系， 则圆锥曲线有统一的极坐标方程
ep 1ecos
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b 2 c
A F
B
x
注2：若AB为焦点弦，则
|AB|1e22ecpo2s ;
1 1 2 | AF| |BF| ep
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
A F
ep
B
x
1ecos
1eco s1eco s() 2
ep
ep ep
练习1.圆锥曲线统一的极坐标方程
(1)(1983年全国)如图,若椭圆的|A1A2|=6,焦距|F1F2|= 4 2
过椭圆焦点F1作一直线
M
交椭圆于两点M，N
设∠F2F1M=α（0≤α＜π）
当α取什么值时，
A1
α
F1
N
|MN|等于椭圆短轴的长？
F2 A2
为1050的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP|·|FQ|=_____
法1：直角坐标系普通方程+设而不求 法2：直角坐标系参数方程+设而不求 法3：极坐标方程
P
1050
Fx Q
由题意得,离心率为 e 2 , 焦参数为 p 2
建立如图所示的极坐标系，则双曲线的极坐标方程为
1
2
2cos
故
|F||P F| Q 2 2 1 2 c1 o0 0 s1 52 c1 o0 0 s
2rcos 2rcos 2rsin 2rsin
求极坐标方程常用的方法
公式法 方程法
直接法 间接法
1.公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数 2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程 ①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
附录24 圆锥曲线的极坐标方程
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
M(ρ,θ)
ep 1ecos
F
x
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b 2
c
注2：若AB为焦点弦，则
2ep
|AB|1e2co2s ;
1 1 2 | AF| |BF| ep
二、以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：
A.1 B. 2
C. 3
D.2 A
法1：直角坐标系普通方程+设而不求
法2：直角坐标系参数方程+设而不求
θ
F1
F2
法3：极坐标方程
B
析：由对称性，不妨：将右焦点看成是左焦点
因 A F3F B故 AF3FB
2 3 3c pos2333cpos cos
3 3
tan 2
(4)(2007年重庆)过双曲线 x2y2 4的右焦点F作倾斜角
长分别为2a,2b；A,B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB
①求证：O1A2
1 OB
2
为定值
B
A
②求△AOB面积的最大和最小值.
0
析① ：由于点的极坐标直接表示了：距离和角度 故涉及到长度和角度的问题 采用极坐标系往往更简便
析② ：建立如图所示的直角坐标系，则椭圆的普通方程为
x2 a2
y2 b2
1
将其化为极( 坐c标ao2s方 )程2 得(
故
111
FP1 FP2 FP3
2 co 2 sco 1 s0 ) 2 ( 2 0 co 2 s0 ) 4 (
9
9
9
2
3
二、以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：
即普通方程与极坐标方程的互化
练习2.以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：
(6)(2012年上海简化)在平面直角坐标系xoy中，已知
2 2
将(其 s化bin2 为0)极2 坐1 标方程得 a 2b 2
cos2 a 2 sin 2
由于由故于由即于1由于2b于1是b2于1是212于 是2b2于Oc是Oc2bOoO2AObOos2A11OcAAbs212AcAObo2c21o2A2bo2s211cOsA21Os2co22B2coO2sBOOaoa,1O12aOsa,可12B112sBB可2212bBs2Bab,1sa2设 i22O可a1niaaa2设 22,12nb可222122BAs2ba2设 2bAsisan(i1a22ia122设 a(n112n12As2212b1222ib12,sb2An(s,1b21i21i1，n222(n1，1c)111c2),1,o212,2oB2121sB22s，,1b2(2212)( 212,， 112B2c)1b 2a由,1于,2bo2(a2 2b2B2a121sc 21a222于cb2是2(2c22obs2,os2bsi22 21nOis22o 12n)2,2Ob),b1 c2A,a则1a2则o 111a22A1b212scc2a bs a22o2o)as22 2,2Oisss 2a则s1n22si)2Bn2i,bn2 Oa则2a1a,2i 1221可a 1221 Bb1b2 1 sn a2b ia22设b n2 双222 2ss Asi曲ni1n(212 1i 线221a11 ,a2 n 1中2，a 1b)b2 21有,22c B2 2定(22 o 1 值2 ,bs 12
12c4o2s1005co4s2100
8 3 3
(5)(2007年重庆简化)如图椭圆C：x2 y2 1 的左焦点为F
36 27
P1，P2，P3是椭圆上任取的三个不同点
y
且证明∠ ：P 1 F F1PP 12 F∠ 1P2P 2 F F P 1P3 3 ∠ 为P 定3 F 值P 1 1 2 0 0 P2
y x
特殊直线的极坐标方程
图
l
θ0
O
x
像
l
(a,0) Ox
l
(a,)
Ox
l
(a, )