附录圆锥曲线的极坐标方程

附录24 圆锥曲线的极坐标方程
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
M(ρ,θ)
ep 1ecos
F
x
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b 2
c
注2：若AB为焦点弦，则
2ep
|AB|1e2co2s ;
1 1 2 | AF| |BF| ep
41 2co 2 s1 2si2n1
整理得
1
2 1
23sin2
42 2 c2 ( o 9 s0 ) 02 2 s2 i( n 90 ) 0 1
即
1
2 1
1
22
3
,故O到直线MN的距离为
1
22
13s
in2
3 |OM||ON| 12 1 1
| MN|
2 1
22
2 1
22
(7)(课本P：15 Ex6)已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的
极坐标与直角坐标的互化
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合 （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 （3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
（1）形法： 类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
x cos
y
sin
sin
y
cos
x
tan
即普通方程与极坐标方程的互化
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系， 其中 l 是准线， FKP 由圆锥曲线的统一定义得
MF e
MA
A
M()
K
FB x
l
而 MA KB K F F Bpco s
即
e Pcos
整理得圆锥曲线统一的极坐标方程为：
ep 1ecos
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
321 2co s321 2co s98c6o2 s 2
得 co s3又因
2
0.故
或5
6
6
(2)(2014年新课标Ⅱ)设F为抛物线 C: y2=3x 的焦点，
过F且倾斜角为300的直线交于C于A，B两点，则|AB|=
A.
30 3
B.6
C.12
D. 7 3
法1：直角坐标系普通方程+设而不求
二、以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：
即普通方程与极坐标方程的互化
常见的坐标系
平面坐标 空间坐标
直角坐标 (x,y)
极坐标 (ρ,θ)
直角坐标 (x,y,z)
极坐标 球坐标 (r,φ,θ) 柱坐标(ρ,θ,z)
极坐标系
1.概念
①极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点；引一条射线OX，
叫做极轴；再选定一个长度单位和角度单位及它的
正方向。这样就建立了一个极坐标系。
M
②极坐标的规定：
ρ
对于平面上任意任意一点M O
X
用ρ表示线段OM的长度， 用θ表示从OX到OM的角度
有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标
ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角
极坐标系的分类
常用极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈R 狭义极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈[0，2π) 广义极坐标系： ρ ,θ∈R
注2：若AB为焦点弦，则
2ep
|AB|1e2co2s ;
1 1 2 | AF| |BF| ep
设 A(1), B(2)
故 | AB| |A| F |B| F 1 21eecpo s1eceop s()
1eecpo s1eecpos1e22ecpo2s
1 1 11
| AF| | BF| 1 2
建立如图所示的极坐标系， 则圆锥曲线有统一的极坐标方程
ep 1ecos
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b 2 c
A F
B
x
注2：若AB为焦点弦，则
|AB|1e22ecpo2s ;
1 1 2 | AF| |BF| ep
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
A F
ep
B
x
1ecos
1eco s1eco s() 2
ep
ep ep
练习1.圆锥曲线统一的极坐标方程
(1)(1983年全国)如图,若椭圆的|A1A2|=6,焦距|F1F2|= 4 2
过椭圆焦点F1作一直线
M
交椭圆于两点M，N
设∠F2F1M=α（0≤α＜π）
当α取什么值时，
A1
α
F1
N
|MN|等于椭圆短轴的长？
F2 A2
为1050的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP|·|FQ|=_____
法1：直角坐标系普通方程+设而不求 法2：直角坐标系参数方程+设而不求 法3：极坐标方程
P
1050
Fx Q
由题意得,离心率为 e 2 , 焦参数为 p 2
建立如图所示的极坐标系，则双曲线的极坐标方程为
1
2
2cos
故
|F||P F| Q 2 2 1 2 c1 o0 0 s1 52 c1 o0 0 s
2rcos 2rcos 2rsin 2rsin
求极坐标方程常用的方法
公式法 方程法
直接法 间接法
1.公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数 2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程 ①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
附录24 圆锥曲线的极坐标方程
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
M(ρ,θ)
ep 1ecos
F
x
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b 2
c
注2：若AB为焦点弦，则
2ep
|AB|1e2co2s ;
1 1 2 | AF| |BF| ep
二、以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：
A.1 B. 2
C. 3
D.2 A
法1：直角坐标系普通方程+设而不求
法2：直角坐标系参数方程+设而不求
θ
F1
F2
法3：极坐标方程
B
析：由对称性，不妨：将右焦点看成是左焦点
因 A F3F B故 AF3FB
2 3 3c pos2333cpos cos
3 3
tan 2
(4)(2007年重庆)过双曲线 x2y2 4的右焦点F作倾斜角
长分别为2a,2b；A,B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB
①求证：O1A2
1 OB
2
为定值
B
A
②求△AOB面积的最大和最小值.
0
析① ：由于点的极坐标直接表示了：距离和角度 故涉及到长度和角度的问题 采用极坐标系往往更简便
析② ：建立如图所示的直角坐标系，则椭圆的普通方程为
x2 a2
y2 b2
1
将其化为极( 坐c标ao2s方 )程2 得(
故
111
FP1 FP2 FP3
2 co 2 sco 1 s0 ) 2 ( 2 0 co 2 s0 ) 4 (
9
9
9
2
3
二、以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：
即普通方程与极坐标方程的互化
练习2.以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：
(6)(2012年上海简化)在平面直角坐标系xoy中，已知
2 2
将(其 s化bin2 为0)极2 坐1 标方程得 a 2b 2
cos2 a 2 sin 2
由于由故于由即于1由于2b于1是b2于1是212于 是2b2于Oc是Oc2bOoO2AObOos2A11OcAAbs212AcAObo2c21o2A2bo2s211cOsA21Os2co22B2coO2sBOOaoa,1O12aOsa,可12B112sBB可2212bBs2Bab,1sa2设 i22O可a1niaaa2设 22,12nb可222122BAs2ba2设 2bAsisan(i1a22ia122设 a(n112n12As2212b1222ib12,sb2An(s,1b21i21i1，n222(n1，1c)111c2),1,o212,2oB2121sB22s，,1b2(2212)( 212,， 112B2c)1b 2a由,1于,2bo2(a2 2b2B2a121sc 21a222于cb2是2(2c22obs2,os2bsi22 21nOis22o 12n)2,2Ob),b1 c2A,a则1a2则o 111a22A1b212scc2a bs a22o2o)as22 2,2Oisss 2a则s1n22si)2Bn2i,bn2 Oa则2a1a,2i 1221可a 1221 Bb1b2 1 sn a2b ia22设b n2 双222 2ss Asi曲ni1n(212 1i 线221a11 ,a2 n 1中2，a 1b)b2 21有,22c B2 2定(22 o 1 值2 ,bs 12
12c4o2s1005co4s2100
8 3 3
(5)(2007年重庆简化)如图椭圆C：x2 y2 1 的左焦点为F
36 27
P1，P2，P3是椭圆上任取的三个不同点
y
且证明∠ ：P 1 F F1PP 12 F∠ 1P2P 2 F F P 1P3 3 ∠ 为P 定3 F 值P 1 1 2 0 0 P2
y x
特殊直线的极坐标方程
图
l
θ0
O
x
像
l
(a,0) Ox
l
(a,)
Ox
l
(a, )
2
O
x
O
x
l
(a, 3 )
2
方 ①直线 0
程 ② 0(R) cosa
③ 0 和 0
co sa
sina
sina
特殊圆的极坐标方程
图
(r, )
2
O
x
(r,0)
(r,) O
像
O
xO
x
x
O
x
(r, 3 )
2
方 程
r
(7)(课由本于OPA：1O5B,可E设x6A)(已1,知1), B椭(圆2,1… …2 ),O则A⊥OB
故析当当S依==当①②S依==1122A且题1122A且题当 ： 且O求OB仅B意有仅意((有于所((当 且依仅S依 ba==△ba当得1最22当得b最22211是22以A-且c题当-S依仅题当==b2csOSo小 bAsSo小ic2B，sin2仅意 1122当 当O)bOS依so有 ==且 nA题2(()值AO当 意222Os2值ba21B2AO×B当 212得11a22cA最 A21s2B且 2仅 s题意a面有 1s=o2ai((2-O=得icain221b1bbaasnsS2nB1bo小 12a2当得 仅 2a224意 i122最222有积2a2s42n((2b2)2A-OOb1c2a2ba2a值O2b2211b2O， OssSb当 o小 2得，s21A2最 Bi2122B2i的2aA1bi1n21sBssn-；n)=即c1Aaii2a；2222即b值O2snS2n1b2O2o小 aO2a2a最12i2aB22a2aB24是as21ns1s2B2)11bA2=2b22ib0a2iO211值 )ab2nb21=bOn12b定1值2， s时 2=21b221222AB2i122b2aa2b4121sn2412值； =b2即 2a24i22， Oc1.21On1c2bb或a， os，2a或a11。2oAci1122aBs241122即 ns2o221)b；b52b2即222Os51242=O2b2422， 2sb1a2a1Ai121时 B22142n1时211)；b即 bca2，或 =Obao22，12baaa22ss01B221c2s242i252或 1)niob4cbsn或=is2o1221n22b时s212122a4512时1a， 4c212b或1o1s，a2时si当当S依2==n25a2sS， 24i11222A且s题Bn1Ois1A2时 nBiO仅意n有2((B1a2ba，2有当得2最221-sc10最bsSio小ni2sn)大2A02值22O时B2a1值1s=ai2，n1ba212a2a2422即bb2A2O1b2，sAi12n1；即2O
F
P1 x
证明:易得 ∠ P 1 F P 2 ∠ P 2 F P 3 ∠ P 3 F P 1 1 2 0 0 P3
由题意得,离心率为 e 1 , 焦参数为 p 9
2
建立……的极坐标系,则C的极坐标方程为
9 2cos
设 P 1 (1 ,)P 2 , (2 , 10 ) 2 P 3 , (3 0 , 20 ) 40
sin )2 b2
1
( cos )2
a2
( sin )2
b2
1
即2
a 2b 2
b2 cos2 a 2 sin 2
22
(7)(课本P：15 Ex6)已知椭圆……OA⊥OB
①求证：O1A2
1 OB
2
为定值
B
A
析 ：建立如图所示的直角坐标系 即(则即((即(c椭c2aoac2os2cao2sa2o圆2sb)2sb)2222c)的bco2)o22(ss(普2c2ao(sasbi2s(通bni2b22nb2s2aba2ias2方n)22b)i22s2nsbi2ni程)a2n212221)2s为i1n 21ax22即(byc22a2o2s1 b)
注① 负极径的定义：先正后对称
注② 极坐标的多值性与单值性：
ⅰ:在常用极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (,2k) (k Z)
ⅱ:在广义极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (,2 k ) 和 ( － ,2 k ) ( k Z)
ⅲ :在狭义极坐标系中，除极点(0,θ)外， 其他点的极坐标是唯一的
双曲线 C 1:2x2y21，椭圆 C 2:4x2y21
若M、N分别是 C1,C2上的动点,且OM⊥ON N 求证：O到直线MN的距离是定值.
M
O
析： 设 M (1 ,)N ,(2 , 90 )0
在Rt⊿MNO中由用面积法得：O到直线MN的距离为
|OM||ON| | MN|
1 2
2 1
22
2
1
22
法1：直角坐标系普通方程+设而不求
法2：直角坐标系参数方程+设而不求
法3：极坐标方程
法3：极坐标方程
由题意得,离心率为 e 2 2 , 焦点到准线距离 p
3
建立如图所示的极坐标系
M
2 4
则椭圆的极坐标方程为
1 32 2cos
α
F1
N
F2 X
故 |M | |F 1 M N | |F 2 N | 1 2
2 1
22
11
2 1
22
=常数
(6)…… 双曲线 C 1:2x2y21，椭圆 C 2:4x2y21
OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值. N
M
证明：易得C1、C2的极坐标方程分别为：
O
2 2c2 o s 2s2 in 1； 42co 2 s2si2n1
设 M (1 ,)N ,(2 , 90 )0 ,将其代入C1、C2的极坐标方程得
A F
法3：极坐标方程
B
x
若AB为焦点弦，则