2017年浙江省湖州市高考数学模拟试卷

2017年浙江省湖州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ）A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}- 2.设1iz i =-（i 为虚数单位），则1||z =（ ） A ．22B ．2C ．12D ．23.设α，β是两个不同的平面，m 是一条直线，给出下列命题：①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥；②若//m α，αβ⊥，则m β⊥.则（ ） A ．①②都是假命题 B ．①是真命题，②是假命题 C ．①是假命题，②是真命题 D ．①②都是真命题 4.设1k ，2k 分别是两条直线1l ，2l 的斜率，则“12//l l ”是“12k k =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.设方程ln()x ax -（0a ≠，e 为自然对数的底数），则（ ） A ．当0a <时，方程没有实数根 B. 当0a e <<时，方程有一个实数根C. 当a e =时，方程有三个实数根D. 当a e >时，方程有两个实数根6.若实数a ，b ，c ，满足对任意实数x ，y 有345x y ax by c +-≤++≤345x y ++，则（ ）A. a b c +-的最小值为2B. a b c -+的最小值为-4C. a b c +-的最大值为4D. a b c -+的最大值为67.设倾斜角为α的直线l 经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方.若||||AF m BF =，则cos α的值为（ ） A ．11m m -+ B ．1m m + C.1m m - D ．21mm + 8.设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和.若正整数i ，j ，k ，l 满足()i l j k i j k l +=+≤≤≤，则（ ）A ．i l j k a a a a ≤B ．i l j k a a a a ≥ C.i l j k S S S S ≤ D ．i l j k S S S S ≥二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 9．已知tan α=2，则tan （α+）=______，cos 2α=______， =______．10．已知函数f （x ）=则f （f （﹣2））=______；若f （x ）≥2，则实数x 的取值范围是______． 11．已知函数f （x ）=2cos 2x +cos （﹣2x ），则函数f （x ）的最小正周期是______，值域是______． 12．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是______cm 3，该几何体的表面积是______cm 2．13．已知双曲线﹣y 2=1（a ＞0）的右焦点为F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ．若点P 的纵坐标为，则该双曲线的离心率是______．14．已知单位向量，的夹角为120°，|x+y|=（x，y∈R），则|x﹣y|的取值范围是______．15．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=2AD，若将△ABD沿直线BD折成△A′BD，使得A′D⊥BC，则直线A′B与平面BCD所成角的正弦值是______．三、解答题（共5小题，满分74分）16．已知函数f（x）=msin（ωx）cos（ωx）+nsin2（ωx）（ω＞0）关于点（，1）对称．（Ⅰ）若m=4，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）的最小正周期是一个三角形的最大内角的值，又f（x）≤f （）对任意实数x成立，求函数f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间．17．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=，AD=1，AB=2CD=4，E为AB中点，将△ADE沿直线DE折起到△A1DE，使得A1在平面EBCD上的射影H在直线CD上．（Ⅰ）求证：平面A1EC⊥平面A1DC；（Ⅱ）求平面DEA1与平面A1BC所成的锐二面角的余弦值．18．已知f（x）=．（1）若a=﹣8，求当﹣6≤x≤5时，|f（x）|的最大值；（Ⅱ）对于任意实数x1（x1≤3），存在x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．19．已知F1（﹣，0），F2（，0）为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，且△PF1F2面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点．△OAB的面积为1，=s+t（s，t∈R），当点G在椭圆C上运动时，试问s2+t2是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求出s2+t2的取值范围．20．已知在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（Ⅰ）若t=0，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若t=1，求证：．2017年浙江省湖州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1-8:BBBCDAAA二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9．已知tanα=2，则tan（α+）=﹣3，cos2α=，=．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式可求tan（α+）的值，利用同角三角函数基本关系式即可计算求得cos2α，的值．【解答】解：∵tanα=2，∴tan（α+）===﹣3；cos2α====；===．故答案为：﹣3，，．10．已知函数f（x）=则f（f（﹣2））=2；若f（x）≥2，则实数x的取值范围是x≥1或x≤﹣4．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式利用代入法进行求解即可．【解答】解：由分段函数的表达式得f（﹣2）=log22=1，f（1）=21=2，则f（f（﹣2））=2；若x≥0，由f（x）≥2得2x≥2，得x≥1，若x＜0，由f（x）≥2得log2（﹣x）≥2，得﹣x≥4，则x≤﹣4，综上x≥1或x≤﹣4，故答案为：2，x≥1或x≤﹣4．11．已知函数f（x）=2cos2x+cos（﹣2x），则函数f（x）的最小正周期是π，值域是[1﹣，1] ．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=sin（2x+）+1，利用三角函数周期公式可求最小正周期，利用正弦函数的图象和性质可得sin（2x+）∈[﹣1，1]，从而可求f（x）的值域．【解答】解：∵f（x）=2cos2x+cos（﹣2x）=1+cos2x+sin2x=sin（2x+）+1，∴函数f（x）的最小正周期T==π，∵sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）=sin（2x+）+1∈[1﹣，1]．故答案为：π，[1﹣，1]．12．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是6cm3，该几何体的表面积是cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图得该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由梯形的面积公式、柱体的体积公式求出该几何体的体积，由四棱柱的各个面的长度求出几何体的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图得：该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱，其底面是正视图中的直角梯形，上底为1cm，下底为2cm，高为2cm，由侧视图知四棱柱的高为2cm，所以该几何体的体积V==6（cm3），由正视图可知直角梯形斜腰是，=2×+则该几何体的表面积S表面积=（cm2），故答案为：6；．13．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P．若点P的纵坐标为，则该双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设右焦点F（c，0），设双曲线的一条渐近线方程为l：y=，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得直线PF的方程，联立渐近线方程求得P的纵坐标，由条件结合离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F（c，0），且c==，设双曲线的一条渐近线方程为l：y=，由PF⊥l，可得直线PF的方程为y=﹣a（x﹣c），联立消去x，可得y=，即有y===，由点P的纵坐标为，可得=，即有e=．故答案为：．14．已知单位向量，的夹角为120°，|x+y|=（x，y∈R），则|x﹣y|的取值范围是[1，3] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求得．再由|x+y|=得到x2+y2﹣xy=3．然后利用配方法及换元法分别求得|x﹣y|的最大值及最小值即可．【解答】解：∵，且，的夹角为120°，∴．∴|x+y|==．即x2+y2﹣xy=3．∴3=x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy=xy，即xy≤3；则|x﹣y|==；令x+y=t，则（x+y）2=x2+y2+2xy=t2，∴3+xy+2xy=t2，则，∴|x﹣y|====．∴|x﹣y|的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]．15．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=2AD，若将△ABD沿直线BD折成△A′BD，使得A′D⊥BC，则直线A′B与平面BCD所成角的正弦值是．【考点】直线与平面所成的角．【分析】过D作DE⊥BC于E，连结A′E，过A′作A′O⊥DE，连结A′O．则可证明A′O⊥平面BCD，于是∠A′BO为直线A′B与平面BCD所成的角．设AD=1，在直角梯形中根据平面几何知识解出DO，从而得出A′O，得出线面角的正弦值．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，连结A′E，过A′作A′O⊥DE，连结A′O．∵BC⊥A′D，BC⊥DE，A′D∩A′O=A′，∴BC⊥平面A′DE，∵A′O⊂平面A′DE，∴BC⊥A′O，又A′O⊥DE，BC∩DE=E，∴A′O⊥平面BCD．∴∠A′BO为直线A′B与平面BCD所成的角．在直角梯形ABCD中，过A作AO⊥BD，交BD于M，交DE于O，设AD=1，则AB=2，∴BD=，∴AM==，∴DM==．由△AMD∽△DMO得，即，∴DO=．∴A′O==．∴sin∠A′BO==．故答案为．三、解答题（共5小题，满分74分）16．已知函数f（x）=msin（ωx）cos（ωx）+nsin2（ωx）（ω＞0）关于点（，1）对称．（Ⅰ）若m=4，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）的最小正周期是一个三角形的最大内角的值，又f（x）≤f（）对任意实数x成立，求函数f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，结合f（x）关于点（，1）对称，得，即n=2，且，从而求得函数的最小值；（Ⅱ）由f（x）≤f（）对任意实数x成立，得，k∈Z，k≥0，再由t的范围可得T的值，由，得m=2．求得函数解析式，再由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=msin（ωx）cos（ωx）+nsin2（ωx）===．其中cosθ=，∵f（x）关于点（，1）对称，∴，即n=2，且，∵m=4，∴f（x）=，∴；（Ⅱ）由f（x）≤f（）对任意实数x成立，则，k∈Z，k≥0，其中T为函数f（x）的最小正周期，且，得k=0，T=．．f（x）=，由，得m=2．f（x）=sin3x﹣cos3x+1=．由，得．∴f（x）的单调增区间为[]，k∈Z．17．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=，AD=1，AB=2CD=4，E为AB中点，将△ADE沿直线DE折起到△A1DE，使得A1在平面EBCD上的射影H在直线CD上．（Ⅰ）求证：平面A1EC⊥平面A1DC；（Ⅱ）求平面DEA1与平面A1BC所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）过A1过A1H⊥CD交CD于H，推导出A1H⊥CE，CD⊥CE，从而CE⊥平面A1CD，由此能证明平面A1EC⊥平面A1DC．（Ⅱ）连结AH交DE、BC于M，N，推导出A1A⊥DE，A1H⊥DE，从而DE⊥平面A1AH，设平面DEA1∩平面A1BC=l，则∠MA1N为二面角E﹣l﹣B的平面角，由此能求出平面DEA1与平面A1BC所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）过A1过A1H⊥CD交CD于H，由A1在平面EBCD上的射影在直线CD上，知A1H⊥平面CDE，∴A1H⊥CE，又CD⊥CE，CD∩A1H=H，∴CE⊥平面A1CD，∵CE⊂平面A1EC，∴平面A1EC⊥平面A1DC．解：（Ⅱ）连结AH交DE、BC于M，N，由AD=A1D，AE=A1E，∴A1A⊥DE，又A1H⊥DE，∴DE⊥平面A1AH，∴DE⊥A1M，DE⊥A1N，DE⊥AH，又DE∥平面A1BC，设平面DEA1∩平面A1BC=l，∴DE∥l，从而l⊥A1M，l⊥A1N，∴∠MA1N为二面角E﹣l﹣B的平面角，DH=，A1H=，MH=，NH=3MH=，∴tan，tan，tan∠MA1N=tan（∠MA1H+∠NA1H）==，∴cos，∴平面DEA1与平面A1BC所成的锐二面角的余弦值为．18．已知f（x）=．（1）若a=﹣8，求当﹣6≤x≤5时，|f（x）|的最大值；（Ⅱ）对于任意实数x1（x1≤3），存在x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（1）化简f（x）=，从而转化为当0≤x≤5时，|f（x）|的最大值，从而求得；（Ⅱ）分类讨论，从而确定f（x）的性质，再根据二次函数的性质判断a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣8，f（x）=，当﹣6≤x＜0时，存在0≤t＜2，使f（x）=f（t），从而只要求当0≤x≤5时，|f（x）|的最大值，而f（x）=x2﹣8x+9=（x﹣4）2﹣7，﹣7≤f（x）≤9；则|f（x）|≤9；故f（x）|的最大值为9；（Ⅱ）若x1＜2时，取x2=x1﹣2，则f（x2）=f（x1﹣2）=f（x1）；符合题意；只要考虑2≤x1≤3，存在x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）；（1）当﹣≤0，即a≥0时，f（x）=x2+ax+1﹣a在[0，+∞）上单调递增；故不存在x2（x2≠x1），f（x2）=f（x1）；（2）当0＜﹣＜2，即﹣4＜a＜0时，则只要f（3）≤f（0），即10+2a≤1﹣a，从而解得，﹣4＜a≤﹣3；（3）当2≤﹣≤3，即﹣6≤a≤﹣4时，取x1=﹣时，不存在x2（x2≠x1），使f（x2）=f（x1）；（4）当﹣＞3，即a＜﹣6时，取x2=﹣a﹣x1＞3，必有f（x2）=f（x1），符合题意；综上所述，a＜﹣6或﹣4＜a≤﹣3．19．已知F1（﹣，0），F2（，0）为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，且△PF1F2面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点．△OAB的面积为1，=s+t（s，t∈R），当点G在椭圆C上运动时，试问s2+t2是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求出s2+t2的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=，当P为短轴的端点时，△PF1F2面积取得最大值，即可得到b=1，求得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+4y2=4，运用韦达定理，由三角形的面积公式结合向量数量积的定义和坐标表示，可得S△OAB=|x1y2﹣x2y1|=1，化简整理可得1+4k2=2m2，再由向量的坐标表示，计算即可得到x1x2+4y1y2=0，运用点满足椭圆方程，化简整理可得s2+t2=1为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c=，当P为短轴的端点时，△PF1F2面积取得最大值•b•2c=，解得b=1，a==2，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=﹣，x1x2=，S△OAB=|OA|•|OB|sin∠AOB===|x1y2﹣x2y1|=|x1（kx2+m）﹣x2（kx1+m）|=|m（x1﹣x2）|=|m|•=1，化简可得1+4k2=2m2，设G（x，y），由=s+t，可得x=sx1+tx2，y=sy1+ty2．又因为点G在椭圆C上，所以有（sx1+tx2）2+4（sy1+ty2）2=4，整理可得：s2（x12+4y12）+t2（x22+4y22）+2st（x1x2+4y1y2）=4．即为4（s2+t2）+2st（x1x2+4y1y2）=4．由x1x2=2﹣，x1+x2=﹣，可得4y1y2=4（kx1+m）（kx2+m）=4[k2x1x2+km（x1+x2）+m2]=4k2•（2﹣）+4km（﹣）+4m2=﹣2，可得x1x2+4y1y2=0，即有s2+t2=1为定值．20．已知在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（Ⅰ）若t=0，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若t=1，求证：．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过t=0可知a n+1=，进而取对数、变形可知lna n+1﹣ln2=2（lna n﹣ln2），计算即得结论；（Ⅱ）通过a1=1可知a n+1=且a n＞0，放缩即得++…+≥，利用a n+1﹣a n=＜0可知数列{a n}是递减数列，进而可知a n+1≤a n，即a n≤，利用a n+1﹣a n=﹣转化、相加即得结论．【解答】证明：（Ⅰ）若t=0，则a n+1=，由a1=1可知a n＞0，从而lna n+1=2lna n﹣ln2，从而lna n+1﹣ln2=2（lna n﹣ln2），即ln=2ln，又∵ln=ln2﹣1，∴数列{ln}是首项为ln2﹣1、公比为2的等比数列，∴ln=2n﹣1ln2﹣1=ln，即a n=；（Ⅱ）首先，由a1=1，a n+1=，可知a n＞0，则： ++…+≥=，∵a n+1﹣a n=＜0，∴数列{a n}是递减数列，∴==1﹣≤1﹣=，即a n+1≤a n，∴a n≤a1=，又∵a n+1﹣a n=﹣a n=﹣，∴++…+=（a1﹣a2）+2（a2﹣a3）+3（a3﹣a4）+…+n（a n﹣a n+1）=a1+a2+a3+a4+…+a n﹣na n+1＜1+++…+=＜，综上所述：．。