泛函2-3,2-4

3.6 定理 设M是Hilbert空间H的闭线性子空间，且
h H ,令 Ph 表。
。
。
P是H上的线性算子;
h H ,|| Ph |||| h ||;
P2 P.这里 P 2 表示P与其自身的复合;
ker P M , R( P) M .
( f ) f (t ) g (t )dt
E ______
1
f 是连续的；
2
3
f 在零点连续；
f 在某一点连续；
4
C 0, 使得 x H , f ( x) C x ；
5
ker f 是闭集。
4.2 有界线性泛函的定义
H上线性泛函称为有
界线性泛函，如果存在常数 C 0 ，使得
x H , f ( x) C x
4.3 有界线性泛函的范数 对有界线性泛函
x1 x 2 x n
2
x1 x 2
2
2
xn
2
3.3 变分引理 设H是Hilbert空间，K是H中非空闭凸集，
h H ,则K中存在唯一的点k 0 使得
|| h - k 0 || = inf{ || h - k || : k K} = dist(h,M)
3.4 投影定理 设M 是Hilbert空间H的闭线性子空间 ，
A A {0}
3.9 系 设A是Hlibert空间H的子集，则 A


是
A在H中的闭线性包，即是包含A的最小 闭线性子空间。 3.10 系 如果Y是Hlibert空间H中的线性子空间，
则Y在H中稠，当且仅当 Y 0
3.11 正交分解定理 设 M 是 H 的闭线性子空间，则
f : H F ，定义 f sup f ( x) : x 1，
由有界线性泛函的定义， f ， f 称为 有界线性泛函 f 的范数。
命题 如果 f 是有界线性泛函，则
f ( x) f sup f ( x) : x 1 sup : x H , x 0 inf c 0 : f ( x) c x , x H , x
h H , 且 f 0 是 M 中满足 || h - f0 || = dist(h,M)
的唯一的元素 ，则h - f 0 M . 反之，如果 f 0 M ， 且h - f 0 M , 则 || h - f 0 || = dist(h,M)
H的闭子空间 定义 设 h 是Hilbert空间 H的元素，
且 x H , f ( x) f x
4.4 对偶空间 H上所有有界线性泛函组成的集合按加法
(( f1 f 2 )( x) f1 ( x) f 2 ( x)) 和数乘
((f )( x ) f ( x )) 构成一个线性空间，称
为H的对偶空间（或共轭空间），记为 H *
4.5 Riesz表现定理 如 f : H F 是Hilbert空间 H 上的有界线性泛函，则存在唯一的 x0 H ，使 得 x H , f ( x) x, x0 ，且有 f x0
4.6 系 如果 f 是 R n 上有界线性泛函，则存在
(1,2 ,
n ) Rn ,
x (1 , 2 ,
n ) R n , f ( x) ii
i 1
n
4.7 系 如果 是实 L2 ( E) 上有界线性泛函，则存在
唯一的 g L2 ( E), f L2 ( E), ( f ) E f (t ) g (t )dt 如果 是复 L2 ( E) 上有界线性泛函，则
M 中满足 h f M 的唯一的元素 f0 称为 0
h 在 M 上的正交投影，简称投影。
3.5 正交补 如果 A 是内积空间 X 的子集，一切与
A 正交的元素的集合称为 A 的正交补，
记作 A ，即
A f X : g A, f g
命题： A 是内积空间 X 的闭线性子空间
M M 可分解为两个子空间 与 的直和，即 H
x H ，可唯一地表成 x y z ，其中
y M , z M , 这时记作 H M M

第四节 Riesz表现定理
4.1 定理 设 H是数域 F 上的Hilbert空间，而
f : H F 是线性泛函，则以下五者等价：
第三节 正交性
3.1 定义 设X是内积空间, x , y X，如 x, y = 0， 则称x , y为正交的或直交的，记作x y. 设A，B X，如 a A, b B,有a b,
则称A与B正交。如果向量x与A中所有
向量a正交，则称x与A正交,记作x A.
3.2 勾股定理 如果 x1 , x2 ,, xn 在X中两两正交，则
3
4
3.7 定义 如果 M 是Hilbert空间 H 的闭线性子空间，
P 是以上定理中定义的线性算子，则 P
称为 H 到 M 上的正交投影算子，称正交
投影、投影算子或投影
3.8 系 设M是Hlibert空间H的闭线性子空间，则
M

M
( A ) A 一般只有
还有性质：A B A B