高等数学(下)期末复习指导
高数下册期末复习指导
x x(t)
y y(t), t :
z z (t)
P[x (t),
y (t), z (t)]
x(t )
Q[x (t), y (t), z (t)] y(t )
R[x (t), y (t), z(t)] z(t) d t
5.第二型曲面积分
时，
R(x, y, z) d x d y R(x, y, z(x, y)) d x d y
偏导数, 则
向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S ( n 为 的单位法向量）
G 内任意点处的散度为 div A A P Q R x y z
四：常微分方程
1. 一阶标准类型方程求解 可分离变量方程
三个标准类型 齐次方程 线性方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
4.第二型线积分
• 对有向光滑弧
C
x:y源自x (t ) ,y (t )
t
:
P [x (t),
y(t)] x(t)
Q [ x(t ),
y (t)]
y(t)d t
• 对有向光滑弧 C : y f ( x) , x : a b
b a
P [ x,
f
( x)] Q[x,
f
( x)]
f
( x)dx
• 对空间有向光滑弧C :
• 2、 多元向量值函数积分
(1）定义（分，匀，合，精，注意方向） （2）性质（线性，区域可加性，方向性，闭曲线（面）的性质，中
值定理） （3）类型： 第二型（对坐标）的线积分和第二型（对坐标）面积分
3. 多元数量值函数积分的计算
（1）二重积分 计算方法：直角坐标系（X型域，Y型域，注意积分次序），极坐标系（先ρ 后，注意面积微元） ，换元法（简单的掌握,以书中例题为例） 应用：平面薄片的质量，平面区域的面积，曲顶柱体的体积
高等数学下册复习资料
高等数学下册复习资料高等数学下册是一门重要的大学数学课程，也是有挑战性的一门课程。
学生们需要透彻地掌握这门课程的基本概念、理论和实际应用，才能够为以后的学习和工作做好充分的准备。
因此，复习高等数学下册是非常必要的。
一、复习重点1.微分方程微分方程是高等数学下册中比较难理解和掌握的知识点之一。
在这个部分中，学生们需要掌握常微分方程及其解法、初始值问题、高阶微分方程、齐次方程和非齐次方程等。
2.多元函数微积分学多元函数微积分学是高等数学下册的另一个难点，包括多重积分、曲线积分、曲面积分、矢量场的线积分和面积分等。
3.线性代数线性代数是高等数学下册另一个重要的知识点。
这个部分需要学生们掌握线性空间、矩阵、行列式和特征值及其应用、线性方程组及其应用等。
二、复习方法1.理解基本概念和理论高等数学下册有很多基本的概念和理论，这些知识点是这门课程的基础。
学生们需要花费足够的时间来学习和理解这些概念和理论，从而能够透彻地掌握整个课程。
2.做题巩固知识点在学习中，做题是非常重要的一部分。
学生们需要选择一些代表性和难度适当的例题和习题来练习，从而加深对知识点的理解和掌握。
同时，做题也可以帮助学生们检查自己的学习效果。
3.查阅资料和参考书籍在复习过程中，学生们可以查阅相关资料和参考书籍，例如高等数学下册的教材、辅读书和网上资料等。
通过阅读和学习这些资料，学生们可以更深入地了解和掌握相关知识点。
4.参加辅导课和讨论小组参加辅导课和讨论小组，可以让学生们更好地交流和学习。
在这个过程中，学生们可以和老师和同学们一起讨论和解决问题，不断提高自己的学习能力。
三、总结复习高等数学下册需要花费足够的时间和精力，但是这个过程是非常重要的。
通过理解基本概念和理论、做题巩固知识点、查阅资料和参考书籍、参加辅导课和讨论小组等方法，学生们可以逐渐掌握高等数学下册的知识点，为以后的学习和工作打下坚实的基础。
高数下期末考复习资料
高数下期末考复习资料高数是在大学阶段非常重要的一门学科，也是很多学生最备受挑战的科目之一。
为了更好地备考高数下期末考试，学校和老师一般都会提供一些相应的复习资料，下面将给大家介绍一些高数下期末考复习资料。
一、教材及其配套习题在备考过程中，重点掌握教材中各章节的知识点及其应用，这样可以更好地应对考试。
另外，每本教材的后面都附有大量的习题，这些习题是考试中最常见的考点，所以切记要吃透每一道习题。
二、模拟题及其解析除了教材习题，各种模拟题也是备考中不可或缺的一部分，它们能够帮助我们更好地了解考试难度和考试范围，有效的提高考试的成功率。
当然，不仅考试前需要进行模拟考试，考试后也应该倒推做题思路并找出解题技巧。
三、复习指南在备考过程中，官方或是学生会均通常会推出复习指南，复习指南包含了每章节所要掌握的知识点和应该掌握的重点难点，这些指南对于考生备考都是很有帮助的。
四、解题思路学生在备考过程中需要了解纷繁复杂的解题思路。
因为求解解题的不同策略，定量意义的计算和几何图形的解析可以根据某些原则有得到较好的通行证。
略微了解和熟悉这些解题策略会在考试中得到极大的优势，并且有助于作为问题应对考场上严峻的求解气氛。
五、求助老师在真正的备考过程中，遇到难题，总要找人问问比较好。
老师总是学生的第一选择，他们有深厚的学术背景，拥有丰富的解题经验和思考技巧。
在遇到困难的时候，老师的指导和鼓励传递正能量并且能鼓励学生更快速更通畅地准备自己的学习。
六、同学互助学生帮助学生的传统自助重要性在高数考试备考过程中显得尤为重要。
有理性引导和友善的氛围，能够让我们在微信、QQ群等通讯工具里获取班上其他同学的经验和学习材料，更加奏效和加速我们的思维和工作效率。
以上就是我们校内外和学生所推荐的一些高数下期末考复习资料，希望能够对即将参加考试的学生有用。
学习无论何时，准备和复习的及时性和科学性是很重要的，为了能够更好地掌握高数内容，我们应该做好相应计划，认真备考，提高成绩。
高等数学-下期末复习提纲 PPT课件
易得最大值、最小值分别为 f (3, 0) 9, f (0, 0) 0 .
第四章 多元函数积分学
重 点 二重积分计算(直角系与极坐标)、三重积分计算 (直角系、柱坐标系、球坐标系)、利用三重积分 求物体体积与质量.
再见！
x0
ln(
y
x)
y 1
y 1
x
ln(1
0)
1
1 02
1.
例8、设
z
4x3
3x2
y
3xy 2
x
y
,
求
2z x2
,
2z .
yx
解 z 12x2 6xy 3y 2 1,
x
z 3x2 6xy 1;
例7、求下列函数的极限
(1)
lim (x2
x0
y2
)sin
x2
1
y2
;
y0
解
lim( x 2
x0
y2 ) sin
x2
1
y2
lim u sin 1
u0
u
0,
其中u
=
x2
y2；
y0
(2) limln( y x)
y
.
xy01
1 x2
解
lim
与球面
所围立体.
高数下册复习提纲
第7章：微分方程一、微分方程的相关概念1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解. 特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解.3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解； 也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中. 二、微分方程的常见类型及其解法 1. 可分离变量的微分方程及其解法 (1).方程的形式：dx x f dy y g )()(=.(2). 方程的解法：分离变量法(3). 求解步骤①. 分离变量，将方程写成dx x f dy y g )()(=的形式；②. 两端积分：⎰⎰=dx x f dy y g )()(，得隐式通解C x F y G +=)()(；③. 将隐函数显化. 2. 齐次方程及其解法 (1).方程的形式：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y dx dy ϕ. (2).方程的解法：变量替换法 (3). 求解步骤①．引进新变量x y u=，有ux y =及dxdux u dx dy +=； ②．代入原方程得：)(u dxdux u ϕ=+；③．分离变量后求解，即解方程xdxu u du =-)(ϕ；④．变量还原，即再用xy代替u . 3. 一阶线性微分方程及其解法 (1).方程的形式：)()(x Q y x P dxdy=+. 一阶齐次线性微分方程:0)(=+y x P dxdy.一阶非齐次线性微分方程:0)()(≠=+x Q y x P dxdy. (2).一阶齐次线性微分方程0)(=+y x P dxdy的解法: 分离变量法. 通解为⎰-=x d x P Ce y )(,(R C ∈).(公式)(3).一阶非齐次线性微分方程0)()(≠=+x Q y x P dxdy的解法: 常数变易法. 对方程)()(x Q y x P dxdy=+，设⎰-=x d x P e x u y )()(为其通解，其中)(x u 为未知函数， 从而有 ⎰---'=⎰x d x P x d x P e x P x u x u dxdy)()()()(e )(，代入原方程有 )()()()()(e)()()()(x Q e x u x P e x P x u x u x d x P x d x P xd x P =+-'⎰-⎰--⎰，整理得 ⎰='x d x P x Q x u )(e )()(，两端积分得 C dx e x Q x u x d x P +=⎰⎰)()()(，再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解))(()()(C dx e x Q e y x d x P x d x P +=⎰⎰⎰-dx e x Q e Ce x d x P x d x P x d x P ⎰⎰⎰-⎰-+=)()()()(，(公式)即非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解+非齐次线性方程特解.三、可降阶的高阶微分方程1． )()(x f y n =型接连n 次积分，可得此方程的含有n 个相互独立的任意常数的通解． 2． ),(y x f y '=''型令p y ='，则dxdpy =''，代入原方程，并依次解两个一阶微分方程便可得此方程的通解． 3． ),(y y f y '=''型令p y ='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''，代入原方程，得到一阶微分方程),(p y f dydp p =．解此一阶微分方程，得到),(1C y p y ϕ=='，然后分离变量并积分便可得此方程的通解．第8章 向量与解析几何222cos A C A θ=+⋅第9章 多元函数微分法及其应用一、基本概念 1．多元函数（1）知道多元函数的定义n 元函数：),,,(21n x x x f y = （2）会求二元函数的定义域1°：分母不为0； 2°：真数大于0；3°：开偶次方数不小于0； 4°：u z arcsin =或u arccos 中||u ≤1 （3）会对二元函数作几何解释 2．二重极限A y x f y y x x =→→),(lim 0这里动点),(y x 是沿任意路线趋于定点),(00y x 的．（1） 理解二重极限的定义（2） 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限； （3） 会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）． 3．多元函数的连续性（1）理解定义：)()(lim 00P f P f P P =→．（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。
高数下册复习知识点总结
高数下册复习知识点总结高数下册复习知识点总结高数下册复习知识点总结：8空间解析几乎与向量代数1.给定向量的坐标表达式，如何表示单位向量、方向数与方向余弦、投影。
2.向量的数量积、向量积的定义式与坐标式，掌握两个向量垂直和平行的条件。
3.了解常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程。
空间曲线在坐标平面上的投影方程。
4.平面方程和直线方程及其求法。
5.平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6.点到直线以及点到平面的距离。
9多元函数微分法及其应用1.有关偏导数和全微分的求解方法，偏导要求求到二阶。
2.复合函数的链式法则，隐函数求导公式和方法。
3.空间曲线的切线和法平面方程，空间曲面的切平面与法线方程；函数沿着一条直线的方向导数与梯度。
4.利用充分条件判断函数的极值问题；利用拉格朗日乘子法（即条件极值）分析实际问题或给定函数的最值问题。
10重积分1.二重积分直角坐标交换积分次序；选择合适的坐标系计算二重积分。
2.选择合适的坐标系计算三重积分。
3.利用二重积分计算曲面的面积；利用三重积分计算立体体积；4.利用质心和转动惯量公式求解问题。
11曲面积分与曲线积分1.两类曲线积分的计算与联系；2.两类曲面积分的计算与联系；3.格林公式和高斯公式的应用。
12曲面积分与曲线积分1.常数项积分的敛散性判别：（1）正项级数；（2）交错级数；（3）一般级数2.幂级数的收敛域（1）标准型（2）非标准型幂级数的和函数，幂级数展开3.傅里叶级数的和函数以及展开式扩展阅读：高数下册总复习知识点归纳(1)高等数学（一）教案期末总复习第八、九章向量代数与空间解析几何总结向量代数定义与运算的几何表达定义向量模有大小、有方向.记作a或AB向量a的模记作a在直角坐标系下的表示aaxiayjazk(ax,ay,az)axprjxa,ayprjya,azprjzaaax2ay2az2和差cabca－b 单位向量cabaxbx,ayby,azbzaa0，则eaa设a与x,y,z轴的夹角分别为，，，则方向余弦分别为cos，cos，cosea(ax,ay,az)axayaz222方向余弦aaacosx，cosy，coszaaaea(cos，cos，cos)cos2+cos2cos21点乘（数量积）ababcos，为向量a与b的夹角abaxbxaybyazbziabaxbxjaybykazbzcabsin叉乘（向量积）为向量a与b的夹角cab向量c与a，b都垂直定理与公式垂直平行abab0abaxbxaybyazbz0a//bcosa//bab0axayazbxbybz2222交角余弦ab两向量夹角余弦cosab向量a在非零向量b上的投影axbxaybyazbzaxayazbxbybz22投影prjbaacos(ab)abbprjbaaxbxaybyazbzbxbybz222平面法向量n{A,B,C}点M0(x0,y0,z0)方程名称一般式点法式方程形式及特征直线方向向量T{m,n,p}点M0(x0,y0,z0)方程名称一般式点向式方程形式及特征A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20AxByCzD0A(xx0)B(yy0)C(zz0)0xx0yy0zz0mnp高等数学（一）教案期末总复习xx1三点式yy1y2y1y3y1zz1z2z10z3z1两点式线线垂直线线平行线面平行参数式x2x1x3x1截距式面面垂直面面平行线面垂直xyz1abcA1A2B1B2C1C20A1B1C1A2B2C2ABCmnpxx0mtyy0ntzzpt0xx0yy0zz0x1x0 y1y0z1z0m1m2n1n2p1p20m1n1p1m2n2p2AmBnCp0点面距离M0(x0,y0,z0)AxByCzD0面面距离AxByCzD10AxByCzD20dAx0By0Cz0DABC222dD1D2ABC222面面夹角n1{A1,B1,C1}n2{A2,B2,C2}cos|A1A2B1B2C1C2|A1B1C1A2B2C2222222线线夹角s1{m1,n1,p1}s2{m2,n2,p2}线面夹角s{m,n,p}n{A,B,C}AmBnCpA2B2C2m2n2p2cosm1m2n1n2p1p2222m12n12p12m2n2p 2sinx(t)，y(t)，z(t)，切“线”方程：切向量xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)空间(t)曲线：T((t0),(t0),(t0))法平“面”方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0切“线”方程：y(x)切向量z(x)T(1,(x),(x))xx0yy0zz01(x0)(x0)法平“面”方程：(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0法向量切平“面”方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fx(x0,y0,z0)(yy0)F(x,y,z)0空间曲面：n(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)F x(x0,y0,z0)(zz0)0法“线“方程：xx0yy0zz0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程：fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0法“线“方程：zf(x,y)或n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)xx0yy0zz0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1高等数学（一）教案期末总复习第十章总结重积分计算方法（1）利用直角坐标系X型Y型积分类型二重积分典型例题f(x,y)dxdydxDab2(x)1(x)f(x,y)dyf(x,y)dxP141例1、例3f(x,y)dxdyDdcdy2(y)1(y)Ifx,ydD（2）利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含(x2y2),平面薄片的质量质量=面密度面积为实数)P147例5f(cos,sin)ddDd2()1()f(cos,sin)d0202（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）0I2f(x,y)dxdyD1计算步骤及注意事项f(x,y)对于x是奇函数，即f(x,y)f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数，即f(x,y)f(x,y)D1是D的右半部分P141例2应用该性质更方便1．画出积分区域2．选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3．确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4．确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5．计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性高等数学（一）教案期末总复习三重积分(1)利用直角坐标投影投影法截面法bay2(x)f(x,y,z)dVdxy1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dzP159例1P160例2xrcos（2）利用柱面坐标yrsinzz相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体○If(x,y,z)dvP161例3空间立体物的质量质量=密度面积22222被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如f(xy)f(xz)○f(x,y,z)dVdzdabr2()r1()f(cos,sin,z)dxcosrsincos（3）利用球面坐标ysinrsinsinzrcosdvr2sindrdd适用范围:1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.○P16510-(1)2222被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如，f(xyz)○Idd11222(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)2sind（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性高等数学（一）教案期末总复习第十一章总结曲线积分与曲面积分积分类型参数法（转化为定积分）第一类曲线积分（1）L:y(x)IIf(x,y)ds计算方法典型例题(t)Iaf(x,y(x))1y"(x)dx曲形构件的质量（2）L:y(t)质量=线密度xr()cos弧长（3）rr()()L:f((t),(t))b"2(t)"2(t)dt2Lx(t)P189-例1P190－3yr()sinIf(r()cos,r()sin)r2()r"2()d平面第二类曲线积分（1）参数法（转化为定积分）x(t)L:(t单调地从到)y(t)P196-例1、例2、例3、例4LPdxQdy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）②P，Q具有一阶连续偏导数结论：LPdxQdy(DQP)dxdyxy满足条件直接应用IPdxQdy应用：有瑕点，挖洞L不是封闭曲线，添加辅助线变力沿曲线所做的功P205－例4P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件：①QP②xy③PdxQdy0LLPdxQdy与路径无关，与起点、终点有关P211-例5、例6、例7④P dxQdy具有原函数u(x,y)（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）（4）两类曲线积分的联系IPdxQdy(PcosQcos)dsLL空间第二类曲线积分（1）参数法（转化为定积分）PdxQdyRdz{P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dtIP dxQdyRdz（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）L条件：①L封闭，分段光滑，有向②P，Q，R具有一阶连续偏导数PdxQdyRdzL变力沿曲线所做结论：的功QpRQPR()dydz()dzdx()dxdyyzzxxyP240-例1 高等数学（一）教案期末总复习应用：满足条件直接应用不是封闭曲线，添加辅助线第一类曲面积分投影法：zz(x,y)投影到xoy面If(x,y,z)dv曲面薄片的质量Dxy质量=面密度类似的还有投影到yoz面和zox面的公式面积（1）投影法Pdydzp(x(y,z),y,z)dydz1○Dyz：zz(x,y)，为的法向量与x轴的夹角前侧取“+”，cos0；后侧取“”，cos0Qdzdxp(x,y(x,z),z)dzdx2第二类曲面积分○Dyz：yy(x,z)，为的法向量与y轴的夹角右侧取“+”，cos0；左侧取“”，cos02If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y))1zx2zydxdyP217-例1、例2P226-例2IPdydzQdzdxR3QdxdyQ(x,y,z(x,y))dxdy○Dyz流体流向曲面一侧的流量：xx(y,z)，为的法向量与x轴的夹角上侧取“+”，cos0；下侧取“”，cos0（2）高斯公式右手法则取定的侧条件：①封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧②P，Q，R具有一阶连续偏导数结论：PdydzQdzdzRdxdy(PQR)xyzP231-例1、例2应用：满足条件直接应用不是封闭曲面，添加辅助面（3）两类曲面积分之间的联系PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dSP228-例3转换投影法：dydz( 所有类型的积分：z)dxdyxdzdx(z)dxdyy1定义：四步法分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
高数下册期末考试复习总结ppt课件
设 A f ( x , y ), B f ( x , y ), C f ( x , y ) 2、 xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0
2 ( 1 ) AC B 0 , 且 A 0 ( A 0 ), f ( x , y ) 为极 ( 大 ) 值 0 0
2 ( 2 ) AC B 0 ,f( x ,y ) 不是极值 0 0
a b b b a a b b a a
五、无穷限的反常积分
( x ) dx F ( x ) C f ( x ) dx F ( x ) | lim F ( x ) F ( a ) f
a a x
b f ( x ) dx F ( x ) | F ( b ) lim F ( x ) x
高数下册期末考 试复习总结
在 [ a , b ] 上 f ( x ) g ( x ), 则 f ( x ) dx g ( x ) dx
b
b
f ( x ) dx f ( ) ( b a ) ( a b ) 积分中值定理 ) dx 0 ; 当f ( x)是奇函数时， f(x x ) dx 2 x ) dx . 当f ( x)是偶函数时， f( f(
f ( x ) dx F ( x ) | lim F ( x ) lim F ( x ) x x
b
六、定积分的应用 ຫໍສະໝຸດ 、微元法2、平面图形的面积 (1)直角坐标情形 (2)极坐标情形 3、体积 (1)平行截面面积为已知的立体体积 (2)旋转体体积
2 ( 3 )AC B 0 , f(x 可能是也可能 。 不 0, y 0)
八、二元函数的最值
高数下期末复习课件(兴湘下)
VS
在定积分的应用中，需要注意定积分 的几何意义和物理意义，以及定积分 与不定积分之间的关系。同时，需要 掌握各种定积分的计算技巧和方法， 例如换元法、分部积分法等。
常微分方程的求解方法
常微分方程是微分方程中的一类重要方程，其应用包括解决各种实际问题中的动态问题、控制系统等。常微分方程的求解需 要掌握各种求解方法和技巧。
01
02
03
解下列一阶微分方程
04
答案：y = e^(-x) + C*e^x (其中C是积分常 数)
向量代数与空间解析几何复习题及答案
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最终呈现发布的良好效果单击此 处添加正文单击此处添加正文，一二三四五六七八九十一二三四的的委一二三四 五六七八九十一二三四五六七八九十一二三四五六七八九十一二三四五六七八九 十添加正文单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最终呈现发布的良好 效果单击此处添加正文单击此处添加正文，文字是您思想的提炼单击此处添加正 文，文字是您思想的提炼，为了最终呈现发布的良好效果单击此处添加正文单击 此处添加正文，文字是您思想的提炼，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼 ，为了最终呈现发布的良好效果单击此处添加正文单击此处添加正文，文字提炼 ，为了最终呈现发布的良好效果单击此处添加正文单击此处添加正文，文字提炼 ，为了最终呈现发布的良好效果单击此处添加正文单击此处添加正文，文字是您 思想的提炼，11*37
极限与连续复习题及答案
01
答案：0
02
判断下列函数的连续性
03
1. f(x) = x^2 (x < 0); f(x) = x (x >= 0)
04
答案：在x=0处不连续
导数与微分复习题及答案
高等数学下期末总复习
证 在 (0,o)处 连 但 导 存 明 点 不 续 偏 数 在 二、偏导数 1、偏导数定义极限式及应用
2、偏导数求法： 1）多元复命函数的导法则（注意：抽象复合求导） 2）隐函数求导——公式 2f (x, y) 2 2 练习： 1）设 f (x + y, x − y) = 2x(x − y )，求 2x 2）设 u(x, y) 为二元可导函数，已知 则 u(x, y) =_______ 3）设 u(x, y) 具有二阶连续偏导 且 u′′ (t,t) = a2,u′′ (t,t) = −ab,u′′ (t,t) =b2, xx xy yy 则 F(t) =u(t,t)的二阶导数 3、求全微分 dz 练习：已知 x2 + y2 + z2 = f [x, f (x, y)] ，其中 f (u,v) 具有连续偏导，求 dz 。
求体积：1）曲顶柱体，用二重积分
V = ∫∫ 顶 dxdy
底
顶：z = f (x, y) 代入积分方程
2）立体用三重积分
V = ∫∫∫ dv
Ω
第十章
曲线与曲面积分
掌握： 1、第一类、第二类曲线积分 ——化为定积分的计算方法； 2、格林公式及其应用； 3、高斯公式及其应用。 注意一种特殊情况: 被积函数=1的曲线，曲面积分 1、P60—4 ∫ L(3x2 +4y2)ds =12a ∫ Lds =L 的周长
kx2 kx2 k lim 2 2 2 = lim 2 = x→ x +k x 0 x→ x ( +k2) 0 1 1+k2
随着k取不同的值，极限取得不同的值 ∴极限不存在 3、多元函数的连续性 例设
xy 2 2 2 2 x + y ≠0 f (x, y) = x + y x2 + y2 =0 0
高等数学下册期末复习相关知识点
4 若z = f (u), u = u(x, y)
z dz u x du x
z dz u y du y
z
u
x y型
一. 空间曲线的切线与法平面
x x(t),
1、曲线
的参数方称为
y
y(t ),
z z(t),
当 t = t 0 时， 曲线 上的对应点为 M0(x0 , y0 , z0).
x 0
s(t
)dt
x
(
0
ant n
ann0x n1 .
n0 n 1
)dt
x 0
ant
n
dt
n0
(收敛半径不变)
(3)幂级数 an x n 的和函数 s( x) 在收敛区间(-R, R)
n0
内可导, 并可逐项求导任意次.
即 s( x) ( an xn )
若z = f (u, v) , u = φ(x), v = ψ(x)
u z
v
x
dz z du z dv
dx u dx v dx
若 z = f (u, v, w), u = u(x), v = v(x), w = w(x),
u
z
v
w
x
dz z du z dv z dw dx u dx v dx w dx
u
z
v
w
x z z u z v z w x u x v x w x
y z z u z v z w y u y v y w y
3 若若z = f (u, v, w),
高等数学(下)期末复习指导(土木工程专业.docx
木学期《高等数学》的考试范围是：第五章定积分的应用，第六章至第十一章•内容为：空间解析几何与向量代数，多元函数的微积分，曲线积分，微积分的应用-级数理论及常微分方程的解法.我们用了90课时，讲了尽可能多的知识，保证了后继课程学习屮对数学知识的需要，及将来考研同学对高数的知识点范围.对教学工作仍坚持一丝不苟、认真负责的态度，讲好每节课，对大题量的作业做到每周全收、认真批阅一次，耐心解答同学提出的问题.对同学的学习坚持从严要求，强调做好听课、记笔记、独立完成作业三个教学环节.逐步培养同学掌握学习数学课的方法：多动脑勤动手，数学书不是光靠看，述要动手演算才能理解深刻，记忆牢固.考试题型为：一. 选择题(每小题3分，共15分)二. 填空题(每小题3分，共15分)三•计算题(8小题，共40分)四•应用题(2小题，共16分)五•证明题(2小题，共14分)下面分章复习所学知识第五章定积分的应用定积分在几何上的应用：求平而图形的而积(1)直角坐标情形：由平面曲线y = /(x),y = g(x)[f(x) > g(x)]x = a,x = b(a vb)所围图形的面积为A=\[fM-g(x)]dx.(2)极坐标情形：由曲线r = r(^)及射线0 = =所围成的曲边扇形的而积为例(填空题)由曲线y =-及直线y = = 2, y = 0围成的平面图形的面积______ L第六章 向量代数与空间解析几何（一）向量代数1 •空间两点A （x },）［，Z ］）与B （X 2, y 2，z 2）的距离公式d = J (X] — 勺尸 +()) — IS)' +(© — 乙2)22•非零向量a = {a l ,a 2,a 3}的方向余弦公式4Q勺 6coscr = f =, cos p = , ,cosy = ^=Ja ； + a ； + 虽 Jef + a ； + 居 J a ； + a ； + 居 3 •向量的运算设 a = {a^a^a^,b = [b^b 2,b 3],则 a • b = a”、+砂2 +时3卫川= a 】 b i 两非零向量垂直、平行的充要条件Ja 2 b2a ± bod ・b = 0o dQ + a 2b 2 + a 3b 3 = 0 a//b<^>a = Ab<^>axb = 0<^> — = — = ^勺筠b 3 4•向量a = ［a },a 2,a 3］在非零向量& = {勺厶厶}上的投影II 評=Pr j-a = a cos <a.b >=（二）平而与直线1.平面方程 (1) •般式: (2) 点法式:(3) 截距式:a-h _ qb] + a 2b 2 +a 3b 3 ”| Jb； + / +b ； Ax + By + Cz + Q = 0; A(x 一兀o )+ B(y-儿)+ C(z-z o ) =O; 兰+上+亠1; a b c(4) 三点式:儿- Ji>‘3 一>1 2•直线方程/4]兀 + 陀 + (7忆 + »1 =0A 2X +B 2y +C 2z +D 2 =0"x = x Q + mt(3) 参数式：< y = y G + nt , -oo <t < +oo;z = 5 + M兀—兀i 二 y_x 二 z_Zi兀2 一舛力一必乞一勺3•平面（□）与直线（7）平行、垂直的充要条件及夹角(□J 丄(口?)o + 〃1场 + c© = o厶丄厶 O + n \n2 +P\P1 = 0AP1(3)(□J///] <=>m }A } +“]B] + p x C x =0（4） （MJ 与（比）的夹角:COS0 =| Aj A 9 + B'B 。
大一下高数笔记期末知识点
大一下高数笔记期末知识点一、函数与极限1. 函数概念与表示函数是一种对应关系，将一个变量的值映射到另一个变量的值。
常用的函数表示方法有解析式、图像、数据表等。
2. 极限的引入与定义极限是数学中非常重要的概念，用于描述函数在某点附近的趋势。
对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一值a时，如果函数值f(x)无限接近于L，那么称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim(f(x))=L。
3. 极限的运算法则- 极限的四则运算法则：加法、减法、乘法、除法；- 极限的乘方法则：幂函数求极限时的运算法则；- 极限的复合法则：复合函数求极限时的运算法则。
二、导数与微分1. 导数的定义与性质导数是描述函数在某一点上的变化率，可通过极限的方法定义。
若函数f(x)在点x=a处存在导数，则称函数f(x)在点x=a处可导。
2. 常用函数的导数- 幂函数的导数；- 指数函数的导数；- 对数函数的导数；- 三角函数的导数；- 反三角函数的导数。
3. 微分与微分公式微分是导数的一种形式。
当一个函数在某点可导时，可以用微分来近似表示函数在该点附近的变化。
常见的微分公式有： - 微分的四则运算法则；- 微分的链式法则。
三、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质不定积分是对函数的原函数进行求解的过程。
若函数F(x)在区间[a, b]上是f(x)的一个原函数，则称F(x)是f(x)在区间[a, b]上的一个不定积分。
2. 基本积分公式- 幂函数的积分；- 指数函数的积分；- 对数函数的积分；- 三角函数的积分；- 反三角函数的积分。
3. 定积分的定义与性质定积分描述了曲线与坐标轴之间所夹的面积。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为∫[a, b]f(x)dx。
4. 定积分的计算方法常见的定积分计算方法包括：- 几何法求定积分；- 积分表法求定积分；- 换元法求定积分。
四、级数与幂级数1. 级数与部分和级数是由一列数按一定的顺序相加所得到的无穷和。
高数下册期末复习
高数下册期末复习一、向量 ),,(),,,(),,,(c c c b b b a a a z y x c z y x b z y x a ===1.向量),,(a a a z y x a =与),,(b b b z y x b = 的数量积：b a b b b a z z y x x x b a b a ++==⋅ϕcos；2. 向量),,(a a a z y x a =与),,(b b b z y x b = 的向量积：bb b a a a z y x z y x k j i b a =⨯.ϕsin b a b a =⨯的几何意义为以b a,为邻边的平行四边形的面积. 3. 向量),,(z y x r=的方向余弦：222222222cos ,cos ,cos zy x y zy x y zy x x ++=++=++=γβα，1cos cos cos 222=++γβα；2sin sin sin 222=++γβα. 4. 向量),,(a a a z y x a =与),,(b b b z y x b =垂直的判定：00=++⇔=⋅⇔⊥b a b b b a z z y x x x b a b a.5. 向量),,(a a a z y x a =与),,(b b b z y x b =平行的判定：k z z y x x x k b k a b a b a ba b b b a ===⇔≠=⇔=⨯⇔0,0//.6. 三向量共面的判定： ⇒=++0 c n b m a k c b a,,共面.7. 向量),,(a a a z y x a = 在),,(b b b z y x b = 上的投影：222Pr aa a ba b b b a a z y x z z y x x x a b a b j ++++=⋅= .二、平面1. 过点),,(000z y x P ，以),,(C B A n=为法向量的平面的点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A .2. 以向量),,(C B A n=为法向量的平面的一般式方程：0=+++D Cz By Ax .3. 点),,(111z y x M 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离222111CB A D cz By Ax d +++++=错误!未找到引用源。
《高等数学》下册期末总复习第六版
3）一般式方程： ⎨
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
G G | n1 ⋅ n2 | G G n 1)面面： cos θ =| cos(n1 , n2 ) |= G G = | n1 || n2 |
G G | s1 ⋅ s2 | | m1m2 + n1n2 + p1 p2 | G G n ； 2)线线： cos θ =| cos( s1 , s2 ) |= G G = 2 | s1 || s2 | m1 + n12 + p12 m2 2 + n2 2 + p2 2 m n p G G G G （或重合） ⇔ s1 & s2 ⇔ 1 = 1 = 1 L1 ⊥ L2 ⇔ s1 ⋅ s2 = 0 ⇔ m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 ； L1 & L 2 m2 n2 p2 G G | s ⋅n | G G m 3)线面： sin ϕ =| cos( s , n ) |= G G = | s || n | A B C G G L⊥Π⇔ s &n⇔ = = ； m n p
2、 隐函数： 1） 一个方程的情形：
Fx dy ⎧ ⎪公式法：dx = − F y ⎪ ⎪ y= y( x) 二元方程可确定一个一元隐函数： F ( x, y ) = 0 ⎯⎯⎯ → ⎨隐函数求导法：方程两边对x求导，注意y = ⎪微分法：方程两边取微分，F dx + F dy = 0 x y ⎪ ⎪ ⎩
2） 方程组的情形： （隐函数求导法）
⎧ F ( x, y, z ) = 0 ⎩ z = z ( x ) dy dz ⇒ , 三元方程组确定两个一元隐函数： ⎨ ⎩G ( x, y, z ) = 0 对x求导 dx dx
高等数学(下)期末复习指导
高等数学(下)期末复习指导高等数学期末复习指导（第二学期使用）卫斌教授编写惠州学院数学系高等数学（2）期末复习指导卫斌教授编写本学期《高等数学》的考试范围是：第六章至第十一章.内容为：空间解析几何与向量代数，多元函数的微积分，曲线积分，微积分的应用 级数理论及常微分方程的解法．我们用了72课时，讲了尽可能多的知识，保证了后继课程学习中对数学知识的需要，及将来考研同学对高数的知识点范围．对教学工作仍坚持一丝不苟、认真负责的态度，讲好每节课，对大题量的作业做到每周全收、认真批阅一次，耐心解答同学提出的问题．对同学的学习坚持从严要求，强调做好听课、记笔记、独立完成作业三个教学环节．逐步培养同学掌握学习数学课的方法：多动脑勤动手，数学书不是光靠看，还要动手演算才能理解深刻，记忆牢固．考试题型为：一.选择题（每小题4分，共16分）二.填空题（每小题4分，共16分）三.计算题（每小题7分，共49分）四.证明题（本题10分）五.应用题（本题9分）下面分章复习所学知识第六章 向量代数与空间解析几何（一）向量代数1.空间两点111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 的距离公式 222121212()()()d x x y y z z =-+-+-2.非零向量 {}123,,a a a a =r的方向余弦公式312222222222123123123cos a a aa a aa a aαβγ===++++++3.向量的运算 设 {}{}123123,,,,,a a a a b b b b ==r r，则112233123123,i jk a b a b a b a b a b a a a b b b ⋅=++⨯=r r r r r r r两非零向量垂直、平行的充要条件11223331212300//0a b a b a b a b a b a a aa b a b a b b b b λ⊥⇔⋅=⇔++=⇔=⇔⨯=⇔==r r r rr r r r r r r4.向量{}123,,a a a a =r在非零向量{}123,,b b b b =r上的投影112233222123Pr cos ,b b a b a j a a a b b b b b ⋅∏==<>==++r r r rr r r r r r （二）平面与直线 1.平面方程（1）一般式：0;Ax By Cz D +++= （2）点法式：0()()()0;A x x B y y C z z -+-+-=（3）截距式：1;x y za b c++= （4）三点式：1112121213131310.x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=---2.直线方程（1）对称式（点向式、标准式）：000;x x y y z z mn p---==（2）一般式：11112222;0A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩（3）参数式：000,;x x mt y y nt t z z pt=+⎧⎪=+-∞<<+∞⎨⎪=+⎩（4）两点式：111212121.x xy y z z x xy y z z ---==---3.平面()∏与直线()l r 平行、垂直的充要条件及夹角（1）1212121211112222()()0()//()A A B B C C AB C A B C ∏⊥∏⇔++=∏∏⇔==;(2) 12121212111122220//l l m m n n p p m n p l l m n p ⊥⇔++=⇔==r u rr u r ； （3）1111111111111111()()//0m n p l A B C l m A n B p C ∏⊥⇔==∏⇔++=r r；（4）1()∏与2()∏的夹角：121212222222111222cos A A B B C C A B C A B Cϕ++=++⋅++(5)1l r 与2l u r 的夹角：121212222222111222cos m m n n p p m n p m n pϕ++=++⋅++ （6）1()∏与1l r 的夹角：111111222222111111sin m A n B p C m n p A B Cϕ++=++⋅++ 4.距离设点0(,,)M x y z ，平面():0Ax By Cz D ∏+++=直线111:x x y y z z l m n p---==r（1）点到平面的距离公式：000222Ax By Cz Dd A B C +++=++(2) 点到直线的距离公式：01M M l d l⨯=u u u u u u r r r， 其中{}01101010,,M M x x y y z z =---u u u u u u r，{}1,,,l m n p M =r是直线上任一点．（三）曲面与空间曲线 记住一些常见的曲面的方程 （1）旋转曲面 园锥面：22z x y =+，旋转抛物面：22z x y =+，旋转椭球面：22222 1.x y z a c++=（2）柱面圆柱面：222,xy R +=椭圆柱面：22221x y a b +=，抛物柱面：220xpy -=，双曲柱面：22221.x y a b -=（3）二次曲面 球面：2222()()();x a y b z c R -+-+-=椭球面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c++=>；椭球抛物面：22,(,22x y z p q p g+=同号）； 双曲抛物面：22,(,2x y z p q p q-+=同号）；单叶双曲面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c+-=>； 双叶双曲面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c +-=->．本章的考点：仅是一些简单的填空题或选择题．例1.设三角形ABC ，已知2,2,BA i j BC i j k D=+=++u u u r r r u u u r r r r 为BC的中点，则BC 上 的中线长AD =u u u r102例 2. 1.两向量a r 与br 互相垂直的充要条件是0a b ⋅=r r.2.向量13(2),(1)a i j b i j kλλλ=-++=-+-r r r r r r r 平行，则λ=1 .3.求同时垂直于向量{}{}2,3,1,1,2,0a b =-=-r r的单位向量是 0c ±u u r .解{}2312,1,1120i jkc a b =⨯=-=--r r r r r r，单位化02222,1,166621(1)c c c-===++-r u u r r .例2'.（单选题）过点(2,3,5)且平行于平面53210x y z -++的平面是（C）.532110;A x y z ++-=.532110;B x y z -++=.532110;C x y z -+-=.532110.D x y z +++=例 3.（单选题）在空间直角坐标系下，方程350x y +=的图形是（D）.A 过原点的一条直线； .B 斜率为35-的一条直线；.C 垂直于z 轴的一平面；.D 过z轴的一平面.例4.（单选题）方程231x y +=在空间表示的图形是（B）.A 平行于XOY 坐标面的平面； .B 平行于z轴的平面；.C 过oz 轴的平面；.D 直线．例4'.（选择题）方程22x y=在空间表示的是（B）.A 抛物线； .B 抛物柱面； .C 母线平行于x 轴的柱面；.D 旋转抛物面.第七章 多元函数微分法及其应用（一）基本概念1.二元函数：定义域和对应规律为(,)z f x y =的两要素，其定义域为平面上的点集． 例5(填空题) 二元函数1z y=+的定义域是0,0(,)0,10x y D x y x y ⎧⎫>>⎪⎪=⎨⎬<-<<⎪⎪⎩⎭或二元函数221x y z --=的定义域为{}22(,)1,1D x y x y x y =+≤+<2.极限：函数(,)z f x y =的极限为A ，是指点(,)x y 以任何方式沿某路径趋于点00(,)x y 时，(,)f x y A →，记为0lim (,)x x y y f x y A →→=例6.证明：极限2222200lim ()x y x y x y x y →→--不存在．证明 如果动点(,)P x y 沿y x =趋于点(0,0)时，则2242224000lim lim 1;()x x y x y x x y x y x →→→==--如果动点(,)P x y 沿2y x =趋于点(0,0)时，则22422242024lim lim 0()4x x y y xx y xx y x y x x→→→===--+ 因沿不同路径，极限值不一，故原极限不存在.3.连续：函数(,)z f x y =在点0(,)x y 连续，必须同时满足三个条件，缺一不可：（1）在0(,)U x y 内有定义；（2）0lim (,)x x y y f x y →→存在；（3）00lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=.否则间断． 例7.（单选题）设221z x y=--，下面结论正确的是（D）.A 在XOY 平面上连续； .B 在XOY 平面上不连续；.C 在XOY 平面上只有(1,0),(0,1)为间断点；.D 在XOY 平面上，只有在区域221xy +<内，函数连续.例7'(单选题)函数22222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在点(0,0)处（C ）.A 连续； .B 有极限但不连续；.C 极限不存在；.D 无定义.（二）偏导数 1.定义与计算偏导数,z zx y∂∂∂∂是整体记号，不具有商的意义，求z x∂∂时，把(,)z f x y =中的y固定（看作常数），利用一元函数的求导公式和法则求出．记住：偏导函数zx∂∂与一点的偏导数0(,)xx x y y z f x y x ==∂'=∂记号不同，及它们之间的关系 例8.（填空题）设22(,)f x y x y x y =++(3,4)xf '=25.2.高阶偏导数（以二阶为主）： 22(,)();xxz zf x y x x x∂∂∂''==∂∂∂ 22(,)();yyz zf x y y y y∂∂∂''==∂∂∂2(,)();xy z zf x y x y y x ∂∂∂''==∂∂∂∂2(,)().yx z zf x y y x x y∂∂∂''==∂∂∂∂（注意：二阶混合偏导数在定义域D 内连续时，相等） （三）全微分1.定义与计算：若函数(,)z f x y =在点0(,)x y 的全改变量（全增量）可表为()z A x B y ρ∆=∆+∆+o ，其中,A B 不依赖于,x y ∆∆，仅与0(,)x y 有关， 22()()x y ρ=∆+∆则全增量的线性主要部分为为函数的全微分，记作.z z dz A x B y dx dy x y∂∂=∆+∆=+∂∂例9.（单选题）函数(,)z z x y =由方程ln()0z xy +=所确定，则dz =（ A） .;dx dyA x y--.;dx dyB x y +.;dx dy C z x+..dx dyD xy xy+例9'求22x y z e +=的全微分及二阶偏导数.解 22222,2x y x y z zxe ye x y++∂∂==∂∂Q222222;xy xy dz xe dx ye dy ++∴=+2222222222(12),4x y x y z z z e x xye x x y y x ++∂∂∂=+==∂∂∂∂∂22222,2(12).x y z e y y+∂=+∂2.二元函数在一点连续、可导（两个偏导数存在）与可微的关系． 偏导数连续⇒可微⎧⎨⎩⇒⇒可导极限存在，反之不一定成立.例10.（单选题）二元函数22z x y =+在点(0,0)处（C）.A 不连续，两个偏导数不存在； .B 不连续，两个偏导数存在； .C 连续，两个偏导数不存在；.D 连续，两个偏导数存在．例10'（填空题）(,),(,)xyf x y f x y 连续是(,)z f x y =可微的充分条件3.方向导数与梯度（1）方向导数—函数在特定方向（指定方向）上的变化率：cos cos cos f f f fxy z l αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂r ，其中,,αβγ为射线lr与,,x y z 轴正向夹角（2）梯度—不同点的方向导数不同，它在哪个方向上最大呢？函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 处的梯度为：(,,).f f f gradf x y z i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂r r r例11.（填空题）函数22u xy z xyz =+-在点(1,1,2)处沿方向{}2,1l =r的方向导数是 10 .*（四）多元复合函数的导数（考点）1.锁链法则—先画出链式图，写出公式，然后计算.(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===，则有锁链公式：z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂2.几种推广情形（1）若(,,)z f u v w =，而(,),(,),(,)u x y v x y w x y ϕψω===，则有锁链公式：z z u z v z wx u x v x w x∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂z z u z v z w y u y v y w y∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂（2）若(,,),z f u x y =而(,)u u x y =，则有锁链公式：z f f u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂z f f u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂注意：这里z x ∂∂与f x ∂∂不同，zx∂∂是把复合后的函数，将y 看作常数，对x 求偏导；而fx∂∂是把复合前的函数，将,u y 看作常数对x 求偏导．（3）设(,,,)u f x y z t =，而(),(),()x x t y y t z z t ===，则复合函数只有一个自变量， t 求导dz dt ，称为全导数.dz u dx u dy u dz u dtdt x dt y dx t dt t dt∂∂∂∂=+++∂∂∂∂何时用锁链法则：①函数关系不具体； ②中间变量多于一个. 例12.（单选题）设22(,)()()f x y x y x y x y x y +-=-=+-，则 ()()f x y f x y x y∂⋅∂⋅+=∂∂（C）..22;A x y - .22;B x y +.;C x y +..D x y --例13.（填空题）设222x y z z e++=，则2zx y∂=∂∂2224x y zxye ++例14.设arctan()zu x y =-，求,,.u u u x y z∂∂∂∂∂∂ 解 由锁链法则 121();1()z z u z x y x x y -∂=⋅-∂+- 121();1()z z u z x y y x y -∂-=⋅-∂+-21()ln .1()zz u x y x y z x y ∂=-⋅-∂+-例15.设二元函数(,)x z xy f xy y=+，其中f 是二阶可微函数，求,,.xyyyz z z ''''解 设1,2x xy u v y====，则 121;x z y yf f y'=++122;y xz x xf f y'=+-11122212223222()()yy x x x x z x f x f f f x f y y y y ⎡⎤⎡⎤''=+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦222111222224322.x x xx f f f f y y y=-++例16.设(5,)u f x y xyz =+，求22.ux ∂∂解 12x u f yzf '=+；2211122122.xx u f yzf yzf y z f ''=+++（五）隐函数微分法：（只讨论一个方程的情形）1. 方程两边对自变量求导（复合函数的锁链法则），解出所求的偏导数（是,x y 的函数）. 2.公式法：x z F zx F '∂=-'∂，.y z F zy F '∂=-'∂3.微分法：利用一阶全微分形式的＂不变性＂，对方程两边求全微分，即可求出所需的偏导数或导数．例17.（填空题）由方程2221x xyz z++=确定(,)z z x y =，则zx ∂=∂124xy z-+.例18.设ln ,x z z y =求,.z z x y∂∂∂∂ 解由隐函数微分法设(,,)ln ln ln x z xF x y z z y z y z=-=-+因为 22111,,x y z x x zF F F z y z z z+'''===--=-所以21x z F z z z x z x F x zz -'∂=-==+'∂+-221.()y z F z z y x z y F y x z z -'∂=-==+'∂+-例19.设2sin(23)23x y z x y z +-=+-，证明：1x z x y∂∂+=∂∂ 证明设(,,)2sin(23)23F x y z x y z x y z =+---+，则 2cos(23)1x F x y z '=+--,2cos(23)22y F x y z '=+-⋅-2x F '= 2cos(23)(3)33z x F x y z F ''=+--+=-133x x z x F F z x F F ''∂=-=-=''∂-,2233y x z x F F zy F F ''∂=-=-=''∂-故12 1.33y x z z F F z zx y F F ''∂∂+=--=+=''∂∂（六）微分法在几何上的应用（不做考试要求） 1.空间曲线的切线与法平面 设空间曲线Γ的参数方程(),(),()x t y t z t ϕψω===，则Γ在点0(,,)x y z 处的切线方程为： 000000()()()x x y y z z t t t ϕψω---=='''法平面方程为：()()()()()()0t x x t y y t z z ϕψω'''-+-+-=2.空间曲线的切平面与法线 隐函数的曲面方程：(,,)0F x y z =， 显函数的曲面方程：(,)z f x y =， （七）多元函数的极值及其求法1.极值的必要条件：见教材.264P 定理1（极值发生在可疑点，即驻点或偏导数不存在的点上.2.极值的充分条件：设0(,)x y 为为函数(,)z f x y =的驻点，000022222,,x x x x x x y y y y y y zz z A B Cx x yy======∂∂∂===∂∂∂∂,则下结论（1）20,0B AC A -<>有极小值，0A <有极大值；（2）20B AC ->，无极值； （3）2B AC -=,不定，另作讨论.例20.（单选题）下列说法中，正确的是（ ）.A 可微函数(,)f x y 在0(,)x y 达到极值，则必有0(,)(,)0;xyf x y f x y ''==.B 二元函数(,)f x y 在0(,)x y 达到极值，则必有0(,)(,)0;xyf x y f x y ''==.C 可微函数(,)f x y 在00(,)x y 有0000(,)(,)0;x y f x y f x y ''==.D 二元函数(,)f x y 在0(,)x y 的偏导数不存在，则必不存在极值. 例21求函数224(23)z x y =-+的极值.解804(23)0x y z x z y ⎧'==⎪⎨'=-+=⎪⎩，得驻点3(0,)2- 又22333(0,)(0,)(0,)222()xyxxyyBAC z z z ----=-⋅08(8)640-⋅-=>，故函数在3(0,)2-处无极值. 3.用Lagrange 乘子法求条件极值的应用题 解题步骤：（1）将实际问题化为二元或三元函数的条件极值问题；（2）作辅助函数(,,,)F x y z λ＝原函数+λ乘条件函数；（3）将辅助函数对,,,x y z λ分别求偏导数，得方程组；（4）解方程组，得唯一驻点 （5）答：根据实际问题的意义，知此唯一驻点即极值点，也是最值点，并求出最值．例22 应用题：造一个容积为V 的长方体盒子，如何设计，才能使所用材料最少？解 设盒长为x ，宽为y 则高为Vxy ，故表面积为：2()V VS xy x y=++， 于是，将问题化为求二元函数的最大值问题，222(02()0SV y x x SV x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解得唯一驻点33,)V V ，根据实际问题的意义，此唯一驻点即为极大值点，也是最大值点， 答：当盒子的长宽高都是3V所用材料最少.第八章 重 积 分（一）重积分的概念1.定义：二重积分表示一种类型的和式极限；三重积分表示另一种类型的和式极限.2.几何与物理意义二重积分表示曲顶柱体的体积，平面薄板的质量；三重积分表示空间物体的质量（无几何意义）．3.性质与定积分类似性质3：如果在定义域D 上，函数(,)1f x y =，σ为D 的面积，则1DDd d σσσ=⋅=⎰⎰⎰⎰*（二）二重积分的计算（考点）化为累次积分.1.直角坐标系下二重积分的计算步骤： 面积元素d dxdyσ=①先通过解方程组曲线交点的坐标，然后画出积分域的草图；②如是x -形积分域，将其化为先对y 后对x 的积分次序积出来y -形积分域，将其化为先对x 后对y的积分次序积出来.注 利用“穿口法”的定限口诀是： 后积先定限，限内画条线；先交下限写，后交上限见. 2.极坐标系下二重积分的计算①何时采用极坐标：（ⅰ）积分域是园形或环形；（ⅱ）被积函数包含22x y +.②记住极坐标变换：cos x r θ= 面积元素：d rdrd σθ=，sin y r θ=然后将积分化为先对r ，后对θ的次序积出来；③积分限如下定： （ⅰ）若极点O 在域D 内，则 2()(,)(cos ,sin );r Df x y d d f r r rdr πθσθθθ=⎰⎰⎰⎰（ⅱ）若极点O 在域D 的边界上，则 ()(,)(cos ,sin );r Df x y d d f r r rdr βθασθθθ=⎰⎰⎰⎰（ⅲ）若极点O 在域D 的外部，则 21()()(,)(cos ,sin ).r r Df x y d d f r r rdr βθαθσθθθ=⎰⎰⎰⎰例23.（单选题）设(,)f x y 是连续函数，交换二重积分112200ydy x y dx-⎰的的积分次序后的结果为（ C ） 11220.;xA dx x y dy -⎰ 11220.3;yB x y dy -⎰21122.3;x C dx x y dy -⎰⎰211220.3.x D dx x y dy +⎰⎰例24.(单选题)设域22:1D xy +≤，且0,0x y ≥≥，则2Dxy dxdy =⎰⎰（B）112.;A dx xy dy ⎰⎰ 211200.;x B dx dy -⎰2112.;y C dx dy -⎰221120..y x D dy --例25.计算二重积分Ⅰ＝22y Dx e dxdy-⎰⎰，其中D是由直线,1y x y ==及y 轴所围的平面区域．解 画出积分区域草图，这是y -型积分域，故选取先对x 后对y 的积分次序，得 Ⅰ＝221220yy y Dx edxdy e dy x dx--=⎰⎰⎰⎰＝221113000111()366y t y t t y e dy te dt td e =---==-⎰⎰⎰令110112(1).66tt tee dt e--⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦⎰分部法例26.计算Dydxdy，其中D 由2,2y x y x x ==-围成．解 将22y x x =-改写为：11x y=+±-{}(,)11,01D x y y x y y =--≤≤≤≤，所以原式＝110(11)yyydy dx y y y dy--=--⎰⎰⎰＝1514y ydy-+-⎰＝2sin 2220442(1sin )sin .15815y tt tdt ππ==-+-=-⎰令例27.计算222DR x y d σ--，其中D 是由圆周22x y Rx+=所围成的闭区域解 根据积分域和被积函数的特点，选用极坐标计算 cos 22222202R DR x y d d R r rdrπθσθ--=-⎰⎰＝33332024(sin )().333R R R d πθθπ--=-⎰例28.求二重积分22()x y Dedxdy-+⎰⎰，其中222:0,0,.D x y x y a ≥≥+≤解 选用极坐标计算22222()2201()(1).224aax y r r a Dedxdy d e rdr e d r e πππθ-+----=⋅=⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰例29.D 是由曲线24()yx y =+以及4x y +=所围成的图形，试求D 的面积.例29'利用极坐标计算二重积分22ln(1)Dx y dxdy ++⎰⎰，其中22:1,0,0.D x y x y +≤≥≥解 由于极点在D 的边界上，故 原式＝1222ln(1)ln(1)Dr r drd d r r drπθθ⋅+=+⎰⎰⎰⎰＝1221ln(1)(1)22r d r π⋅++⎰ =分部法122100(1)ln(1)2(2ln 21).44r r rdr ππ⎡⎤++-=-⎢⎥⎣⎦⎰ 解2244444464(4).43yy Dy S dxdy dy dx dy ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰（三）三重积分的计算 1.直角坐标系下的计算 体积元素：dv dxdydz =1212(,)(,):()()z x y z z x y y x y y x a x b ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，（这是上下张着的曲面，x -型的投影域）则 2211()(,)()(,)(,,)(,,);by x z x y ay x z x y f x y z dv dx dy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.柱坐标系（＝极坐标z +轴）下的计算 体积元素：dv rdrd dz θ=1212(,)(,):()()z r z z r r r r θθθθαθβ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，(这是上下张着的曲面，极点在投影域外部)则 2211()(,)()(,)(,,)(cos ,sin );r z r r z r f x y z dv d rdr f r r dz βθθαθθθθθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.球坐标系下的计算 体积元素：2sin dv r drd d ϕϕθ=sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，1212(,)(,):()()r r r ϕθϕθϕθϕϕθαθβ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2211()(,)2()(,)(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin r r f x y z dv d d f r r r r drβϕθϕθαϕθϕθθϕϕθϕθθϕΩ=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰.例30.（填空题）设空间一光滑曲面S ：(,),z f x y D =是S 在坐标面XOY 上的投影， 则D 的面积＝1Dd σ⋅⎰⎰例31.在柱坐标中，a θ=（常数）表示的曲面是：z 过轴的半平面.例32.(填空题)设一立体由上半球面224z x y =--及锥面223()z x y =+所围成，则其在XOY 平面上的投影为：21yx y +≤.例33.（单选题）Ⅰ＝22()xy dvΩ+⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面22z x y =+，平面(0)z a a =>所围成的闭区域，则它在柱坐标系下的三次积分是（ D ） 2.;aarA d rdr r dz πθ⎰⎰⎰ 2220.;aarB d rdr r dz πθ⎰⎰⎰20.;a aC d rdr r dz πθ⎰⎰⎰220..aarD d rdr r dz πθ⎰⎰⎰例33'（单选题）设区域{}222(,,)(1)1x y z x y z Ω=++-≤，且()f t 是连续函数，则 222()f xy z dv Ω++=⎰⎰⎰（A） 22cos 2200.()sin A d d f r r drππϕθϕϕ⎰⎰⎰；22cos 2200.(2cos 1)sin B d d f r r r dr ππϕθϕϕϕ++⎰⎰⎰； 22cos 20.(2cos )sin C d d f r r drππϕθϕϕϕ⎰⎰⎰； 22cos 220.(2cos )sin .D d d f r r dr ππϕθϕϕϕ⎰⎰⎰第九章 曲线积分与曲面积分（曲面积分不做考试要求）（一）曲线积分1.第Ⅰ型曲线积分（对弧长的积分）2.第Ⅱ型曲线积分（对坐标的积分）-与积分路径有关.3.两类积分之间的联系.4.计算方法（1）设曲线L 由它的的参数方程：(),()x t t y t ϕαβψ=⎧≤≤⎨=⎩给出(特例),()x xa xb y y x =⎧≤≤⎨=⎩)，则[]22(,)(),()()(),();Lf x y ds f t t t t dt εαϕψϕψαβ''=+<⎰⎰（2）若弧AB 由()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩给出，起点A 对应t α=，终点B 对应,t β=则[][]{}(),()()(),()()ABPdx Qdy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰u u u r .5.Green （格林）公式：()DLQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰i 应用：,P y Q x=-=，得D得面积12A xdy ydx =-⎰Ñ.6.平面曲线积分与路径无关的条件 （1）0;Pdx Qdy +=⎰Ñ（2）设G 是单连通域，,P Q 在G 内有一阶连续偏导数，则曲线积分LPdx Qdy +⎰在G 内与路径无关的充分必要条件是：P Q y x∂∂=∂∂在G 内恒成立.例34.（单选题）设ABu u u r 为由点A (0,)π到点(,0)B π的直线段，则sin sin ABydx xdy +=⎰（C）.2;A.1;B -.0;C.1.D例35.计算曲线积分22()()Lx y dx x y dyx y-+++⎰，其中L是沿着园： 22(1)(1)1x y -+-=从点(2,1)到点(0,1)的上半圆弧. 解2222(,),(,)x y x yP x y Q x y x y x y -+==++因为222222,(0,0)()P y xy x Qx y y x y x∂--∂==≠≠∂+∂所以，在不含原点的任何闭曲线L 上0L=⎰Ñ，即在不含原点的任一闭区域内积分与路径无关.故选择路径为线段:,1,02,AB x x y x ==≤≤，在AB 上有：1,0y dy ==，故原式＝02222()()11ABx y dxx y dyx dx x yx -++-=++⎰⎰u u u r＝222202011ln(1)arctan 12x dx x x x -+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦⎰ln 5arctan 2.2=-例36.计算曲线积分22()Lxy ds+⎰，其中L 是园的渐开线：(cos sin ),02.(sin cos )x a t t t t y a t t t π=+⎧≤≤⎨=-⎩解 [][]222222(cos sin )(sin )(1)x y a t t t a t t a t +=++-=+(sin sin cos 0cos x a t t t t at t '=-++=(cos cos sin )sin y a t t t t at t'=-+=22ds x y dt atdt''=+=原式＝2222330(1)()a t atdt a t t dtππ+=+⎰⎰＝24322320()2(12).24t t a a πππ+=+例37.（填空题）L 为园：224x y +=，计算弧长的曲线积分22Lxy ds +=⎰Ñ8π第十章 无 穷 级 数（一）数项级数敛散性的判别 一.级数的概念 12121,nn n nn uu u u S u u u ∞==++++=+++∑L L L若lim nn SS→∞=，则称级数收敛到和S级数收敛的必要条件：1n n u ∞=∑收敛，则lim 0.nn u→∞=二.逆否命题：若lim 0,nn u→∞≠则级数1n n u ∞=∑发散．三.收敛判别法1.正项级数的两个判别法：比较判别法，比值判别法；2.任意项级数的两个定理； （1）绝对收敛定理1nn u ∞=∑与1nn u ∞=∑有如下关系：1nn u ∞=∑收敛⇒1n n u ∞=∑也收敛；1nn u ∞=∑发散⇒1n n u ∞=∑收敛或发散；1n n u ∞=∑收敛⇒1nn u ∞=∑收敛或发散； 1n n u ∞=∑发散⇒1nn u ∞=∑必定发散.（2）比值判别法2（补充）3.交错级数的Leibniz （莱布尼兹）判别法；4.从定义、性质判别. 四.两个重要的参照级数： 1.等比（几何）级数 1211n n n aqa aq aq aq ∞--==+++++∑L L当1q <时，级数收敛；当1q ≥时，级数发散.2.p 级数 11111123pp p p n n n∞==+++++∑L L当1p >时，级数收敛；当1p ≤时，级数发散；特例：1p =时，11n n∞=∑称为调和级数，发散.五.判别级数收敛的一般步骤： 1.先看通项nu 是否趋于零？若lim 0nn u→∞≠，则级数1n n u ∞=∑发散；若lim 0nn u→=，则需进一步判断.2.选用合适的判别法；3.实在不行，再用定义试试，即看极限lim nn S→∞是否存在？例38.（单选题）若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数（D）收敛1.;n n A u ∞=∑ 21.;n n B u ∞=∑1.();n n C u c ∞=+∑1..n n D c u ∞=⋅∑例39.判定级数12sin3nnn π∞=∑的收敛性解 这是正项级数法一.用比较判别法 因22sin()33n nn n u ππ=≤⋅，而12()3nn π∞=∑是公比213q =<的等比级数，收敛，由比较判别法，知原级数收敛.法二.用比值判别法因111112sin3lim lim2sin 3223lim1.323n n n n n n n nn n n n n u u ππππ+++→∞→∞++→∞=⋅==<⋅无穷小替换，由比值判别法，知原级数收敛. 例39'判断级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑的收敛性.解 因 111ln(1)ln(2)n n u u n n +=>=++(1,2,)n =L1limln(1)n n →∞=+ ，故由leibniz 判别法，知原交错级数收敛. 例39''（填空题 ）极限2!lim n n n n n→∞的值为0解 以2!n n nn u n=为通项的正项级数，根据比值判别法知其收敛，又据收敛级数的必要条件，知其通项的极限为零.例39'''证明：若0,lim 0nn n unu a →∞>=≠，则级数n u ∞∑发散.证明 因为lim lim01nn n n u n u a n→∞→∞⋅==≠，由0nu>，根据正项级数比值判别法的极限形式，由于11n n∞=∑为调和级数，发散，所以级数1n n u ∞=∑也发散.（二）求幂级数的收敛半径及收敛区间 1. 用比值判别法21()lim()n n n u x u x +→∞=（一般与x有关），再讨论，求出收敛半径. 2.1limnn n a a ρ→∞+=， 则收敛半径为：1R ρ=3.对端点单独讨论后，确定收敛区间. 例40.（填空题）幂级数11(1)(1)nn n x n∞-=--∑的收敛域为](0,2解 这是一般形式的幂级数，令1,t x =-则幂级数化为11(1)n n t n∞-=-∑，收敛半径11limlim 11n n n n a nR a n ρ→∞→∞+====+讨论端点的情况： 当1t =时，级数化为 11(1)n n∞--∑，据Leibniz判别法，知其收敛，当 1t =-时，级数化为1211111(1)(1)(1)n nn n n n n∞∞--==--=-∑∑，这是调和级数，知其发散. 综上讨论，知其原幂级数的收敛域为11,t -<≤即111,0 2.x x -<-≤<≤例41.（综合题）求幂级数2ln (1)nnn n x n∞=-∑的收敛域；当1x =时，是绝对收敛， 还是条件收敛？并给出证明. 解 收敛半径11ln 1limlim 1ln(1)n n n n a n n R a n n ρ→∞→∞++===⋅=+，当1x =时，数项级数1ln (1)nn nn∞=-∑为交错级数，令2ln 1ln (),()x xf x f x x x -'==，（设为函数而不是数列，可以求导） 当 n e>时，()0,()f x f x '<单调减少， 当 3n ≥时，1()(1)nn uf n f n u +=>+=，又""ln 1lim limlim 0n n n n u n n∞∞→∞→∞→∞===罗法则，（这时也理解为函数，分子分母双导）由Leibniz 判别法，知级数ln (1)nnn∞-∑收敛，此级数加一项，即原级数2ln (1)nn n n∞=-∑的收敛性不变；但一般项加绝对值后的级数2ln n n n ∞=∑为正项级数，2ln ln 2,n n nn n u v v n n ∞==≥=∑是调和级数各项乘ln 2的级数，发散由比较判别法，知级数2ln n n n ∞=∑也发散，故原级数条件收敛； 当1x =-时，级数为222ln ln (1)nn n n nn n∞∞==-=∑∑如上讨论，也是发散的，故原级数的收敛域为(]1,1-.（三）利用幂级数和函数的分析性质，求和函数.设幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径为(0)R >，则在(,)R R -内，和函数具有下列性质：（1）和函数是连续的；（2）()S x 逐项可导，且1()()nn nnn n S x a x na x ∞∞-==''==∑∑；（3）()S x 逐项可积，且10()1xx xn nn n n n n n n a S t dt a t dt a t dt xn ∞∞∞+======+∑∑∑⎰⎰⎰.注意：求导和积分后的和函数收敛半径不变，但在收敛区间端点可能不同． 例42.求幂级数41141n n x n +∞=+∑的和函数. 解 设和函数411()41n n x S x n +∞==+∑，易得收敛区间为(1,1)-，利用逐项微分和积分，414442411()()()()41n n n n n x S x x x x x n +∞∞==''===+++++∑∑L L这是41q x =<的等比级数，由因(0)0S =，故4444001(1)()()11xxx x x S x S x dx dx dxx x --'===--⎰⎰⎰＝4220011111(1)(1)12121xx dx dx x x x -=-+⋅+⋅-+-⎰⎰＝111arctan ln .241x x x x+-+- (11)x -<<（四）傅立叶级数(不做考试要求) 设()f x 是以2π为周期的函数，形如01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑的三角级数，称为傅立叶级数，其中1()cos na f x nxdx πππ-=⎰ (0,1,2,)n =L1()sin nbf x nxdx πππ-=⎰ (1,2,)n =L例42'．函数()f x 的周期为2,()f x π在[],ππ-上的表达式为2,0()3,0x x f x x x ππ-≤≤⎧=⎨≤<⎩，将()f x 展成傅氏级数。
高数下期末复习提纲ppt课件
直线的参数方程
A x B y C z D 0 1 1 1 1 A x B y C z D 0 2 2 2 2
x x y y z 1 1 z 1 , 直线L1 : m n p 1 1 1
空间直线的一般方程
x x y y z 2 2 z 2 , 直线L2 : m n p 2 2 2
几何意义：混合积的绝对值表示以 向量 a 为棱的平行六面体体积. ,b ,c
[ a b c ] ( a b ) c bx cx
ax
ay by cy
az bz . cz
混合积的坐标表达式 a b c ] 0 . ,b ,c共面 [ (1) 三个非零向量 a (2) 轮换对称性 bc [ a ] [ a ] [ c a . bc b]
点到平面的距离公式
11、直线的方程 设直线过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )且平行于向量 s ( m , n, p)
x x y y z z 0 0 0 m n p
直线的对称式方程
x x 0 mt y y 0 nt z z pt 0
9、平面的点法式方程
平面 过定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，法向量 n ( A, B , C )
A ( x x ) B ( y y ) C ( z z ) 0 0 0 0
平面的点法式方程 A xB yC zD 0 平面的一般式方程
: A x B y C z D 0 , : A x B y C z D 0 ,
11 1 1 1
22 2 2 2
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高等数学期末复习指导
（第二学期使用）
卫斌教授编写
惠州学院数学系
高等数学（2）期末复习指导
卫 斌 教授 编写
本学期《高等数学》的考试范围是：第六章至第十一章.内容为：空间解析几何与向量代数，多元函数的微积分，曲线积分，微积分的应用-级数理论及常微分方程的解法．
我们用了72课时，讲了尽可能多的知识，保证了后继课程学习中对数学知识的需要，及将来考研同学对高数的知识点范围．
对教学工作仍坚持一丝不苟、认真负责的态度，讲好每节课，对大题量的作业做到每周全收、认真批阅一次，耐心解答同学提出的问题．对同学的学习坚持从严要求，强调做好听课、记笔记、独立完成作业三个教学环节．逐步培养同学掌握学习数学课的方法：多动脑勤动手，数学书不是光靠看，还要动手演算才能理解深刻，记忆牢固．
考试题型为：
一.选择题（每小题4分，共16分） 二.填空题（每小题4分，共16分） 三.计算题（每小题7分，共49分） 四.证明题（本题10分） 五.应用题（本题9分）
下面分章复习所学知识
第六章 向量代数与空间解析几何
（一）向量代数
1.空间两点111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 的距离公式
d =
2.非零向量 {}123,,a a a a =r
的方向余弦公式
cos αβγ=
=
=
3.向量的运算
设 {}{}123123,,,,,a a a a b b b b ==r r
，则
1122331
231
23
,i
j k a b a b a b a b a b a a a b b b ⋅=++⨯=r r r r r r r
两非零向量垂直、平行的充要条件。