材料力学总复习
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总复习
第一部分 基本变形部分 第二部分 复杂变形部分 第三部分 压杆稳定 第四部分 能量方法
第一部分
基本变形部分
§1-4 杆件变形的基本形式
内容 种类
外力特点
轴向拉伸 及 压缩
Axial Tension
剪切 Shear
扭转 Torsion
平面弯曲 Bending
组合受力（Combined Loading）与变形
取分离体如图3， a 逆时针为正；
a 绕研究对象顺时针转为正；
由分离体平衡得：
a
a
x
图3
a a
0 0
c os2a sinacosa
或:
a a
0
2
0
2
(1cos2a sin2a
)
（合力） P
n
剪切面：
n
P （合力）
构件将发生相互的错动面，如 n– n 。
Q n
剪切面 剪切面上的内力：
变形特点
二、截面法 ·轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的
基础。求内力的一般方法是截面法。
1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
杆在轴向拉压时，横截面上的内力称为轴力。
轴力用 N 表示，方向与轴线重合
引起伸长变形的轴力为正——拉力（背离截面）； 引起压缩变形的轴力为负——压力（指向截面）。
N
N
N
N>0
N N<0
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
ina
0
2
sin2a
a
k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。
P
a
a Pa
a
当a = 0°时，(a )max 0 (横截面上存在最大正应力)
当a = 90°时， ( a )min0 当a = ± 45°时，|a|max20 (45 °斜截面上剪应力达到最大) 当a = 0,90°时， |a |min 0
补充： 1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面
上的应力情况，称为这点的应力状态。
2、单元体：单元体—构件内的点的代表物，是包围被研究点的
无限小的几何体，常用的是正六面体。
单元体的性质—a、平行面上，应力均布；
M P
b、平行面上，应力相等。
3、拉压杆内一点M 的应力单元体:
4、拉压杆斜截面上的应力
n
内力 — 剪力Q ，其作用线与
P
剪切面平行。
（合力） P
n
Q n
实用计算中假设：切应力在剪切 面（n-n截面）上是均匀分布的。
n
P （合力）
ห้องสมุดไป่ตู้
名义剪应力（平均切应力）--：
Q
AQ
剪切强度条件（准则）：
剪切面
n P
Q
A
其中 : jx
n
——名义许用切应力
常由实验方法确定
工作应力不得超过材料的许用应力。
mx 0 T m0
m
m
T m
3 扭矩的符号规定：
x
m
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正， 反之为负。
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
Pa Aa
k Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。
由几何关系：cosa A
Aa
Aa
A
cosa
代入上式，得：
pa
Pa Aa
Pcosa
A
0 cosa
斜截面上全应力： pa 0cosa
斜截面上全应力： pa 0cosa P
k
分解：
a
a pa cosa 0cos2a
k
k
pa
P
a
pa
s
ina
0
c
osas
剪切强度条件： Q
A
塑性材料： 0.6 0.8 脆性材料： 0.8 1.0
挤压强度条件：
jy
Pjy Ajy
jy
塑性材料： jy 1.7 2.0
脆性材料： bs 0.9 1.5
按输入功率和转速计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。
A
BO
m
m
与 的关系：
L R
RL
T=m
T ( 2A 0t) ( LR)
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限
时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
max
②设计截面尺寸：
Am in
Nmax
[ ]
③许可载荷： Nmax A ;
P f ( Ni )
三、拉(压)杆斜截面上的应力
k
设有一等直杆受拉力P作用。 P
P
求：斜截面k-k上的应力。 解：采用截面法
P
a
k
k
Pa
由平衡方程：Pa=P
a
则：
pa
材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W Pk 1000(N.m)
W
Me
2
n 60
Pk
Pk
按输入功率和转速计算
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
m 9550 N (N m) n
其中：N — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
1kW=1000N·m/s
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
8kN
5kN
3kN
5kN +
8kN – 3kN
7. 强度设计准则（Strength Design）： 保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
m
ax
max(
N(x) A(x)
)
其中：[]--许用应力， max--危险点的最大工作应力。
强度计算（危险截面）。
T
x
三、剪应力互等定理：
mz 0
t dxdy t dxdy
故
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
上式称为剪应力互等定理。
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。 四、剪切虎克定律：
第一部分 基本变形部分 第二部分 复杂变形部分 第三部分 压杆稳定 第四部分 能量方法
第一部分
基本变形部分
§1-4 杆件变形的基本形式
内容 种类
外力特点
轴向拉伸 及 压缩
Axial Tension
剪切 Shear
扭转 Torsion
平面弯曲 Bending
组合受力（Combined Loading）与变形
取分离体如图3， a 逆时针为正；
a 绕研究对象顺时针转为正；
由分离体平衡得：
a
a
x
图3
a a
0 0
c os2a sinacosa
或:
a a
0
2
0
2
(1cos2a sin2a
)
（合力） P
n
剪切面：
n
P （合力）
构件将发生相互的错动面，如 n– n 。
Q n
剪切面 剪切面上的内力：
变形特点
二、截面法 ·轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的
基础。求内力的一般方法是截面法。
1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
杆在轴向拉压时，横截面上的内力称为轴力。
轴力用 N 表示，方向与轴线重合
引起伸长变形的轴力为正——拉力（背离截面）； 引起压缩变形的轴力为负——压力（指向截面）。
N
N
N
N>0
N N<0
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
ina
0
2
sin2a
a
k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。
P
a
a Pa
a
当a = 0°时，(a )max 0 (横截面上存在最大正应力)
当a = 90°时， ( a )min0 当a = ± 45°时，|a|max20 (45 °斜截面上剪应力达到最大) 当a = 0,90°时， |a |min 0
补充： 1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面
上的应力情况，称为这点的应力状态。
2、单元体：单元体—构件内的点的代表物，是包围被研究点的
无限小的几何体，常用的是正六面体。
单元体的性质—a、平行面上，应力均布；
M P
b、平行面上，应力相等。
3、拉压杆内一点M 的应力单元体:
4、拉压杆斜截面上的应力
n
内力 — 剪力Q ，其作用线与
P
剪切面平行。
（合力） P
n
Q n
实用计算中假设：切应力在剪切 面（n-n截面）上是均匀分布的。
n
P （合力）
ห้องสมุดไป่ตู้
名义剪应力（平均切应力）--：
Q
AQ
剪切强度条件（准则）：
剪切面
n P
Q
A
其中 : jx
n
——名义许用切应力
常由实验方法确定
工作应力不得超过材料的许用应力。
mx 0 T m0
m
m
T m
3 扭矩的符号规定：
x
m
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正， 反之为负。
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
Pa Aa
k Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。
由几何关系：cosa A
Aa
Aa
A
cosa
代入上式，得：
pa
Pa Aa
Pcosa
A
0 cosa
斜截面上全应力： pa 0cosa
斜截面上全应力： pa 0cosa P
k
分解：
a
a pa cosa 0cos2a
k
k
pa
P
a
pa
s
ina
0
c
osas
剪切强度条件： Q
A
塑性材料： 0.6 0.8 脆性材料： 0.8 1.0
挤压强度条件：
jy
Pjy Ajy
jy
塑性材料： jy 1.7 2.0
脆性材料： bs 0.9 1.5
按输入功率和转速计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。
A
BO
m
m
与 的关系：
L R
RL
T=m
T ( 2A 0t) ( LR)
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限
时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
max
②设计截面尺寸：
Am in
Nmax
[ ]
③许可载荷： Nmax A ;
P f ( Ni )
三、拉(压)杆斜截面上的应力
k
设有一等直杆受拉力P作用。 P
P
求：斜截面k-k上的应力。 解：采用截面法
P
a
k
k
Pa
由平衡方程：Pa=P
a
则：
pa
材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W Pk 1000(N.m)
W
Me
2
n 60
Pk
Pk
按输入功率和转速计算
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
m 9550 N (N m) n
其中：N — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
1kW=1000N·m/s
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
8kN
5kN
3kN
5kN +
8kN – 3kN
7. 强度设计准则（Strength Design）： 保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
m
ax
max(
N(x) A(x)
)
其中：[]--许用应力， max--危险点的最大工作应力。
强度计算（危险截面）。
T
x
三、剪应力互等定理：
mz 0
t dxdy t dxdy
故
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
上式称为剪应力互等定理。
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。 四、剪切虎克定律：