等差数列的判定方法

判断一个数列为等差数列的方法
一． 定义法
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d
（1）R d ∈
（2）公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
（3）对于数列{n a },若n a －1-n a =d (常数，n ≥2，n ∈N +
），或者1+n a －n a =d (常数，n ≥1，n ∈N +
）则此数列是等差数列，d ——此方法可以求d 或者证明该数列是等
差数列，即n a －1-n a =d (常数，n ≥2，n ∈N +
）⇔{}n a 为等差数列
（1）2,4,6,8，...，2（n-1）,2n ； (2)1,1,2,3，...，n
例1 在数列{}n a 中，n
n n a a a 22,111+==+
设,21
-=
n n
n a b 证明{}n b 是等差数列; [解析] 由已知n
n n a a 221+=+得
11222221
11
+=+=+==-++n n n n n n n n n b a a a b ， 又111==a b
∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列。

例2 存不存在02
x π
<<
，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列． 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )
cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x
-+-=-=，
则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x
x x
+=．
若cos sin 0x x -=，有4
x π
=．而此时1,122不成等差数列；
若cos sin 1sin cos x x x x
+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =
而11
sin cos sin 2(0,]22
x x x =∈，矛盾！
二． 等差中项法
定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，5和13n n n a a a 211=+-+（n ≥2，n ∈N +）⇔{}n a 为等差数列
看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+
性质：在等差数列中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+ 推广2：若数列{}n a 为等差数列，
2
n
m +=k ，则有k n m a a a 2=+ （3）若数列{}n a 为等差数列，则数列{}n a λ（其中λ为常数）也为等差数列，其公差是
λd
若数列{}n a 为等差数列，则数列{}b a n +（其中b 为常数）也为等差数列，其公差是d
若数列{}n a 为等差数列，则数列{}b a n +λ（其中λ、b 为常数）也为等差数列，其公差是λd
（4）若数列{}n a 为等差数列，则下标成等差数列且公差为m 的项
),(,,,...2*++∈N m k a a a m k m k k 组成了公差为md 的等差数列
（5）若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为公差是t 的等差数列，则{}n n b a ±和{}n n b ka +(k 为常数)也是等差数列，其公差分别为d ±t ，kd+t
（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列。

例如：531,,a a a ，...构成等差数列；再如：321a a a ++，654a a a ++，987a a a ++，...也构成了等差数列
例3
已知非零数列
为,
121
11-=
=n n a a ，问：
在数列
中，是否一定存在首项、第r 项、第s 项（1＜r ＜s ），使得这三项依次
成等差数列？若存在，请指出r 、s 所满足的条件；若不存在，请说明理由。

令,)1(11
n n
n a b -++=
要使s r b b b ,,1成等差数列，只需,21r s b b b =+ 即3)1(2)1(2
21
----=-+r s r s
因为1+≥r s 则上式左端0221≥-+r s ，又因为上式右端03)1(2)1(≤----r
s
于是当且仅当,1+=r s ，且s 为不小于4的偶数时，s r b b b ,,1成等差数列。

三． 通项法
注意：证明一个数列为等差数列只能通过定义法与等差中项法，
n
a 为n 的一次函数⇔
{}n a 为等差数列
等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】
（1）{}n a 的首项是1a ，
公差是d ，则据其定义可得：
d a a =-12即：d a a +=12
d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=
d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=……
由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+=
（2）等差数列的通项公式n a 是关于三个基本量1a ，d 和n 的表达式，所以由首项1a 和公差d 便可求出数列中的任意一项
如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =⨯-+=1)1(1（1≤n ≤6） 数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-⨯-+=（n ≥1） 数列③;,1,5
4
;53,52;51 5
51)1(51n
n a n =⨯-+=
（n ≥1） 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+=
即：d m a a m )1(1--=
则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n
m a a n
m --
如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+=
（3）（先举例说明）等差数列的通项公式可以推广为d m n a a m n )(-+=,由此可知等差数列中的任意两项，就可以求出其他的任意一项 （4）有几种方法可以计算公差d ： ① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =m
n a a m
n --
等差数列与一次函数的联系
（1）把等差数列的通项公式n a =d n a )1(1-+化为n a =)(1d a nd -+，并与b kx y +=对照，知等差数列是特殊的一次函数，特殊在定义域为正整数集的子集，其图像是直线上的一些孤立的点，由斜率公式1212x x y y k --=
，不难联想到d=),(n m N n m m
n a a m
n ≠∈--*且，由此
也可得到d m n a a m n )(-+=
（2）等差数列是关于n 的一次函数（d=0时为常数数列），有关单调性、取值范围的问题，可结合已知条件利用通项公式，得到一个以1a 和d 为未知数的方程或不等式，利用函数、不等式的有关方法解决。

例 设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和．记
，，其中为实数．若是等差数列，证明：． 证：
， ． (※) 若是等差数列，则型． 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：，即，而≠0， 故．
经检验，当时是等差数列．
}{n a a d )0(≠d n S n c
n nS b n n +=
2
*
N n ∈c }{n b 0=c c n a
d n n c n nS b n n ++-=+=22
222)1(c
n a d n c
a d n c a d n n ++--+-++-=2
222)1(22)1(22)1(c
n a d n c
a d n ++--+-=2
22)1(22)1(}{n b Bn An b n +=0
22)1(2=++-c
n a
d n c
022)1(=+-a d n c 22)1(a d n +-0=c 0=c }{n b。