第二章-矩阵(历年真题+答案)
考研数学一(行列式、矩阵)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（行列式、矩阵）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2014年]行列式=( )．A．(ad-bc)2B．一(ad-bc)2C．a2d2一b2c2D．一a2d2+b2c2正确答案：B解析：令，则此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，即得｜A｜=一(ad-bc)(ad-bc)=一(ad-bc)2．仅B入选．知识模块：行列式2．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜=0C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜=0正确答案：B解析：利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于法则确定正确选项．因AB为m 阶矩阵，行列式｜AB｜是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到m＞n时，有秩(A)≤min{m，n}=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n ＜m．再利用乘积矩阵秩的两不大于法则得到秩(AB)≤min{秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故｜AB｜=0．仅B入选．知识模块：行列式3．[2012年]设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=．若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α2]，故因而Q-1AQ 知识模块：矩阵4．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E—A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E —A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值．可知，它们均可逆．知识模块：矩阵填空题5．设n阶矩阵，则｜A｜=______．正确答案：(一1)n-1(n一1)解析：｜A｜是行和与列和都相等的行列式．将各列加到第1列，提取公因式n一1，去掉与第1列成比例的分列，化为下三角形行列式，得=(一1)n-1(n 一1)．知识模块：行列式6．[2015年] n阶行列式=______.正确答案：2n+1-2解析：按第1行展开得到递推关系式：=2Dn-1+2(一1)n+1(一1)n-1=2Dn-1+2．依此递推，得到Dn=2Dn-1+2=2(2Dn-2+2)+2=22Dn-2+22+2=22(2Dn-3+2)+22+2=23Dn-3+23+22+2 =…=2n-1D1+2n-1+2n-2+…+22+2=2n-1·2+2n-1+2n-2+…+22+2=2n+2n-1+2n-2+…+22+2=2(1+2+22+…+2n-1)．由等比级数求和的公式a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=，令a1=2，q=2，得到Dn=2(1+2+22+…+2n-1)==(一1)(2—2n+1)=2n+1-2．知识模块：行列式7．[2016年]行列式=______．正确答案：λ4+λ3+2λ2+3λ+4解析：=λ[λ·λ·(λ+1)+0·2·0+3(-1)(一1)一0·λ·3一(一1)·2·λ—(λ+1)(一1)·0]+4=λ4+λ3+2λ2+3λ+4．知识模块：行列式8．设A，B为n阶矩阵，｜A｜=2，｜B｜=一3，则｜2A*B-1｜=______．正确答案：一22n-1／3解析：由｜kA｜=kn｜A｜．A*=｜A｜A-1，｜A*｜=｜A｜n-1，｜B-1｜=1／｜B｜，有｜2A*B-1｜=｜2A*｜｜B-1｜=2n｜A*｜(1／｜B｜)=2n｜A｜n-1一／｜B｜=2n2n-1／(一3)=一22n-1／3．知识模块：行列式9．[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量，记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如｜A｜=1，那么｜B｜=______·正确答案：2解析：B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC．其中为三阶范德蒙行列式，则｜C｜=(2—1)×(3—1)×(3—2)=2，故｜B｜=｜A｜｜C｜=2×1=2．知识模块：行列式10．[2006年]设矩阵，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则｜B｜=______．正确答案：2解析：由BA=B+2E得｜B(A—E)｜=｜2E｜=22=4，故｜B｜｜A—E｜=4，｜B｜=4／｜A—E｜=4／2=2．知识模块：行列式11．[2004年]设矩阵，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜=______．正确答案：1/9解析：在所给方程的两边同时右乘A，利用A*A=｜A｜E，得到ABA*A=2BA*A+A，即｜A｜AB=2｜A｜B+A，移项即得｜A｜(A一2E)B=A．两边取行列式，得到｜A｜(A-2E)B｜=｜A｜，即｜A｜3｜(A-2E)B｜=｜A｜，｜A｜2｜A一2E｜｜B｜=1，再由｜A｜=3，｜A一2E｜=1得到所求行列式｜B｜=1／｜A｜2=1／9．知识模块：行列式12．设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则｜4A-1一E｜=______．正确答案：3解析：所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关，现用加强条件法求出此结果．如A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=diag(1，2，2)=Λ，即A=PΛP-1．于是A-1=PΛ-1P-1，4A-1一E=4PΛ-1P-1一PEP-1=P(4Λ-1一E)P-1．两端取行列式有｜4A-1一E｜=｜P｜｜4Λ-1一E｜｜P-1｜=｜4Λ-1一E｜=｜4diag(1，1／2，1／2)一E｜=3．知识模块：行列式13．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=______．正确答案：-1解析：由aij=一Aij，则(aij)T=一(Aij)T=一(Aji)，即AT=一A*，从而｜A｜=｜AT｜=｜—A*｜=(一1)3｜A｜3-1=一｜A｜2．即｜A｜2+｜A｜=｜A｜(｜A｜+1)=0，故｜A｜=0或｜A｜=一1．若｜A｜=0，则由｜A｜=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0 (i=1，2，3)得到aij=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵．这与假设矛盾，故｜A｜=一1. 知识模块：行列式14．若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是______．正确答案：λ≠1解析：因方程个数与未知数的个数相同，又该方程组只有零解，可知，｜A｜≠0．而于是当λ≠1时，｜A ｜≠0，即该方程组只有零解．知识模块：行列式15．设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=，则αTα=______．正确答案：3解析：由ααT= 知，于是αTα=3．知识模块：矩阵16．设，而n≥2为整数，则An一2An-1=______．正确答案：O解析：先求出n=2和n=3时A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An．当n=2时，A2==2A．当n=3时，A2=A2·A=2A·A=2A2=2·2A=22A．设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有Ak+1=Ak·A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1·2A=2kA．因而对任何自然数n，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1A一2·2n-2A=O．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等单元过关检测卷(二)含答案人教版高中数学高考真题汇编艺考生专用
5．
6．由矩阵 属于特征值3的一个特征向量为 可得 ＝3 ，
即 ；…………………………………4分
由矩阵 属于特征值2的一个特征向量为 ，可得 ＝（－1） ，
即 …………………………………………6分
解得 即矩阵 ………………10分
7．（B）解：（1）设A的一个特征值为 ，由题意知：
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2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、填空题
1．若 ，则 ____．
2．在 行n列矩阵 中，
记位于第 行第 列的数为 。当 时， 45。
评卷人
(Ⅰ）求矩阵 的特征值及相应的特征向量；
(Ⅱ）求逆矩阵 以及椭圆 在 的作用下的新曲线的方程．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、填空题
1．
2．1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
评卷人
得分
二、解答题
3．
4．解：设 ，依题意有： ------4分
即 ，解之得 ------8分
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量
（2）求逆矩阵 以及 在 的作用下的新曲线的方程
6．已知矩阵 ，若矩阵 属于特征值3的一个特征向量为 ，属于特征值－1的一个特征向量为 ，求矩阵 ．
7．给定矩阵
(1)求A的特征值 及对应的特征向量 ；
(2)求A4B．
8．设 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 倍，纵坐标伸长到 倍的伸压变换．
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等章节综合检测提升试卷(二)含答案人教版高中数学真题技巧总结提升
因为点 在椭圆 ： 上，所以 ，………………4分
又圆方程为 ，故 ，即 ，又 ， ，所以 ， ．
所以 ，……………………………………………………………………6分
所以 ．…………………………………………………………………10分
5．
6．（B）（1）a=-4（4分）
（2）特征值3，-1特征向量（1，-2）（1，2）（6分）
7．解：
8．解：设 ，按题意有 ……2分
根据矩阵乘法法则有 ……6分
解之得 ……8分
∴ ……10分
已知矩阵 ，若矩阵 属于特征值6的一个特征向量为 ，属于特征值1的一个特征向量为 ．求矩阵 的逆矩阵．
【考点定位】本题考查的是矩阵的特征值特征向量和逆矩阵的运算，正确理解概念是本题的关键。
4．若圆 在矩阵 对应的变换下变成椭圆 求矩阵 的逆矩阵 .
5．试用行列式解二元一次方程组
6．已知矩阵A ，其中 ，若点 在矩阵A的变换下得到 ．
（1）求实数 的值；
（2）矩阵A的特征值和特征向量．
7．已知二阶矩阵M满足：M ,M =,求M （本小题满分10分）
8．已知 ， ，求二阶方阵 ，使 .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、填空题
1．
2．；
评卷人
得分
二、解答题
3．
4．设点 为圆C： 上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为 ，
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2014年] 行列式==( )．A．(ad—bc)2B．一(ad一bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：待计算的行列式为数字型行列式，且元素排列有一定规律，应利用行列式性质将其变形化为能直接使用非零元素仅在主、次对角线上的2n阶或2n 一1阶行列式计算：=(a1a2n一b1b2n)(a2a2n-1—b2b2n-1)…(anan+1—bnbn+1)，=an(an-1an+1一bn-1bn+1)(an-2an+2一bn-2bn+2)…(a2n-1a1一b2n-1一b1)．解一令.此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，由式(2．1．1．5)，即得∣A∣=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．解二将∣A∣按第1行展开，然后可利用式(2．1．1．6)直接写出结果：∣A∣=(一a)=(一a)d(ad一bc)+bc(ad —bc)=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．知识模块：行列式2．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：利用行列式性质将f(x)化为含零子块的四分块矩阵的行列式或三角形行列式计算．(式(2．1．1．6))=5x(x－1)．由此可知f(x)=0的根有2个．仅(B)入选．知识模块：行列式3．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有行列式∣AB∣≠0B．当m＞n时，必有行列式∣AB∣=0C．当n＞m时，必有行列式∣AB∣≠0D．当n＞m时，必有行列式∣AB∣=0正确答案：B解析：证秩(AB)＜m或证ABX=0有非零解(利用命题2．1．2．7)证之．解一利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于的法则确定正确选项．因AB为m阶矩阵，行列式∣AB∣是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到：(1)当m＞n时，有秩(A)≤min{m，n)=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n ＜m；(2)秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故∣AB∣=0．仅(B)入选．解二因BX=0的解必是ABX=0的解．而BX=0是n个方程m 个未知数的齐次线性方程组．当m＞n时，BX=0有非零解，从而ABX=0有非零解，故∣AB∣=0．仅(B)入选．知识模块：行列式4．[2012年] 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=.若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：注意到Q的列向量为α1，α2，α3的线性组合，首先将Q改写为P与一数字矩阵相乘的形式，再代入Q-1AQ中进行运算，即可求得正确选项．解一因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]因而Q-1AQ=，故仅(B)入选．解二用初等矩阵表示，有Q=PE12：(1)，由E12-1(1)=E12(一1)得到Q-1AQ=[PE12(1)]-1APE12(1)=E12-1(1)P-1APE12(1)=E12(一1)P-1APE12(1)=仅(B)入选．知识模块：矩阵5．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E一A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：利用命题2．2．1．4及命题2．1．2．6求之．解一易求得(E —A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E－A+A2)=E+A3=E．由命题2．2．1．4知E一A可逆，E+A也可逆．仅(C)入选．解二由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E—A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值，由命题2．1．2．6知，它们均可逆．仅(C)入选．知识模块：矩阵6．[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．A．√3／3B．3C．1／3D．√3正确答案：A解析：出现第l行3个相等的元素，自然想到用行列式展开定理．用a11的表达式表示∣A∣，再利用命题2．1．2．8即可求出a11解一显然矩阵A满足命题2．1．2．8中的三个条件，因而由该命题即得∣A∣=1．将∣A∣按第1行展开得到1=∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112，故以a11=√3／3．仅(A)入选．解二由A*=AT，即，其中Aij为∣A∣中元素aij(i，j=1，2，3)的代数余子式，得aij=Aij(i，j=l，2，3)．将∣A∣按第1行展开，得∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112＞0．又由A*=AT得到∣A*∣=∣A∣3-1=∣AT∣=∣A∣，即∣A∣(∣A∣一1)=0，而∣A∣＞0，故∣A∣一1=0，即∣A∣=1，则3a112=1，因a11＞0，故a11==√3／3．仅(A)入选．知识模块：矩阵填空题7．[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量．记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如果∣A∣=1，那么∣B∣=_________．正确答案：将分块矩阵B改写为分块矩阵A右乘另一数字矩阵的形式，再在等式两边取行列式；也可利用行列式性质恒等变形找出∣A∣与∣B∣的关系，从而求出∣B∣．解一B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC，其中C=为三阶范德蒙行列式，则∣C∣=2，故∣B∣=∣A∣∣C∣=1×2=2．解二用行列式性质将∣B∣化为∣A∣的线性函数，找出∣A ∣与∣B∣的关系，求出∣B∣．∣B∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，α2+5α3∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，2α3∣∣α1+α2+α3，α2，2α3∣=2∣α1+α2+α3，α2，α3∣2∣α1，α2，α3∣=2∣A∣=2．涉及知识点：行列式8．[2006年] 设矩阵A=，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则∣B∣=_________．正确答案：可用上述法一或法二求之．解一由BA=B+2E得∣B(A—E)∣=∣2E∣=22=4，故∣[B∣∣A—E∣=4，∣B∣=4／∣A—E∣=4／2=2．解二由BA=B+2E得B(A—E)=2E，则B=2(A—E)-1=2，故∣B∣=2．涉及知识点：行列式9．[2003年] 设三阶方阵A，B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则∣B∣=_________．正确答案：注意到所给矩阵方程A2B—A—B=E含单位矩阵E的加项，左端又出现矩阵A的平方，应将它们结合在一起，因式分解，将方程化成矩阵乘积形式，再取行列式求解．题设等式化为(A2一E)B=A+E，即(A+E)(A—E)B=A+E．易求得∣A+E∣=18≠0，故A+E可逆．在上式两端左乘(A+E)-1，得到(A—E)B=E．再在两边取行列式，得∣A—B∣∣B∣=1．因∣A—E∣==2，故∣B∣=／2．涉及知识点：行列式10．[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为2，3，λ．若行列式∣2A∣=一48，则λ=________．正确答案：先利用命题2．1．2．2求出行列式∣A∣，再利用命题2．1．2．4即可求出参数λ．由命题2．1．2．2得∣2A∣=23∣A∣=一48，解得∣A ∣=一6．又由命题2．1．2．4得到∣A∣=一6=λ·2·3，故λ=一1．涉及知识点：行列式11．[2012年] 设A为三阶矩阵，∣A∣=3．A*为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则∣BA*∣=_________．正确答案：先将矩阵B用初等变换E12与A表示．为利用AA*=∣A∣E，将所得表示式右乘A*．再取行列式．计算行列式时，要正确计算出初等矩阵的行列式∣E12∣．由题设有B=E12A，两边右乘A*得到BA*=E12AA*=∣A ∣E12E=∣A∣E12，则∣BA*∣=∣∣A∣∣E12∣=∣A∣3∣E12∣=33(一1)=一27．涉及知识点：行列式12．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，∣A∣为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则∣A∣=__________．正确答案：利用A*=(Aij)及∣A∣=∣A∣3-1求之．由a=一A，则(a)=(－Aij)，(aij)T=(－Aij)T=一(Aij)，故AT=一A*，从而∣A∣=∣AT∣=∣—A*∣=(一1)3∣A∣3-1=一∣A∣2，即∣A∣2+∣A∣=∣A∣(∣A∣+1)=0，故∣A∣=0或∣A∣=一1．若∣A∣=0，则由∣A∣=ai1Ai1+ai1Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0(i=1，2，3)得到a=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵，这与题设矛盾，故∣A∣=一1．涉及知识点：行列式13．[20l0年] 设A，B为三阶矩阵，且∣A ∣=3，∣B∣=2，∣A-1+B∣=2，则∣A+B-1∣=_________．正确答案：∣A+B-1∣=∣A+B-1∣，常用单位矩阵E将其恒等变形为∣A+B-1∣=∣A+B-1E∣而求之，也可在A+B-1的左和(或)右边乘以适当矩阵化为其行列式已知的矩阵而求之．解一∣A+B-1∣=∣EA+B-1E∣=∣(B-1B)A+B-1(A-1A)∣=∣B-1(BA+A-1A)∣=∣B-1(B+A-1)A∣=∣B-1∣∣B+A-1∣A∣=1．2．3=3．解二A-1(B-1+A)B=A-1B-1B+A-1AB=A-1+B，故∣A-1∣∣B-1+A∣∣B∣=∣A-1+B∣=2，即∣B-1+A∣=2∣A∣／∣B ∣=6／2=3．涉及知识点：行列式14．若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是_________．正确答案：利用命题2．1．3．1(1)寻找λ满足的条件．因方程个数与未知数的个数相等，又该方程组只有零解，由命题2．1．3．1(1)知∣A∣≠0，从而∣A∣==(λ—1)2．于是当λ≠1时，∣A∣≠0，即该方程组只有零解．涉及知识点：行列式15．[2003年] 设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=则αTα=_________．正确答案：由命题2．2．1．2知，αTα为ααT的主对角线元素之和．另一种思路是利用向量运算规律求出α，再求αTα．解一由命题2．1．1．2知，αTα为ααT的主对角线上的元素之和，即αTα=1+1+1=3．解二由ααT=[1，一1，1]知α=，于是αTα=3．涉及知识点：矩阵16．设A=，而n≥2为整数，则An－2An-1=_________．正确答案：求方阵的n次幂一般要先就n=2，n=3进行计算，然后归纳其规律，得出结论．也可用相似对角化及命题2．2．1．3求之．解一先求出n=2，3时，A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An．当n=2时，A2==2A,A3=A2．A=2A·A=2A2=2．2A=22A，设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有Ak+1=Ak．A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1．2A=2kA．因而对任何自然数，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1．A－2·2n-2A=0．解二由于A为实对称矩阵，可用相似对角化求出An．由∣λE－A∣=λ(λ－2)2得到A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0．由于A为实对称矩阵，必存在可逆阵P，使P-1AP=diag(2，2，0)=Λ，于是A=PΛP-1，An=PΛnP-1，2An-1=P(2Λn-1)P-1=PΛnP-1，故An一2An-1=0．涉及知识点：矩阵17．设A=，其中ai≠0(i=1，2，…，n)，则A-1=_________．正确答案：把A看作是A=的分块矩阵，利用分块矩阵的求逆公式(命题2．2．1．5(3))易求得A-1也可用初等行变换求之．涉及知识点：矩阵18．设A=,A*是A的伴随矩阵，则(A*)-1=_________．正确答案：直接利用式(2．2．2．1)求之．由式(2．2．2．1)得到(A*)-1= 涉及知识点：矩阵19．设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为________．正确答案：解一因A的秩为2，较其阶数4小2，由命题2．2．2．1知秩(A*)=0．解二由题设知A的秩为2，因而A的所有三阶子式等于0．于是A 的所有元素的代数余子式均为0，即A*=0，故秩(A*)=0．涉及知识点：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二矩阵模拟试卷21-真题(含答案与解析)-交互
考研数学二（矩阵）模拟试卷21(总分58, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.设A和B都是n阶矩阵，则必有( )SSS_SINGLE_SELA ｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。
B AB=BA。
C ｜AB｜=｜BA｜。
D(A+B) －1 =A －1 +B －1。
该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：因为｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜A｜=｜BA｜，所以C正确。
取B=一A，则｜A+B｜=O，而｜A｜+｜B｜不一定为零，故A错误。
由矩阵乘法不满足交换律知，B不正确。
因(A+B)(A －1 +B －1)≠E，故D也不正确。
所以应选C。
2.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式中必定成立的是( )SSS_SINGLE_SELA(A+B)(A—B)=A 2一B 2。
B(A+B) －1 =A －1 +B －1。
C ｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。
D(AB) * =B * A *。
该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：根据伴随矩阵的定义可知 (AB) * =｜AB｜(AB) －1 =｜A｜｜B｜B －1 A －1 =B * A *，故选D。
3.设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。
若A 3 =O，则( )SSS_SINGLE_SELA E—A不可逆，E+A不可逆。
B E—A不可逆，E+A可逆。
C E一A可逆，E+A可逆。
D E—A可逆，E+A不可逆。
该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：已知(E—A)(E+A+A 2 )=E—A 3 =E，(E+A)(E—A+A 2 )=E+A 3 =E。
故E—A，E+A均可逆。
故应选C。
4.设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则①若A可逆，则B可逆；②若B可逆，则A+B可逆；③若A+B可逆，则AB可逆；④A一E恒可逆。
上述命题中，正确的个数为( )SSS_SINGLE_SELA 1。
B 2。
C 3。
D 4。
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等章节综合考点检测练习(二)附答案人教版高中数学高考真题汇编家教辅导
高中数学专题复习
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人得分
一、填空题
1．已知矩阵
2
7
b
A
a
-
⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
的逆矩阵是
2
73
a
B
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，则=
+b
a．
2．已知以,x y为变量的二元一次方程组的增广矩阵为
211
120
-
⎛⎫
⎪
-
⎝⎭
，则这个二元一次方程组
的解为____________.
评卷人得分
二、解答题
3．二阶矩阵M对应的变换将点(1,1)
-与(2,1)
-分别变换成点(1,1)
--与(0,2)
-.
(1)求矩阵M的逆矩阵1-
M；
(2)设直线l在变换M作用下得到了直线:24
m x y
-=，求l的方程．
4．求矩阵
14
26
M
-⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
的特征值和特征向量．。
考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．记行列式为f(x)，则方程f(x)＝0的根的个数为A．1．B．2C．3D．4正确答案：B解析：[分析] 本题实质上是考查四阶行列式的计算问题，可利用行列式的性质进行计算，得到f(x)后，即可确定其根的个数．[详解] 因为由此可知f(x)＝0的根的个数为2，故应选(B)．[评注] 由于数学二只要求考查线性代数初步，相对内容较少，行列式的计算问题基本上每年出一题，因此利用行列式的定义、性质和按行或列展开定理进行计算应熟练掌握．知识模块：行列式2．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0．B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜＝0．C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0．D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜＝0．正确答案：B解析：[分析] 四个选项在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件，问题转化为矩阵是否可逆，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，最终只要判断AB是否满秩即可．[详解] 因为AB为m 阶方阵，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n)，当m＞n时，由上式可知，r(AB)≤n＜m，即AB不是满秩的，故有行列式｜AB｜＝0．故应选(B)．[评注] 本题不知矩阵AB的具体元素，因此直接应用行列式的有关计算方法进行求解是困难的．对于此类抽象矩阵行列式的计算往往可考虑转换为利用：1．矩阵的秩(判断行列式是否为零)；2．行(列)向量组的线性相关性；3．方程组解的判定；4．特征值和相似矩阵的性质等进行计算．知识模块：行列式3．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ—c的可逆矩阵Q为A．B．C．D．正确答案：D解析：[分析] 本题考查初等矩阵的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为这两个初等矩阵的乘积．[详解] 由题设，有，于是，故应选(D)．知识模块：矩阵4．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则A．交换A*的第1列与第2列得B*．B．交换A*的第1行与第2行得B*．C．交换A*的第1列与第2列得－B*．D．交换A*的第1行与第2行得－B*．正确答案：C解析：[分析] 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可．[详解] 由题设，存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得E12A＝B，于是B*＝(E12A)*＝A*E12*＝A*｜E12｜.E12－1＝－A*E12，即A*E12＝－B*，故应选(C)．[评注] 注意伴随矩阵的运算性质：AA*＝A*A＝＝｜A｜E，当A可逆时，A*＝｜A｜A－1，(AB)*＝B*A*．知识模块：矩阵5．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则A．C＝P－1AP．B．C＝PAP－1．C．C＝PTAP．D．C＝PAPT．正确答案：B解析：由题设可得，而，则有C＝PAP－1．故应选(B)．知识模块：矩阵6．设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP＝．若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则QTAQ为A．B．C．D．正确答案：A解析：因为Q＝P．于是．即(A)正确．知识模块：矩阵7．设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩阵，记，则A＝A．P1P2．B．P1－1P2．C．2P1．D．2P1－1．正确答案：D解析：由已知条件有P2AP1E得A＝P2－1EP1－1＝P2P1－1．故应选(D)．知识模块：矩阵8．设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P－1AP＝若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q－1AQ＝A．B．C．D．正确答案：B解析：由已知条件有Q＝P，因此故应选(B)．知识模块：矩阵9．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*等于A．kA*．B．kn－1A*．C．knA*．D．k－1A*．正确答案：B解析：[分析] 利用伴随矩阵的定义讨论即可．若加强条件，则可令A可逆．[详解1] 采用加强条件的技巧，设A可逆，则由AA*＝A*A＝｜A｜E，知A*＝｜A｜A－1，于是(kA)*＝｜kA｜(kA)－1＝kn｜＝kn－1｜A｜A－1＝kn－1A*．故应选(B)．题设k≠0，±1，n≥3，主要是为了做到四个选项只有一个是正确的．[详解2] 由A*的定义，设A＝(aij)n ×n，其元素aij的代数余子式记作Aij，则矩阵kA＝(kaij)n×n，若其元素的代数余子式记作△ij(i，j＝1，2，…，n)，由行列式性质有△ij＝kn－1Aij(i，j＝1，2，…，n)．从而(kA)*＝kn－1A*．[评注] 涉及与A*有关的题目，一般利用A*的定义和公式AA*＝｜A｜E．知识模块：矩阵10．设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵．若｜A｜＝2，｜B｜＝3，则分块矩阵的伴随矩阵为A．B．C．D．正确答案：B解析：利用伴随矩阵的公式，有。
第二章：矩阵
矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．本章核心内容如下：（1）矩阵的幂运算：①秩为1的矩阵：1)(=A r ,可以分解为列矩阵（向量）×行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②型如，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000000c b a A 或⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000c b a ,或⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡k c k b a k 000，利用二项式展开；③利用特征值和相似对角化：∧=−AP P 1；④分块矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A 00.（2）伴随矩阵重要公式及求法：①伴随的秩序：⎪⎩⎪⎨⎧−<−===1)(01)(1)()(*n A r n A r n A r nA r ；②伴随得特征值：*1*(,)A AA AX X A A A X X λλλ− == ⇒ =；（※※）③伴随的重要公式：1*−=n AA ***)(AB AB =A AA n 2**)(−=（3≥n）1*−=A A A /AA A *1=−，*1*)(A k kA n −=，AAA A ==−−*11*)()(，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛***B A OO A B B O O A ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O A B B A O O B A O mn***)1(（m m A ×n n B ×）（3）逆矩阵：①求1−A 的方法：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==⇒=−−−−−−−−.43,21111111*1*1O A B O O B A O B O O A B O O A A A A A A A B A E B A A n n ）分块矩阵法：（；为三阶、四阶数值型）（）初等行（列）变换法（；为二阶、三阶数值型）法（）（）；为抽象矩阵：）定义法（（②逆的重要公式：()111−−−=A B AB T T A A )()(11−−=()*11*)(−−=A A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−111B A B A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−111A B B A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−11111B O CB A A B O C A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−11111B CA B O A BC O A （4）初等矩阵变换：①初等变换（3）方法：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=+100010041)3(100030001)2(100001010)1(1000100012141232列）行（至第列）倍乘行（第行（列）倍乘第行（列）变换（交换）A ②初等变换的求逆（3）公式：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛1000010101000010101-，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛10000103101000030101-，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛51000100015000100011-（5）矩阵方程：①B AX =⇒B A X 1−=；②B XA =⇒1−=BA X ；③C AXB =⇒11−−=CB A X .（系数矩阵一般可逆）（6）矩阵的秩：①)()()(T T AA r A r A r ==；②)()(kA r A r =（0≠k）；③)()()(B r A r B A r +≤±；④)}(),(min{)(B r A r AB r ≤⇔)()(A r AB r ≤，)()(B r AB r ≤；⑤0=××s n n m B A n B r A r ≤+⇒)()(；⑥⎪⎩⎪⎨⎧−<−===1)(01)(1)()(*n A r n A r nA r n A r ；⑦B A ~)()(B r A r =⇒.本章重点是伴随矩阵、可逆矩阵、初等变换、矩阵的秩，在这一章中必有一道小题4分.从历年真题考题来看，初等变换、矩阵的秩尤其重要.一、选择题：1、设B A ,均为n 阶矩阵（2≥n ），E 为单位矩阵，则有（）（A）2222)(B AB A B A ++=+（C）22))((B A B A B A −=+−（C）))((2E A E A E A +−=−（D）222)(B A AB =2、设C B A ,,均为n 阶矩阵，且A 可逆，下列命题正确的是（）（A）若BC BA =，则C A =（B）若CB AB =，则C A =（C）若0=AB ，则0=B （D）若0=BC ，则0=C 3、设B A ,均为n 阶方阵，满足等式0=AB ，则必有（）（A）0=A 或0=B （B）=+B A （C）0=A 或0=B （D）0=+B A 4、设B A ,为n 阶对称矩阵，且B 可逆，则下列矩阵中为对称矩阵的是（）（A）AB AB 11−−−（B）A B AB 11−−+（C）11−−AB B（D）2)(AB 5、设矩阵33)(×=ij a A 满足T A A =*，其中*A 为A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵，若13111,,a a a 2为三个相等的正数，则11a 为（）（A）33（B）3（C）31（D）36、设n 阶矩阵A 非奇异（2≥n ），*A 是A 的伴随矩阵，则（）（A）A A A n 1**)(−=（B）A A An 1**)(+=（C）AAA n 2**)(+=（D）AAAn 2**)(+=7、设A 是任一n 阶方阵（3≥n ），*A 是A 的伴随矩阵，又k 为常数，且10±≠，k ，则必有=*)(kA （）（A）*kA（B）*1A k n −（C）*A kn（D）*1A k−8、设B A ,为n 阶矩阵，**,B A 分别为B A ,的伴随矩阵，分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B O O A C ，则C 的伴随矩阵=*C （）（A）⎥⎦⎤⎢⎣⎡**B B O O A A （B）⎥⎦⎤⎢⎣⎡**A A O OB B （C）⎥⎦⎤⎢⎣⎡**A B OO B A （D）⎥⎦⎤⎢⎣⎡**B A OO A B 9、设n 阶方阵C B A ,,满足关系式E ABC =，其中E 是n 阶单位阵，则下式未必有（）（A）EBCA =（B）EA B CT T T=（C）ECAB=（D）EACB =10、设C B A ,,为n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则=++222C B A （）（A）0（B）E（C）E2（D）E311、设)21,0,...,0,21(=a ，矩阵a a E A T −=，a a E B T 2+=，其中E 是n 阶单位阵，则AB 等于（）（A）0（B）E −（C）E （D）aa E T +12、设C B A ,,均为n 阶矩阵，E 是n 阶单位阵，若AB E B +=，CA A C +=，则C B −为（）（A）E （B）E−（C）A （D）A−13、设11,,,−−++B A B A B A 均为n 阶可逆矩阵，则111)(−−−+B A 等于（）（A）11−−+B A （B）BA +（C）B B A A 1)(−+（D）1)(−+B A 14、设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得到B ，再将B 的第1列的)1(−倍加到第2列得到C ，记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100010011P ，则：（）（A）AP P C1−=（B）1−=PAP C （C）AP P C T =（D）TPAP C =15、设P A ,均为3阶矩阵，TP 为P 的转置，且，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=200010001AP P T 若),,(321ααα=P ，),,(3221αααα+=Q ，则：AQ Q T 等于（）（A）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200011012（B）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200021011（C）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200010002（D）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛20002000116、设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列，得到B ，再交换B 的第2行与第3行得到E ，记，，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=01010000110001100121P P 则：=A （）（A）21P P （B）211P P −（C）12P P （D）112−P P 17、设B A ,为非零矩阵，且O AB =，则A 和B 的秩（）（A）必有一个等于零（B）都小于n （C）一个小于n（D）一个等于n二、填空题：18、计算下列行列式乘积：①=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛231343452161.②()=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛312321.③()=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛321312.④()=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321332313232212131211321x x x a a a a a a a a a x x x .19、设E A 23=，证明：E A 2+可逆，并求=+−1)2(E A .20、设T a)1,0,1(−=，矩阵T aa A =，n 为正整数，则=−n A aE .21、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A ，而2≥n 为正整数，则=−−12n n A A .22、设3阶矩阵B A ,满足E B A AB =−−，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=102020101A ，则=B .23、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=−1*)(A .24、设4阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=1100210000120025A ，则=−1A .25、设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−000000000000121⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯nn a a a a A ，其中n i a i ,...,2,1,0=≠，则.1=−A 26、设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=7600054000320001A ，E 为4阶单位矩阵，且)()(1A E A EB −+=−，则：=+−1)(B E .27、设矩阵A 满足042=−+E AE A ，其中E 为单位矩阵，则=−−1)(E A .28、设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=3211A ，E A A B 232+−=，则=−1B .29、设B A ,均为3阶矩阵，E 是3阶单位矩阵.已知B A AB +=2，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=202040202B ，则=−−1)(E A .30、计算：=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2013201200101010054343232101010100.31、矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0111001100010000A ，则=)(3A r .32、已知A 是非零矩阵，且O A =2，则=)(*A r .33、设B A ,均为n 阶矩阵，且1−=B ABA ，E 为单位矩阵，则=++−)()(AB E r AB E r .三、解答题：34、已知实矩阵33)(×=ij a A 满足以下条件：（1）ij ij A a =（3,2,1,=j i ），其中ij A 是ij a 的代数余子式；（2）011≠a .计算行列式A .35、设0=k A （k 为正整数），证明：121...−−++++=−k A A A E A E ）（.36、设方阵A 满足：O E A A =−−22，证明：A 及E A 2+都可逆，并求1−A 及1)2(−+E A .37、设B A ,为n 阶方阵，若B A AB +=.（1）证明：E A −可逆且BA AB =;（2）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=200012031B ，求矩阵A .38、已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421−=−，其中E 是3阶单位矩阵.（1）证明：矩阵E A 2−可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=200021021B ，求矩阵A .39、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=321011330A ，且满足B A AB 2+=，求矩阵B .40、设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=390013000003000013000013A ，求n A .一、选择题：1、答案：（C）.【考点】考查矩阵运算.解：矩阵运算，一般没有BA AB ≠.例，()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛936624312312321，()13332112321312=×+×+×=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛BA AB ≠⇒;例，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛341201104321⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛214343210110BA AB ≠⇒;222332)(×××=AB B A ，333223)(×××=BA A B BA AB ≠⇒;333113)(×××=AB B A （左行右列），111331)(×××=BA A B （左行右列）BA AB ≠⇒.特别地，22))((B BA AB A B A B A −+−=−+，222)(B BA AB A B A +++=+但：E A E A E A −=−+2))((，EA A E A ++=+2)(22))((23E A A E A E A ++−=−))((23E A A E A E A +−+=+【注】：尤其要注意kE A =3的情形.))((23E A A E A E A ++−=−))((23E A A E A E A +−+=+2、答案：（C）.【考点】考查矩阵运算.解：对于（A），C A A BC BA =⇒′≠⎭⎬⎫=可逆，但C A B BC BA =⇒⎭⎬⎫=可逆.例：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛993312516321，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛993311116321⇒C A ≠.故（A）错误.对于（B），C A A CB AB =≠⇒⎭⎬⎫=可逆,但C A B CB AB =⇒⎭⎬⎫=可逆.例：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−993362311521，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛993362311111⇒C A ≠.故（B）错误.对于（C），则对0=AB ，左乘1−A ，01=−AB A ，则0=B .故（C）正确.对于（D），0=AB ≠0=⇒A 或者0=B .例：O =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000021-4-24221,()01-11321=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛.故（D）错误.3、答案：（C）.【考点】考查矩阵运算.解：对0=AB ，用行列式乘法公式：0==AB B A .则0=A 或0=B .4、答案：（B）.【考点】考查矩阵（对称、反对称）运算.解：对于（A），TT T T T T T B A A B A B AB A B AB)()()()()(111111−−−−−−−=−=−1111)()(−−−−−=−=AB A B B A A B T T T T ，所以（A）不对.对于（B），TT T T T T T B A A B A B AB A B AB)()()()()()()(111111−−−−−−+=+=+A B AB AB A B B A A B T T T T 111111)()()()(−−−−−−+=+=+=，所以（B）不对.对于（C），1111)()()()()(−−−−===BAB B A B B A B AB BT T T T T T T ，所以（C）不对.对于（D），2222)()(])[(])[(BA A B AB AB T T T T===，所以（D）不对.5、答案：（A）.【考点】考查矩阵（ij ijA a =或T A A =*）的运算.解：由于T A A =*，即：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332313322212312111332313322212312111a a a a a a a a a A A A A A AA A A ，因此ij ij A a =，所以03211222111313121211111312>=++=++=a a a a A a A a A a A ,又T A A =*，两边取行列式，则：A A AA T ===−13*，即A A =2，则有1=A ，因此，13211=a ，3311=a .6、答案：（C）.【考点】考查矩阵伴随.解：根据伴随矩阵的关系：E A A A AA ==**.现将*A 视为关系式中的A ，则有：E A A A A A *******)()(==，由1*−=n AA 及AA A=−1*)(可得：A A AA AA A An n 211****)()(−−−===.7、答案：（B）.【考点】考查矩阵伴随.解：当A 可逆时，由1*−=A A A 有：*111*1)()(A k A kA k kA kA kA n n −−−=⋅==.8、答案：（D）.【考点】考查矩阵伴随（分块矩阵）.解：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==−−−−1111*B O O A B A B O O A B O O A C C C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=**B A O O A B .9、答案：（D）.【考点】考查矩阵（定义）的逆.解：由C B A ,,都是n 阶方阵，且E ABC =知：①E BC A =)(，即A 与BC 互为逆矩阵，则有：E BCA =，故（A）正确.②T T T T T A B C ABC E E ===)(，故（B）正确；③E C AB =)(，即AB 与C 互为逆矩阵，则有：E CAB =，故（C）正确.10、答案：（D）.【考点】考查矩阵（定义）的逆.解：由C B A ,,为n 阶方阵，且E CA BC AB ===，我们取C B A ,,为n 阶单位阵.故E C B A 3222=++.11、答案：（C）.【考点】考查矩阵乘法.解：a aa a a a E a a a a a a E a a E a a E AB T T T T T T T T )(2))((2)2)((+−=+−=+−=E a a a a E T T =+−=.12、答案：（A）.【考点】考查矩阵逆运算.解：由AB E B +=⇒E B A E =−)(⇒1)(−−=A E B ；由CA A C+=⇒A A E C =−)(⇒1)(−−=A E A C ；所以E A E A E A E A A E C B =−−=−−−=−−−−111))(()()(.13、答案：（C）.【考点】考查矩阵（定义）的逆.解：利用矩阵逆的运算法则：AA B B B A B A AB E A B A 1111111111)(])([)]([)(−−−−−−−−−−+=+=+=+或者1111))(()()(−−−−++=++=B A B A B A B B A A E，则：B A B B A A +=+−−])(11，⇒=+−−−111)(B A B B A A 1)(−+.14、答案：（B）.【考点】考查矩阵初等变换.解：按照已知条件，用初等变换描述有：AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=100010011B C 因此A C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000100111100010011−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−PAP .15、答案：（A）.【考点】考查初等变换.解：因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+100011001),,(),,(3213221ααααααα，即：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100011001P Q ，于是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100011001)(100010011100011001100011001AP P P A P AQ Q T TT ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011012100011001200010001100010011.16、答案：(D).【考点】考查初等变换.解：依题意，B A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100011001，E B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010100001，即：B Ap =1，E B P =2⇒E Ap p =)(12，所以11121112−−−−==P P EP P A .17、答案：（B）.【考点】考查矩阵O AB =的秩.解：由矩阵B A ,非零⇒1)(≥A r 1)(≥B r 又O AB =⇒nB r A r ≤+)()(因此,矩阵B A ,的秩都小于n .二、填空题：18、答案：①⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=+−=×+−×+×−=+−=×+−×+×−=+−=×+−×+×=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛35153612323)3(4135815224)3(51215218121)3(611231343452161;②()()12)12642232221(312321==++=×+×+×=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛；③()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛963321642321312；④()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡33322311332322211231321211132132332313232212131211321x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x x a a a a a a a a a x x x 233332231313322322221212311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++=121231132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.【考点】考查行列式计算.【注】：s m s n n m C B A ×××=.19、答案：10)42(2E A A +−.【考点】考查矩阵的逆运算.解：由E A 23=变形为：E E A A E A 10)42)(2(2=+−+,于是：E E A A E A =+−+10)42()2(2，故10)42()2(21E A A E A +−=+−.20、答案：)2(2n a a−.【考点】考查1)(=Taa r 的有关行列式运算.解：因⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==101000101)101(101T aa A ，而2101)101(=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−==a a A T ，所以A A n n 12−=，)2(202002022211111n n n n n n n a a a a a A aE A aE −=−−=−=−−−−−−.21、答案：O .【考点】考查矩阵运算.解：由于11)2(2−−−=−n n n A E A A A ,而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−1010001012E A ，又O A E A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−101020101101000101)2(，所以O A A n n =−−12.22、答案：21.【考点】考查矩阵的逆及行列式值.解：由E B A AB =−−，即：E A B E A E A +=−+))((.因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=+202030102E A ，知E A +可逆，故1)(−−=E A B .而2002010100=−=−E A .又因AA 11=−,故21)(1=−=E A B .23、答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡543022001101.【考点】考查伴随运算.解：由EA AA =*知：E A AA =*，故AA A =−1*)(，又10543022001==A ,所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−543022001101)(1*A .24、答案：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−3131003231000520021.【考点】考查分块矩阵求逆.解：由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−−−1110000C B C B A ，设⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−−5221122511B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−112131112111C ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=−313100323100005200211102100001200251-1A .【注】在今后考研中一定还要注意⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−−−−O BC O O C B O A 1111这种题型.25、答案：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−01000010000110001211n n a a a a A ⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯⋯.【考点】考查分块矩阵求逆.解：由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−−−−O BC O O C B O A 1111，又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−21111a a C ⋱，所以，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−01000010000110001211n n a a a a A ⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯⋯.26、答案：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−4300032000210001【考点】考查矩阵的逆运算.解：若先求出1)(−+A E，再作矩阵乘法求出B ，最后通过求逆得到1)(−+B E .因此要求我们利用单位矩阵恒等变形：1`11)(2)]()[()()()(−−−+=++−+=+−+=+A E A E A E A E E A E A E E B .所以)(21])(2[)(11`1A E A E E B +=+=+−−−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=4300032000210001或者，由)()(1A E A E E B −+=+−，左乘A E +得：A E EB A E −=++))((⇒EA E A E A EB A E 2)()(=++−=+++即有：E B E A E 2))((=++.以下同解.27、答案：2)2(E A +.【考点】考查抽象矩阵定义法求可逆矩阵.解：由042=−+E AE A ⇒EE A E A 2)2)((=+−即：E E A E A =+−2)2()(2)2()(1E A E A +=−−.28、答案：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−−11210.【考点】考查矩阵逆运算.解：因为))(2(232E A E A E A A B−−=+−=，所以1111)2()()])(2[(−−−−−−=−−=E A E A E A E A B 又⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−−021*******)(11E A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−−12111211)2(11E A .所以，=−1B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−021221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−−11210.29、答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100.【考点】考查矩阵的逆运算.解：由B A AB +=2⇒E E B E A 2)2)((=−−,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−=−−001010100)2(21)(1E B E A .30、答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡345234123.【考点】考查初等行变换.解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3452341230010101005434323210101010020132012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡34523412331、答案：1)(3=Ar .【考点】考查矩阵的幂运算.解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00120001000000002A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0010000000000003A ,所以1)(3=A r .32、答案：0.【考点】考查伴随矩阵的秩.解：由O A =2知，5)()(≤+A r A r ，所以4)(<A r ，故0)(=A r .33、答案：n .【考点】考查矩阵的秩.解：由1−=B ABA 知，E ABAB =，所以OE AB E AB =−+))((则n E AB r E AB r ≤−++)()(.又E E AB AB E 2)()(=++−，所以nE r E AB r AB E r =≥++−)2()()(因此，n E AB r E AB r =−++)()(.三、解答题：34、答案：1.【考点】考查行列式（矩阵）计算：T A A =*或ij ij a A =.（与选择题第5题同解）解：由于T A A =*，即：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332313322212312111332313322212312111a a a a a a a a a A A A A A AA A A ，因此ij ij A a =，所以03211222111313121211111312>=++=++=a a a a A a A a A a A ,又T A A =*，两边取行列式，则：A A AA T ===−13*，即A A =2，则有1=A .35、答案：原命题成立.【考点】考查0=k A 的相关运算.解：由0=k A 知：)...(21E A A A E A E A E k k k ++++−=−=−−−）（所以，)...(121−−++++−=−k A A A E E A ）（,故命题成立.36、答案：)(1E A A −=−；)3(41)2(1E A E A −−=+−.【考点】考查抽象矩阵的逆.（定义法）解：①由EA A O22−−=⇒)(2E A A E −=，故)(1E A A −=−；②由EA A O 22−−=⇒E E A E A 4)3)(2(−=−+，故)3(41)2(1E A E A −−=+−.37、答案：(1)1)(−−+=⇒E B E A ；(2)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2000131-0211A .【考点】考查矩阵的逆运算.解：（1）：由AB B A =+知：=+−−E B A AB E E B E A =−−)(）（.所以E A −可逆，且E A E B −=−−1）（1)(−−+=⇒E B E A .EE A E B =−−）（)(即：0=−−A B BA ⇒BAB A =+又AB B A =+所以BA AB =.（2）由于11100002030)(−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=−E B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000031-0210，故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2000131-0211A .38、答案：)4(8121-E B E A −=−）（；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=200011020A .【考点】考查矩阵的逆运算.解：（1）由EB B A421−=−左乘A 知：042=−−AB AB .从而E E B E A 8)4(2=−−）（，即E E B E A =−⋅−)4(812）（.则E A 2−可逆，且)4(8121-E B E A −=−）（.(2)由（1）知1)4(82−−+=E B E A .而112-0002-102-3-4−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−）（E B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=21-00083-81-04141-故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=200011020A .【注意】如果只要证明E A 2−可逆，那么由042=−−A B AB A B E A 42=−⇒）（.因为A 可逆，知.0443≠=A A 故02≠⋅−B E A ，就可证出E A 2−可逆.39、答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−011321330.【考点】考查矩阵运算.解：B A AB 2+=⇒A B E A =−)2(，而021210113322≠=−−−=−E A ，故A E A B 1)2(−−=，由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−100010001121011332)2(⋮⋮E E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→2112123121232321100010001⋮所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−21212123212123321)2(1-E A 因此，A E A B 1)2(−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=212121232121232321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−321011330=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−011321330.【注】此题还可以用伴随矩阵来求逆，不妨试一试，但要注意计算准确.40、答案：见解析.【考点】考查矩阵的幂运算.解：将矩阵A 分块，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n nn C OO B A ，D E B +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=30001000101000100013300130013，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100010D ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0000001002D ，O D D n ===...3,所以，22211333)3(D C D C D E B n n n n n n n −−++=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−−−000000300000300030300030003221111n n n n n n n n nC C C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−−−n n n n n n n n n C C C 300330333112211()13313913−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=C ，所以，()()()133113311331−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋯n C ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅−⋅−⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=1-1-1-1-1-1-636961633913613316n n n n n n 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n nn C OO B A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅−⋅−⋅=−−−−−−−11111122116369000663000003000033000333n n n n n n n n n n n n nC C C .。
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等单元过关检测卷(二)含答案人教版高中数学高考真题汇编辅导班专用
得分
二、解答题
3．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵 ．
（1）求矩阵A的特征值和特征向量；（2）若 ，求 ．
4．设矩阵
（1）求矩阵M的逆矩阵 ；
（2）求矩阵M的特征值.
5．已知矩阵A ，其中 ，若点 在矩阵A的变换下得到 ．
（1）求实数 的值；
（2）矩阵A的特征值和特征向量．
6．若点A（２，２）在矩阵 对应变换的作用下得到的点为B（－２，２），求矩…5分
故 ………………………10分
7．结定矩阵
(1）计算MN
(2）求N的特征值及其对应的一个特征向量
8．已知 ,求矩阵B.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、填空题
1．
2．2
评卷人
得分
二、解答题
3．解：（1） ，则 ，即 ，所以特征值为 ．
当 时， ，所以特征向量 ，
当 时， ，所以特征向量 .…………………………………5分
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《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、填空题
1．设曲线 在 对应的变换下变成另一条曲线 ,则曲线 的方程为______
2．已知线性方程组的增广矩阵为 ，若该线性方程组无解，则 ．
（2）令 ，则 ，
解得 ，所以 ，
所以 = = .……………………10分
4．
5．（B）（1）a=-4（4分）
（2）特征值3，-1特征向量（1，-2）（1，2）（6分）
(完整版)线性代数第二章矩阵试题及答案
第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m⨯n型矩阵。
例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8 是一个4⨯5矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。
元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。
两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。
2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。
n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。
下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。
（1）A是正交矩阵⇔A T=A-1 （2）A是正交矩阵⇔2A=1阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足:①如果它有零行，则都出现在下面。
②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。
把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。
每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等章节综合检测专题练习(二)含答案人教版高中数学真题技巧总结提升
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检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．当πcos 12=a 时，行列式211121a a +-的值是 ．
2．方程0c os s in s in c os =x
x x
x 的解为_____)(,42Z k k x ∈+=ππ______. 评卷人 得分
二、解答题
3．（本小题满分12分）
二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-变换成点(1,1)--，点(2,1)-变换成点(0,2)-.
（1）求矩阵M ；
（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：24x y -=，求l 的方程． (12,13班做)设不等式|2x －1|＜1的解集为M ．
(1)求集合M ；
(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．。
矩阵的运算与性质练习题及解析
矩阵的运算与性质练习题及解析一、基础概念在矩阵的运算与性质练习题及解析中，首先需要了解矩阵的基本概念。
矩阵是由 m 行 n 列的数构成的一个长方形的数表。
表示为：A = [a_ij]其中，a_ij 表示第 i 行第 j 列的元素。
例如：A = [1 2 3][4 5 6]这是一个 2 行 3 列的矩阵，其中 a_11 = 1, a_12 = 2, a_13 = 3, a_21 = 4, a_22 = 5, a_23 = 6。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法矩阵的加法规则是对应位置的元素相加。
例如：A = [1 2]B = [3 4] A + B = [4 6][5 6] [7 8] [12 14]即 A + B = [a_11 + b_11 a_12 + b_12][a_21 + b_21 a_22 + b_22]2. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素分别乘以一个数。
例如：A = [1 2] 2A = [2 4][3 4] [6 8]即 2A = [2a_11 2a_12][2a_21 2a_22]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵按一定规则相乘得到一个新的矩阵。
规则是矩阵的行乘以另一个矩阵的列，并将结果相加。
例如：A = [1 2]B = [3 4] AB = [1*3+2*7 1*4+2*8] = [17 22][5 6] [7 8] [5*3+6*7 5*4+6*8] [47 58]即 AB = [a_11b_11+a_12b_21 a_11b_12+a_12b_22][a_21b_11+a_22b_21 a_22b_12+a_22b_22]三、矩阵的性质1. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
例如：A = [1 2 3] A^T = [1 4][4 5 6] [2 5][3 6]2. 矩阵的逆一个矩阵存在逆矩阵的条件是该矩阵为方阵且行列式不为零。
逆矩阵满足以下性质：A * A^(-1) = I，其中 I 是单位矩阵。
考研数学二(线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型)历年
考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A＝(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1，0，1，0)T是线性方程组Ax：O的一个基础解系，则A”x：0的基础解系可为A．α1，α3．B．α1，α2．C．α1，α2，α3．D．α2，α3，α4．正确答案：D解析：[详解] 因为(1，0，1，0)T为方程组Ax＝0的一个基础解系，故r(A)＝3，r(A*)＝1．于是A*x＝0的基础解系含线性无关向量个数为3．又(1，0，1，0)T为Ax＝0的解，从而α1＋α3＝0．由A*A＝｜A｜E＝0得α1，α2，α3，α4均为A*x＝0的解．故α2，α3，α4可作为A*x＝0的基础解系．故应选(D)．知识模块：线性方程组2．设有齐次线性方程组Ax＝0和Ax＝0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax＝0的解均是Ax＝0的解，则r(A)≥r(B)；②若r(A)≥r(B)，则Ax＝0的解均是Bx＝0的解；③若Ax＝0与Bx＝0同解，则r(A)＝r(B)；④若r(A)＝r(B)，则Ax＝0与Bx＝0同解．以上命题正确的是A．①②．B．①③．C．②④．D．③④．正确答案：B解析：[分析] 本题也可找反例用排除法进行分析，但①和②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③与④，迅速排除不正确的选项．[详解] 若Ax＝0与Bx＝0同解，则n－r(A)＝n－r(B)，即r(A)＝r(B)，命题③成立，可排除(A)，(C)；但反过来，若r(A)＝r(B)，则不能推出Ax＝0与Ax＝0同解，如，则r(A)＝r(B)＝1，但Ax＝0与Bx＝0与Bx＝0不同解，可见命题④不成立，排除(D)，故应选(B)．[评注] Ax＝0与Bx＝0同解的充要条件是A，B的行向量组等价．知识模块：线性方程组3．设A为4阶实对称矩阵，且A2＋A＝0，若A的秩为3，则A与A相似于B．C．D．正确答案：D解析：[详解]设λ为A的特征值，由A2＋A＝0，知特征方程为λ2＋λ＝0，所以λ＝－1或0．由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A～A，r(A)＝r(A)＝3，因此，应选(D)．[评注1]若A可对角化，则r(A)＝矩阵A 的非零特征值的个数．[评注2]本题由A2＋A＝0即可得到A可对角化，因此题设条件A为实对称矩阵可去掉．知识模块：矩阵的特征值与特征向量4．矩阵相似的充分必要条件为A．a＝0，b＝2．B．a＝0，b为任意常数．C．a＝2，b＝0．D．a≠0，b为任意常数．正确答案：B解析：[分析]利用结论：两个可对角化的矩阵相似的充：分必要条件是有相同的特征值．[详解]记矩阵．显然，矩阵B的特征值为2，b，0，而矩阵A与B 相似的充分必要条件是有相同的特征值，所以｜2E—A｜＝[2513*]＝－4a2＝0，得a＝0．当a＝0时，由｜2E—A｜＝｜λE－A｜＝，得矩阵A的特征值为2，b，0．故当a＝0时，对任意常数b，矩阵A与B相似，且反之亦成立．故选(B)．[评注]对于不可以对角化的两矩阵，特征值相同不能推出相似．知识模块：矩阵的特征值与特征向量5．设矩阵，则A与BA．合同，且相似．B．合同，但不相似．C．不合同，但相似．D．既不合同，也不相似．正确答案：B解析：[详解] 由｜λE－A｜＝0得A的特征值为0，3，3，而B的特征值为0，1，1，从而A与B不相似．又r(A)＝r(B)＝2，且A、B有相同的正惯性指数，因此A与B合同．故应选(B)．[评注1] 若A与B相似，则｜A｜＝｜B｜；r(A)＝r(B)；tr(A)＝tr(B)；A与B有相同的特征值．[评注2]若A、B为实对称矩阵，则A与B合同r(A)＝r(B)，且A、B有相同的止惯性指数．[评注3]二次型对数学二来说，2007年是首次要求考查的内容．知识模块：二次型6．设，则在实数域上与A合同的矩阵为A．C．D．正确答案：D解析：[分析]两个实对称矩阵合同的充要条件是其秩相同且有相同的正惯性指数或者说其正、负特征值的个数分别相同．[详解] 记于是A与D为实对称矩阵，且特征多项式相同，故A与D相似，从而A与D合同．[评注](1)若A、B为实对称矩阵，则A与B相似A与B有相同的特征值．(2)若A、B 为实对称矩阵，则A与B相似→与B合同．但反之不一定成立．知识模块：二次型填空题7．设方程有无穷多个解，则a＝_______．正确答案：应填－2．解析：[分析] 先化增广矩阵为阶梯形，再由系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于3求a．[详解] 利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形，有可见，只有当a＝－2时才有，对应方程组有无穷多个解．[评注] 本题也可按下述方式求参数a：当系数矩阵的行列式不为零时，方程组有唯一解，因此满足题设条件的a一定使系数行列式为零，即有解得n＝－2或a＝1．由于答案有两个，此时应将其代回原方程进行检验．显然，当a＝1时，原方程无解，因此只能是a＝－2．知识模块：线性方程组8．矩阵的非零特征值是_______．正确答案：应填4．解析：[分析] 本题属基本题，直接按定义求非零特征值即可．[详解] 因为｜λE－A｜＝＝λ2(λ－4)＝0，所以非零特征值为λ＝4．知识模块：矩阵的特征值与特征向量9．设A为n阶矩阵，｜A｜≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．若A有特征值λ，则(A*)2＋E必有特征值________．正确答案：应填．解析：[分析] 从特征值、特征向量的定义Ax＝λx，x≠0进行推导即可．[详解] 设Ax＝λx，x≠0，则A－1x＝λ－1x→｜A｜A－1x＝，x≠0．即，从而有E(A*)2＋E]x＝，x≠0，可见(A*)2＋E必有特征值．知识模块：矩阵的特征值与特征向量10．设3阶矩阵A的特征值是2，3，λ．若行列式｜2A｜＝－48，则λ＝_______．正确答案：应填－1．解析：[分析] 利用矩阵的行列式的性质和特征值计算对应矩阵的行列式即得．[详解] 因A的特征值的乘积等于｜A｜，又A为3阶矩阵，所以｜2A｜＝23｜A｜＝23×2×3×λ＝－48，故λ＝－1．知识模块：矩阵的特征值与特征向量11．若二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋3x22＋x32＋2x1x2＋2x1x3＋2x2x3，则f的正惯性指数为_______．正确答案：应填2．解析：[分析]正惯性指数就是二次型的标准形中正项的个数，可用特征值或配方法求解。
矩阵论考试题和答案(详细)
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课程编号: A000003 考试日期: 2009 年 1 月 13 日
λ I − A = λ (λ + 1)2
---------------3 ----------------3 -------------6 --------------2 ---------------2
= P −1 AP 满足相容矩阵范数的四个条件。
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三、 （20 分）
（1） A 的满秩分解为 1 0 − 1 0 1 A = 0 1 0 1 0 − 1 0
A + = C T ( CC
T
-----------------5
1 4 0 1 − 4
(tr ( A))2 = (λ1 + L + λn ) 2 ≥ λ12 + L + λn2 = tr ( A2 ) 。 ---------------4
（3）因为 A > 0 ，则 A 可逆，并且 A−1 > 0 。由 I = AA−1 ，可得
n = tr ( I ) = tr ( AA−1 ) = tr ( AH A−1 ) ≤ tr ( AH A)tr ( A− H A−1 ) 2 = tr ( A2 )tr ( A−2 ) 2
由（2）知 tr ( A2 ) ≤ tr ( A), tr ( A−2 ) ≤ tr ( A−1 ) ，因此n ≤ tr ( A)tr ( A−1 ) 。 -则存在与 . 相容的向量范数 . a ，从而
| λ | x a = λ x a = Ax a ≤ A x a , | λ −1 | x a ≤ A−1 x
考研数学历年真题线性代数的考点总结
考研数学历年真题线性代数的考点总结线代部分对很多备考的学子来说，最深刻感觉就是，抽象、概念多、定理多、性质多、关系多。
为大家精心准备了考研数学历年真题线性代数的要点，欢迎大家前来阅读。
?线性代数章节总结第一章行列式本章的考试重点是行列式的计算，考查形式有两种：一是数值型行列式的计算，二是抽象型行列式的计算.另外数值型行列式的计算不会单独的考大题，考选择填空题较多，有时出现在大题当中的一问或者是在大题的处理问题需要计算行列式，题目难度不是很大。
主要方法是利用行列式的性质或者展开定理即可。
而抽象型行列式的计算主要：利用行列式的性质、利用矩阵乘法、利用特征值、直接利用公式、利用单位阵进展变形、利用相似关系。
06、08、10、12年、13年的填空题均是抽象型的行列式计算问题，14年选择考了一个数值型的矩阵行列式，15、16年的数一、三的填空题考查的是一个n行列式的计算，今年数一、数二、数三这块都没有涉及。
第二章矩阵本章的概念和运算较多，而且结论比较多，但是主要以填空题、选择题为主，另外也会结合其他章节的知识点考大题。
本章的重点较多，有矩阵的乘法、矩阵的秩、逆矩阵、伴随矩阵、初等变换以及初等矩阵等。
其中06、09、11、12年均考查的是初等变换与矩阵乘法之间的相互转化，10年考查的是矩阵的秩，08年考的那么是抽象矩阵求逆的问题，这几年考查的形式为小题，而13年的两道大题均考查到了本章的知识点，第一道题目涉及到矩阵的运算，第二道大题那么用到了矩阵的秩的相关性质。
14的第一道大题的第二问延续了13年第一道大题的思路，考查的仍然是矩阵乘法与线性方程组结合的知识，但是除了这些还涉及到了矩阵的分块。
16年只有数二了矩阵等价的判断确定参数。
第三章向量本章是线代里面的重点也是难点，抽象、概念与性质结论比较多。
重要的概念有向量的线性表出、向量组等价、线性相关与线性无关、极大线性无关组等。
复习的时候要注意构造和从不同角度理解。
考研数学二矩阵模拟试卷19_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二（矩阵）模拟试卷19(总分74, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.则A，B的关系为( )．SSS_SINGLE_SELAB＝P1 P2ABB＝P2 P1ACB＝P2 AP1DB＝AP2 P1该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：P1＝E12，P2＝E23(2)，显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将第1及第2列对调，所以B＝AE23 (2)E12＝AP2P1，选D．2.设又，则( )．SSS_SINGLE_SELAB＝P1 AP2BB＝P2 AP1CB＝P2-1 AP1DB＝P1-1 AP2-1该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：显然B＝＝P1 AP2-1，因为P1-1＝P1，所以应选D．3.设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则( )．SSS_SINGLE_SELA 当m＞n时，必有｜AB｜≠0B 当m＞n时，必有｜AB｜＝0C 当n＞m时，必有｜AB｜≠0D 当n＞m时，必有｜AB｜＝0该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：AB为m阶矩阵，因为r(A)≤min{m，n}，r(B)≤min{m，n}，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故当m＞n时，r(AB)≤n ＜m，于是｜AB｜＝0，选B．4.设A，B，A＋B，A -1＋B -1皆为可逆矩阵，则(A -1＋B -1 ) -1等于( )．SSS_SINGLE_SELA A＋BBA -1＋B -1CA(A＋B) -1 BD(A＋B) -1该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：A(A＋B) -1 B(A -1＋B -1 )＝[(A＋B)A -1 ] -1 (BA -1＋E) ＝(BA -1＋＋E) -1 (BA -1＋E)＝E，所以选C．5.设A，B都是n阶可逆矩阵，则( )．SSS_SINGLE_SELA(A＋B) *＝A *＋B *B(AB) *＝B * A *C(A－B) *＝A *－B *D(A＋B) *一定可逆该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：因为(AB) *＝｜AB｜(AB) -1＝｜A｜｜B｜B -1 A -1＝｜B｜B -1 .｜A｜A -1＝B * A *，所以选B．6.设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA) *等于( )．SSS_SINGLE_SELAkA *Bk n A *Ck n-1 A *Dk n(n-1) A *该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：因为(kA) *的每个元素都是kA的代数余子式，而余子式为，n－1阶子式，所以(kA) *＝k n-1 A *，选C．7.设A为n阶矩阵，A 2＝A，则下列成立的是( )．SSS_SINGLE_SELA A＝OB A＝EC 若A不可逆，则A＝OD 若A可逆，则A＝E该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：因为A 2＝A，所以A(E－A)＝O，由矩阵秩的性质得r(A)＋r(E－A)＝n，若A可逆，则r(A)＝n，所以r(E－A)＝0，A＝E，选D．8.设A为m×n阶矩阵，且r(A)＝m＜n，则( )．SSS_SINGLE_SELA A的任意m个列向量都线性无关B A的任意m阶子式都不等于零C 非齐次线仕方程组AX＝b一定有无穷多个解D矩阵A通过初等行变换一定可以化为(EmO)该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：显然由r(A)＝m＜n，得r(A)＝r()＝m＜n，所以方程组AX＝b有无穷多个解．故选C．9.设，若P1m AP2n＝，则m，n可取( )．SSS_SINGLE_SEL A m＝3，n＝2B m＝3，n＝5C m＝2，n＝3D m＝2，n＝2该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：P1m A2n P＝经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，且Eij 2＝E，P1n AP2n＝P1AP2，则m＝3，n＝5，即选B．10.设则B -1为( )．SSS_SINGLE_SEL AA -1 P1 P2BP1 A -1 P2CP1 P2A -1DP2 A -1 P1该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：B＝AE14 E23或B＝AE23E14即B＝AP1P2或B＝AP2P1，所以B -1＝P2-1 P1-1 A -1或 B -1＝P1-1 P2-1 A -1，注意到Eij-1＝Eij，于是B-1＝P2 P1A -1或B -1＝P1P2A -1，选C．11.设P＝，Q为三阶非零矩阵，且PQ＝O，则( )．SSS_SINGLE_SELA 当t＝6时，r(Q)＝1B 当t＝6时，r(Q)＝2C 当t≠6时，r(Q)＝1D 当t≠6时，r(Q)＝2该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：因为Q≠O，所以r(Q)≥1，又由PQ＝O得r(P)＋r(Q)≤3，当t≠6时，r(P)≥2，则r(Q)≤1，于是r(Q)＝1，选C．2. 填空题1.设n阶矩阵A满足A 2＋A＝3E，则(A－3E) -1＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：－(A＋4E)解析：由A 2＋A＝3E，得A 2＋A－3E＝O，(A－3E)(A＋4E)＝－9E， (A－3E)[－(A＋4E)]＝E，则(A－3E) -1＝－(A＋4E)．2.设A＝，则＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：令A＝(α1，α2，α3)，因为｜A｜＝2，所以A * A＝｜A｜E＝2E，而A * A＝(A *α1，A *α2，A *α3)，3.设n维列向量α＝(a，0，…，0，a) T，其中a＜0，又A＝E－αα T，B＝E＋αα T，且B为A的逆矩阵，则a＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：－1解析：由AB＝(E－αα T )(E＋αα T )＝E＋αα T－αα T－2aαα T＝E且αα T≠O，得－1－2a＝0，解得a＝－1．4.设三阶矩阵A，B满足关系A -1 BA＝6A＋BA，且A＝，则B＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：由A -1 BA ＝6A ＋BA ，得A -1 B ＝6E ＋B ，于是(A -1 －E)B ＝6E ， B ＝6(A-1－E) -1 ＝5.设A 是4×3阶矩阵且r(A)－2，B ＝，则r(AB)＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：2解析：因为｜B ｜＝10≠0，所以r(AB)＝r(A)＝2． 6. 设A ＝，B 为三阶非零矩阵，且AB ＝O ，则r(A)＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：2解析：因为AB ＝O ，所以r(A)＋r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A 有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)＝2． 7.，则P 1 2009 P 2 -1 ＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：解析：P 1 ＝ ＝E 23 ，因为E ij -1 ＝E ij ，所以E ij 2 ＝E ，于是8.设A ，B 都是三阶矩阵，A ＝ ，且满足(A * ) -1 B ＝ABA ＋2A 2 ，则B ＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：解析：｜A ｜＝－3，A * ＝｜A ｜A -1 ＝－3A -1 ，则(A * ) -1 B ＝ABA ＋2A 2 化为－AB ＝ABA ＋2A 2 ，注意到A 可逆，得－B ＝BA ＋2A 或－B ＝3BA ＋6A ，则B ＝－6A(E ＋3A) -1 ，9.设矩阵A ，B 满足A * BA ＝2BA －8E ，且A ＝，则B ＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х 该问题分值: 2答案:正确答案：解析：由A * BA ＝2BA －8E ，得AA * BA －2ABA －8A ，即＝2BA －2ABA －8A ， 于是－2B ＝2AB －8E ，(A ＋E)B ＝4E ， 所以B ＝4(A ＋E) -1 ＝10.＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：解析： 因为E ij -1 ＝E ij ，所以E ij 2 ＝E ，于是11. 设A ＝，B 为三阶矩阵，r(B * )＝1且AB ＝O ，则t ＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：6解析：因为r(B * )＝1，所以r(B)＝2，又因为AB ＝O ，所以r(A)＋r(B)≤3，从而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)＝1，于是t ＝6． 12. 设A ＝，B≠O 为三阶矩阵，且BA ＝O ，则r(B)＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：13. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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D.
【解析】答案：B 【选择】 【201610】 【2 分】3.设 n 阶矩阵 A,B,C 满足 ABC=E,则 -1 -1 -1 A.A =B C B.A-1= C-1B-1 C.B-1=CA D.B-1=AC 【解析】答案：C 【填空】 【201610】 【2 分】
【解析】答案：-1 【填空】 【201610】 【2 分】
【解析】解：C2=ATBATB= AT(BAT)B=ATEB= ATB
2 1 1 C =A B= 0 0 0 2 1 1
2 T
【填空】 【201610】 【2 分】
0 1 0 1 4 3 -1 -1 【解析】解析：P= ,求得：P = ，则 P AP= 。 1 0 1 0 2 1
1 0 0 1 0 0 P 0 1 0 ， Q= 0 0 1 2 0 1 0 1 0
使得 PA=B,BQ=E,即 PAQ=E
1 0 0 1 0 0 1 0 0 所以 A=P-1EQ-1=P-1Q-1= 0 1 0 0 0 1 = 0 0 1 -2 0 1 0 1 0 -2 1 0
足等式 AX B X ，求 X .
【解析】
（提示：另一种简便解法为：此题(A-E）X=B 的形式；构造分块矩阵（ A-E,B ） 分 块 矩 阵 进 行 初 等 行 变 换 后 变 为 （ E , X ） 即 可 求 出
3 2 1 1 0 0 1 0 0 3 2 1 3 2 1 ， A E,B 2 1 0 2 1 0 0 1 0 4 3 2 故 X= -4 -3 -2 ） 1 0 0 3 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
必有 A. s t B. s t C.秩 (a1 , a2 ,, as ) 秩 ( 1 , 2 , , t ) D.秩 (a1 , a2 ,, as ) 秩 ( 1 , 2 , , t )
【解析】答案：C； 解析： 根据矩阵秩的性质： AX=B， 则r （AX） ≤ min r(A),（ r X） 所以 r（B）≤r（ A） 根据这条信息可以判定向量组秩 (a1 , a2 ,, as ) 秩 ( 1 , 2 , , t ) 。
A (a1 , a2 , a3 ) ，若矩阵 B (a1 a2 ,2a2 , a3 ) ，则 B
A.0 B. a
C. 2a D. 3a
【解析】答案：C 【选择】 【201604】 【2 分】4.若向量 a1 , a2 ,, as 可由向量组 1 , 2 , , t 线性表出，则
1 【填空】 【201410】 【2 分】8.设 A 为 3 阶矩阵， A ,则行列式 (2 A) 1 = 2
【解析】 (2 A) 1 =-1/4
1 2 1 0 【填空】 【201410】 【2 分】9.设矩阵 B 3 4 ,P 0 2 ,若矩阵 A 满足 PA B ,则
. . .
【计算】 【 201604 】 【 9 分 】 1 7. 设 矩 阵 A, B, C 满 足 关 系 式
1 0 0 1 0 0 B 0 0 0 ， C 2 1 0 ，求矩阵 A 与 A3 . 0 0 1 2 1 1
A=
1 【解析】 3 2
2 2
a3 2 a 【计算】 【201410】 【9 分】17.已知矩阵 A a 1 【解析】解：
a2 a 1 0
a 1 1 0 1 ，求 A 。 0 0 0 0
故：
（提示：构造分块矩阵（A,E）,对分块矩阵进行初等行变换，得（ E,A-1）;原理公式为： P(A,E)=(PA,PE)=(E,A-1)）
【选择】 【201604】 【2 分】2.设 A 为 n 阶矩阵，如果 A
1 E ，则 A 2
1 2n 1 B. n 1 2 1 C. 2
A. D.2
【解析】答案：A 【选择】 【 201604 】 【 2 分】 3. 设 A 为 3 阶矩阵，且 A a 0 ，将 A 按列分 块 为
1 r s 【计算】 【201510】 【9 分】 18.已知矩阵 A, B 满足关系式 B E A ， 其中 B 0 1 t ， 0 0 1
计算 （1） E A A2 与 A3 ； （2） B( E A A2 ) .
【解析】
1 0 x 2 0 2 B 【选择】 【201504】 【2 分】2.若 A ， 2 1 1 4 2 y ，且 2 A B ，则
1 得到单位矩阵 E ， 2
1 2
1 2
D.2
【解析】答案：A；A 的第三行乘以-1/2 后求其行列式为 1，所以-1/2*|A|=1, |A|=-2。
0 1 * 【填空】 【201410】 【2 分】7.设矩阵 A 2 0 ,则 A =
0 -1 【解析】答案：A*= -2 0
1 1 1 2 T 【填空】 【201604】 【2 分】 8.设矩阵 A ， 则 AB B 1 1 1 2 ， -1 -1 【解析】 1 1 2 1 1 【填空】 【201604】 【2 分】9.设矩阵 A 1 1 ，则 ( A E ) 1 1 0 1 1 【解析】 A-E ，( A E ) 1 0 1 1 0 2 * 【填空】 【201604】 【2 分】10. 设矩阵 A 3 0 ，则 A 0 2 【解析】 A* 3 0
0 0 1 0 0 1 A* 1 -1 所以 A 0 1 2 , A 1 0, 所以 A 存在且 A = 0 1 -2 。 A 1 2 1 1 -2 1
*
【计算】 【201610】 【9 分】 18.设 A 为三阶矩阵，将 A 第一行的 2 倍加到第 3 行得到矩阵 B，再将 B 第 2 列 与第 3 列互换得到单位矩阵 E，求矩阵 A. 【解析】 ：由题设可知，存在初等矩阵
1 0 1 1 1 【填空】 【201504】 【2 分】8.己知 A 2 1 ，B 1 1 2 ，若矩阵 X 满足 AX B ，
则X .
1 1 3 【解析】X=A-1B= 1 3 0
【计算】 【201504】 【9 分】17.设 2 阶矩阵 A 的行列式 A
| 2 A | 2 A
1
23 | A |
1 1 A 23 | A | A1 4 A* 2
0 2 -1 【选择】 【201510】 【2 分】2.设 A* 2 0
0 1 / 2 B. 0 1 / 3 1 / 2 0 C. 1 / 3 0 0 1 / 3 D. 0 1 / 2
AC CB ， 其 中
【解析】
（提示：A3=CB（C-1C）B（C-1C）BC-1=CBEBEBC-1=CB3C-1；计算的 B3=B） 【计算】 【201604】 【9 分】18.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 1 列与第 2 列互换得到矩阵
B ，再将 B 的第 2 列加到第 3 列得到单位矩阵 E ，求矩阵 A . 【解析】
1 1 1 【计算】 【201410】 【9 分】18.设矩阵 A 1 1 0 ,且矩阵 X 满足 AX E A3 X , 0 1 1
X AX B ，求 X . 【解析】
【证明】 【201504】 【7 分】23.设 A ， B 均为 n 阶矩阵，且 A B E, B 2 B ，证明 A
可逆.
【解析】
【单选】 【201410】 【2 分】2.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 3 行乘以
则 A =【 】 A. 2 B. C.
(提示：将 A 的第 1 列与第 2 列互换得到矩阵 B 即 AP1=B,BP2=E.)
【证明】 【201604】 【7 分】23.设 A 为 3 阶可逆矩阵，证明 (2 A)* 4 A* .
证：由于A为3阶可逆矩阵，故 2A也为3阶可逆矩阵 又A* | A | A1 , 从而
2 A
*
AP B ，则 A
.
1 1 【解析】 AP B, A BP 1 3 2
4 2 1 1 0 0 【计算】 【201510】 【9 分】17.已知矩阵 A 2 2 0 ， B 2 1 0 ，若矩阵 X 满 1 0 1 3 2 1
第二章 矩阵
框架图
【历年真题】
【选择】 【201610】 【2 分】
A.
1 / 2 0 1 / 3 0 0 1 / 3 0 1 / 2 1 / 3 0 1 / 2 0 0 1 / 2 0 1 / 3
B.
C.
【计算】 【201610】 【9 分】
A11 【解析】 A A12 A13
*
A21 A22 A23
A31 A32 ;A11=0, A12=0, A13=-1, A21=0, A22=-1, A23=-2, A31= A33
-1, A32=2, A33=-1.
A. x 1, y 2 B. x 2, y 1 C. x 1, y 1 D. x 2, y 2
【解析】答案：A
2 1 * 【填空】 【201504】 【2 分】7.设 A 3 5 ，则 A
.
5 -1 【解析】答案：更具伴随矩阵定义求取 A*= -3 2