第二章-矩阵(历年真题+答案)

的值.
1 ，求行列式 (2 A) 1 2 A* 2
【解析】
0 1 0 1 1 【计算】 【201504】 【9 分】18.设矩阵 A 1 1 1 ， B 2 0 ，矩阵 X 满足 1 0 1 5 3
1 得到单位矩阵 E ， 2
1 2
1 2
D.2
【解析】答案：A；A 的第三行乘以-1/2 后求其行列式为 1，所以-1/2*|A|=1, |A|=-2。
0 1 * 【填空】 【201410】 【2 分】7.设矩阵 A 2 0 ,则 A =
0 -1 【解析】答案：A*= -2 0
AP B ，则 A
.
1 1 【解析】 AP B, A BP 1 3 2
4 2 1 1 0 0 【计算】 【201510】 【9 分】17.已知矩阵 A 2 2 0 ， B 2 1 0 ，若矩阵 X 满 1 0 1 3 2 1
1 0 1 1 1 【填空】 【201504】 【2 分】8.己知 A 2 1 ，B 1 1 2 ，若矩阵 X 满足 AX B ，
则X .
1 1 3 【解析】X=A-1B= 1 3 0
【计算】 【201504】 【9 分】17.设 2 阶矩阵 A 的行列式 A
X AX B ，求 X . 【解析】
【证明】 【201504】 【7 分】23.设 A ， B 均为 n 阶矩阵，且 A B E, B 2 B ，证明 A
可逆.
【解析】
【单选】 【201410】 【2 分】2.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 3 行乘以
则 A =【 】 A. 2 B. C.
D.
【解析】答案：B 【选择】 【201610】 【2 分】3.设 n 阶矩阵 A,B,C 满足 ABC=E,则 -1 -1 -1 A.A =B C B.A-1= C-1B-1 C.B-1=CA D.B-1=AC 【解析】答案：C 【填空】 【201610】 【2 分】
【解析】答案：-1 【填空】 【201610】 【2 分】
【解析】解：C2=ATBATB= AT(BAT)B=ATEB= ATB
2 1 1 C =A B= 0 0 0 2 1 1
2 T
【填空】 【201610】 【2 分】
0wk.baidu.com1 0 1 4 3 -1 -1 【解析】解析：P= ,求得：P = ，则 P AP= 。 1 0 1 0 2 1
【计算】 【201610】 【9 分】
A11 【解析】 A A12 A13
*
A21 A22 A23
A31 A32 ;A11=0, A12=0, A13=-1, A21=0, A22=-1, A23=-2, A31= A33
-1, A32=2, A33=-1.
1 r s 【计算】 【201510】 【9 分】 18.已知矩阵 A, B 满足关系式 B E A ， 其中 B 0 1 t ， 0 0 1
计算 （1） E A A2 与 A3 ； （2） B( E A A2 ) .
【解析】
1 0 x 2 0 2 B 【选择】 【201504】 【2 分】2.若 A ， 2 1 1 4 2 y ，且 2 A B ，则
第二章 矩阵
框架图
【历年真题】
【选择】 【201610】 【2 分】
A.
1 / 2 0 1 / 3 0 0 1 / 3 0 1 / 2 1 / 3 0 1 / 2 0 0 1 / 2 0 1 / 3
B.
C.
1 1 1 2 T 【填空】 【201604】 【2 分】 8.设矩阵 A ， 则 AB B 1 1 1 2 ， -1 -1 【解析】 1 1 2 1 1 【填空】 【201604】 【2 分】9.设矩阵 A 1 1 ，则 ( A E ) 1 1 0 1 1 【解析】 A-E ，( A E ) 1 0 1 1 0 2 * 【填空】 【201604】 【2 分】10. 设矩阵 A 3 0 ，则 A 0 2 【解析】 A* 3 0
1 1 1 【计算】 【201410】 【9 分】18.设矩阵 A 1 1 0 ,且矩阵 X 满足 AX E A3 X , 0 1 1
足等式 AX B X ，求 X .
【解析】
（提示：另一种简便解法为：此题(A-E）X=B 的形式；构造分块矩阵（ A-E,B ） 分 块 矩 阵 进 行 初 等 行 变 换 后 变 为 （ E , X ） 即 可 求 出
3 2 1 1 0 0 1 0 0 3 2 1 3 2 1 ， A E,B 2 1 0 2 1 0 0 1 0 4 3 2 故 X= -4 -3 -2 ） 1 0 0 3 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
【解析】答案 A； A* A
( 2 1 )
6, A1
1 * 1 0 2 0 1 / 2 A 0 A 6 3 0 1 / 3
.
0 1 2 【填空】 【201510】 【2 分】7.已知矩阵 A 1 0 ，则 A 2 A E 1 1 1 1 2 2 【解析】 A2 2 A E (A E)2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 0 【填空】 【201510】 【2 分】8.设矩阵 B 3 4 ，P 0 2 ，若矩阵 A 满足
必有 A. s t B. s t C.秩 (a1 , a2 ,, as ) 秩 ( 1 , 2 , , t ) D.秩 (a1 , a2 ,, as ) 秩 ( 1 , 2 , , t )
【解析】答案：C； 解析： 根据矩阵秩的性质： AX=B， 则r （AX） ≤ min r(A),（ r X） 所以 r（B）≤r（ A） 根据这条信息可以判定向量组秩 (a1 , a2 ,, as ) 秩 ( 1 , 2 , , t ) 。
A. x 1, y 2 B. x 2, y 1 C. x 1, y 1 D. x 2, y 2
【解析】答案：A
2 1 * 【填空】 【201504】 【2 分】7.设 A 3 5 ，则 A
.
5 -1 【解析】答案：更具伴随矩阵定义求取 A*= -3 2
(提示：将 A 的第 1 列与第 2 列互换得到矩阵 B 即 AP1=B,BP2=E.)
【证明】 【201604】 【7 分】23.设 A 为 3 阶可逆矩阵，证明 (2 A)* 4 A* .
证：由于A为3阶可逆矩阵，故 2A也为3阶可逆矩阵 又A* | A | A1 , 从而
2 A
*
. . .
【计算】 【 201604 】 【 9 分 】 1 7. 设 矩 阵 A, B, C 满 足 关 系 式
1 0 0 1 0 0 B 0 0 0 ， C 2 1 0 ，求矩阵 A 与 A3 . 0 0 1 2 1 1
A=
1 【解析】 3 2
2 2
a3 2 a 【计算】 【201410】 【9 分】17.已知矩阵 A a 1 【解析】解：
a2 a 1 0
a 1 1 0 1 ，求 A 。 0 0 0 0
故：
（提示：构造分块矩阵（A,E）,对分块矩阵进行初等行变换，得（ E,A-1）;原理公式为： P(A,E)=(PA,PE)=(E,A-1)）
0 0 1 0 0 1 A* 1 -1 所以 A 0 1 2 , A 1 0, 所以 A 存在且 A = 0 1 -2 。 A 1 2 1 1 -2 1
*
【计算】 【201610】 【9 分】 18.设 A 为三阶矩阵，将 A 第一行的 2 倍加到第 3 行得到矩阵 B，再将 B 第 2 列 与第 3 列互换得到单位矩阵 E，求矩阵 A. 【解析】 ：由题设可知，存在初等矩阵
1 0 0 1 0 0 P 0 1 0 ， Q= 0 0 1 2 0 1 0 1 0
使得 PA=B,BQ=E,即 PAQ=E
1 0 0 1 0 0 1 0 0 所以 A=P-1EQ-1=P-1Q-1= 0 1 0 0 0 1 = 0 0 1 -2 0 1 0 1 0 -2 1 0
1 【填空】 【201410】 【2 分】8.设 A 为 3 阶矩阵， A ,则行列式 (2 A) 1 = 2
【解析】 (2 A) 1 =-1/4
1 2 1 0 【填空】 【201410】 【2 分】9.设矩阵 B 3 4 ,P 0 2 ,若矩阵 A 满足 PA B ,则
AC CB ， 其 中
【解析】
（提示：A3=CB（C-1C）B（C-1C）BC-1=CBEBEBC-1=CB3C-1；计算的 B3=B） 【计算】 【201604】 【9 分】18.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 1 列与第 2 列互换得到矩阵
B ，再将 B 的第 2 列加到第 3 列得到单位矩阵 E ，求矩阵 A . 【解析】
| 2 A | 2 A
1
23 | A |
1 1 A 23 | A | A1 4 A* 2
0 2 -1 【选择】 【201510】 【2 分】2.设 A* ，则 A = 3 0 1 / 3 0 A. 1 / 2 0
0 1 / 2 B. 0 1 / 3 1 / 2 0 C. 1 / 3 0 0 1 / 3 D. 0 1 / 2
【选择】 【201604】 【2 分】2.设 A 为 n 阶矩阵，如果 A
1 E ，则 A 2
1 2n 1 B. n 1 2 1 C. 2
A. D.2
【解析】答案：A 【选择】 【 201604 】 【 2 分】 3. 设 A 为 3 阶矩阵，且 A a 0 ，将 A 按列分 块 为
A (a1 , a2 , a3 ) ，若矩阵 B (a1 a2 ,2a2 , a3 ) ，则 B
A.0 B. a
C. 2a D. 3a
【解析】答案：C 【选择】 【201604】 【2 分】4.若向量 a1 , a2 ,, as 可由向量组 1 , 2 , , t 线性表出，则