n阶行列式的计算方法

n 阶行列式的计算方法1．利用对角线法则 “对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含 2 项，三阶行列式每项含 3 项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。

例 1 计算二阶行列式 D = 1 3 。

2 4解： D = 1 3 = 1⋅ 4 − 3 ⋅ 2 = −22 4例 2 计算三阶行列式 D = 1 2 04 − 3 8 。

0 −1 2解：D =1 2 04 − 3 8 = 1⋅ (−3) ⋅ 2 + 2 ⋅ 8 ⋅ 0 + 0 ⋅ 4 ⋅ (−1) − 0 ⋅ (−3) ⋅ 0 − 2 ⋅ 4 ⋅ 2 −1⋅ 8 ⋅ (−1)0 −1 2= −142．利用 n 阶行列式的定义a 11a 12⋯ a 1 nn 阶行列式 D =a21a22 ⋯ a 2 n =∑(−1) τ a 1 p 1 a 2 p 2 ⋯ a np n⋮⋮ ⋮ ( p 1 p 2 ⋯ p n )an 1a n 2 ⋯a nn其中 τ = τ( p 1 p 2 ⋯ p n ) ， 求和式中共有 n ! 项。

显然有a11a12⋯ a 1 n上三角形行列式 D =a 22 ⋯a2 n= a 11a 22⋯ann⋱⋮anna11下三角形行列式 D =a21a22⋱ = a 11a 22⋯ann⋮ ⋮a n 1 a n 2⋯annλ1对角阵 D =λ2 = λ1 λ2 ⋯ λn⋱λn另外 D =λ2λ1 n ( n −1)= (−1)2 λ1 λ2 ⋯ λn⋰λn例 3 计算行列式⋯ 0 1 00 ⋯ 2 0 0D n = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮n −1 ⋯ 0 0 0⋯ 0 0 n解D n 中不为零的项用一般形式表示为a1 n −1a2 n − 2⋯an −11a nn=n !.该项列标排列的逆序数 t （ n －1 n －2…1 n ）等于 ( n−1)( n − 2)，故2D n = ( −1) ( n −1)( n −2)n !.23．利用行列式的性质计算性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即 D = D T 。

注 由性质 1 知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有。

性质 2 交换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零。

性质 3 用数 k 乘行列式的某一行(列), 等于用数 k 乘此行列式, 即a 11 a 12 ⋯a 1na 11a 12 ⋯a1 n⋯ ⋯ ⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯D 1 = ka i 1 ka i 2 ⋯ ka in = k a i 1ai 2 ⋯ a in = kD 。

⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a nn a n 1 a n 2 ⋯ a nn第 i 行(列)乘以 k ，记为 r i ⋅ k (或 c i ⋅ k )。

推论 1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

推论 2 行列式中若有两行（列）元素成比例,则此行列式为零。

性质 4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，a11a12⋯ a1 n⋯ ⋯ ⋯⋯D = b i 1 + c i 1b i 2+ci 2⋯b in+cin。

⋯⋯ ⋯ ⋯an 1a n 2 ⋯ ann则a11a12⋯ a 1 na11a12⋯ a 1 n⋯⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯D =bi 1b i 2⋯ b in + ci 1 ci 2⋯ c in = D 1 + D 2 。

⋯⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a nn a n 1a n 2 ⋯ a nn性质 5 将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数 k 后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式不变。

x a ⋯例 4 计算 D n =a x ⋯⋮ ⋮a a ⋯r +( r +⋯+ r ) 1 2 n解 D n = [ x + ( n −1) a ]aa ⋮ 。

x11 ⋯ 1 ax ⋯ a⋮ ⋮ ⋮ aa ⋯ x1 1 ⋯ 1= [ x + ( n −1) a ] 0x − a ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 00 ⋯ x − a= [ x + ( n −1) a ]( x − a ) n −1例 5一个 n 阶行列式 D n = a ij 的元素满足a ij = − a ji , i , j = 1, 2, ⋯, n ,则称 D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由 a ij = − a ji 知 a ii = − a ii ，即a ii = 0, i = 1, 2, ⋯, n故行列式 D n 可表示为a 12 a13 ⋯ a 1 n− a 12 0a 23 ⋯ a 2 n D n = − a 13 − a23 0⋯a 3 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯− a 1 n − a 2 n − a 3 n⋯ 0由行列式的性质 D = D T0 − a 12 − a 13 ⋯ − a 1 na 12 0 − a23 ⋯ − a 2 nD n = a 13a23 0 ⋯ − a 3 n⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯a 1 na2 n a3 n⋯00 a12 a13 ⋯a1 n− a 12 0a 23 ⋯ a 2 n = ( −1) n − a 13 − a 23 0 ⋯ a 3 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯− a 1 n − a 2 n − a 3 n ⋯ 0= ( −1) n D n当 n 为奇数时，得 D n = − D n ，因而得 D n = 0 。

4．利用行列式按行（列）展开a i 1A j 1+ a i 2A j 2+⋯ + a inAjnD i = jj = 1,2,⋯, n )= i ≠ ( i , 0 j1 − 5 3 − 3 例 6 计算 D = 20 1 −1 。

3 1 −1 241 3 −116 0− 2716− 2 72 0 1 −1解 D == (−1)3+2 21 −13 1 −1 214 − 31 0 4 − 320 0 5= (−1)(−1)2+220 5= (−1) 2 1 −1 = −55− 7 0 1 − 7 15．利用化上三角形法若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

一般的数字元素的行列式化为上三角形行列式的步骤：（1）观察元素a11，若不为1通过变换化为1；（这可以通过对调两行或两列实现，有时也可以把第一行或第一列乘1来实现，但要避免元素变为分数，否则将给后面的计算增加a11困难。

）（2）对第一行分别乘−a21,−a31,⋯,−a n1加到第2,3,⋯n行对应元素上去；（目的：第一列a11以下的元素全部化为零）（3）用类似的方法把主对角线元素a21,a31,⋯,a n1以下的元素全部化为零。

这样行列式就化为上三角形行列式了，在上述变换过程中，主对角线元素a ii, ( i = 1,2,⋯ n)不能为零，若出现零，可通过行（列）对调使得主对角线上元素不为零。

1 − 5 3 − 3例 7 计算D= 2 0 1 −1 。

3 1 −1 24 1 3 −11 − 5 3 − 3 1 − 5 3 − 3 1 − 5 3 − 3解 D = 0 10 − 5 5= 50 2 −1 1= (−5)0 1 1 1 0 16 −10 11 0 0 − 2 3 0 0 − 2 30 21 − 9 11 0 1 1 1 0 2 −1 11 − 5 3 − 3 1 − 5 3 − 30 1 1 1= (−5) 0 1 1 1= (−5) =−550 0 − 2 30 − 2 3110 0 − 3 −1 0 0 0 −26．利用递推公式递推公式法：对n阶行列式D n找出D n与D n−1或D n与D n−1,D n−2之间的一种关系——称为递推公式（其中D n,D n−1,D n−2等结构相同），再由递推公式求出D n的方法称为递推公式法。

例 8证明。