求两线圈的互感系数

Wm V wmdV
R
0
1
2
Ir
2R
2
2
2rldr
I 2l 16
考虑，怎样计算下 图的互感系数？
当导线放在矩形导线框中 部，互感系数为多大。
2 自感
一个线圈的电流发生变化时，通过线圈自身的全磁
通也会发生变化，线圈内产生的感生电动势称为自
感电动势。 若周围无铁磁质，就有
L
LI
L
I
i1
L:线圈的自感系数，简称自感。
它取决于线圈的形状、大小、匝数以及 周围磁介质的情况，与电流 i 无关。
自感为 L 的线圈，电流为 I 时的磁能多大？
磁能=拉闸后电流消失过程中自感电动势作的功。
设拉闸后，dt 内通过灯泡的电流为 i (可看作常 量)，则 dt 内自感电动势作的功为
d A Li dt
L di i dt Lidi dt
自感电动势作的总功为
A d A 0 Li d i 1 LI2
解： 做半径为r的同心闭合回路，根据安培环路定理
B dl B 2r 0 I
解得
B 0NI 2r
(R1 r R2 )
磁链
m N
R2 0 NI hdr R1 2r
0N 2Ih ln R2
2
R1
解得 L 0N 2h ln R2
2
R1
r
o r dr
3 磁场的能量
I I L
实验中开关拉开后，灯泡 还会闪亮一下。说明：通 电线圈中储藏着能量。
解：(1) 设b线圈通有电流Ib，则圆心处
B Nb0Ib
2Rb
因为a线圈相对b线圈面积很小
ab
Na BSa
Leabharlann Baidu
Na Nb0Ib
2Rb
Sa
a
M ab Na NbSa0 6.28 10 6 (H )
b
Ib
2Rb
（2）
a
d ab
dt
NaNb0Sa
2Rb
dIb dt
3.14 10 4 (V )
M 称为两线圈的互感（系数）
它取决于两线圈的形状、大小、匝数、相对位置 以及周围磁介质的分布情况，它与电流 I1无关。
若线圈 2中的电流 I2 随时间 t 变化，
在线圈1中产生的互感电动势为 1。
12 M ' I2
理论和实验都可以证明, M M'
互感的单位(SI制): 亨利(H)
1
M 21 12
I
2
它也就是自感为L的线圈,电流为 I 时的磁能:
Wm
1 2
LI 2
如果我们知道了磁能，也可以求自感
L
2Wm I2
对一个长直螺线管来说
Wm
1 2
LI
2
1 2
n2VI 2
B2
2
V
长直螺线管的磁场是在螺线管内，而且是均匀的， 所以单位体积的磁场能量（磁场能量密度）为
wm
B2
2
（有普遍性）
因此，任意磁场的能量计算公式为
例2 由两共轴的长圆筒组成的传输线，内外圆筒
半径分别为Rl和R2，求长为h 的一段的自感系数.
解： R1 r R2时
B 0I 2r
长为h 的一段的磁通量为
m
R2 Bhdr 0Ih ln R2
R1
2 R1
r
L m 0h ln R2 I 2 R1
例3 矩形截面螺绕环，N、D1、D2、h、I 已知，求螺绕环的自感系数。
自感系数也可以写为 L L
dI / dt
自感一般由实验测定，简单情况可以计算。
计算思路: 设i B L
例1. 已知:长直螺线管的 l、 S、 n、..
求：自感 L.
n
【解】 设电流 i
B=ni
S
i
l
=N =NBS =N n i S (l / l)
= n2i Sl
L= /i = n2V (与电流 i 无关)
i1
I1 I2
M 21 12
d I1 /d t d I2 /d t
2
21
例1 长为 l、横截面积为 S 的长直螺线管，插有磁 导率为 的磁介质，绕有N1匝线圈，在螺线管中
部再绕上N2匝线圈，求两线圈的互感系数。
解： 设线圈 1 中的电流为 i1
21 N2B1S
N
2
N1 l
I1
S
l
S
M
2
i1
N1N2
S l
n1 n2
为什么不假设线圈 2 中的电流为 i2 ？
例2 一圆形线圈a由50匝细线绕成，截面积为4cm2，放
在另一个匝数等于100匝，半径为20cm的圆形线圈b的
中心，两线圈同轴共面，求：1)两线圈的互感系数；2)
当线圈b中的电流以50A/s的变化率减少时，线圈a中的
感生电动势。
B2
Wm wm dV 2 dV
（对整个磁场空间积分）
例 计算半径为 R、长为 l、通有电流 I 、磁导率
为 的均匀载流圆柱导体内磁场能量。
解：导体内沿磁力线作半径为 r 的环路
H
dr
I
I
H
2r
r2 R2
I
H
Ir
2R
2
B
H
Ir 2R 2
将圆柱导体分割为无限多长
r
为 l 、厚度为dr 的同轴圆柱面
10.4 互感和自感
1 互感
一个回路中的电流变化时，它附近的另一 回路中产生的感生电动势称为互感电动势。
线圈1、2固定不动。假设线圈1 中的电流 I1 随
时间 t 变化，在线圈2中产生的互感电动势为 2。
若周围无铁磁质, 则由毕 -萨定律可知:
1
i1
2
21
电流 I1 的磁场B正比于 I1,
21 MI1