血液分析采样

辽宁工程技术大学

数学实验课程成绩评定表

数学建模

血样的分组检验

摘要

本文主要为了解决减少血样检验次数这个实际问题,为了在人群中(数量很大, 基本上是健人)找出某种病毒的感染者,为减少检验次数(目的是降低费用) ,通常采用筛选的办法：即假设人群总数为n, 将人群分成m组,每组的人数为k,将每组的k份血样混在一起进行化验, 若化验结果呈阳性,则需要对该组的每个人重新进行化验, 以确定谁是病毒感染者;若化验结果呈阴性, 则表明该组全体成员均为阴性,不需要重新化验。通过把人群分为若干组,每组若干人,易得到混合血样检验次数,阳性组的概率,进而引入阳性组数的平均值,从而得到平均总检验数,最后通过一个人的平均检验次数的一元函数,把问题归结为一个关于每组人数k的一元函数E(k),求解得E(k)=kp+1/k;通过计算,当p>0.307时不应分组;将第1次检验的每个阳性组再次分m组,通过建立一个关于k,m的二元函数E(k,m),通过求导得稳定点函数,解方程组得:k=1/m=p -1/2 。

关键词

先验概率平均总检验次数血样的阴阳性组的基数

丁志强 崔志远 王宏伟 ： 血样的分组检验

1. 问题的提出

血样的分组检验

在人群（数量很大）中进行血样检验，设已知先验阳性率为 p , 为减少检验次数将人群分组。

若 k 人一组，当 k 份血样混在一起时，只要一份呈阳性，这组血样就呈阳性，则该组需人人检验；若一组血样呈阴性，则该组不需检验。

1.1 当 p 固定时(0.1%, 1%, …)，k 多大可使检验次数最小

1.2 p 多大就不应再分组

1.3 讨论两次分组的情况，即阳性组再分组检验。

1.4 讨论其它分组方案，如半分法、三分法。

2. 基本假设

2.1血样检查到为阳性的则患有某种疾病,血样呈阴性时的情况为正常

2.2血样检验时仅会出现阴性,阳性两种情况,除此之外无其它情况出现,检验血样的药剂 灵敏

2.3度很高,不会因为血样组数的增大而受影响.

2.4阳性血样与阳性血样混合也为阳性

2.5阳性血样与阴性血样混合也为阳性

2.6阴性血样与阴性血样混合为阴性

3. 符号说明

变量：

N ：检验人群总数

P ：阳性的先验概率

K:每组的人数

q:阴性先验概率q=1-p

L:为一次分组没人的化验次数的最小值

X:一次分组每人的化验次数

M:组数

E(x):X 的数学期望，即均值

血样检验为阳性(患有某种疾病)的人数为:z=np

发生概率:Pi,i=1,2,.....,x 检查次数:Ri,i=1,2,......x 平均总检验次数:N=∑=x

i RiPi 1

4. 问题的分析

根据题意,由已知的先验概率是一个很小的数值,我们大可不必要一个一个地检验,为减少检验次数,我们通过一次分组,从而可使检验次数大大减少;然而通过再一次分组,可使结果进一步优化,从而达到一个更佳的结果.由基本假设有p + q = 1,且被测人群全体n 为定

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值,所以为使验血次数最少只需使平均每人的验血次数最少即可1对每一分组的检测结果只有两种结果,若血样为阴性则只需验这一次, 概率为qk , 否则需验k＋1次,概率为1 - qk 1人群全体n中每人的平均需验次数为X 的均值, 需要考虑的问题是: ①在0 < q < 1的范围内含参数q的函数是否存在极值点; ②q在什么范围内才能使分组验血实际有效。

5．模型建立与求解

设总人数为n,已知每人血样阳性的先验概率为p,记血样阴性的概率q=1-p

模型一：

设分x组,每组k人(n很大,x能整除n,k=n/x),混合血样检验x次.阳性组

的概率为P1=1-qk，分组时是随机的,而且每个组的血样为阳性的机率是均等

的,阳性组数的平均值为xp1,这些组的成员需逐一检验,平均次数为kxp1,所

以平均检验次数N=x+kxp1,一个人的平均检验次数为N/n。记作:E(k)=1/k+1-qk=1/k+1-(1-p)k

5.1问题是给定p求k使E(k)最小.

p很小时利用可得(1-p)k=1-kp得E（k）=1/k+kp

5.2 显然k=p-1/2时E(k)最小.因为K需为整数,所以应取k={p-1/2}和k=(p-1/2)+1,比较E(K)，

得到K的最优值,见表1.

表 1-1

表1-1 一次分组检验结果图一当p=0.01%时,可用MATLAB模拟出E(k)=1/k+0.0001×

k的图。

像如图1-1,曲线是关于k的图像。

丁志强崔志远王宏伟：血样的分组检验

图形1-1

5.3如图1-2是关于p和k的关系图（p=0.01%）

同上法,当p=0.1%时,可用MATLAB模拟出E(K)=1/K=0.001×K的图像如图1-2。

图形1-2

曲线是关于k的图像.其它情况我们一样可用其所长Maple模拟出类似的图

此图是p=0.1时k关于p的图像

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模型二

随着p 的增加k 减小,E(k)变大.只要E(k)>1时，就不应分组,即当E(K)>1时，不应分组，

即：111kpk

用数学软件求解得检查k=2,3,可知当p>0.307不应分组.

模型三

将第1次检验的每个阳性组再分y 小组,每小组m 人(y 整除k, m y

k = ). 因为第1次阳性组的 平均值为1xp,所以第2次需分小组平均检验1yxp 次,

而阳性小组的概率为2p=1-qm(为计算2p2简单起见,将第1次所有阳性组合在一起分小组),阳性小组总数的平均值为12,这些小组需每人检验,平均检验次数为12,所以平均总检验次数N=x+12,一个人的平均检验次数为N/n ：

)

1()1(),(1

qm qk m k E k -+-+= ,p q -=1 (3) 问题是给定p 求k,m 使E(k,m)最小. 21),(E kmp m

kp k m k ++≈ (4)

P 很小时(3)式可简化为：

对(4)对(4)分别对k,m 求导并令其等于零,得方程组

022

0221-=+-=++kp m kp mp m p k 舍去负数解可得:2

112-==p k (5) 且要求 k,m,k m 均为整数.经在(5)的结果附近计算,比较E(k,m),得到k,m 的最优值,见表2：