连续型随机变量及其分布
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x x
b
f ( x)dx f ( x)x(| x | 1)
x
a
概率统计教研室
目录 上页 下页 结束
描述随机变量
分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量
概率分布(分布律)
pk xk x F ( x) P{ X x} x f (t )dt
P {a X b } P {a X b} P {a X b} P{a X b}.
连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关
概率统计教研室 目录 上页 下页 结束
二、概率密度的性质
4.F ( x)
x
f (t )dt ( x ); [由概率密度求分布函数]
目录 上页 下页 结束
二、概率密度的性质
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即 P{ X a } 0.
这是因为
P ( X a) lim P ( a X a x )
limБайду номын сангаас
由此可得
x 0 a
x 0 a x
f ( x )dx 0
概率统计教研室
概率密度
pk 分布律 f (t ) 概率密度
目录 上页 下页 结束
二、概率密度的性质
1o 2o
f ( x) 0
f ( x)dx 1
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r .v X 的 概率密度的充要条件
f ( x)
1
o
面积为1
x
目录 上页 下页 结束
概率统计教研室
分布函数与密度函数几何意义 f ( x) F(x)
0.08 0.06 0.04 0.02 -10 -5
y f ( x)
x
5
x
目录 上页 下页 结束
概率统计教研室
概率密度的形象化解释
设想有一克金,被碾成沿x轴分布的一片面积为1 的金箔(如图)
P{a X b} f ( x)dx F (b) F (a)
二、概率密度的性质
3 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P{ x1 X x2 }
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
y
f ( x)
x2 x1
f ( x )dx F ( x2 ) F ( x1 );
牛顿-莱布 尼兹公式
O
x1
x2
x
概率统计教研室
i 1
概率统计教研室
目录 上页 下页 结束
定义的引出
若X为连续型随机变量，由于X在［a, b］内取 连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线 f ( x ).
而且：
f ( x)
P
f ( x)
S f ( x )dx
a b
a
P{a X b} S f ( x )dx
如果Ｘ为连续型随机变量，虽然P{X=a}=0，但 {X=a} 并非不可能事件.
可见， 由P(A)=0, 不能推出 类似可知，
A
由P(B)=1, 不能推出 B=
概率统计教研室
目录 上页 下页 结束
典型例题 【例】设 随 机 变 量X 具 有 概 率 密 度
C ( 9 x 2 ), 3 x 3, f ( x) 其 它. 0, (1) 求 常 数C; ( 2) 求 P{ X 0}, P{ 1 X 1}, P{ X 2}.
解: (1) 由
f ( x ) d x 1, 得
3 2 3 3 0
1
f ( x )dx C (9 x )dx 2C (9 x 2 )dx
x3 3 2C (9 x ) |0 36 C 3
概率统计教研室 目录 上页 下页 结束
典型例题
即 有C 1
概率统计教研室 目录 上页 下页 结束
定义的引出
设离散型随机变量X在［a, b］内取n个值: x1=a, x2, x3, x4,… ,xn=b．
P
概率 小矩形高 小矩形宽度
画X的概率 直方图：
s1
s2
s3
即小矩形的面积为Ｘ取 对应点的概率
sn x3
n
x1=a x2
…….
xn=b
X
P{a X b} si ＝折线下面积之和！
概率统计教研室
O
x x x
x
目录 上页 下页 结束
思考
问题１：f (a)是Ｘ=a的概率吗？
f ( x)
f (a)
1
o
不是!
a
x
密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取 值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值 的概率就越大.
概率统计教研室 目录 上页 下页 结束
思考
问题２：概率为零的事件一定是不可能事件吗？ 不一定！
5 若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
F ( x ) f ( x ).
F ( x x) F ( x) f ( x) lim x x 0 P{x X x x} lim x x 0
近似于小矩形面积
y
f ( x)
则当 x 充分小时，有
P{x X x x} f ( x)x
x
非负函数f(x),使对任意实数x均有
F ( x)
f (t )dt,
则称X为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密 度(函数). 概率密度与分布函数均可完整地描述连续型随机 连续型随机变量的分布函数在 R 上连续 变量的统计规律性.
概率统计教研室 目录 上页 下页 结束
一、概念
b
… ….
b
X
P{ X } f ( x )dx 1
a
由此推出连续 型随机变量 的定义
x
对任意的实数 x, 有F ( x ) P{ X x}
概率统计教研室
f ( x )dx
目录 上页 下页 结束
一、概念
定义1 设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在
第三节
连续型随机变量及其概率密度
一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布
三、小结
概率统计教研室
目录 上页 下页 结束
连续型随机变量X所有可能取值充满一 个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离 散型随机变量那样, 以指定它取每个值概 率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过 给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的 描述方法.
b
f ( x)dx f ( x)x(| x | 1)
x
a
概率统计教研室
目录 上页 下页 结束
描述随机变量
分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量
概率分布(分布律)
pk xk x F ( x) P{ X x} x f (t )dt
P {a X b } P {a X b} P {a X b} P{a X b}.
连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关
概率统计教研室 目录 上页 下页 结束
二、概率密度的性质
4.F ( x)
x
f (t )dt ( x ); [由概率密度求分布函数]
目录 上页 下页 结束
二、概率密度的性质
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即 P{ X a } 0.
这是因为
P ( X a) lim P ( a X a x )
limБайду номын сангаас
由此可得
x 0 a
x 0 a x
f ( x )dx 0
概率统计教研室
概率密度
pk 分布律 f (t ) 概率密度
目录 上页 下页 结束
二、概率密度的性质
1o 2o
f ( x) 0
f ( x)dx 1
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r .v X 的 概率密度的充要条件
f ( x)
1
o
面积为1
x
目录 上页 下页 结束
概率统计教研室
分布函数与密度函数几何意义 f ( x) F(x)
0.08 0.06 0.04 0.02 -10 -5
y f ( x)
x
5
x
目录 上页 下页 结束
概率统计教研室
概率密度的形象化解释
设想有一克金,被碾成沿x轴分布的一片面积为1 的金箔(如图)
P{a X b} f ( x)dx F (b) F (a)
二、概率密度的性质
3 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P{ x1 X x2 }
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
y
f ( x)
x2 x1
f ( x )dx F ( x2 ) F ( x1 );
牛顿-莱布 尼兹公式
O
x1
x2
x
概率统计教研室
i 1
概率统计教研室
目录 上页 下页 结束
定义的引出
若X为连续型随机变量，由于X在［a, b］内取 连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线 f ( x ).
而且：
f ( x)
P
f ( x)
S f ( x )dx
a b
a
P{a X b} S f ( x )dx
如果Ｘ为连续型随机变量，虽然P{X=a}=0，但 {X=a} 并非不可能事件.
可见， 由P(A)=0, 不能推出 类似可知，
A
由P(B)=1, 不能推出 B=
概率统计教研室
目录 上页 下页 结束
典型例题 【例】设 随 机 变 量X 具 有 概 率 密 度
C ( 9 x 2 ), 3 x 3, f ( x) 其 它. 0, (1) 求 常 数C; ( 2) 求 P{ X 0}, P{ 1 X 1}, P{ X 2}.
解: (1) 由
f ( x ) d x 1, 得
3 2 3 3 0
1
f ( x )dx C (9 x )dx 2C (9 x 2 )dx
x3 3 2C (9 x ) |0 36 C 3
概率统计教研室 目录 上页 下页 结束
典型例题
即 有C 1
概率统计教研室 目录 上页 下页 结束
定义的引出
设离散型随机变量X在［a, b］内取n个值: x1=a, x2, x3, x4,… ,xn=b．
P
概率 小矩形高 小矩形宽度
画X的概率 直方图：
s1
s2
s3
即小矩形的面积为Ｘ取 对应点的概率
sn x3
n
x1=a x2
…….
xn=b
X
P{a X b} si ＝折线下面积之和！
概率统计教研室
O
x x x
x
目录 上页 下页 结束
思考
问题１：f (a)是Ｘ=a的概率吗？
f ( x)
f (a)
1
o
不是!
a
x
密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取 值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值 的概率就越大.
概率统计教研室 目录 上页 下页 结束
思考
问题２：概率为零的事件一定是不可能事件吗？ 不一定！
5 若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
F ( x ) f ( x ).
F ( x x) F ( x) f ( x) lim x x 0 P{x X x x} lim x x 0
近似于小矩形面积
y
f ( x)
则当 x 充分小时，有
P{x X x x} f ( x)x
x
非负函数f(x),使对任意实数x均有
F ( x)
f (t )dt,
则称X为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密 度(函数). 概率密度与分布函数均可完整地描述连续型随机 连续型随机变量的分布函数在 R 上连续 变量的统计规律性.
概率统计教研室 目录 上页 下页 结束
一、概念
b
… ….
b
X
P{ X } f ( x )dx 1
a
由此推出连续 型随机变量 的定义
x
对任意的实数 x, 有F ( x ) P{ X x}
概率统计教研室
f ( x )dx
目录 上页 下页 结束
一、概念
定义1 设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在
第三节
连续型随机变量及其概率密度
一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布
三、小结
概率统计教研室
目录 上页 下页 结束
连续型随机变量X所有可能取值充满一 个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离 散型随机变量那样, 以指定它取每个值概 率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过 给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的 描述方法.