连续型随机变量及其分布

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连续型随机变量及其分布函数

0.9974
正态分布与标准正态分布之间具有下面的关系：
第34页，共40页。
引理
证明
若X ~ N ( μ,σ 2 ),则 Z X μ ~ N (0,1). σ
Z X μ的分布函数为 σ
P{Z
x}
P
X
σ
μ
x
P{
X
μ
σx}
1
(t μ)2
e μσx 2σ2 d t ,
2σ
令 t μ u,得 P{Z x} 1
p( x)
1
( x μ)2
e 2σ2 , x ,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数,则称 X 服从参数为 μ, σ
的正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
第24页，共40页。
正态分布概率密度函数的几何特征
(1)曲线关于 x μ 对称;
(2)当x μ时, p( x)取得最大值 1 ; 2 πσ
因而有Βιβλιοθήκη P{Y2} 3 2 21 2 3
2 3
3 2 31 3 3
2 0 3
20 . 27
第18页，共40页。
2. 指数分布
定义设连续型随机变量 X 的概率密度为
ex , x 0,
p(x)
0,
x 0.
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为的指数
分布.
第19页，共40页。
0,
其它,
则称 X 在区间 (a, b)区间上服从均匀分布 ,
记为 X ~ U (a, b).
概率密度
函数图形
a
p( x)
o
b
第15页，共40页。
分布函数

连续型随机变量及其分布

第三节连续型随机变量及其分布上一节我们研究了离散型随机变量，这类随机变量的特点是它的可能取值及其相对应的概率能被逐个地列出.这一节我们将要研究的连续型随机变量就不具有这样的性质了.连续型随机变量的特点是它的可能取值连续地充满某个区间甚至整个数轴.例如，测量一个工件长度，因为在理论上说这个长度的值X 可以取区间（0，+∞）上的任何一个值.此外，连续型随机变量取某特定值的概率总是零（关于这点将在以后说明）.例如，抽检一个工件其长度X 丝毫不差刚好是其固定值（如 1.824cm ）的事件{X =1.824}几乎是不可能的，应认为P{X =1.824}=0.因此讨论连续型随机变量在某点的概率是毫无意义的.于是，对于连续型随机变量就不能用对离散型随机变量那样的方法进行研究了.为了说明方便我们先来看一个例子.例2.8 一个半径为2米的圆盘靶，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X 表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X 的分布函数.解 1°若x ＜0，因为事件{X ≤x }是不可能事件，所以F （x ）=P {X ≤x }=0.2°若0≤x ≤2，由题意P {0≤X ≤x }=kx 2，k 是常数，为了确定k 的值，取x =2，有P {0≤X ≤2}=22k ，但事件{0≤X ≤2}是必然事件，故P {0≤X ≤2}=1，即22k =1，所以k =1/4，即P {0≤X ≤x }=x 2/4.于是F （x ）=P {X ≤x }=P {X ＜0}+P {0≤X ≤x }= x 2/4.3°若x ≥2，由于{X ≤2}是必然事件，于是F （x ）=P {X ≤x }=1.综上所述F （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<,2,1,20,41,0,02x x x x 它的图形是一条连续曲线如图2-2所示.图2-2另外，容易看到本例中X 的分布函数F （x ）还可写成如下形式：F (x )=t t f xd )(⎰∞-，其中 f （t ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<.,0,20,21其他t t这就是说F （x ）恰好是非负函数f （t ）在区间（-∞，x ]上的积分，这种随机变量X 我们称为连续型随机变量.一般地有如下定义.定义2.3 若对随机变量X 的分布函数F （x ），存在非负函数f （x ），使对于任意实数x 有F （x ）=⎰∞-xx t f d )(，（2.8）则称X 为连续型随机变量，其中f （x ）称为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数(Density function).由（2.8）式知道连续型随机变量X 的分布函数F （x ）是连续函数.由分布函数的性质F （-∞）=0，F （+∞）=1及F （x ）单调不减，知F （x ）是一条位于直线y =0与y =1之间的单调不减的连续（但不一定光滑）曲线. 由定义2.3知道，f （x ）具有以下性质：1°f (x )≥0；2°⎰+∞∞-x x f d )(=1；3°P {x 1＜X ≤x 2}=F (x 2)-F (x 1)=⎰21d )(x x x x f (x 1≤x 2)；4°若f (x )在x 点处连续，则有F ′(x )=f (x ).由2°知道，介于曲线y =f （x ）与y =0之间的面积为1.由3°知道，X 落在区间（x 1，x 2］的概率P {x 1＜X ≤x 2}等于区间（x 1，x 2］上曲线y =f （x ）之下的曲边梯形面积.由4°知道，f （x ）的连续点x 处有f （x ）=.}{)()(lim lim 00x x x X x P x x F x x F x x ∆∆+≤<=∆-∆+++→∆→∆ 这种形式恰与物理学中线密度定义相类似，这也正是为什么称f （x ）为概率密度的原因.同样我们也指出，反过来，任一满足以上1°、2°两个性质的函数f (x )，一定可以作为某个连续型随机变量的密度函数.前面我们曾指出对连续型随机变量X 而言它取任一特定值a 的概率为零，即P {X =a }=0，事实上，令Δx ＞0，设X 的分布函数为F （x ），则由{X =a }⊂{a -Δx ＜X ≤a },得 0≤P {X =a }≤P {a -Δx ＜X ≤a }=F （a ）-F （a -Δx ）. 由于F （x ）连续，所以)(lim 0x a F x ∆-→∆=F （a ）.当Δx →0时，由夹逼定理得P {X =a }=0,由此很容易推导出P {a ≤X ＜b }=P {a ＜X ≤b }=P {a ≤X ≤b }=P {a ＜X ＜b }.即在计算连续型随机变量落在某区间上的概率时，可不必区分该区间端点的情况.此外还要说明的是，事件{X =a }“几乎不可能发生”，但并不保证绝不会发生，它是“零概率事件”而不是不可能事件.例2.9 设连续型随机变量X 的分布函数为F （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<.1,1,10,,0,02x x Ax x 试求：（1）系数A ；（2）X 落在区间（0.3，0.7）内的概率；（3）X 的密度函数.解（1）由于X 为连续型随机变量，故F （x ）是连续函数，因此有1=F （1）=2101lim lim )(Ax x F x x -→-→= =A , 即A =1，于是有F （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<.1,1,10,,0,02x x x x (2) P {0.3<X <0.7}=F (0.7)-F (0.3)=(0.7)2-(0.3)2=0.4; (3) X 的密度函数为f (x )=F ′(x )=⎩⎨⎧<≤.,0;10,2其他x x由定义2.3知，改变密度函数f (x )在个别点的函数值，不影响分布函数F （x ）的取值，因此，并不在乎改变密度函数在个别点上的值（比如在x =0或x =1上f （x ）的值）.例2.10 设随机变量X 具有密度函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,43,22,30,其他x x x kx （1）确定常数k ；（2）求X 的分布函数F （x ）；（3）求P {1<X ≤72}. 解（1）由⎰∞∞-x x f d )(=1,得x xx kx d )22(d 4330⎰⎰-+=1, 解得k =1/6,故X 的密度函数为f (x )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,43,22,30,6其他x x x x(2) 当x <0时，F （x ）=P {X ≤x }=⎰∞-xt t f d )( =0; 当0≤x <3时，F （x ）=P {X ≤x }=⎰∞-xt t f d )(=⎰⎰∞-+0d )(d )(xt t f t t f =12d 620x t t x =⎰;当3≤x <4时，F （x ）=P {X ≤x }=⎰∞-xt t f d )(=033()()()x f t dt f t dt f t dt -∞++⎰⎰⎰=233(2)23;624x t t x dt dt x +-=-+-⎰⎰当x ≥4时，F （x ）=P {X ≤x }=⎰∞-xt t f d )(=⎰⎰⎰⎰∞-+++030434d )(d )(d )(d )(xt t f t t f t t f t t f=t t t t d )22(d 64330⎰⎰-+ =1.即F （x ）=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<.4,1,43,324,30,12,0,022x x x x x x x(3) P {1<X ≤7/2}=F （7/2）-F (1)=41/48.下面介绍三种常见的连续型随机变量. （1）均匀分布若连续型随机变量X 具有概率密度f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<<-.,0,,1其他b x a ab （2.9）则称X 在区间（a ，b ）上服从均匀分布（Uniform distribution ），记为X ~U (a ,b ).易知f (x )≥0且⎰⎰∞∞--=ba x ab x x f d 1d )(=1.由（2.9）可得 1°P {X ≥b }=⎰∞bx d 0 =0,P {X ≤a }=⎰∞-ax d 0=0，即 P {a <X <b }=1-P {X ≥b }-P {X ≤a }=1；2°若a ≤c <d ≤b ，则P {c <X <d }=ab cd x a b dc--=-⎰d 1. 因此，在区间（a ,b ）上服从均匀分布的随机变量X 的物理意义是：X 以概率1在区间（a ,b ）内取值，而以概率0在区间（a ,b ）以外取值，并且X 值落入（a ,b ）中任一子区间（c ,d ）中的概率与子区间的长度成正比，而与子区间的位置无关. 由（2.8）易得X 的分布函数为F （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<.,1,,,,0b x b x a a b ax a x (2.10) 密度函数f （x ）和分布函数F （x ）的图形分别如图2-3和图2-4所示.图2-3 图2-4在数值计算中，由于四舍五入，小数点后第一位小数所引起的误差X ，一般可以看作是一个服从在[-0.5,0.5]上的均匀分布的随机变量；又如在（a ,b ）中随机掷质点，则该质点的坐标X 一般也可看作是一个服从在（a ,b ）上的均匀分布的随机变量.例2.11 某公共汽车站从上午7时开始，每15分钟来一辆车，如某乘客到达此站的时间是7时到7时30分之间的均匀分布的随机变量，试求他等车少于5分钟的概率.解设乘客于7时过X 分钟到达车站，由于X 在［0，30］上服从均匀分布，即有f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,300,301其他x显然，只有乘客在7∶10到7∶15之间或7∶25到7∶30之间到达车站时，他（或她）等车的时间才少于5分钟，因此所求概率为P {10＜X ≤15}+P {25＜X ≤30}=⎰⎰+15103025d 301d 301x x =1/3.（2）指数分布若随机变量X 的密度函数为f (x )=⎩⎨⎧≤>-.00,,0,e x x x λλ （2.11）其中λ>0为常数，则称X 服从参数为λ的指数分布（Exponentially distribution ），记作X ~E (λ).显然f (x )≥0，且x x x f x d e d )(0⎰⎰∞∞-∞-=λλ=1.容易得到X 的分布函数为F （x ）=⎩⎨⎧≤>--.00,,0,e 1x x x λ指数分布最常见的一个场合是寿命分布.指数分布具有“无记忆性”，即对于任意s ,t >0,有P {X >s +t |X >s }=P {X >t }. (2.12)如果用X 表示某一元件的寿命，那么上式表明，在已知元件已使用了s 小时的条件下，它还能再使用至少t 小时的概率，与从开始使用时算起它至少能使用t 小时的概率相等.这就是说元件对它已使用过s 小时没有记忆.当然，指数分布描述的是无老化时的寿命分布，但“无老化”是不可能的，因而只是一种近似.对一些寿命长的元件，在初期阶段老化现象很小，在这一阶段，指数分布比较确切地描述了其寿命分布情况.（2.12）式是容易证明的.事实上，(){,}{}{}{}{}1()ee {}.1()es t t λsP X s X s t P X s t P X s t X s P X s P X s F s t P X t F s λλ-+->>+>+>+>==>>-+====>--（3）正态分布若连续型随机变量X 的概率密度为f (x )=222)(e π21σμσ--x， -∞＜x ＜+∞， (2.13)其中μ，σ（σ＞0）为常数，则称X 服从参数为μ，σ的正态分布（Normal distribution ），记为X ~N （μ，σ2）.显然f (x )≥0，下面来证明⎰∞∞-x x f d )(=1.令σux -=t ，得到.d eπ21d e π2122)(222t x t x ⎰⎰∞∞--∞∞---=σμσ记I =t t d e22⎰∞∞--，则有I 2=⎰⎰∞∞-∞∞-+-ds d e222t s t .作极坐标变换：s =r cos θ,t =r sin θ,得到I 2=22π22r redrd πθ∞--∞=⎰⎰,而I >0,故有I =2π，即有.π2d e 22=⎰∞∞--t t于是.1π2π21d e 21222)(=⋅=--∞∞-⎰x x σμσπ 正态分布是概率论和数理统计中最重要的分布之一.在实际问题中大量的随机变量服从或近似服从正态分布.只要某一个随机变量受到许多相互独立随机因素的影响，而每个个别因素的影响都不能起决定性作用，那么就可以断定随机变量服从或近似服从正态分布.例如，因人的身高、体重受到种族、饮食习惯、地域、运动等等因素影响，但这些因素又不能对身高、体重起决定性作用，所以我们可以认为身高、体重服从或近似服从正态分布.参数μ，σ的意义将在第四章中说明.f （x ）的图形如图2-5所示，它具有如下性质：图2-5 图2-61°曲线关于x =μ对称；2°曲线在x =μ处取到最大值，x 离μ越远，f (x )值越小.这表明对于同样长度的区间，当区间离μ越远，X 落在这个区间上的概率越小；3°曲线在μ±σ处有拐点； 4°曲线以x 轴为渐近线；5°若固定μ，当σ越小时图形越尖陡（图2-6），因而X 落在μ附近的概率越大；若固定σ,μ值改变，则图形沿x 轴平移，而不改变其形状.故称σ为精度参数，μ为位置参数. 由（2.13）式得X 的分布函数F （x ）=t xt d eπ21-2)(22⎰∞--σμσ. （2.14）特别地，当μ=0，σ=1时，称X 服从标准正态分布N （0，1），其概率密度和分布函数分别用)(x ϕ，Φ(x )表示，即有22e π21)(x x -=ϕ，（2.15）Φ(x )=t xt d eπ2122⎰∞--. （2.16）易知，Φ（-x ）=1-Φ（x ）.人们已事先编制了Φ（x ）的函数值表（见本书附录）.一般地，若X ~N （μ，σ2），则有σμ-X ~N (0,1).事实上，Z =σμ-X 的分布函数为 P {Z ≤x }=}{x X P ≤-σμ=P {X ≤μ+σx }=t t xd e π21222)(σμσμσ--+∞-⎰，令σμ-t =s ，得P {Z ≤x }=s xs d eπ2122⎰∞--=Φ(x )，由此知Z =σμ-X ~N (0,1).因此，若X ~N （μ,σ2），则可利用标准正态分布函数Φ（x ），通过查表求得X 落在任一区间（x 1,x 2]内的概率，即P {x 1<X ≤x 2}=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-<-σμσμσμ21x X x P=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-σμσμσμσμ12x X P x X P =⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φσμσμ12x x .例如，设X ~N （1.5，4），可得P {-1≤X ≤2}=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--25.1225.125.11X P=Φ(0.25)-Φ(-1.25)=Φ(0.25)-[1-Φ(1.25)]=0.5987-1+0.8944=0.4931.设X ~N （μ，σ2）,由Φ（x ）函数表可得P {μ-σ<X <μ+σ}=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1=0.6826,P {μ-2σ<X <μ+2σ}=Φ(2)-Φ(-2)=0.9544, P {μ-3σ<X <μ+3σ}=Φ(3)-Φ(-3)=0.9974.我们看到，尽管正态变量的取值范围是（-∞,∞),但它的值落在（μ-3σ,μ+3σ）内几乎是肯定的事，因此在实际问题中，基本上可以认为有|X -μ|<3σ.这就是人们所说的“3σ原则”.例2.12 公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在1%以下来设计的.设男子身高X 服从μ=170(cm),σ=6(cm)的正态分布，即X ~N （170，62），问车门高度应如何确定？解设车门高度为h (cm)，按设计要求P {X ≥h }≤0.01或P {X ＜h }≥0.99，因为X ~N （170，62），故P {X ＜h }=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-617061706170h h X P ≥0.99，查表得 Φ（2.33）=0.9901＞0.99.故取6170-h =2.33，即h =184.设计车门高度为184（cm ）时，可使成年男子与车门碰头的机会不超过1%.例2.13 测量到某一目标的距离时发生的随机误差X （单位：米）具有密度函数f (x )=3200)20(2eπ2401--x .试求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30米的概率.解 X 的密度函数为f (x )=222402)20(3200)20(eπ2401eπ2401⨯----⨯=x x ,即X ~N （20，402），故一次测量中随机误差的绝对值不超过30米的概率为P {|X |≤30}=P {-30≤X ≤30}=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φ402030402030=Φ(0.25)-Φ(-1.25)=0.5981-(1-0.8944)=0.4931.设Y 为三次测量中误差的绝对值不超过30米的次数，则Y 服从二项分布b (3,0.4931)，故P {Y ≥1}=1-P {Y =0}=1-(0.5069)3=0.8698.为了便于今后应用，对于标准正态变量，我们引入了α分位点的定义. 设X ~N （0，1），若z α满足条件P {X ＞z α}=α，0＜α＜1，（2.17）则称点zα为标准正态分布的上α分位点，例如，由查表可得z0.05=1.645,z0.001=3.16.故1.645与3.16分别是标准正态分布的上0.05分位点与上0.001分位点.分享源源不断。

讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布

4 / 13
P{Z
x}
P
X
x
P{X
x}
1
e d t, x
(t )2 2 2
2 π
令 t u,得
P{Z x} 1 x eu2 /2d u (x),
2 π
由此知 Z~N(0,1).
3
2
68.26%
95.44%
99.74%
2 3
若 X~N( , 2 ), 则它的分布函数
e 2 d x 1.
2
f(x)具有的性质:
（1）.曲线关于 x= 对称. 这表明对于
任意 h>0 有
P{ -h<X }=P{ <X +h}.
（2）.当 x= 时取到最大值
f () 1 . 2 π
x 离越远, f(x)的值越小. 这表明
对于同样长度的区间, 当区间离越
F(x) 1
解 (1)所求概率为
6 / 13
P{X
89}
P
X
90 0.5
89 90
0.5
(2)
1 (2) 1 0.9772 0.0228.
(2) 按题意需求 d 满足
0.99
P{X
80}
P X
d
80 d
0.5 0.5
1
P
X d 0.5
80 d 0.5
1 80 d 0.5
(0.3) (0.5) 0.6179 [1 (0.5)] 0.6179 1 0.6915 0.3094.
设 X~N( , 2 ), 由 (x)的函数表
5 / 13
还能得到: P{ <X< }= (1)- (-1)

连续随机变量及其分布

0, 2 F（x）= Ax , 1,
试求：（1）系数 A；
x 0, 0 x 1, x 1.
（2）X 落在区间（0.3，0.7）内的概率；（3）X 的密度函数.
数学与信息工程系
例2：设随机变量X具有概率密度
求：（1）常数a；（2）
（3）X的分布函数F（x）
解：（1）由概率密度的性质可知
查出 ( x) ( x) 立即可得 ( x) ( x).
数学与信息工程系
第三节连续随机变量及其分布
设 X ~ N ( , 2 ), 则有
P( X ) ? 0.6826 P( 2 X 2 ) ? 0.9544 P( 3 X 3 ) ? 0.9974
30 1 1 d x 10 30 25 30 dx 15
=1/3.
数学与信息工程系
例
X ~ U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.
解：记 A = { X > 3 }, 则 P(A) = P( X> 3) = 2/3
设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数, 则 Y~ b(3, 2/3)，所求概率为 P(Y≥2) = P(Y=2)+P(Y=3) 2 3 0 2 2 1 3 2 1 C3 C3 =20/27 3 3 3 3
f ( x)
F( x )
1

O
x
O
x
数学与信息工程系
第三节连续随机变量及其分布
指数分布最常见的一个场合是寿命分布.
指数分布具有“无记忆性”
对于任意 s,t >0,有

连续型随机变量及其分布

2
2
a
大家应复习有关积分的方法与公式。
请看P.40-41:例9；例10.
概率论与数理统计
数学与计算科学学院徐鑫
三、几种重要的连续型随机变量 1、均匀分布
定义2 设连续型随机变量X具有概率密度
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0, 其它,
则称随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为
X ~ U (a,b).
到x的一块面积；
概率论与数理统计
数学与计算科学学院徐鑫
概率密度的几何意义
b
P{a X b} f (x)dx
xx
a
f (x)dx f (x)x.
概率论与数理统计 x
数学与计算科学学院徐鑫
注意对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a
的概率等于零.即 P{X a} 0.
证明
数学与计算科学学院徐鑫
均匀分布的概率密度的图形
均匀分布的特点是:随机变量X落入(a,b)中任意等长度的小区间内的概率都相等；此概率与子区间的长度成正比，而与子区间的起点无关。
x0 x0
(3).P{X>0.1}=1-P{X≤0.1}=1-F(0.1)
=1-(1-e-0.1λ)= e-0.1λ;
或P{X>0.1}=
f (x)dx
ex dx
e x
|
0.1
e 0.1
0.1
0.1
概率论与数理统计
数学与计算科学学院徐鑫
练习设随机变量X的概率密度为
f
(x)
2
0,
求X的分布函数。
P{ X
a}

连续型随机变量及分布

F （ x2） F （ x1 ） xx12p(x)dx
这一个结果从几何上来讲，落
p (x)
在区间 (x1, x2 )中的概率恰好等于在
区间(x1, x2 )上曲线y=p(x)的曲边梯形
的面积．同时可发现整个曲线y=p(x) 与x轴所围成的图形面积为1．
0 x1 x2 x
P （ x 1 x 2 ） P （ x 1 x 2 ） P （ x 1 x 2 ） P （ x 1 x 2 ）
(1) p(x)0; （非负性）
1
(2) p(x)dx1（. 规范性）
0
x
反过来，定义在R上的函数p(x)，如果具有上述两个性质，即可定义一个分布函数F(x)．
概率论与数理统计
(3) F(x)在R上连续，且在 p ( x ) 的连续点处，有
p(x)F(x)
对连续型随机变量，分布函数和密度函数可以相互确定，因此密度函数也完全刻画了连续型随机变量的分布规律．
概率论与数理统计
§2.3 连续型随机变量
主要内容
概率论与数理统计
一、连续型随机变量的概念
二、常见的连续型分布
一、连续型随机变量的概念
1.定义
概率论与数理统计
定义2.2 如果对于随机变量 ( )的分布函数F(x)，存在非负函数 p (x)，使得对于任意的实数 x，有
x
F(x) p(t)dt
则称为连续型随机变量，其中函数 p (x) 称为的概率密度函数,简称概率密度（probability density function） .
(2) F ( x ) x p ( t) d t x ( 1 1 t2 ) d t 1 a r c t a n t x 1 a r c t a n x 1 2 ;

§2.3 连续型随机变量及其分布

（2）指数分布若随机变量的密度函数p( x) 为：
e x , x 0 p ( x) ( 0) ，则称服从参数为的指 0, x 0
数分布，记作 ~ E( )
指数分布是一种应用广泛的连续型分布，它常被用来描述各种“寿命”的分布，例如无线电电元件的寿命、电话问题中的通话时间等都可以
k ) 2 (k ) 1
注意这个概率与无关.
例2.3.7 设随机变量（1）P(102 117) （2）常数a，使得

服从正态分布 N (108,9) 求
P( a) 0.95
解（1） P(102 117 ) (117 108 ) (102 108 )
2） F ( x) p(t )dt
xபைடு நூலகம்
x
注意
1) 求密度函数中的待定常数往往借助 2) 由密度函数求分布函数需要对自变
于密度函数的性质.
量的情形进行讨论.
例2.3.3 设连续型随机变量的分布函数为
0, x a xa F ( x) ,a x b b a 1, x b
则称服从区间a, b 上的均匀分布，记作 ~ U a, b 向区间
a, b 上均匀投掷随机点，则随机点的
坐标服从 a, b 上的均匀分布.在实际问题中，还有很多均匀分布的例子，例如乘客在公共汽车站的候车时间，近似计算中的舍入误差等都服从均匀分布.
设随机变量 ~ U a, b ，则对任意满足c, d a, b
解：
P ( ) P ( 1
1) 2 (1) 1 0.6826
2) 2 (2) 1 0.9545

连续型随机变量及其分布

P(X ) F() 1 F() P(X )
1 2
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
-6 -5 -4 -3 -2 -1
f (x) 的两个参数：
— 位置参数即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)
的形状不变化，只是位置不同．
— 形状参数
固定，对于不同的，f ( x) 的形状不同．
§2.3 连续型随机变量及其分布
连续型随机变量的概念
定义设 X 是一随机变量，若存在一个非负可积函数 f ( x ), 使得
x
F (x) f (t)dt x
其中F ( x )是它的分布函数，则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率密度．
F
(
x)
1
0, ex
,
x0 x0
f ( x)
0
x
F( x) 1
0
x
对于任意的 0 < a < b,
P(a X b) b exd x a F (b) F (a) ea eb
应用场合用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间；
电话问题中的通话时间；
无线电元件的寿命；动物的寿命．
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
-6 -5 -4 -3 -2 -1
3
f (x) 的性质
图形关于直线x= 对称： f ( + x) = f ( - x)
在 x = 时, f (x) 取得最大值
1
2 在 x = ± 时, 曲线 y = f(x) 在对应的点处有拐点．

连续型随机变量及其概率分布

内的概率为：
x 2 x 1
P X a 0
yf x
f x
P x X x x dx 1 2 f
O
P x X x 1 2
x1
x2
x
概率密度 f ( x )不是随机变量 X 取值 x的概率 , 而是 X 在点 x的概率分布的密集程度 , f ( x )的大小能反映出 X 取 x附近的值的概率大小。因此对于连续型随
P a X b P a X b P a X b
y F (x)
P a X b ( bF ) ( a ) F
1
连续型随机变量 X 的分布函数
F (x)
o
x
4
一定是连续函数
例1 射手射击时，设目标靶是半径为20厘米的圆盘，以 X 表示弹着点到圆盘中心的距离，射手击中以靶心为中心，以 X 为半径的圆内的概率，与圆盘上以 X 为半径的同心圆的面积成正比，设每次射击都能中靶，试求 X 的分布函数 F ( x )

P x X x x dx 1 2 f
x 2 x 1
三、连续型随机变量一般定义四、连续型随机变量的常见分布
U ( a ,b ) 1、均匀分布 X~
1 , f x ba 0, a x b 其它
2、指数分布
X ~ e .
13
练习 (柯西分布)设连续随机变量X 的分布函数为
F ( x ) A B arctan x , x . 求: (1)系数 A 及 B ; (2) 随机变量X 落在区间(-1,1)内的概率;
(3)随机变量X的概率密度.
解 (1) lim F ( x ) lim A B arctan x A B 0, x x 2 lim F ( x ) lim A B arctan x A B1 , x x 2 1 1 11 解得 A , B . F ( x ) arctan x , x . 2 2 1 1 1 1 1 (2) P . 1 X 1 F 1 F 1 2 4 2 4 2

连续型随机变量及其分布

a 0
2 a
0
lim [ 1
a 2
e2x
a 0
]
2
1
2
x
x
（2）当 x 0 时， F (x) f (t)dt 0dt 0
x
当 x 0 时，F (x) f (t)dt
0
0dt
x 2e2t dt
0
x e2td (2t) 0
e2t
x 0
1 e2x
所以：
0
F(x) 1 e2x
x0 x0
（3）P{X 2}
f (t)dt
2e2t dt
2
2
lim a 2e2tdt lim [ a e2td (2t)]
a 2
a 2
lim [e2t a
a 2
]
e4
例3：已知连续型随机变量的概率密度函数为
f
(
x)
ax
b, 0,
0x2 其他
且P1 X 3 0.25， ⑴确定常数 a 和b ；
1
x)
0
1000
500 1 x
e 1000 d (
1
x)
e1.5 e0.5
e1
0
1000
（2）小问的结论：
P{X 1500 X 500} P{X 1000}
表明已经使用 500小时未损坏的条件下，可以继续使用1000小时的概率等于其寿命不小于1000小时的无条件概率，这种性质被称为“无后效性”，也有的戏称为“永远年轻”，即产品曾经无故障使用的时间不影响它以后的使用寿命.
解：设X表示某人到站的时间，显然：
X ~ U[0,30] 则：概率密度函数
f
(x)

2.3连续型随机变量及其分布

2、指数分布定义3 设连续型随机变量X的概率密度为
ex, x0,
f (x)0,
其它 ,
其中λ >0为常数,则称随机变量X服从参数为θ 的指数分布.
分布函数为
1ex, x0,
F(x) 0,
其它 .
概率论与数理统计
数学与计算科学学院徐鑫
可得：
（1）P(Xt)et(t0) （2）P ( t 1 X t2 ) e t 1 e t2 ( 0 t 1 t2 )
P ( 1 0 X 1 5 ) P ( 2 5 X 3 0 ) 1 5 1 d x 3 0 1 d x 1
1 0 3 0 2 5 3 0 3
概率论与数理统计
数学与计算科学学院徐鑫
练习设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程
4 x24 K x K 20
(1)P{X10}0 10P{X10}00 1F(10)00
0,

x 1b,

a a
,
x a, a x b, x b.
概率论与数理统计
数学与计算科学学院徐鑫
均匀分布的概率密度的图形
均匀分布的特点是:随机变量X落入(a,b)中任意等长度的小区间内的概率都相等；此概率与子区间的长度成正比，而与子区间的起点无关。
均匀分布的分布函数的图形
概率论与数理统计
数学与计算科学学院徐鑫
例3 设公交车站从上午7时起，每15分钟来一班车. 某乘客在7时到7时半之间随机到达该站，试求他的候车时间不超过5分钟的概率.
解：该乘客于7时过X分到达该车站.依题意 X U(0,30) 候车时间不超过5分钟，即10X15或 25X30

连续型随机变量及其概率分布

解：由归一性可知
0Leabharlann 34xf ( x)dx 0dx kxdx (2 )dx 0dx
0
3
2
4
0 1 kx2 3 (2x 1 x2 ) 4 0 1
20
43
k1 6
二、分布函数与概率密度函数
二、分布函数与概率密度函数
二、分布函数与概率密度函数
0
例2
设连续型随机变量X
:
F
1、连续型随机变量与密度函数的概念
对于随机变量X，若存在非负可积函数f ( x)( x R)
使得随机变量X 取值任意区间 a, b的概率为
b
P(a X b) a f ( x)dx
则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度函数，简称概率密度.
f(x) 几何定义
0a
x b
一、连续型随机变量及其密度函数
lim
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落
在区间 (x, x x] 上的概率与区间长度 x 之比的
极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于
线密度.
二、分布函数与概率密度函数
6、连续型随机变量密度函数的意义.
f ( x) F ( x) lim P( x X x x)
x x
lim
f (t )dt 0
x0 x
由此可以得到如下结论：
由P(A)=0, 不能推出
由P(B)=1, 不能推出 B=S
二、分布函数与概率密度函数
4、连续型随机变量任意区间内的概率求法由于连续型随机变量X ,x R, P( X x) 0 a, b R, a b P(a X b) P(a X b) P(a X b)

连续型随机变量及其概率分布

aБайду номын сангаас
b
利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率
f (x) （4）在 f (x) 的连续点 x 处， F(x)=
注:
（1）连续型随机变量 X 的分布函数F(x)处处连续. (2)连续型随机变量取任一指定实数值a 的概
P X = a=. 0 (3) 率均为0. 即
P X a F ( a ) l i m F ( a x ) = F ( a ) F ( a ) = 0
例. 设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数 ( 1 X 2 ) 及 P( X 1) 和 P
3 e 3 x x 0 解： X 的概率密度 f ( x ) x 0 0
P ( x X x ) xd )x 1 2 f(
x 1
3 P ( X 1 ) fx ( ) d x 3 e d x e 1 1 3 x
, 正态分布，记为
2
X ~N ( ,2)
具有下述性质 fx :
正态分布曲线
1

曲线 f x 关于轴对称；
P μ X μ h P μ hX μ h 0

1 时 , 取最大值 f( ) 2 x 2
常见的连续型随机变量
1. 均匀分布
定义：若随机变量 X的概率密度为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
f ( x)
1 b a
a
b
则称X在区间[ a, b]上服从均匀分布，记作 X ～ U(a, b)
X的分布函数为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0

连续型随机变量与分布

连续型随机变量与分布随机变量是概率论和数理统计中的重要概念之一，它描述了试验结果的不确定性。

随机变量可以分为离散型和连续型两种。

在本文中，我们将重点讨论连续型随机变量及其分布。

一、连续型随机变量的定义连续型随机变量是指其取值范围为连续的实数集合的随机变量。

与之相对应的是离散型随机变量，其取值范围为有限或可列的数集。

举例来说，假设我们研究某地每天降雨的量，用X表示降雨量。

如果我们用毫升作为单位，X可以取任意实数值，包括小数。

这种情况下，X就是一个连续型随机变量。

二、连续型随机变量的概率密度函数对于连续型随机变量X，我们不能像离散型随机变量那样用概率质量函数来描述其概率分布，因为连续型随机变量可能取无限个实数取值。

为了描述连续型随机变量的概率分布，我们引入了概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）。

概率密度函数f(x)满足以下两个条件：1. 非负性：对于任意实数x，有f(x)≥0；2. 归一性：∫f(x)dx = 1，其中积分范围为整个样本空间。

概率密度函数f(x)表示了随机变量X落在无穷小区间(x, x+dx)内的概率。

具体而言，对于一个事件A，其对应的概率可以通过计算f(x)在该区间上的积分得到。

三、连续型随机变量的分布函数与离散型随机变量相似，连续型随机变量也有分布函数（Distribution Function），又称为累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）。

对于连续型随机变量X，其分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X ≤ x)，表示X小于等于x的概率。

分布函数具有以下性质：1. 非减性：对于任意实数x1 < x2，有F(x1) ≤ F(x2)；2. 右连续性：对于任意实数x0，有F(x0) = lim(x→x0⁺)F(x)。

通过分布函数，我们可以计算随机变量X落在任意区间上的概率。

§3、连续型随机变量及其分布

综上所述，即得随机变量X的分布函数为
0, 当x 0时 1 F ( x) x 2 , 当0 x 2时 4 1, 当x 2时
对F(x)求导数，可得 x 2时 f ( x) F ( x) 2 0, 其它

P{a X b} F (b) F (a ) b a .
x
x

x 2 a x 2 a x dx a x arcsin C . 2 2 a
2 2
2
8
③当
x x 1 时，
1

F ( x)
f (t )dt
2 0 1 t 2 dt 0 1 1;
注：积分所以
1

1
1 1 t dt 12 为单位圆面积一半． 2
19
正态分布密度函数图形曲线的几何性质： (1)概率密度曲线关于 x =μ为轴对称； (2)密度函数的最大值为
f max ( x ) f ( )
(3)在点 x±μ处有拐点，凸凹区间为 (, ), ( , ), ( ,); (4)概率密度曲线以 x 轴为水平渐近线．参数μ (X的数学期望)是其位置参数；参数σ (X的均方差)是其形状参数．
注：分布函数F(x)的不可导点仅两个，……
6
【例1】设随机变量X的概率密度为
求X的分布函数．【解】注意到其概率密度 f(x)是分段函数，因此根据其分段定义区间(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞)，分段求其分布函数F(x)． ①当
x
2 1 x 2 , 1 x 1, f ( x) 其它, 0,

连续性随机变量及其分布

可以认为，Y 的取值几乎全部集中在 [m-3s, m+3s]
区间内。这在统计学上称作“3s原则”（三倍标准差原则）。
2021/4/10
34
在工程应用中，通常认为P{|Y-m|≤3s}≈1, 忽略 {|Y-m|>3s}的值。如在质量控制中，常用标准指标值m±3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。
若r.v. X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
其中m和s都是常数, m任意, s >0, 则称X服从参数为 m和s的正态分布。
记作 X ~ N ( , 2 )
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线。
2021/4/10
19
（II）. 正态分布N(μ,σ2) 的图形特点
图形关于直线x= 对称： f ( + x) = f ( - x) 。
2021/4/10
7
密度函数的几何意义为
P{a X b}＝ b f ( x)dx a
2021/4/10
8
例2.13 已知随机变量X的概率密度为
kx 0 x 1
f ( x) 2 x 1 x 2
0
其他
1) 确定常数k。
2) 求X的分布函数F(x)。 3) 求P{X(0.5,1.5)}。
1. 均匀分布（Uniform distribution ）
三
种常
若 r.v. X的概率密度为：
f (x)
见连续
f
(
x)
b
1
a
,
a xb
型随
0, 其它
ab

连续型随机变量及其分布

下一讲我们将学习两种连续型随机变量正态分布与指数分布
第二章随机变量及其分布第四讲连续型随机变量及其分布
主讲教师胡发胜教授
一连续型随机变量及密度函数
定义设F( x)是随机变量X的分布函数，若存在非负可积函数f ( x)，使得对任意实数x，有
x
F ( x) f (t )dt , x R.
称X为连续型随机变量，称f ( x)为X的概率密度函数，或密度函数，也称概率密度，.
1,
0 x 2, x 2.
分段讨论
P X 1
f ( x)dx
2
3
8 (4x
2 x 2 )dx
1
2
1
1
或P X 1 1 P X 1 1 F (1) 1 1 2 1 2 .
二均匀分布
如果连续型随机变量X 具有密度函数
f
(
x
)=
b
1
a
,
a x b，
0, x a或x b.
C 3 8.
(2) X的分布函数
x
F ( x) f (t )dt
x
0dx,
0
0dx
x 3 (4 x 2 x 2 )dx,
08
0 0dx
23 (4 x 2 x 2 )dx
08
x
0dx ,
2
x 0, 0 x 2,
x 2.
0,
x 0,
3
4
x2
1 4
x3,
y
F(x)
f (x)
x
概率密度满足：
f ( x) 0,且
f ( x)dx 1.
若f ( x)在点x处连续，则F ( x) f (x).

连续型随机变量及其分布

P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}
b
F (b) F (a) a f (x)dx
例 2.13 设随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
A , x 1, 1 x2
0,
x 1.
(1)确定常数 A ; (2)求 X 的分布函数; (3)求 P{0 X 1} .
解 (1)由概率密度性质(2)得
1
f (x)dx
1 1
A 1 x2
dx
2 A arcsin
x
1 0
2A
π 2
πA,
因此
A＝1 π
,于是
f
(
x)
π
1 , x 1, 1 x2
0,
x 1.
(2)当 x 1时, 当 1 x 1时,
x
x
F(x)
f (t)dt
0dt 0 ;
F(x)
此站,如果乘客到达此站的时间 X 是 7: 00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于 5 分钟的概率.
解以 7: 00 为起点 0 ,以分为单位.依题意, X ~ U(0,30) ,于是
f
(x)
1 30
,
0
x
30,
0, 其他.
为使候车时间少于 5 分钟,乘客必须在 7 :10 到 7 :15 之
arcsin
x
1 2
,
1
x
1,
1，x 1.
(3)
P{0
X
1} F(1) F(0)
1 (1 arcsin 0 π
1) 2
1 2
1.2连续型随机变量的常用分布
1.均匀分布