1.2 极限的判别准则
【南京大学 大学数学微积分】 1.2.2函数的极限
lim f ( x) A
x x0
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 )
时, 有 f ( x ) A .
右极限 : f ( x0 ) lim f ( x) A
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 ) 时, 有 f ( x ) A .
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
1. x x0 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为 x0 ; 面积为A ) 直接观测值 边长 x 间接观测值 2 面积 x 确定直接观测值精度 :
x x0
2 任给精度 , 要求 x A
故 0 , 取 , 当 0 x 1 时 , 必有
x 1 2 x 1
因此
2
x2 1 lim 2 x 1 x 1
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例4. 证明: 当 x0 0 时 lim 证:
f ( x) A
x x0
1 例6. 证明 lim 0. x x 1 1 证: 0 x x 1 1 故 0 , 欲使 0 , 即 x , x 1 1 0 取 X , 当 x X 时, 就有 x 1 lim 0 因此 x x 1 注: y 0 为 y 的水平渐近线. x
1.2.2 函数的极限
对 y f ( x) , 自变量变化过程的六种形式: ( 4) x ( 1 ) x x0
第一章
( 2 ) x x0 (3) x x0 本节内容 :
(5) x (6) x
极限判别法
极限判别法极限判别法是一种在求解极限问题时常用的方法，它能够帮助我们判断某个函数在某个点处的极限是否存在，以及存在时是什么值。
本文将从以下几个方面对极限判别法进行详细介绍。
一、基本概念1.1 极限的定义在介绍极限判别法之前，我们先来回顾一下极限的定义。
设函数$f(x)$在点$x_0$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-A|<\varepsilon$成立，则称常数$A$是函数$f(x)$当$x\tox_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$。
1.2 极限不存在的情况当一个函数在某个点处不存在极限时，我们称其为无穷大或无穷小。
具体来说：（1）如果对于任意给定的正数M，都存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$f(x)>M$或$f(x)<-M$成立，则称函数$f(x)$当$x\to x_0$时趋于正无穷或负无穷，记作$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=+\infty$或$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=-\infty$。
（2）如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)|>\varepsilon$成立，则称函数$f(x)$当$x\to x_0$时趋于无穷小，记作$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=0$。
二、极限判别法2.1 夹逼准则夹逼准则是一种常用的极限判别法，它通常用于求解无穷小的极限。
具体来说，如果函数$f(x)$、$g(x)$和$h(x)$在点$x_0$的某个去心邻域内有定义，并且对于任意$x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\backslash \{x_0\}$都有$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$成立，则当$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A=\lim\limits_{x\to x_0}h(x)$时，有$\lim\limits_{x\tox_0}g(x)=A$。
1.2函数的极限
1.无穷小与无穷大的定义
定义8 : 如果 lim f ( x ) 0(或 lim f ( x ) 0)
x x0 x
则称函数f ( x )是当x x0 (或x )时的无穷 小量,简称无穷小.
定义9 : 如果当x x0 (或x )时,| f ( x ) | 无限增大,则称f ( x )是当x x0 (或x ) 时的无穷大量,简称无穷大.记为
当C 1时, 称与 是等价无穷小,记为 ~ .
(4)lim k =C 0,则称 是关于的k阶无穷小。
x x 1 1 3 例如：由于 lim 0和 lim x 0且 lim 3 x 0 2 x 2 x 0 x 0 2 x 2 x 2
x3 所以f ( x ) 与x 3同阶无穷小。 2x 2
x x x
x 1 x 0 例 : (1)讨论函数f ( x ) 0 x0 x 1 x 0 当x 0时的极限. x 1 x 0 (2)讨论函数g( x ) 当x 0时的极限. 1 x x 0
例题
4. 极限存在的判断准则
3
3
命题：若 ~ , ~ , 且 lim 存在， 则 lim 存在，且有 lim lim
例21：已知 tan x ~x( x 0),sin x ~x( x 0),
tan 5 x 求 lim x 0 sin 2 x
三、极限的四则运算
3
从以上例子可以得出如下求分式极限的方法：
当an bm 0时, 有下列极限存在, an x a n 1 x lim m 1 x b x m b m m 1 x
n n 1
a1 x a0 b1 x b0
1.2极限的概念
f ( x ) A ,那末常数 A 就叫函数
f ( x ) A(当x x0 )
f ( x ) x x0 时的极限,记作
x x0
lim f ( x ) A 或
" " 定义 0, 0, 使当0 x x 0 时,
恒有 f ( x ) A .
x0
x
显然, 找到一个后, 越小越好.
例1 证明 lim C C , (C为常数).
x x0
证 任给 0, 任取 0, 当0 x x0 时,
f ( x ) A C C 0 成立, lim C C .
x x0
例2 证明 lim x x 0 .
x x0
证 f ( x ) A x x0 , 任给 0, 取 ,
当0 x x0 时,
f ( x ) A x x0 成立, lim x x 0 . x x
0
(3 ) 单侧极限
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明lim f ( x ) 1.
20 x 情形 lim f ( x ) A
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
定理 lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A. lim lim x
1 1 例如, 当x 0时, y sin x x 是一个无界变量, 但不是无穷大.
(1) 取 x k 1 2k
y
1 1 sin x x
( k 0,1,2,3,)
2 y( x k ) 2k , 当k充分大时, y( xk ) M . 无界， 2 1 ( 2) 取 x k ( k 0,1,2,3,) 2k
1.2.4极限的两个准则
1 x 5 5 = [lim(1 + ) ] = e x →∞ x
(2) 解 lim(1 − 2 x) = [lim(1 − 2 x)
x →0 x →0 1 x 1 −2 x −2
] =e
−2
YAN1 ( x+2)−2 (3) 解 lim(1 + ) = lim(1 + ) =e x→∞ x→∞ x+2 x+2
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1 1 1 1 2 1 1 2 n −1 ) = 1 + 1 + ⋅ (1 − ) + ⋅ (1 − )(1 − ) +L+ ⋅ (1 − )(1 − )L(1 − 2! n 3! n n n! n n n
1 n +1 1 1 1 1 2 an+1 = (1 + ) = 1 + 1 + ⋅ (1 − ) + ⋅ (1 − )(1 − ) n+1 n + 1 3! n+1 n+1 2!
且 an +1 多了最后一项,从而 {a } 单增。 多了最后一项, 对任意的n有 对任意的 有 n 单增。
a
n
1 1 1 + + L + 2 ! 3 ! n ! 1 1 1 < 1 + 1 + + + L + 1 ⋅2 2 ⋅3 (n − 1)n 1 1 1 1 1 ) + ( ) + L + ( ) < 1 + 1 + (1 − − − 2 2 3 n − 1 n 1 = 3 − < 3. n < 1 + 1 +
高数1.2极限的定义与性质
的值任意地接近常数A,
则称当
时函数
于是在例1.1.8中
定理1.2.2 .
例1.1.9 设
求
解
如图
所以不Leabharlann 在。有一类特别地、重要的极限
定义1 .2.4. 若
时 , 函数
则称函数
为
时的无穷小 .
例1.1.10 因为
故当
时函数
为无穷小 .
例1.1.11 因为
故当
时函数
为无穷小 .
例1.1.12 如图
2.001
1.001
1.999
0.999
2.01
1.01
1.99
0.99
2.1
1.1
1.9
0.9
一般地，我们有
定义1.2.1 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
或
反之，
若不存在这样的常数 A，
则称当
时
没有极限或极限不存在。
则例1.2.1可表示为
的值任意地接近常数A,
函数
如果当x充分接近
时，
则称
定义1.2.2 设函数
在点
右（或左）邻域内有定义 ,
（或
函数
如果当x从
的右侧（左侧）充分接近
时，
的值任意地接近常数A,
则称
在
处的右（或左）
函数
记作
极限为A,
有时记为
（或
例1.2.6. 设函数
讨论
时
的左右极限是否存在 .
解:
如图
例1.2.7 设函数
求
解
如图，
和
由这两个例子，得一般地
1.2.2极限的四则运算法则
x2 + 5x + 6 例5 求 lim 2 x →−2 x + x − 2
解
当 x → − 2 时，分子、分母的极限均为 0，此式叫 0 型未定式，
0
0 x 对于 0 型未定式不能用商的极限运算法则来求， 但当 x → − 2 时、 ≠ − 2 ， 即x + 2 ≠ 0， 因而在分子、 分母中可以同时约去不为 0 的公因子 x + 2 ， 然后再求极限. 即
lim[ f ( x)]k = [lim f ( x)]k .
推论3 存在， 推论 设limf(x)存在，则对于常数 ，有 存在 则对于常数c，
lim[cf ( x)] = c lim f ( x).
简言之，常数因子可以提到极限记号外面. 简言之，常数因子可以提到极限记号外面.
lim ⑤定理的条件： f ( x), lim g ( x), lim f i ( x) 均存在。 定理的条件： 均存在。
x+h − x 补例： 补例： lim h →0 h
1 2 n 例11 lim ( 2 + 2 + L + 2 ) n→∞ n n n
上式是无限项之和， 解 当x→∞ 时，上式是无限项之和，不能直接 应用法则(1)来求极限 但可以先将函数变形后， 来求极限， 应用法则 来求极限，但可以先将函数变形后， 再求出极限
此定理中的符号lim是指任意极限过程， lim是指任意极限过程 ①此定理中的符号lim是指任意极限过程，即自变 等各种情形， 量x的趋势可以是 x → x0 , x → ∞ 等各种情形， 甚至可以是数列。 甚至可以是数列。
极限存在准则与两个重要极限
100 000 2.718 27 100 000 2.718 30
1 000 000 2.718 28 1 000 000 2.718 28
e e
1.2 准则Ⅱ与第二个重要极限
因此，
lim
x
1
1 x
x
e
．
e 是无理数，它的值是 2.718 28 ．在 1.1 中提到的指数函数 y ex 及自然对数 y ln x 中的
（2） lim g(x) lim h(x) A ，
xx0
xx0
则有 lim f (x) A ． xx0
1.1 准则Ⅰ与第一个重要极限
作为准则Ⅰ及准则Ⅰ'的应用，下面证明一个重要极限： lim sin x 1 ． x0 x
证明 在图所示的单位圆中，设圆心角 BOA x ， AD 切圆 O 于 A ， 且与 OB 延长线相交于 D ，于是有
3 1
x 1
1
lim
x 1
3
x
2x 1
2x
lim
x
2x 2x
3 1
lim
x
1 1
3
x
2x
1 x 2x
1
3
e2
1
e2
e．
1.7 无穷小阶的比较
在 1.4 节中我们已经知道，两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但是关于两
个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当 x 0 时，2x ， x2 ，sin x 都是无穷小
an1
1
n
1
n1
1
1
1
21!1
n
1
1
1 3!
1
1 n
1
1.2极限的定义
1.2极限的定义经济数学⼀、函数的极限1. ⾃变量趋于⽆穷的情形⾃变量趋于⽆穷可分为趋于正⽆穷和负⽆穷，先讨论当x →+∞时，函数的极限。
定义1 设函数a a x f y (),()(+∞=在为某个实数)内有定义，如果当⾃变量x ⽆限增⼤时，相应的函数值)(x f ⽆限接近于某⼀个固定的常数A ，则称A 为+∞→x （读作“x 趋于正⽆穷”）时函数)(x f 的极限，记作A x f x =+∞→)(lim 或 )()(+∞→→x A x f例题求1limx x→+∞ 由图像可知，当x 趋于正⽆穷时，1x趋于零，故1lim x x →+∞＝0定义 2 设函数()y f x =∞在(-,a)(a 为某个实数)内有定义，如果当⾃变量x ⽆限增⼤且0x <时，相应的函数值()f x ⽆限接近于某⼀个固定的常数A ，则称A 为x →-∞（读作“x 趋⽯家庄财经职业学院于负⽆穷”）时函数()f x 的极限，记作lim ()x f x A →-∞=或)()(-∞→→x A x f例题求1limx x→-∞ 由图像可知，当x 趋于负⽆穷时，1x趋于零，故1lim x x →-∞＝0定义3 设函数)(x f y =在b x >b (为某个正实数)时有定义，如果当⾃变量x 的绝对值⽆限增⼤时，相应的函数值⽆限接近于某⼀个固定的常数A ，则称A 为∞→x （读作“x 趋于⽆穷”）时函数)(x f 的极限记作A x f x =∞→)(lim 或)()(∞→→x A x f由上述两个例题可知，1lim0x x →∞=，同理可证，21lim 0x x→∞= 定理1当x →∞时，函数()f x 的极限存在的充分必要条件是当x →+∞时和x →-∞时函数()f x 的极限都存在⽽且相等。
即lim ()x f x A →∞=的充分必要条件是lim ()lim ()x x f x f x A →-∞→+∞==．2.⾃变量趋于有限值0x 的情形引例对于函数21()1x f x x -=-当1x →时, 21()1x f x x -=-于常数2，此时我们称当x 趋近于1时，函数21()1x f x x -=-的极限为2定义4设函数)(x f y =在点0x 的去⼼邻域内有定义，如果当⾃变量x 在),?(0δxN 内⽆限接近于0x 时，相应的函数值)(x f ⽆限接近于某⼀个固定的常数A ，则称A 为当0x x →（读作“x 趋近于0x ”）时函数)(x f 的极限，记作A x f x x =→)(lim 0或)()(0x x A x f →→注意：1.()f x 在0x x →时的极限是否存在,与()f x 在0x 点处有⽆定义以及在点0x 处的函数值⽆关．2.在定义5中, x 是以任意⽅式趋近于0x 的,但在有些问题中，往往只需要考虑点x 从0x 的⼀侧趋近于0x 时，函数()f x 的变化趋向．例题求23lim x x →由函数图像可知,⽆论x 从哪⼀侧趋近于3时,函数值总是⽆限接近于9,故23lim 9x x →=定义5 设函数)(x f y =在点0x 的左半邻域),(00x x δ-内有定义，如果当⾃变量x 在此半邻域内从0x 左侧⽆限接近于0x 时，相应的函数值)(x f ⽆限接近于某个固定的常数A ，则称A 为当x 趋近于0x 时函数)(x f 的左极限,记作A x f x x =-→)(lim 0或0()()f x A x x -→→定义6 设函数)(x f y =的右半邻域)(0,0δ+x x 内有定义，如果当⾃变量x 在此半邻域内从0x 右侧⽆限接近于0x 时，相应的函数值)(x f ⽆限接近于某个固定的常数A ，则称A 为当x 趋近于0x 时函数)(x f 的右极限,记作0lim ()x x f x A +→=或0()()f x A x x +→→函数的左右极限有如下关系:定理2 0lim ()x x f x A →=的充分必要条件是00lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==．例题设函数()xf x x=,求()f x 在0x =处的左、右极限,并讨论()f x 在0x =处是否有极限存在.解: 因为当0x <时, ()1f x =-,因此0lim ()1x f x -→=-,⼜当0x >时, ()1f x =,因此0lim ()1x f x +→= 由定理2可知， 0lim ()x f x →不存在。
1.2 极限
函数������ ������ 可以没有定义），如果当������(������ ≠ ������������)以任意方
式趋近于������������时，相应的函数������(������)都无限趋近于某一确
定常数������，则称������为函数������(������)当������ → ������������时的极限，
������
1 ������ = cos������
������
������
−1
lim cos x 1 x0
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1.2.2 函数的极限
☼ 单侧极限
左极限: x从左侧无限趋近x0 , 即x x0 ,
右极限:
记作 lim f ( x) A 或 x x0
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“ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ”
正六边形的面积������1
正十二边形的面积������2
R
正 6 × 2������−1 形的面积������������
A1 , A2 , A3 , , An ,
1.2.1 数列的极限
【问题】当 n 无限增大时, xn如何变化?
观察数列
1 n
的变化趋势：
������
11 1 1 54 3 2
1,2上下极限,级数的收敛
3ln(1 n)
lim
n
sn
级数发散 .
注 可利用对数运算性质求出 sn .
30
例4
判别无穷级数
n n1 2n
的收敛性 .
解
sn
1 2
2 22
3 23
n 2n
1 2 sn
1 22
2 23
3 24
n 2n
1
n 2n1
1 2
sn
sn
1 2
sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
n 2n1
1
1 2n
n 2n1
sn
1 1 13 35
1
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
28
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim
n
1 (1 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
8
所以,H为有限数时,对于任意 0， xn中有无穷多项落在(H , H ) 中,而在(H , )中只有有限项.
(2).H=+时,xn无上界,所以,对于任 意N 0，xn中必有无穷多项大于N.
9
(3).H=-时, 对任何G 0, 存在n0,
极限的基本概念及判定方法
极限的基本概念及判定方法极限是微积分学中的基本概念之一，它是描述函数趋于某一特定值时的行为的数学工具。
在本文中，我们将介绍极限的基本概念并讨论常见的判定方法。
1. 极限的基本概念在微积分中，当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值也会相应地趋近于一个特定值，这个特定值就是函数的极限。
用数学符号表示为：lim(x→a) f(x) = L其中，lim表示极限，x→a表示自变量x趋近于a，f(x)表示函数，L表示极限值。
这个符号的意思是当x无限接近于a时，f(x)无限接近于L。
2. 极限的判定方法2.1 通过函数图像观察法最直观的方法是通过观察函数的图像来判断极限。
当自变量x趋近于某一值时，如果函数的图像趋近于某一水平线（如水平线y=L），则可以认为函数的极限存在，并且极限值为L。
2.2 代入法另一种用于判定极限的方法是代入法。
如果函数在某一点a的附近存在定义，并且当自变量x趋近于a时，函数的取值无限接近于某一特定值L，则可以通过代入a的值来验证极限的存在。
2.3 夹逼定理夹逼定理是一种常用的判定极限的方法。
如果函数f(x)、g(x)和h(x)满足以下条件：- 对于自变量x在a的某个邻域内，有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)；- lim(x→a) f(x) = lim(x→a) h(x) = L。
那么，当x趋近于a时，函数g(x)的极限存在，并且极限值为L。
2.4 无穷小量和无穷大量无穷小量是指在极限运算中趋于零的量，通常用符号o(x)表示。
相对应地，无穷大量则是在极限运算中趋于无穷的量，用符号O(x)表示。
通过无穷小量和无穷大量的概念，我们可以定义函数的极限。
3. 总结通过对极限的基本概念和判定方法的介绍，我们了解了极限的概念以及判定方法的一些基本原理。
在实际应用中，判定函数的极限可以通过观察函数图像、代入法、夹逼定理以及无穷小量和无穷大量的概念来进行。
掌握这些方法，可以帮助我们更好地理解函数在不同自变量取值下的行为，并在微积分学中应用。
极限的定义与极限存在的判定方法
极限的定义与极限存在的判定方法极限是高等数学中最基础和最重要的概念之一，是计算微积分、微分方程等高级数学问题的基础。
极限的存在性也是判断函数是否可导、连续等重要性质的基础。
那么，什么是极限？极限存在的判定方法又有哪些呢？一、极限的定义极限的定义是通过无穷小和无穷大的概念来描述的。
对于一个函数f(x)，当x趋近于a时，若f(x)可以无限接近于一个确定的数L，则称函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作：$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=L$其中，a为x的极限点。
如果对于任意一个ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么称L为f(x)在x=a时的极限。
二、极限存在的判定方法1. 函数存在左、右极限且相等当a为函数f(x)的间断点，但其左右极限都存在且相等，则f(x)在x=a时的极限存在。
例如：$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin{x}}{x}=1$在x=0时，函数的左右极限均为1。
2. 夹逼准则对于函数f(x)，若存在两个函数g(x)和h(x)，满足当x趋近于a 时，g(x)≤f(x)≤h(x)，且$\lim\limits_{x\rightarrowa}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}h(x)=L$，则函数f(x)在x=a时的极限存在，且等于L。
例如：$\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})=0$证明：由于|x|≥0，所以-1≤sin(x)≤1，于是有$-|x|\leq x\sin(\frac{1}{x})\leq |x|,\ \ x\neq0$当x趋近于0时，左右两边的夹逼条件都成立，因此可以得到$\lim\limits_{x\rightarrow0}-|x|\leq\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})\leq\lim\limits_{x\rightarrow0}|x|$即$0\leq \lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})\leq 0$由夹逼准则，可得$\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})=0$3. 函数具有保号性如果当x趋近于a时，函数f(x)的极限存在，且极限不为0，则函数f(x)在x=a时的符号和极限的符号相同。
微积分1.2极限的概念
lim x2 k −1 = −1.
k →∞
.
n→∞
lim x2 k = 1
∵ lim x2 k −1 ≠ lim x2 k ,∴ lim( −1)n 不存在.
极限的运算性质：
定理 设 lim xn , lim yn , 均存在，则
n→∞ n→∞
(1) lim( xn ± yn ) = lim xn ± lim yn
, x N , a + 1} ,
则对一切自然数n, 皆有 xn ≤ M ,
推论 无界数列必定发散.
唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
证明：设 lim xn = a , 又 lim xn = b,由定义
n→∞ n→∞
∀ε > 0, ∃N 1 , N 2，使得当n > N 1时，恒有 xn − a < ε ;
同时成立.
∴ ∀ε > 0, ∃N = max{ N 1 , N 2 } , 当n > N时 有 ( x n + yn ) − ( a + b ) = ( x n − a ) + ( yn − b ) ≤ x n − a + yn − b < ε + ε = 2ε 所以 lim( xn + yn ) = a + b
二、当自变量趋于无穷大时函数的极限
1. x → +∞时的情形
定义1 设 f ( x )是定义在[a , + ∞ )上的函数, A是常数. 若对于任意给定的正数ε , 总存在正数X , 使得 对任何x > X , f ( x ) − A < ε . 则称A为当x趋于正无穷大时 f ( x )的极限, 记为
1.2数列的极限
●
xn (1)n1 趋势不定
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定义: 若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列 的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称之发散 .
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
a xn a
收敛数列的任一子数列收敛于同一极限。（证明略）.
说明: 该性质有以下两个推论
● 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 , 则原数列一定发散
● 若数列有一个子列发散，则原数列一定发散 .
例如
发散 !
lim
k
x
2k
1
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内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
(n N)
即xn U ( a , )
(n N)
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例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
xn 1
n (1)n 1 n
0 , 欲使
即
只要
n
1
因此 ,
取
N
[1 ],
则当
n
N
时, 就有
n (1)n 1
n
故
lim
n
xn
lim n (1)n n n
1
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二、收敛数列的性质
1. （唯一性）收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法. 假设
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x 2n1
sin x
lim
n
2n
sin
x 2n
lim sin x 2n
n x
sin
x 2n
sin x . x
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(2) lim(1 1 )x e
那末 lim f ( x)存在, 且等于 A. x x0 ( x)
准则I和准则I' 称为夹逼准则.
注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn , 并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
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例1 求 lim( 1 1 L 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
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二、单调有界数列收敛准则
如果数列 xn 满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 单调数列 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
准则II 单调有界数列必有极限.
1.2 极限的判别准则
一、夹逼准则 二、单调有界数列收敛准则 三、两个重要极限的严格证明 四、小结
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一、夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 xn , yn及zn满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3 )
(2)
lim
n
yn
n n2 1 n2 2
n2 n
解
n n2 n
1 n2 1
1 n2 n
n, n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1,
n n2 1
n
1
1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 1 ) 1.
cos
2n
解 当x=0时，原式=1. 当x≠0时，
x
Q (lim 2n 1)
n
sin
x 2n
原式
lim
2n
sin
x 2n
cos
x 2
cos
x 4
cos
x 2n
n
2n
sin
x 2n
lim
n
2n1
cos
x 2
cos
x cos 4
2n
sin
x 2n
x 2n1
x
sin
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又因x1 3 3, 假定 xk 3,
xk1 3 xk 3 3 3,
因此
xn
是有界的
;
所以 lim n
xn
存在.
又因
xn1 3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
x2 n1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A,
2
当 0 x 时, cos x sin x 1,
2
x
Q limcos x 1, lim1 1,
x0
x0
sin x lim 1.
x0 x
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一般等价形式：
sin x lim 1 x0 x
lim x sin 1 = 1;
解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)，所以
2
2
1 13
lim
n
xn
. 2
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三、两个重要极限的严格证明
(1) lim sin x 1 x0 x
C B
o
x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
a
,
取 N max{N1, N2}, 以上两式同时成立,
即 a yn a , a zn a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
2
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD ,
于是有sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
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sin x x tan x, 即 cos x sin x 1,
x
上式对于 x 0也成立. 于是可得
证 先证 xn1 xn ,因为 x1 3, x2 3 x1 3 3 3 x1,
假定 xn xn1,则
xn1 xn
3 xn 3 xn1
xn xn1
0,
3 xn 3 xn1
所以xn 是单调递增的 ;
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准则II几何解释:
lim
n
xn
A
(
M
)
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
lim
n
xn
B
(m)
mB
xn1xn
x3
x2
x1
x
(
证明略
)
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例2 证明数列 xn 3 3 L 3 (n重根式) 的极限存在.
x
x
sin ( x)
lim
1;
( x)0 ( x)
1
lim a ( x)sin = 1.
a (x)
a (x)
具体证明可参见教材P23：
注 主要是利用的复合函数的极限运算法则即可.
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例3
求
xx
x
lim cos
n
2
cos
4
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o
准则 I′ 如果当 x U( x0, )(或 x M )时,有 (1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
a,
lim
n
zn
a,
那末数列 xn的极限存在,
且lim n
xn
a.
证 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
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当 n N1时恒有 yn a ,
当n
N
时恒有
2
zn