第八章多元函数微分法及其应用.doc

第八章多元函数微分法及其应用 一、内容提要

多元函数微分法是一元两数微分法的推广，有许多相似之处，学习时应 注意对比，搞清界同.

1. 基本概念与定理

设函数U = f(P),点P 可以是1,2,3,…丿维的.当n>2时,称此函数为多 ① 二元函数z = /(X, y)在儿何上表示空间一张曲面.

② 二元函数z = /(x,y)在点心(巾,儿)处的极限、连续、偏导数、全 微分的定义及关系.

极限 lim f(x,y) = A ： V^>0,3t> >0,当

X->X0 .v->yo

()< p = J(_r_x ())2 +(y _y ())2 < 6时，有 I f(x, y) - A \

注意定义中的(兀,y)是以任意方式趋于点(兀0*0)•

连续旣

= A (x o ,Vo )= lim 血牛匕血血,個定尸y°);

A TT O

/\x

= /v (x o ,yo )= I- 5小+节)-/皿儿),(固込》。) Ay->0 Ay

二阶偏导数.

类似,可定义三阶以上的偏导数.

_ 可微 若全增量A< = f(x 0 +

心,y ()+ Ay) - f(x 0,y 0)町表示为 Az = AAx + BAy + o(p),其中 q 二 J (心尸 +(2\)护， 则称z = f (x, y)在点P 0(x 0,y 0)可微.而AAx + BAy 为函数z = f (x, y)在点 P ()(w )，y ())的全微分，记

作

dA. . =AAx + B^y

定理1若函数z = /(x,y)的二阶混合偏导数f xy (x,y)及 /vx (x,y)在区域D 内连续，贝I 」在该区域内(x, y) = /VA .(x,y) •

偏导 高阶偏导

—阶偏导数f x (x, y), fy (x, y)的偏导数，称为函数f (x, y)的 a?

= /.u-UoO=£

dydx

空、 dx )

定理2若两数z = /(x,.v)在点(x,y)可微 则必在该点连续.

定理3若函数z = /(x,y)在点(")可微,则该函数在点(兀,y)的两个一 阶偏导数存在.

定理4若函数z = /(x,y)在点(x,y)有一阶连续偏导数,则函数在该点 可微 且血=fx(x,力dx+ fy(x,y )dy

③ 多元函数屮极限、连续、偏导数的运算法则、全微分形式的不变性、 初等函数的连续性、最大(小)值定理、介值定理均有与一元函数类似或 相应的性质.

④ 方向导数 堂=恤mw+ △)•)-/(“)

dl 0->()

p

(其中° = J (心尸+(△)¥)

定理5若函数 S 在点P(A _y)可微,则函数/(x,.y)在该点沿任 —•方向7的方向导数为

堂=型心° +型COS0

dl dx

彷

其屮cos cos 0为i 的方向余弦.

推广 若函数u = f (x, y,Z )在点M (x, y,z)叫微，则函数f(x f y,z)在该点 沿任一方向/的方向导数为

df df df Q cf

—=—cos a + — cos p + — cos / dl dx dy &

其中COS Q, COS 0 , COS 了为7的方向余眩

⑤ 梯度

gradMx,沪 Z ； +冬了 = dx cy

堂;•+堂

八型2」堂，堂，堂I

dx dy dz [6x dy 8z

结论方向导数沿梯度方向収得最大值，最大值为梯度的模.

2. 多元函数的求导运算

多元复合函数求导

① 若z = /(w, v),M =(p(x, y)9 V =

y).则偏导数为：

& dz du dz dv dz _ dz du dz dv dx

du dx

dv dx ， dy du dy

dv cy

② 若乙=f(x, )9, x =(p(t\ y = y/(t).则全导数为：

dz dz dx dz dy dt

dx dt

dy dt

S radf {w )=.dx

肝 &

③若2 = /(x, y, w, v), u =(p(x, y), v = ^(x, y).则偏导数为

df ou of ov dz df of du cf dv

辭善的区别.

dx

du dx dv dx，dy dy du级dv dy

各是在复合函数z = /[x, y,0(x,y),0(x,刃]中视y为常量，对x求导.

CX

耍是在四元函数z = /(x, y,w,v)屮视_y,s为常量，对x求导.

dx

各是在复合函数z = f[x,y,(p(x9 y)"(x, y)]屮视x为常量，对y求导.

笑是在川元函数z = /(x,y,«,v)屮视兀s为常量，对y求导.

隐函数求导

①由方程F(x,.y, z)=()确定的隐函数乙=灾,刃满足隐函数定理的条件, 则

6z 二Fx dz =F y

dx F_ ' dy F.

②由方程组[牛”沪:确定的隐函数"Z⑴,)，=回贝IJ方程两边分

[G(x y” z) = 0

别对兀求导，得到关于字，各的方程组，解出即可.

高阶偏导仿一元函数的情况，按指定白变量逐阶求导.

dx dx

3.应用

(1)几何应用

[x =(p(t)

①空间曲线r：＜y =在对应『0的点M (x0, y0,勺)处

Z = co{t)

的切线与法平面方程.

切向量为T = 0(心),屮©0),少(『0)}

切线方程±_乞=二＞=二£1

必0)心0)必0)

法平面方程0(6)0-％) +『(“))(y -)S)+ 必0)(Z - Zo) = 0

②空间llh面S: F(x, y,z) = 0上点Mdo,儿,引)处的切平面与法线方程. 法

向量为n = {化.(兀0貯0，勺)，心(兀0，沟山0)，&So*o，Zo)} 切平面