加权余量法简介

()
可见不同的配点结果是不一样的。
最小二乘法解 此时消除余量的条件为:

可得:
l
0
RI
l RI dx EIc 120 x 24l q EI 120 x 24l dx 0 0 c
0.01017 q C EIl
B
3
0.1424ql 4 EI
大量的结构分析问题，如杆系结构分析、二维及三维 弹性结构分析，以及板、壳应力分析等等，都可归结为在 一定的边界条件(或动力问题的初始条件)下求解微分方程 的解，我们称这些微分方程为问题的控制方程。 下面以加权余量法的数学模型和基本方法两个方面来介 绍加权余量法的基本概念。
5.1.1 方法概述及按试函数分类
伽辽金法解 此时， N1 x5 lx4 14l 2 x3 26l 3 x2 消除余量的条件为:

由此可得:
0.00908q EIl
l
0
N1RI dx 0
C
B
4
0.1262ql 4 EI
矩法解 由于只有一个待定常数，因此消除余量条件只需零次矩即可, 此时显然与子域法完全相同。
代回 () 式可得:
B
1
7 ql 4 42 EI
配点法解 同上所述，只需选一个配点来建立消除余量的条件。若令:
RI
x 0.75l
0
可得 : 若令: 则得:
C
q 114 EIl
B
2
7 ql 4 57 EI
RI xl 0
q 144 EIl
C
B
2
7 ql 4 72 EI
设问题的控制微分方程为:
L(u ) f 0 (5.1.1) 在V域内 B(u ) g 0 (5.1.2) 在S边界上 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数。
， 当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u 一般具有如下形式：
P、Pi—分别代表求解域内任一点和配点。 由于此法只在配点上保证余量为零，因此不需要作积分计算， 所以是最简单的加权余量法
3．最小二乘法(Least Square Method) 本法通过使在整个求解域上余量的平方和取极小来建立消除余 量的条件。 I (C ) RI2 dV RIT RI dV 若记余量平方和为I(C)，即 V V 则极值条件为:
d4y EI 4 q 0 dx
其边界条件为:
dy y 0 dx 2 3 d y d y 0 dx 2 dx3 ( x 0) (x l)
若取试函数为:
c( x5 lx4 14l 2 x3 26l 3 x2 ) y
()
不难验证其满足边界条件，也即 RB 0 。而控制方程的内部余量 RI 为:
RI EIc(120 x 24l ) q
因此本问题属内部法。下面分别用基本方法进行求解。 子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域）即 可，消除余量的条件为:
EIc 120 x 24l q dx 0
0 l
由此可解得:
c
q 84 EIl
WIi xi-1
WIij xi-1 y j -1
(i 1, 2, , n)
(i, j 1, 2, , n)
度彼此相近。但对低阶近似 (n较小)情况下，后三种的精度
要高于前两种。
基本方法举例 为说明上述基本概念，以图所示等截面悬臂梁，受满跨均布荷 载作用，求悬臂端B的竖向位移 B 为例，说明基本方法的应用。 图示梁的控制方程为:
Ci Ni NC u
i 1
n
(5.1.3)
式中： Ci —— 待定系数，也可称为广义坐标；
Ni ——取自完备函数集的线性无关的基函数。
一 般只是待求函数u的近似解，因此将式(5.1.3) 由于 u
代入式(5.1.1)和式(5.1.2)后将得不到满足，若记：
) f RI L(u ) g RB B(u
(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高 阶导数低一阶的导数连续性。 (3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。若计算 问题具有对称性，应充分利用它。
5.1.2 基本方法概述
下面以内部法为例，介绍按权函数分类时加权余量的五种基本
方法。对内部法来说，消除余量的统一格式是:
W R dV 0
B
W R dV 0
V Ii I
(i 1, 2, , n)
(5.1.6)
2．边界法 W 试函数满足控制方程，也即
Ii
) f 0 RI L(u
此时消除余量的条件为:
(5.1.7)
W
S
Bi
RB dS 0
(i 1, 2, , n)
3．混合法 试函数不满足控制方程和边界条件，此时用式(5.1.5)来消除余量。
前面所介绍的各种有限元法都是将整个求解域进行离 散，以单元为分析对象，设法建立单元的变量场，然后应
用能量原理或广义变分原理导出单元列式及整体分析方法，
从而解出用于建立单元变量场的基本未知量，进而求得其 他所需的物理量。
为解决工程实际计算还有一些其他数值方法，如加权余 量法、边界元法、样条有限元法、半解析法等，它们在计算 力学中形成了自己独特的理论和方法，内容也非常丰富，已 有大量文献资料和专著。本章只能对加权余量的基本概念、 方法和基本思路等作一简单介绍，为深入研究或进一步学习 打下必要的基础。
(5.1.5)
不同的权函数 WIi 和 WBi 反映了不同的消除余量的准则。从上 式可以得到求解待定系数矩阵C的代数方程组。一经解得待定 系数，由式(5.1.3)即可得所需求解边值问题的近似解。
的不同，余量 RI 和 RB 可有如下三种情况， 由于试函数 u 依此加权余量法可分为： 1．内部法 ) g 0 试函数满足边界条件ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ也即 R B(u 此时消除余量的条件成为:
5.1 加权余量法的基本概念 加权余量法(Method of Weighted Residuals)或称加权残值 法或加权残数法，是一种直接从所需求解的微分方程及边 界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。 早在20世纪30年代就在数学领域得到应用，随着计算机 的发展，它受到了国内外学者的普遍重视，得到了迅速的 发展。自1982年召开“全国加权残数法学术会议”后，我 国加 权余量法在结构分析领域内的应用已从静力发展到动力、 稳定、材料非线性和几何非线性等各方面。
本例各方法的精度比较 本问题的精确解由梁位移计算可得为:
B ql 4 0.125ql 4 = 8 EI EI
由此可得，上述各方法对本例计算的误差依次为: -33.3％；1.75％（22.2％）；13.9％；0.96％；-33.3％ 上面22.2％为式 () 结果。
显然，混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度 条件下，工作量最大。对内部法和边界法必须使基函数事先 满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函 数一经建立，其工作量较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：
（1）试函数应由完备函数集的子集构成。已被采用过的试函 数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪 夫和勒让德多项式等等。
显然 RI 做内部和边界余量。
在V域内
在S边界上
(5.1.4)
、 RB反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
若在域V内引入内部权函数 WI ，在边界S上引入边界权函数 WB 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
W
V
Ii
RI dV WBi RB dS 0
S
(i 1, 2,, n)
V Ii I
(i 1, 2, , n)
1．子域法(Subdomain Method)
此法首先将求解域V划分成n个子域 Vi ，在每个子 域内令权函数 等于1，而在子域之外取权函数为零，也即:
1 (Vi内) WIi 0 (Vi 外)
如果在各个子域里分别选取试函数，那么它的求解在形式上将
当试函数 u 包含整个完备函数集时，用本法必可求得精确解。
5．矩法(Method of Moment) 本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。 但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。 消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此 对一维问题 对二维问题 其余类推 这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精
类似于有限元法。
2. 配点法(Collocation Method) 子域法是令余量在一个子域上的总和为零。而配点法是使 余量在指定的n个点上等于零，这些点称为配点。此法的权 函数为:
WIi （P P i）

Dirac(犹拉克) 函数，它的定义为:
x xi 0 ( x x ) i x xi xi a , b 0 b ( x x )dx i a 1 xi a , b
R I (C ) 2 ( I )T RI dV 0 V C C
由此可见，本法权函数为:
WIi
RI Ci
(i 1, 2,, n)
4．伽辽金法(Galerkin Method) 本法是使余量与每一个基函数正交，也即以基函数作为权函数
WIi Ni (i 1, 2,, n)