计算力学历年考博真题-东南大学土木学院

2009年计算力学

一、论述题

1、某对称实体结构，采用自编有限元软件分析，求解线性方程组的核心算法为高斯消元法，四节点空间四面体单元分网。计算完成后发现，在对称荷载作用下结构的位移和应力分布不对称，并且结构中应力值与试验值相比有较大误差。试问何种原因导致上述情况的发生？有何处理办法？

答：利用空间四面体单元划分，难以达到完全的对称或者反对称，应根据对称性去该单元的1/2或1/4进行分析，然后由对称性进行还原。

应力值与试验值有较大差别：（1）四面体单元精度低，尤其在应力复杂区域的误差较大；（2）高斯消去法为直线解法，在系统阶数较高时，系统矩阵舍入误差大。

处理方法：（1）应力复杂区域网格加密或引入高次元；（2）系统阶数较高时，采用迭代解法；（3）宜采用三角形或四边形单元。

2、如果三节点三角形单元绕其中一个节点做小的刚体转动，其转角为 ，其单元内所有的应力均为零，为什么？

3、一般情况下，有限元方法总是过高计算了结构的刚度，所以求得的位移小于真实解，为什么？如果单元不满足协调性要求，情况如何？（非试卷题目）如果采用缩减积分（p153）单元，情况又如何？（王瑁成P48）

答：单元是实际连续体的一部分，具有无限多个自由度，在假定了单元位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此连续体的刚度随之增加。离散后的总体刚度矩阵较实际的大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。

当单元为非协调元时，由于单元位移在胶结面处未严格满足连续性要求，使得结构刚度有所降低，[K]总体减小，所以{a}更趋于真实解。

采用减缩积分，积分点数减少，使得结构刚度有所降低，[K]总体减小，所以{a}更趋于真实解。

4、平板理论解决薄壳问题，其基本假设是什么？有何特点？

答：（1）直线假定，即变形前垂直于板中面的直线，在弯曲变形后仍为直线，且垂直于弯曲后的中面，说明在平行于中面上没有剪应变，即有yz =0γ，zx =0γ；

（2）板厚不变假设，即忽略板厚的变化。这说明z =0ε，即：0w z

∂=∂，由此可知w 位移仅为x,y 的函数，w =w (x,y)；

（3）中面上正应力远小于其他应力分量假设，平行于中面的各层相互不挤压、不拉伸，沿Z 轴的应力可以忽略；

（4）中面无伸缩假设。弯曲过程中，中面无伸缩。

5、写出三种推导单元刚度矩阵通常使用的方法，并简述每一种方法。

（1）直接平衡法，通过基本单元的力平衡条件和力和位移关系得出联系节点力和节点位移的刚度矩阵和单元方程，适用于线性单元或一维单元；

（2）功和能量法，利用虚功原理和最小势能原理来推导单元方程，可建立二维或三维单元方程。虚功原理可用于任何材料，最小势能原理只能应用于弹性材料；

（3）加权余量法，用一族带有待定参数的已知函数来近似场函数，在等效积分形式中通过选择待定参数，强迫近似解产生的残差余量在某种平均意义上等于零，从而得到单元方程。二、计算分析题（15分*4题=60分）

1、图1所示三角形单元，E=2000000N/cm2，厚度t=2cm ，泊松比u=0.3，i 、j 、m 三节点的位移分别为（-0.001，-0.01），（-0.002,0.01），（-0.002，0.02），求单元的形函数和P 点位移。

图1

2、求图2所示8节点等参单元的节点等效荷载。（王瑁成P114）

图2

3、如图3所示结构：

（1）试问节点编号哪一种最好？

（2）图（a）中，如图采用二维等带宽存储结构刚度矩阵，该存储数组的界为多少？（3）图（a）中，分块刚度矩阵[K54]是由哪些元素组成？（提示：[K54]中5、4为节点号）

答：（1）图（a）中节点编号最好；

（2）界=n*D；D为半带宽；这里n=24，D=（3+1）*2=8；界=24*8=192。

（3）[K97][K98][K107][K108]

P612.2.2）图4

解：根据最小势能原理可知0

p δ∏=故有000

('')''0l l l

p f EIv v dx k v vdx w vdx δδδδ∏=+-=⎰⎰⎰对第一项分部积分0000

('')''('')'('')'('')''l l l l EIv v dx EIv v EIv v EIv v δδδδ=-+⎰⎰则000[('')'']('')'('')'0l l l

f EIv k v w vdx EIv v EIv v δδδ+-+-=⎰引入强制边界条件和自然边界条件使00('')'('')'0

l l

EIv v EIv v δδ-=由于v δ的任意性故控制微分方程为('')''0

f EIv k v w +-=此梁的位移函数{}11213242()()()()()[]h e e e e v x N x v N x N x v N x N d θθ=+++=，则{}{}[]v N d δδ=由于物理关系可知[]{}''()v x B d =则{}{}

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[]i i x e T x F N wdx +=⎰