计算力学历年考博真题-东南大学土木学院

2009年计算力学一、论述题1、某对称实体结构，采用自编有限元软件分析，求解线性方程组的核心算法为高斯消元法，四节点空间四面体单元分网。

计算完成后发现，在对称荷载作用下结构的位移和应力分布不对称，并且结构中应力值与试验值相比有较大误差。

试问何种原因导致上述情况的发生？有何处理办法？答：利用空间四面体单元划分，难以达到完全的对称或者反对称，应根据对称性去该单元的1/2或1/4进行分析，然后由对称性进行还原。

应力值与试验值有较大差别：（1）四面体单元精度低，尤其在应力复杂区域的误差较大；（2）高斯消去法为直线解法，在系统阶数较高时，系统矩阵舍入误差大。

处理方法：（1）应力复杂区域网格加密或引入高次元；（2）系统阶数较高时，采用迭代解法；（3）宜采用三角形或四边形单元。

2、如果三节点三角形单元绕其中一个节点做小的刚体转动，其转角为 ，其单元内所有的应力均为零，为什么？3、一般情况下，有限元方法总是过高计算了结构的刚度，所以求得的位移小于真实解，为什么？如果单元不满足协调性要求，情况如何？（非试卷题目）如果采用缩减积分（p153）单元，情况又如何？（王瑁成P48）答：单元是实际连续体的一部分，具有无限多个自由度，在假定了单元位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此连续体的刚度随之增加。

离散后的总体刚度矩阵较实际的大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。

当单元为非协调元时，由于单元位移在胶结面处未严格满足连续性要求，使得结构刚度有所降低，[K]总体减小，所以{a}更趋于真实解。

采用减缩积分，积分点数减少，使得结构刚度有所降低，[K]总体减小，所以{a}更趋于真实解。

4、平板理论解决薄壳问题，其基本假设是什么？有何特点？答：（1）直线假定，即变形前垂直于板中面的直线，在弯曲变形后仍为直线，且垂直于弯曲后的中面，说明在平行于中面上没有剪应变，即有yz =0γ，zx =0γ；（2）板厚不变假设，即忽略板厚的变化。

这说明z =0ε，即：0w z∂=∂，由此可知w 位移仅为x,y 的函数，w =w (x,y)；（3）中面上正应力远小于其他应力分量假设，平行于中面的各层相互不挤压、不拉伸，沿Z 轴的应力可以忽略；（4）中面无伸缩假设。

弯曲过程中，中面无伸缩。

5、写出三种推导单元刚度矩阵通常使用的方法，并简述每一种方法。

（1）直接平衡法，通过基本单元的力平衡条件和力和位移关系得出联系节点力和节点位移的刚度矩阵和单元方程，适用于线性单元或一维单元；（2）功和能量法，利用虚功原理和最小势能原理来推导单元方程，可建立二维或三维单元方程。

虚功原理可用于任何材料，最小势能原理只能应用于弹性材料；（3）加权余量法，用一族带有待定参数的已知函数来近似场函数，在等效积分形式中通过选择待定参数，强迫近似解产生的残差余量在某种平均意义上等于零，从而得到单元方程。

二、计算分析题（15分*4题=60分）1、图1所示三角形单元，E=2000000N/cm2，厚度t=2cm ，泊松比u=0.3，i 、j 、m 三节点的位移分别为（-0.001，-0.01），（-0.002,0.01），（-0.002，0.02），求单元的形函数和P 点位移。

图12、求图2所示8节点等参单元的节点等效荷载。

（王瑁成P114）图23、如图3所示结构：（1）试问节点编号哪一种最好？（2）图（a）中，如图采用二维等带宽存储结构刚度矩阵，该存储数组的界为多少？（3）图（a）中，分块刚度矩阵[K54]是由哪些元素组成？（提示：[K54]中5、4为节点号）答：（1）图（a）中节点编号最好；（2）界=n*D；D为半带宽；这里n=24，D=（3+1）*2=8；界=24*8=192。

（3）[K97][K98][K107][K108]P612.2.2）图4解：根据最小势能原理可知0p δ∏=故有000('')''0l l lp f EIv v dx k v vdx w vdx δδδδ∏=+-=⎰⎰⎰对第一项分部积分0000('')''('')'('')'('')''l l l l EIv v dx EIv v EIv v EIv v δδδδ=-+⎰⎰则000[('')'']('')'('')'0l l lf EIv k v w vdx EIv v EIv v δδδ+-+-=⎰引入强制边界条件和自然边界条件使00('')'('')'0l lEIv v EIv v δδ-=由于v δ的任意性故控制微分方程为('')''0f EIv k v w +-=此梁的位移函数{}11213242()()()()()[]h e e e e v x N x v N x N x v N x N d θθ=+++=，则{}{}[]v N d δδ=由于物理关系可知[]{}''()v x B d =则{}{}''[]v B d δδ=由000('')''0l l l f EIv v dx k v vdx w vdx δδδ+-=⎰⎰⎰得{}{}{}{}{}{}{}{}111([][])([][])([])i i i i i i x x x T T T e e e e e T T T f x x x d B EI B dx d d N k N dx d d N wdx δδδ++++=⎰⎰⎰故有梁单元刚度方程为[]{}{}e e e k d F =其中[]11[][][][]i i i i x x e T T f x x k EI B B dx k N N dx ++=+⎰⎰，{}1[]i i x e T x F N wdx +=⎰2011年计算力学一、简单题（每题8分，共40分）1、为什么可以用面积坐标代替笛卡尔坐标，用面积坐标有何优点？答：（1）在有限元中，面积坐标和笛卡尔坐标具有相同的形函数（插值函数），求得的位移、应变、应力同笛卡尔坐标内求得的相同。

（2）面积坐标计算简单，笛卡尔坐标内求解待定系数多，计算冗杂。

2、设定位移函数的原则是什么？（傅永华P24）答：选择的原则是：使多项式具有对称性以保证多项式的集合各向同性，尽可能保证低次项以保证具有较好的近似性。

构造位移函数可采用Passcal 三角形。

位移模式应满足以下收敛性条件：（1）包含单元的常应变状态；（2）包含单元的刚体位移；即单元要满足完备性；（3）尽可能反应位移的连续性，即单元要满足协调性。

3、试写出三角形壳单元的刚度矩阵？有什么问题？如何解决？（p398-401）引：平面壳体单元可以看成是平面应力单元和平面弯曲单元的组合，因此其单元刚度矩阵可以由两种单元的刚度矩阵集合而成。

上标m 表示属于薄膜应力状态，b 表示属于平板弯曲状态。

由于在单元刚度矩阵中已令zi θ方向的刚度系数为零，在局部坐标系中，这个结点的地6个平衡方程（相应于zi θ方向）将是0=0。

如果总体总体坐标系'z 方向与这一局部坐标系z 方向一致，显然总体刚度矩阵的行列式K =0，因而系统方程将不能有唯一的解。

如果总体总体坐标系'z 方向与这一局部坐标系z 方向不一致，在此结点得到表面上正确的6个平衡方程，但它们实际上是线性相关的，仍然导致K =0。

为克服这一困难，有2个解决办法：（1）对于此结点，仍在局部坐标系内建立结点平衡方程，并删去zi θ方向的平衡方程0=0，于是剩下的方程组满足唯一解的条件。

但此法在程序处理上比较麻烦。

（2）再次结点上，给以任意的刚度系数zK θ，这时在局部坐标系内，此结点在zi θ方向的平衡方程是zzi K θθ=0。

经变换后，总体坐标中的系统方程满足唯一解的条件，即0K ≠，在解出的位移中包含zi θ。

由于zi θ与其他结点平衡方程无关，并且也不影响单元应力，所以实际上给定任意的zK θ值都不影响计算结果。

此方法在程序处理中比较方便。

4、什么是精确积分，什么是减缩积分？为什么减缩积分往往得到更好地结果？（王P153）答：（1）精确积分：高斯积分价数等于被积函数所有项精确积分所需价数的积分方案；（2）减缩积分：高斯积分价数小于被积函数所有项精确积分所需价数的积分方案。

（3）实际计算表明：采用减缩积分往往可以取得较精确积分更好地精度。

原因在于：①精确积分常常由插值函数中非完全项的最高方次所要求，而觉定有限元精度的通常是完全多项式的方次；②在最小位能原理基础上建立的位移有限元，其解答具有下限性质。

即有限元的计算模型具有较实际结构偏大的整体刚度。

选取减缩积分方案将使有限元计算模型的刚度有所降低，因此有助于提高计算精度。

5、等参变换前后精度是否改变了？为什么？（王P131-138）答：单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相同的插值函数进行变化称为等参变换。

采用等参变换的单元称为等参元。

利用等参元对一般的任意几何形状的工程问题和物理问题进行有限元离散时，涉及数值阶次的选择，积分阶次将直接影响计算精度。

因此，等参变换前后精度发生了改变，可通过选择积分阶次来保证积分精度。

二、论述计算题（共60分）1、用变分原理证明最小势能原理，并讨论其下限性质。

（王P48）2、带刚域的工字梁，受均布荷载作用，如图所示。

已知E、I、啊，求图中1,2两点的挠度和转角。

（一个单元）3、如图，单元①为6节点三角形单元，单元②为4节点四边形单元，作用荷载如图，求1,4,5节点的等效荷载。

（图中节点1-5在总体坐标中的坐标值已知）2012年计算力学一、简答题1、等参元的收敛性证明。

（p138）答：证明等参元的收敛性，即证明单元必须是协调的和完备的。

为研究单元集合体的协调性需要考虑单元之间的公共边或面。

为了保证协调，相邻单元在公共边或面上应有相同的节点，同时每一个单元沿这些边或面的未知函数应采用相同的插值函数加以确定。

等参元满足协调性要求。

等参元能反应单元的常应变状态（一次项）和刚体位移（常数项），满足完备性要求。

因此等参元收敛性得到证明。

2、选取位移函数应遵守的原则。

（同2011第2问）答：选择的原则是：使多项式具有对称性以保证多项式的集合各向同性，尽可能保证低次项以保证具有较好的近似性。

构造位移函数可采用Passcal 三角形。

位移模式应满足以下收敛性条件：（1）包含单元的常应变状态；（2）包含单元的刚体位移；即单元要满足完备性；（3）尽可能反应位移的连续性，即单元要满足协调性。