基于MATLAB自适应均衡器
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在抽样时刻 t kTS (设系统无延时时)上，有
N
yk Ci xki i N
上式说明，均衡器在第 k 个抽样时刻上的样值 yk 将有 2N+1 个 Ci 与 xki 乘积之 和来决定。显然，其中除 y0 以外的所有 都属于波形失真引起的码间串扰。当输 入波形 给定，及各种可能的 xki 确定是，通过调整 使指定的 等于零时容易 办到的，但同时要求所有的 （除 k=0 外）都等于零却是一件很难的事。这也说 明，利用有限长的横向滤波器减小码间串扰是可能的，但完全消除是不可能的。 为了反映这些失真的大小，我们可采用最小均方和迫零算法准则来衡量。本实验 采用最小均方误差算法（LMS）。
定义梯度矢量为
J ndef 0 J n, 1J n,....,M 1J nT
以及输入矢量和抽头系数矢量： xn xnxn 1.....xn M 1T wn w0 nw1n.....wM 1nT
则此式可以写作以下矢量形式：
令
en dn yn dnW H X n
表示滤波器在 n 时刻的误差，并定义均方误差
J nde
E en 2
E
d
n
W
H
xn
2
为代价函数。
由梯度的定义可以得出，代价函数相对于滤波器抽头系数矢量 w 梯度为
k J n 2 E x n k e n 2Exn k dnW H xn ,k 0,1,...，M 1
从上式中可以看出，滤波器抽头系数矢量的更新迭代与 rxd 和 Rxx 有关，而实际
的信号处理过程中， rxd 和 Rxx 都不是能够先验知道的，因此通常用梯度的估计值
J
n
1
来代替
J
n
1
.
J
n
2
xnd
n
xn
H
wk.baidu.com
xnwn
可得
wn wn 1 n xnd n X nH xnwn
y1=y(n+M-1:-1:n-M-1); d1=wk*y1'; e(n)=x(n)-d1; wk=wk+u*e(n)*y1; e(n)=10*log10(abs(e(n))); endq error=error+e; end 4.得到横向滤波器系数 wk 输出结果:wk =
Columns 1 through 9 -0.0058 0.0297 0.0283 0.0247 -0.0147 -0.0118 0.0385
x=sign(rand(1，len)-0.5);%采用 PN 码作为训练序列 noise=randn(1，N)/10.^(snr/10);%AWGN y=conv(isi，x)+noise;%输出 wk=zeros(1，order);%横向滤波器系数 for n=order:N-M+1 %LMS 算法
电子信息系 综合课程设计
基于 Matlab 的自适应均衡器设计
专业名称 班级学号 学生姓名 指导教师 设计时间
通信工程 2010.12.20~2011.1.7
课程设计任务书
专业： 学号： 学生姓名（签名）：
设计题目：基于 Matlab 的自适应均衡器设计
一、设计实验条件
实验室，Matlab 软件
二、设计任务及要求
时域均衡是利用均衡器产生的时间波形去直接校正已畸变的波形，使包括均 衡器在内的整个系统的冲击响应满无码间串扰条件。频域均衡是从校正系统频率 特性出发，使包括均衡器的基带系统的总特性满足无失真传输条件；频域均衡在 信道特性不变，且在传输低速数据时是适用的。而时域均衡可以根据信道特性的 变化进行调整，能够有效地减小码间串扰，故在高速数据传输中得以广泛应用。
此次课程设计是自适应均衡器设计。我们按照查找资料、软件选择、系统设 计、仿真实现、结果优化这一流程进行。不仅使我们进一步巩固了课程知识，也 提高了我们分析问题、解决问题的能力。
二、设计主体：
1 、设计原理 数字信号经过这样的信道传输以后，由于受到了信道的非理想特性的影响，
在接收端就会产生码间干扰(ISI)，使系统误码率上升，严重情况下使系统无法继续 正常工作。理论和实践证明，在接收系统中插入一种滤波器，可以校正和补偿系 统特性，减少码间干扰的影响。这种起补偿作用的滤波器称为均衡器。
Wopt Rxx1rxd
式中 Rxx 是输入信号矢量 xn的互相关函数， rxd 是输入信号矢量xn 与期望信号矢 量 d n的互相关函数。直接求解式此式的运算量非常大，尤其当滤波器的抽头系
数个数比较多时。 考虑如图 4 所示的自适应 FIR 滤波器：
图 4 自适应 FIR 滤波器
wn 1 ne nxn
其中 en d n yn为滤波器输出与期望信号的误差函数。上式就是 LMS 算法抽
头系数的更新公式，容易验证。
J
n是J
n
的无偏估计，
通过上面的讨论可以总结出 LMS 算法的具体步骤如下：
步骤 l ：初始化抽头系数矢量 wn 0,0....T , n 0 ；
注释 2
：若取 n
x
a
H nxn
,
其中a
(0,2），
0, 则的到归一化 LMS 算法。
注释 3 ：在功率归一化算法中，取
n
a
2
x
n
,
其中
2 x
表示xn
的方差,
可由
2 x
2 x
n
1
e
2
n
递推计算，这里
(0,1) 为遗忘因子，由 0<a< 2 确定，而 M 是滤波器阶数. M
最常用的下降法为梯度下降法，又称最陡下降法。在这种算法里，更新方向
矢量 v(n)取作第 n-1 次迭代的代价函数 J（n-1）的负梯度，即最陡下降法的统一
形式为
wn wn 1 1 nJ n 1
2
系数 1 为了使得到的更新公式更加简单 2 可得抽头系数矢量的更新公式为
wn wn 1 nrxd Rxxwn 1
图 1 数字基带传输系统
在实际中，当数字基带传输系统（如图 1）的特性 H () GT C()GR 不
满足奈奎斯特第一准则时，就会产生有码间串扰的响应波形。现在我们来证明：
如果在接收滤波器和抽样判决之间插入一个称之为横向滤波器的可调滤波器，其
冲激响应为
hT (t) Cn (t nTS ) n
-0.0574 0.0115 Columns 46 through 54 0.0346 -0.0578 0.0389 -0.0503 -0.0110 0.0133 0.0500
注释 4
：当期望信号未知时，步骤
2
中的
d(n)可直接用判决器的实际输出
d
n代
替。
本实验中选取滤波器阶数 order=63，调整步长 u=0.02，均为经验值。
2 、Matlab 仿真过程
1.定义一个随机信道
c=0.4;
x1=c*rand();
x2=c*rand();
x3=c*rand();%信道参数 isi=[1，x1，x2，x3]; snr=10; %AWGN 信道信噪比 2.定义滤波器各参数 order=63; %滤波器阶数 len=1000; %训练序列长度 u=0.02; %调整步长 M=(order-1)/2; N=len+length(isi)-1; e=zeros(1，N); error=e; y=zeros(1，N); %FIR 滤波器输出 3.信道均衡过程 for i=1:100
-0.0348 0.0095 Columns 10 through 18 0.0422 0.0321 0.0236 0.0126 -0.0068 -0.0310 0.0094
0.0207 -0.0136 Columns 19 through 27 0.0354 0.0016 -0.0281 0.0181 0.0014 0.0073 -0.0104
设一个具有 2N+1 个抽头的横向滤波器，如图 3（a）所示，其单位冲激响应
为 et，则有
N
e(t) Ci (t iTS ) i N
有设它的输入为 x(t) ， 是被均衡的对象，并设它没有附加噪声，如图 3（b）
所示，则均衡后输出波形 yt 为
N
y(t) x(t) e(t) Ci x(t iTS ) i N
LMS（Least Mean Square）算法最早由 Widrow 于 1960 年建立。采用最小均 方算法的均衡器比迫零算法均衡器要稳定一些，它所采用的准则是使均衡器的期 望输出值和实际输出值之间的均方误差(MSE)最小化的准则。由 Wiener 滤波理论 可知，滤波器的最优抽头系数矢量可表示为
其中，
Cn
TS 2
TS
TS
TS
e jnTs d
H ( nTS )
i
Cn 完全依赖于 H(ω)，那么，理论上就可消除抽样时刻上的码间串扰。
由 上式可以看出，这里的 hT t 是图 2 所示网络的单位冲激响应。该网络是有
无限多的按横向排列的迟延单元Ts 和抽头加权系数 组成的，因此成为横向滤波
器。它的功能是利用它产生的无限多个响应波形之和，将接收滤波器输出端抽样
时刻上有码间串扰的响应波形变换成抽样时刻上无码间串扰的响应波形。由于很
想滤波器的均衡原理是建立在响应波形上的，故把这种均衡成为时域均衡。
图 2 横向滤波器
不难看出，横向滤波器的特性将取决于各抽头系数 。如果 是可调整的， 则图 3 所示的滤波器是通用的；特别是当 可自动调整时，则它能够适应信道特 性的变化，可以动态校正系统的事件响应。
图 3 有限长横向滤波器及其输入和输出波形
理论上，无限长的横向滤波器可以完全消除抽样时刻上的码间串扰，但实际
中是不可能实现的。因为，不仅均衡器的长度受限制，并且系数 的调整准确度
也受到限制。如果 的调整准确度可不到保证，即使增加长度也不不会获得显著 的效果。因此，有必要进一步讨论有限长横向滤波器的抽头增益调整问题。
步骤 2 ：当 n=n+1 时
计算滤波器输出 yn wH xn ， 计算误差函数 en d n yn， 更新滤波器抽头系数矢量 wn wn 1 ne nxn,
关于上面的 LMS 算法有以下几点注释：
注释 l ：若取 n 常数，则称为基本 LMS 算法。
0.0038 0.0422 Columns 28 through 36 0.0149 0.0396 0.0150 0.9751 -0.2937 -0.2446 0.1236
0.0825 -0.0315 Columns 37 through 45 -0.0098 -0.0055 0.0035 -0.0426 -0.0316 0.0045 0.0007
1. 课题要求系统学习时域均衡原理，掌握理论知识； 2. 首先进行时域均衡原理和算法设计，再在所用的仿真软件 Matlab 上对 设计进行仿真分析，最后写实验报告； 3. 对整个系统设计进行回顾，总结心得。
三、设计报告的内容
1. 设计题目与设计任务（设计任务书） 2. 前言（绪论）(设计的目的、意义等) 3. 设计主体（各部分设计内容、分析、结论等） 4. 结束语（设计的收获、体会等） 5. 参考资料
Jn 2Exnd n X H wn
2rxd 2Rxxwn
最广泛使用的自适应算法形式为“下降算法”：
wn wn 1 nvn
式中 wn是第 n 步迭代的系数矢量，n是第 n 步迭代的更新步长，而 v(n)是第
n 步迭代的更新方向矢量。
四、设计时间与安排
1、设计时间：
3周
2、设计时间安排：
熟悉实验设备、收集资料: 4 天
设计图纸、实验、计算、程序编写调试: 7 天
编写课程设计报告: 3 天
答辩: 1 天
基于 Matlab 的自适应均衡器设计
一、 设计目的及意义：
通过本学期通信原理课程的学习，主要对数字信号系统的通信原理、传输机 制等有了系统深入的了解。而实践性的课程设计能够起到提高综合运用能力，加 强理论知识的学习，提高实验技术，启发创造新思想的效果。
N
yk Ci xki i N
上式说明，均衡器在第 k 个抽样时刻上的样值 yk 将有 2N+1 个 Ci 与 xki 乘积之 和来决定。显然，其中除 y0 以外的所有 都属于波形失真引起的码间串扰。当输 入波形 给定，及各种可能的 xki 确定是，通过调整 使指定的 等于零时容易 办到的，但同时要求所有的 （除 k=0 外）都等于零却是一件很难的事。这也说 明，利用有限长的横向滤波器减小码间串扰是可能的，但完全消除是不可能的。 为了反映这些失真的大小，我们可采用最小均方和迫零算法准则来衡量。本实验 采用最小均方误差算法（LMS）。
定义梯度矢量为
J ndef 0 J n, 1J n,....,M 1J nT
以及输入矢量和抽头系数矢量： xn xnxn 1.....xn M 1T wn w0 nw1n.....wM 1nT
则此式可以写作以下矢量形式：
令
en dn yn dnW H X n
表示滤波器在 n 时刻的误差，并定义均方误差
J nde
E en 2
E
d
n
W
H
xn
2
为代价函数。
由梯度的定义可以得出，代价函数相对于滤波器抽头系数矢量 w 梯度为
k J n 2 E x n k e n 2Exn k dnW H xn ,k 0,1,...，M 1
从上式中可以看出，滤波器抽头系数矢量的更新迭代与 rxd 和 Rxx 有关，而实际
的信号处理过程中， rxd 和 Rxx 都不是能够先验知道的，因此通常用梯度的估计值
J
n
1
来代替
J
n
1
.
J
n
2
xnd
n
xn
H
wk.baidu.com
xnwn
可得
wn wn 1 n xnd n X nH xnwn
y1=y(n+M-1:-1:n-M-1); d1=wk*y1'; e(n)=x(n)-d1; wk=wk+u*e(n)*y1; e(n)=10*log10(abs(e(n))); endq error=error+e; end 4.得到横向滤波器系数 wk 输出结果:wk =
Columns 1 through 9 -0.0058 0.0297 0.0283 0.0247 -0.0147 -0.0118 0.0385
x=sign(rand(1，len)-0.5);%采用 PN 码作为训练序列 noise=randn(1，N)/10.^(snr/10);%AWGN y=conv(isi，x)+noise;%输出 wk=zeros(1，order);%横向滤波器系数 for n=order:N-M+1 %LMS 算法
电子信息系 综合课程设计
基于 Matlab 的自适应均衡器设计
专业名称 班级学号 学生姓名 指导教师 设计时间
通信工程 2010.12.20~2011.1.7
课程设计任务书
专业： 学号： 学生姓名（签名）：
设计题目：基于 Matlab 的自适应均衡器设计
一、设计实验条件
实验室，Matlab 软件
二、设计任务及要求
时域均衡是利用均衡器产生的时间波形去直接校正已畸变的波形，使包括均 衡器在内的整个系统的冲击响应满无码间串扰条件。频域均衡是从校正系统频率 特性出发，使包括均衡器的基带系统的总特性满足无失真传输条件；频域均衡在 信道特性不变，且在传输低速数据时是适用的。而时域均衡可以根据信道特性的 变化进行调整，能够有效地减小码间串扰，故在高速数据传输中得以广泛应用。
此次课程设计是自适应均衡器设计。我们按照查找资料、软件选择、系统设 计、仿真实现、结果优化这一流程进行。不仅使我们进一步巩固了课程知识，也 提高了我们分析问题、解决问题的能力。
二、设计主体：
1 、设计原理 数字信号经过这样的信道传输以后，由于受到了信道的非理想特性的影响，
在接收端就会产生码间干扰(ISI)，使系统误码率上升，严重情况下使系统无法继续 正常工作。理论和实践证明，在接收系统中插入一种滤波器，可以校正和补偿系 统特性，减少码间干扰的影响。这种起补偿作用的滤波器称为均衡器。
Wopt Rxx1rxd
式中 Rxx 是输入信号矢量 xn的互相关函数， rxd 是输入信号矢量xn 与期望信号矢 量 d n的互相关函数。直接求解式此式的运算量非常大，尤其当滤波器的抽头系
数个数比较多时。 考虑如图 4 所示的自适应 FIR 滤波器：
图 4 自适应 FIR 滤波器
wn 1 ne nxn
其中 en d n yn为滤波器输出与期望信号的误差函数。上式就是 LMS 算法抽
头系数的更新公式，容易验证。
J
n是J
n
的无偏估计，
通过上面的讨论可以总结出 LMS 算法的具体步骤如下：
步骤 l ：初始化抽头系数矢量 wn 0,0....T , n 0 ；
注释 2
：若取 n
x
a
H nxn
,
其中a
(0,2），
0, 则的到归一化 LMS 算法。
注释 3 ：在功率归一化算法中，取
n
a
2
x
n
,
其中
2 x
表示xn
的方差,
可由
2 x
2 x
n
1
e
2
n
递推计算，这里
(0,1) 为遗忘因子，由 0<a< 2 确定，而 M 是滤波器阶数. M
最常用的下降法为梯度下降法，又称最陡下降法。在这种算法里，更新方向
矢量 v(n)取作第 n-1 次迭代的代价函数 J（n-1）的负梯度，即最陡下降法的统一
形式为
wn wn 1 1 nJ n 1
2
系数 1 为了使得到的更新公式更加简单 2 可得抽头系数矢量的更新公式为
wn wn 1 nrxd Rxxwn 1
图 1 数字基带传输系统
在实际中，当数字基带传输系统（如图 1）的特性 H () GT C()GR 不
满足奈奎斯特第一准则时，就会产生有码间串扰的响应波形。现在我们来证明：
如果在接收滤波器和抽样判决之间插入一个称之为横向滤波器的可调滤波器，其
冲激响应为
hT (t) Cn (t nTS ) n
-0.0574 0.0115 Columns 46 through 54 0.0346 -0.0578 0.0389 -0.0503 -0.0110 0.0133 0.0500
注释 4
：当期望信号未知时，步骤
2
中的
d(n)可直接用判决器的实际输出
d
n代
替。
本实验中选取滤波器阶数 order=63，调整步长 u=0.02，均为经验值。
2 、Matlab 仿真过程
1.定义一个随机信道
c=0.4;
x1=c*rand();
x2=c*rand();
x3=c*rand();%信道参数 isi=[1，x1，x2，x3]; snr=10; %AWGN 信道信噪比 2.定义滤波器各参数 order=63; %滤波器阶数 len=1000; %训练序列长度 u=0.02; %调整步长 M=(order-1)/2; N=len+length(isi)-1; e=zeros(1，N); error=e; y=zeros(1，N); %FIR 滤波器输出 3.信道均衡过程 for i=1:100
-0.0348 0.0095 Columns 10 through 18 0.0422 0.0321 0.0236 0.0126 -0.0068 -0.0310 0.0094
0.0207 -0.0136 Columns 19 through 27 0.0354 0.0016 -0.0281 0.0181 0.0014 0.0073 -0.0104
设一个具有 2N+1 个抽头的横向滤波器，如图 3（a）所示，其单位冲激响应
为 et，则有
N
e(t) Ci (t iTS ) i N
有设它的输入为 x(t) ， 是被均衡的对象，并设它没有附加噪声，如图 3（b）
所示，则均衡后输出波形 yt 为
N
y(t) x(t) e(t) Ci x(t iTS ) i N
LMS（Least Mean Square）算法最早由 Widrow 于 1960 年建立。采用最小均 方算法的均衡器比迫零算法均衡器要稳定一些，它所采用的准则是使均衡器的期 望输出值和实际输出值之间的均方误差(MSE)最小化的准则。由 Wiener 滤波理论 可知，滤波器的最优抽头系数矢量可表示为
其中，
Cn
TS 2
TS
TS
TS
e jnTs d
H ( nTS )
i
Cn 完全依赖于 H(ω)，那么，理论上就可消除抽样时刻上的码间串扰。
由 上式可以看出，这里的 hT t 是图 2 所示网络的单位冲激响应。该网络是有
无限多的按横向排列的迟延单元Ts 和抽头加权系数 组成的，因此成为横向滤波
器。它的功能是利用它产生的无限多个响应波形之和，将接收滤波器输出端抽样
时刻上有码间串扰的响应波形变换成抽样时刻上无码间串扰的响应波形。由于很
想滤波器的均衡原理是建立在响应波形上的，故把这种均衡成为时域均衡。
图 2 横向滤波器
不难看出，横向滤波器的特性将取决于各抽头系数 。如果 是可调整的， 则图 3 所示的滤波器是通用的；特别是当 可自动调整时，则它能够适应信道特 性的变化，可以动态校正系统的事件响应。
图 3 有限长横向滤波器及其输入和输出波形
理论上，无限长的横向滤波器可以完全消除抽样时刻上的码间串扰，但实际
中是不可能实现的。因为，不仅均衡器的长度受限制，并且系数 的调整准确度
也受到限制。如果 的调整准确度可不到保证，即使增加长度也不不会获得显著 的效果。因此，有必要进一步讨论有限长横向滤波器的抽头增益调整问题。
步骤 2 ：当 n=n+1 时
计算滤波器输出 yn wH xn ， 计算误差函数 en d n yn， 更新滤波器抽头系数矢量 wn wn 1 ne nxn,
关于上面的 LMS 算法有以下几点注释：
注释 l ：若取 n 常数，则称为基本 LMS 算法。
0.0038 0.0422 Columns 28 through 36 0.0149 0.0396 0.0150 0.9751 -0.2937 -0.2446 0.1236
0.0825 -0.0315 Columns 37 through 45 -0.0098 -0.0055 0.0035 -0.0426 -0.0316 0.0045 0.0007
1. 课题要求系统学习时域均衡原理，掌握理论知识； 2. 首先进行时域均衡原理和算法设计，再在所用的仿真软件 Matlab 上对 设计进行仿真分析，最后写实验报告； 3. 对整个系统设计进行回顾，总结心得。
三、设计报告的内容
1. 设计题目与设计任务（设计任务书） 2. 前言（绪论）(设计的目的、意义等) 3. 设计主体（各部分设计内容、分析、结论等） 4. 结束语（设计的收获、体会等） 5. 参考资料
Jn 2Exnd n X H wn
2rxd 2Rxxwn
最广泛使用的自适应算法形式为“下降算法”：
wn wn 1 nvn
式中 wn是第 n 步迭代的系数矢量，n是第 n 步迭代的更新步长，而 v(n)是第
n 步迭代的更新方向矢量。
四、设计时间与安排
1、设计时间：
3周
2、设计时间安排：
熟悉实验设备、收集资料: 4 天
设计图纸、实验、计算、程序编写调试: 7 天
编写课程设计报告: 3 天
答辩: 1 天
基于 Matlab 的自适应均衡器设计
一、 设计目的及意义：
通过本学期通信原理课程的学习，主要对数字信号系统的通信原理、传输机 制等有了系统深入的了解。而实践性的课程设计能够起到提高综合运用能力，加 强理论知识的学习，提高实验技术，启发创造新思想的效果。