北京大学力学讲义孟策

其中 () = 0 + 为角位置， = ̇ 为角速度。
位移（矢量）：
• 如图，质点 → + ∆ 时间段的位置移动可由矢量
∆⃑ = ⃑( + ∆) − ⃑()
表示，称为位移矢量，简称位移。
∆→0
• ∆⃑ → ⃑，称为无穷小位移。
• 注意路程 与位移的差别：
匀速圆周运动（整体式）
考查如图无穷小顶角的等腰三角形（底角在零阶

近似下为直角！）
⃑
方向：切向(垂直于⃑)
:

⃑ = { 大小：|⃑| = |⃑| = ∙
（约定： > 0）
()

O
方向：切向（垂直于 ⃑）
⃑
⇒ ⃑ =
= {
|⃑|

大小： =
•
注意积分限的一一对应
•
同理，若已知 ⃑() 和 ⃑0 ，则
⃑⃑()

∫

⃑ = ∫ ⃑()
⃑⃑0

0
例如匀加速直线运动： = const.
()
∫

= ∫
0
()

∫
() = 0 +
1
⇒ () = 0 + 0 + 2
2

等价为标量型的运动方程（组）：
= (); = (); = ()
视 为参量，如上即为轨道（空间曲线） 参量方程，消去 ，即得显式的轨
道方程。
匀速圆周运动：、、0 为常量
消
= cos( + 0 )
{
⇒
2 + 2 = 2
= sin( + 0 )
= ∫ ()
0
⇒
0
0
如何求 = ()？
方法一
由 () 和 () 消去
方法二
寻找
=
()
∫
0



= () ∙ ()



= =
()
= ∫
0

一般路程依赖于路径，即 ≠ |∆⃑| ，但 = |⃑|
1.2.2 速度与加速度
速度（矢量）：表征运动快慢及方向
• 质点 → + ∆ 时间段平均速度
∆⃑ ⃑( + ∆) − ⃑()
⃑̅ =
=
∆
∆
• 取极限 ∆ → 0 （但不等于零！）
∆⃑
⃑( + ∆) − ⃑() ⃑
质点模型
线度可略：与典型尺度比较，如日地公转系统
维度可略：转动和形变可以忽略，如刚体平动（即使线度很大）
质量保留：动力学上的考虑
质点运动学：即“点的运动学”，与数学上的曲线微分学有很大关联。
3
1.2 位矢、速度和加速度
1.2.1 位矢与位移
位矢与运动学方程：

Q
选 O 为参考点， 时刻的位置 P 可由矢量描述：
⃑ =

⃑ =
⃑ (⃑̂)
=
= ⃑


来自百度文库 角量矢量化
⃑⃑
按旋转方向的右手螺旋规则引入方向向量
矢量化
⃑⃑
⃑ =
⇒
⃑ = ⃑ × ⃑
矢量化
⃑
⃑ ⃑
⃑⃑
⇒

⃑⃑ =
=
⇒
⃑ =
=
× ⃑ =
⃑⃑ × ⃑


矢量化

（1967，第十三届国际计量大会，精度达10−12）
“阿喀琉斯追龟”佯谬：
芝诺：阿喀琉斯每次来到龟的原地点，龟总要前进一步，所以阿喀琉斯
“永远”也追不上乌龟
解释：芝诺钟与物理钟比较，不是个“好”钟。
设阿喀琉斯速度为1 ，乌龟速度为2 (< 1 )，初始距离为.
芝诺钟
1
2
………
∞
物理钟
《力学》教学内容：
动量定理 → 动量守恒定律
＊ 牛顿定律{机械能定理 → 机械能守恒定律
角动量定理 → 角动量守恒定律
＊ 应用：刚体；振动与波；流体
1
第一章
质点运动学
第一章作业：2、4、6、10、12、14、19
{
运动学：如何描述运动
动力学：（特定）运动形成的原因
运动：“物体及物体中的各个点部位的空间位置随时间的变化”（舒幼生，
∆→0
∆

速度与加速度的直角坐标分解：
⃑⃑
⃑ = ⃑() = ()⃑ + ()⃑ + ()
{
⃑⃑
⃑ ⃑
=
=
=0

4
⇒
= ̇
{ = ̇
= ̇
= ̈
, { = ̈
= ̈
矢量微商：

整体式（定义式）：接近于几何方法，简洁但抽象
物理的时空观：测量的时空观
空间是用尺测量的东东；时间是用表测量的东东
物理学中的时空观：
* 绝对时空观：与观察者、物质及其运动无关 → 与物理无关
物理/数学实现：经典力学/平直欧式空间+时间（假定！）
* 相对时空观：与观察者、物质及其运动无关（马赫）
物理/数学实现（爱因斯坦）
· 狭义相对论/平直闵氏时空
引言——物理学是什么？
“物理学是探讨物质的结构和运动基本规律的学科”
——赵凯华，罗蔚茵，
《新概念物理教程·力学》
研究对象：物质 → 可观测的东西
＊ 物理学→现象学
Physical：源于希腊语，意为“自然的、肉体的”
＊ 观测不到的东西（如上帝、阿弥陀佛……）不是物理学
不是（或不完全是）一个层面的知识
．．延展而形成的三维空间
· 一个点原则上不能确定地延展成（三维）参考空间，即不可作为三维
运动的参考物
· 参考空间的各个点部位相对静止
参考系：参考空间 + 时间
空间坐标系：用来标定空间各个点位置。
可根据方便选取（三维）直角坐标系、柱坐标系、球坐标系……
时间坐标系：用来标定时间点位置。
1.1.4

（固定方向直角分解）分量式：对应于代数解析的方法，只涉及一元标
量函数的导数运算，简单规范但表达式相对冗长。
匀速圆周运动（分量式）
= const. , () = 0 +

=
= const.

如图，位矢分量式为
⃑() = cos( + 0 ) ⃑ + sin( + 0 ) ⃑
解如图速度变化矢量三角形：⃑ = ⃑⊥ + ⃑⫽
5
⃑
⃑⫽
⃑⊥ ⃑()

⃑( + )
⃑⊥ = {
方向：向心
大小： ∙ = ∙
⃑⫽ = {
方向：切向
大小：||
∴ ⃑ = ⃑心 + ⃑切
引入（内）法向向量 ⃑⃑，约定沿向心方向，则
/1
/1 + (/1 ) ∙ 2 /1
………

1


2
∑∞
=0 ( ) =
1

1 −2
′
= = ∞
空间的度量：
* 在一定时空范围内稳定的长度可看作为“尺”：如国王的手臂
* 实物基准：米原器（1889，第一届国际计量大会）
* 自然基准：氪 86 原子的橙黄色光波波长的 1650763.73 倍为 1 米
积分问题：已知 ⃑() 求 ⃑()
⃑ =
⃑
⇒ ⃑ = ⃑

6
⃑()
⃑() − ⃑(0 ) = ∑ ⃑ = ∑ ⃑
⇒ ∫

⃑ = ∫ ⃑()
⃑(0 )
0
•
若 ⃑(0 ) 已知，则构成定解问题，称为运动学初值问题。
•
通常选 0 为计时零点，记 ⃑0 = ⃑(0 = 0) 。
＊ 科学不是万能的：有触及不到的地方
基石：实验 伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）
分析工具
＊ 数学：牛顿（I. Newton，1642-1727）
《自然哲学之数学原理》，1687
＊ （基于实验的）思辨
套路
实验
实验验证
合理假设（模型）
数学推演及推论
NO
YES
第一篇 力学
速度为
⃑() = ⃑̇()

()

0
O ()

= − sin( + 0 ) ⃑ + cos( + 0 ) ⃑
方向：切向（⃑ ⋅ ⃑ = 0）
⇒ ⃑ = {
大小： = √2 + 2 =
加速度为
⃑() = ⃑̇() = −2 cos( + 0 ) ⃑ − 2 sin( + 0 ) ⃑ = −2 ⃑
⃑ = lim
= lim
=
= ⃑̇
∆→0 ∆
∆→0
∆

定义（瞬时）速度（矢量）。
几何特征：其方向沿轨道切向！
（瞬时）加速度（矢量）：表征速度变化（包括其大小和方向）的快慢及方向
∆⃑
⃑( + ∆) − ⃑() ⃑
⃑ =
=
=
= ⃑̇ = ⃑̈
∆→0 ∆
⃑⃑
⃑
⃑⃑
⃑
⃑⃑
⇒
⃑ =
=
⇒
⃑ =
=
× ⃑ +
⃑⃑ ×
= ⃑ × ⃑ +
⃑⃑ × ⃑




⃑心 =
⃑⃑ × ⃑ =
⃑⃑ × (
⃑⃑ × ⃑) = 2 ⃑⃑
∴ {
⃑切 = ⃑ × ⃑ = ⃑
⇒
1.3 运动学逆问题
=

解如图速度变化矢量三角形（切向转角仍为）
⃑ =
⃑⃑


= {
方向：向心(垂直于⃑)
⃑
大小：心 = = 2 =
⃑()
2

变速圆周运动（整体式）

⃑( + )
仍有（引入沿运动方向的切向矢量 ⃑）
⃑
⃑ =
= ⃑

但角加速度 = / ≠ 0 ，故速度方向大小均改变，
《力
学（物理类）》）
芝诺（Zeno，约 490B.C.——425B.C.）悖论：“飞矢不动”
飞行的箭每时刻占据固定的空间范围、具有相同的形状，如何称之为“动”
运动关涉位置随时间的变化：
无穷小时间间隔 ≠ 0
⇒
微积分的引入
惠施（390B.C.——317B.C.）：“飞鸟之景，未尝动也”
经典力学质点某时刻运动状态的完备描述：给定 {⃑(); ⃑()}
“研究机械运动及其规律的物理学分支”（狭义）
Mechanical：机械的、力学的
广义的力学：电动力学、热力学、统计力学、量子力学……
经典力学：
＊ 牛顿力学：动力学核心为“力”→ 矢量力学
＊ 理论力学：动力学核心为“能量”，包含拉格朗日（J. Lagrange, 1735-1813）
力学和哈密顿（W.R. Hamilton，1805-1865）力学
1.1 时间和空间
空间：事物排列的相对方位和次序
时间：事物发生的先后顺序
1.1.1
时空观
宗教的时空观：如神创时空观、唯识时空观等
哲学上的时空观：如康德（I. Kant，1724-1804）的“先验时空观”
时空先于经验存在，是人们“整理感性材料的先天直观形式”
（康德，《纯粹理性批判》，1781）
2
2
2) |⃑| = √|⃑⫽ | + |⃑⊥ | ≥ ||
⃑⃑

3) 注意到： = ⃑⃑ ，可直接求导
⃑ (⃑)

⃑
=
=
⃑ +
= ⃑ + 2 ⃑⃑




⃑̂
类似地， = ⃑，其中 ⃑̂ = −⃑⃑ 为径向单位向量。故有
（1960，第十一届国际计量大会，精度达10−9）
* 基于真空光速不变的标准：
米是光在真空中(1/299792458) s 的时间间隔内通过的距离长度
（1983，第十七届国际计量大会）
1.1.3
参考系
运动最基本的内容：两物体的相对运动
参考物：A 相对 B 运动，则 B 为参考物，反之亦然
参考空间：参考物在体结构上静态
2
⃑⃑ = 2 ⃑⃑


()
=
⃑ =
⃑ = ⃑


⃑心 = ⃑⃑ =
{
⃑切
讨论：
1) 平面矢量的变化可分解：⃑ = ⃑⫽ + ⃑⊥
其中⃑⫽ 由大小的改变带来，而⃑⊥ 由方向的改变带来
|⃑⫽ | = ||， |⃑⊥ | = ∙
⃑( + Δ)
⃑ = ⃑()
Δ⃑
P
称为位置矢量，简称位矢。以 为变量，如上
方程包含质点的所有运动学信息，称为运动学
⃑()
方程（Kinematical equation）
。

O
• 选取 3 维直角坐标系O − ：
⃑⃑
⃑ = ⃑() = ()⃑ + ()⃑ + ()
· 广义相对论/黎曼弯曲时空
“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动”——惠勒
1.1.2
时空的度量
时间的度量：
* 满足一定规律的物理过程可看作是“钟”：如人的相貌
* 周期性的物理过程：天体运动，钟摆振动，原子钟
* 秒的定义：1s 为铯 133 原子基态两个超精细能级之间跃迁相对应的辐
2
射周期的 9 192 631 770 倍。