现代控制理论作业题.

⎡− a
0 ⎤ ⎡0⎤
⎢
(2)
x&
=
⎢ ⎢
−b −c
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢0⎥⎥u,
y = [1
0
0
0]x。
⎥ ⎢1⎥
⎢ ⎣
0
−
d
⎥ ⎦
⎢⎣1⎥⎦
2.17 试判断下列系统的可观测性：
⎡−1 − 2 − 2⎤ ⎡2⎤
(1)
x&
=
⎢ ⎢
0
−1
1
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢0⎥⎥u,
y = [1 1
0]x
⎢⎣ 1 0 −1⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
4
⎥ ⎦
x
+
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦u
Y (s) = s +1 U (s) s 2 + 3s + 2
试写出系统可控不可观测、可观测不可控、不可控不可观测的动态方程。 2.21 设被控系统状态方程为
⎡0 1 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤
x& = ⎢⎢0
−1
1
⎥ ⎥
x
+
⎢ ⎢
0
⎥⎥u
⎢⎣0 −1 10⎥⎦ ⎢⎣10⎥⎦
⎡1 2 0⎤
⎡0⎤
A = ⎢⎢3 −1 1⎥⎥, b = ⎢⎢0⎥⎥, c = [−1 1 1]
⎢⎣0 2 0⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
试检查可观测性，设计（n－q）维观测器，并使所有极点配置在 －4。 2.25 试用李雅普诺夫第二法判断下列线性系统平衡状态的稳定性：
(1) x&1 = −x1 + x2 , x&2 = 2x1 − 3x2 (2) x&1 = x2 , x&2 = 2x1 − x2
现代控制理论作业题
上海理工大学 信息与控制工程研究所
2.1 设系统微分方程为
&x& + 3x& + 2x = u
式中 u 为输入量，x 为输出量。
⑴ 设状态变量 x1 = x, x2 = x& ，试列写动态方程；
⑵ 设状态变换 x1 = x1 + x2 , x2 = −x1 − 2x2 ，试确定变换矩阵 T 及变换后的动态方程。
⎡ ⎢
0
1
0⎥⎤
x(k + 1) = ⎢ 0 0 1⎥ x(k), k > 0
⎢k ⎢⎣ 2
0
⎥ 0⎥⎦
试求使系统渐近稳定的 k 值范围。
5
试求该系统的状态阵 A、Ф(t) 的逆阵。 2.9 试求习题 2.4 所示系统的传递函数矩阵。 2.10 已知差分方程
y(k + 2) + 3y(k + 1) + 2 y(k) = 2u(k + 1) + 3u(k)
试列写可控标准型离散动态方程，并求出 u(k) = [ u (0) u (1) ]T = [ 1 1 ]T 时的系统响应。 2.11 已知连续系统动态方程为
x&
=
⎡0 ⎢⎣0
1⎤ 2⎥⎦
x
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦u,
y = [1
0]x
设采样周期 T = 1s，试求离散化动态方程。 2.12 试判断下列系统的状态可控性：
⎡− 2 2 −1⎤ ⎡0⎤
(1)
x&
=
⎢ ⎢
0
−2
0
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢0⎥⎥u；
⎢⎣ 1 − 4 0 ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
⎡1 1 0⎤ ⎡0⎤ (2) x& = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ x + ⎢⎢1⎥⎥u；
4
2.26 已知系统状态方成为
⎢⎡2 x& = ⎢⎢0
⎢0 ⎢⎣
1
2 −1 1
2
− 3⎥⎤ ⎡1
0
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢0
− 1⎥ ⎥⎦
⎢⎣1
0⎤
2⎥⎥ 0⎥⎦
⎡u1 ⎢⎣u2
⎤ ⎥ ⎦
当 Q = I 时，P = ? 若选 Q 为正半定矩阵，Q = ? 对应 P = ? 判断系统稳定性。 2.27 设线性定常离散系统状态方程为
x
+
⎡1⎤ ⎢⎣b⎥⎦u
设状态可控，试求 a、b。
2.15 设系统传递函数为
G(s)
=
s3
+
s+a 7s 2 + 14s
+8
设状态可控，试求 a。
2.16 判断下列系统的输出可控性：
⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡0⎤
(1)
x&
=
⎢ ⎢
0
0
1
⎥ ⎥
x
+ ⎢⎢0⎥⎥u,
y = [1
0
0]x;
⎢⎣− 6 −11 − 6⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
⎢
⎣
λ1
0
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢1⎥⎥u；
λ1
⎥
λ2
⎥ ⎦
⎢1⎥ ⎢⎣1⎥⎦
⎡λ1 1
⎤ ⎡0⎤
⎢
(6)
x&
=
⎢ ⎢
⎢
⎣
λ1
1
0
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢0⎥⎥u。
λ1
⎥
λ2
⎥ ⎦
⎢1⎥ ⎢⎣1⎥⎦
2
2.13
已知
ad =
bc，试计算
⎡a ⎢⎣c
2.14 设系统状态方程为
b ⎤100
d
⎥ ⎦
=
?
x&
=
⎡0 ⎢⎣− 1
1⎤ a⎥⎦
⎡1 ⎢⎣1
0⎤ 1⎥⎦
x
+
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦u
初始条件为x1(0) = 1，x2(0) = 0。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。 2.8 已知线性系统状态转移矩阵
Φ(t)
=
⎡ 6e−t − 5e−2t ⎢⎣− 3e−t + 3e−2t
4e−t − 4e −2t ⎤
− 2e−t
+
3e
−2t
⎥ ⎦
2.2 设系统微分方程为
&y&& + 6&y& + 11y& + 6 y = 6u
式中 u, y 分别为系统的输入、输出量。试列写可控标准型及可观测标准型状态空间表达式， 并画出状态变量图。 2.3 已知系统结构如下图所示，其状态变量为 x1, x2, x3。试求动态方程，并画出状态变量图。
U (s) + _
⎡0 0 5 ⎤ ⎡− 2 0 ⎤
x& = ⎢⎢1 0
1
ห้องสมุดไป่ตู้
⎥ ⎥
x
+
⎢ ⎢
1
⎢⎣0 1 − 3⎥⎦ ⎢⎣ 0
− 2⎥⎥ 1 ⎥⎦
⎡u1 ⎢⎣u2
⎤ ⎥, ⎦
y = [0
0 1]x
试检查被控系统可控性、可观测性；求输出至输入的反馈矩阵，使闭环极点位于 －0.57， －0.22±j1.3，并画出状态变量图。 2.24 已知系统动态方程的各矩阵为
2.18 已知系统各矩阵为
3
⎡1 3 2⎤
⎡0 1⎤
A = ⎢⎢0 ⎢⎣0
4 0
2⎥⎥, 1⎥⎦
B = ⎢⎢0 ⎢⎣1
0⎥⎥, 0⎥⎦
C
=
⎡1 ⎢⎣0
0 0
0⎤ 1⎥⎦
试用传递函数矩阵判断系统可控性、可观测性。
2.19 将下列状态方程化为可控标准型：
2.20 已知系统传递函数为
x&
=
⎡1 ⎢⎣3
− 2⎤
⎡2 0 0⎤
(2) x& = ⎢⎢0 2 0⎥⎥x, y = [1 1 1]x
⎢⎣0 3 1⎥⎦
⎡−1 1
⎤
⎢
(3)
x&
=
⎢ ⎢
⎢
⎣
−1
−2
⎥
1
⎥ ⎥
x,
− 2⎥⎦
y
=
⎡1 ⎢⎣0
0 0
0 0⎤ −1 0⎥⎦ x
⎡2 1 0 ⎤
(4) x& = ⎢⎢0 2
0
⎥ ⎥
x,
y = [0
1 1]x
⎢⎣0 0 − 3⎥⎦
试写出其向量-矩阵形式，并画出状态变量图。 2.5 已知系统传递函数为
G(s) = s2 + 6s + 8 s2 + 4s + 3
试求可控标准型、可观测标准型、对角型动态方程。 2.6 已知系统传递函数
G(s)
=
(s
5 + 1)2 (s
+
2)
试求约当型动态方程。 2.7 已知系统状态方程为
1
x&
=
2 X 2(s) +
s+3
_
2
X1(s) = Y (s)
s(s + 1)
s X 3 (s)
系统结构图
2.4 已知双输入-双输出系统状态方程和输出方程如下，
x&1 = x2 + u1 x&2 = x3 + 2u1 − u2 x&3 = −6x1 − 11x2 − 6x3 + 2u2 y1 = x1 − x2 y2 = 2x1 + x2 − x3
⎢⎣0 1 1⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
⎡1 1 0⎤ ⎡0 0⎤
(3) x& = ⎢⎢0 ⎢⎣0
1 1