离散数学 3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示

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离散数学-3-4序偶与笛卡儿积

离散数学-3-4序偶与笛卡儿积
笛卡儿积描述事件关系
通过笛卡儿积,可以描述两个或多个事件的独立性、相关性或条件性。例如,如果事件A和事件B相互独立,那么 事件A和事件B的笛卡儿积等于它们各自概率的乘积。
图论中的应用
序偶表示边
在图论中,序偶可以用来表示一条边,其中第一个元素表示起点,第二个元素表示终点。
笛卡儿积描述多重边
通过笛卡儿积,可以描述图中的多重边。如果存在一条从点i到点j的边和一条从点j到点 i的边,那么可以通过笛卡儿积来表示这两条边。
离散数学-3-4序偶与 笛卡儿积
目录
• 序偶的定义与性质 • 笛卡儿积的定义与性质 • 序偶与笛卡儿积的关系 • 序偶与笛卡儿积在离散数学中的应用
01
序偶的定义与性质
序偶的表示方法
01
02
ห้องสมุดไป่ตู้
03
序偶的表示
一个序偶可以表示为有序 对,通常用圆括号括起来, 如 (a, b),其中a和b是元 素。
序偶的元素
THANKS
感谢观看
02
笛卡儿积的定义与性质
笛卡儿积的表示方法
定义
设 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 是任意集合,则 $A_1 times A_2 times ldots times A_n$ 称为集合 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 的笛卡儿积。
表示
笛卡儿积可以用大括号 {} 表示,即 $A_1 times A_2 times ldots times A_n = {(a_1, a_2, ldots, a_n) | a_i in A_i, i=1,2,ldots,n}$。
笛卡儿积的应用场景
组合数学
笛卡儿积常用于组合数学中,表示不同元素的排 列和组合。

离散数学-3-5 关系及其表示

离散数学-3-5  关系及其表示

MR=
其关系图是:
10
二、关系矩阵和关系图
例 设A=1,2,3,4,R是A的二元关系,定义为: R=<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>,<3,1>,<4,3>,<4,2>,<4,1> 写出A上二元关系R的关系矩阵。 1 0 0 1 解:R的关系矩阵为: MR=
1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
7
二、关系矩阵和关系图
设给定的两个有限集合X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn},R为从X到 Y的一个二元关系。则对应于关系R有一个关系矩阵 R=[rij]mn,其中 关系矩阵M 关系矩阵
1 rij = 0
< xi , y j >∈ R < xi , y j >∉ R
(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 设给定的两个有限集合X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn},R为从X到 Y的一个二元关系。在平面上作m个结点分别记作x1,x2,…,xm,然后另 作n个结点分别记作y1,y2,…,yn。如果xi Ryi,则可自结点xi至结点yj处 作一有向弧,其箭头指向yj ,如果xi Ryi ,则xi至yj处没有线段联结。 例:设A={a1,a2},B={b1,b2,b3},R={〈a1,b1〉,〈a2,b1〉,〈a1,b3〉, 〈a2,b2〉},则其关系矩阵为:
ranR = { y | (∃x )(< x, y >∈ R )}
R的前域和值域一起称作R的域 的域,记作FLD R即 的域 FLD R=domR∪ranR 例题1 例题 P106

离散数学:第3讲 序偶与笛卡尔积

离散数学:第3讲 序偶与笛卡尔积

23
n维笛卡尔积(性质)
非交换: ABCBCA (要求A,B,C均非空,且互不相等)
非结合: (非2元运算) 分配律: 例如
AB(CD)=(ABC)(ABD) 其他: 如 ABC=A=B=C=.
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
24
二元关系(binary relation)
二元关系(简称关系) :序偶的任一集合 确定了一个二元关系R,R中任一序偶 <x,y>可记作<x,y>∈R或xRy;不在R中的
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
26
举例1
甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛,如 果任何两个人之间都要赛一场,那么共 要赛三场。假设三场比赛的结果是乙胜 甲、甲胜丙、乙胜丙,这个结果可以记 作{<乙,甲>、<甲,丙>、<乙,丙>},其中 <x,y>表示x胜y 。它表示了集合{甲,乙, 丙}中元素之间的一种胜负关系。
序偶与笛卡尔积
30
定义域,值域,域(举例)
例4: R1={}, R2={<c,d>,<e,f>}, R3={<1,2>,<3,4>,<5,6>}.
dom R1=, ran R1=, fld R1= dom R2={c,e}, ran R2={d,f}, fld
R2={c,d,e,f} dom R3={1,3,5}, ran R3={2,4,6}, fld R3={1,2,3,4,5,6}. #
序偶与笛卡尔积
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一些特殊关系
空关系 恒等关系 全域关系 整除关系 小于等于关系,… 包含关系, 真包含关系
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关系

关系
15
3、关系矩阵的特点 自反关系的关系矩阵的对角元素均为1,反 自反关系的关系矩阵的对角元素均为0。 4、关系图的特点 自反关系的关系图,每个结点均有自回路, 而反自反关系的关系图,每个结点均没有自 回路。
16
5、结论: R是X上的二元关系,则: (1)R是自反关系的充要条件是IXR。 (2)R是反自反关系的充要条件是RIX=。 如果|X|=n,其中n个对称序偶,则X上的 自反关系共有2n*n-n个。 例|X|=3,X上关系共有29个,而自反关 系共有26个。
吗?为什么?
不对!再看自反性、对称性、传递 性的定义。
23
自反性: 如果对于每一个xX,有<x,x>R,则称 R是自反的。 对称性: 每当<x,y>R,就有<y,x>R,则称R 是对称的。
传递性: 设R是集合X上的二元关系,如果对于任意 x,y,zX,每当<x,y>R,<y,z>R时 就有<x,z>R,则称R是传递的。
24
自反性是说对于每一个xX,有<x,x>R。 对称性是说每当<x,y>R,就有<y,x>R, 没有要求对于每一个xX,
传递性是说每当<x,y>R,<y,z>R时就 有<x,z>R ,也没有要求对于每一个xX。 因此不能从一个关系是对称且传递的推出 它是自反的。
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例如:A={a,b,c},
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令 x,yX, 则: xR(n+1)yx R(n) * Ry (z)(xR(n)z∧zRy) xR(n)z∧zRy xt(R)z∧zt(R)y xt(R)y 因此, R(n+1)t(R). 于是, RR(2)R(3)… t(R).

离散数学 第三-四章

离散数学 第三-四章
n i 1
Ai
(f) A (A∪B ), B (A∪B )
集合与关系 >集合的运算
交与 并的关系 定理3-2.1 设A、B、C为三个集合,则下列分配律 成立。 a) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) b) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 定理3-2.2 设A、B为任意两个集合,则下列吸收律 成立 a) A∪(A∩B)=A b) A∩(A∪B)=A 定理3-2.3 A B 当且仅当 A∪B=B 或 A∩B=A。
集合与关系 > 集合的运算
本节重点掌握的概念: 集合, 集合相等,集合包含, 幂集。
本节重点掌握的方法: 集合的表示, 求幂集.
作业
3-1 (1)(a),(c) ,(e)
(3) (4) (a),(c) ,(e) (5) (6) (a),(c) ,(e) (9)
集合与关系 >集合的概念和表示法
上节知识点: 1. 集合的概念 2. 集合的表示 3 集合之间的关系 4 空集和全集 5 幂集(power set)
A-B
E B
A
集合与关系 >集合的运算
• 绝对补 定义3-2.4 设E为全集,任一集合A关于E的补 E-A, 称为集合A的绝对补,记作~A。
即 ~ A={ x| xE ∧ xA}
集合与关系 >集合的运算
(3) 集合的补(complement) 定义3-2.3 设A、B为任意两个集合,所有属于A而 不属于B的一切元素组成的集合S称为B对于A的 补集,或相对补,记作A-B。 即 A-B={ x| xA ∧ xB} 或 xA-B xA但 xB
例如 A={2, 5, 6} B={1, 2, 4, 7, 9} A-B={5, 6} B-A={1,4,7,9} E - A?

复合关系、逆关系

复合关系、逆关系
第二部分 集合论
主要内容
集合
集合的概念和表示法
集合的运算
序偶与笛卡尔积
关系及其表示
关系的性质
复合关系和逆关系
关系的闭包运算
集合的划分与覆盖
等价关系与等价类
相容关系
序关系
函数
函数的基本概念 复合函数与逆函数
*
第一部分 数理逻辑
上节内容回顾
3-5 关系及其表示 3-5. 1 关系 关系:序偶的集合 定义域、值域、域 3-5. 2 一些特殊关系 空关系、恒等关系、全域关系 关系的交并补差还是关系 3-5. 3 关系的表示 序偶集合形式 关系矩阵MR 关系图GR
3-4 序偶和笛卡尔积 序偶的概念和表示 <x, y> <x,y,z>=<<x,y>,z> <<x,y>,z> ≠ <x,<y,z>> 笛卡尔积 AB={<x,y>|xAyB} 不满足交换律、结合律 与、 满足分配率
*
第二部分 集合论
主要内容
集合
集合的概念和表示法
集合的运算
序偶与笛卡尔积
关系及其表示
04
社交的六度分割原理: 地球上任何两个人之间的间隔不超过6个人
矩阵与图
R∪R2∪R3∪R4∪R5∪R6=A×A
运算性质
你隔壁老王家孩子的同学的同事的亲戚的朋友认识特朗普
逆关系
01
A={地球上的人};R={<x,y>|x,y ∈ A, 且x与y认识}
第二部分 集合论
小结: 本节介绍了关系的基本性质及其判别方法。
作业:
① ② ③
① ② ③

离散数学 3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示

离散数学 3-4 序偶与笛卡尔积3-5 关系及其表示

所以<a,b>A(BC),所以(AB)(AC)A(BC) 由以上两条有:A(BC)(AB)(AC)
5、定理3-4.2:对于任意集合A、B、C,若C,则 AB ACBC CACB
证明:设ACBC 。xA,因C ,任取y C ,有 <x,y>AC 因为ACBC,所以<x,y>BC所以xB,所以AB
设AB。<x,y>AC,则xA,yC,又因AB, 所以xB,所以<x,y>BC,所以ACBC
同样,定理的第二部分AB CACB可以类似地 证明。
证明定理3-4.3用到集合包 含的传递性:
(AB)∧(BC) (AC)
6、定理3-4.3:对任意四个非空集合,ABCD的充分 必要条件是AC,BD。 证明:充分性。设AC,BD。 由定理3-4.2,因BD,A,所以ABAD。又AC, D非空,所以ADCD,所以ABCD。 必要性。设 ABCD。 xA,yB,所以<x, y>AB,又因ABCD,所以<x,y>CD,所以 xC,yD,所以AC,BD
dom R={x|(y)<x,y>R} •所有序偶的第二元素的集合ran R称为R的值 域,即:
ran R={y|(x)<x,y>R} 。 •R的前域和值域一起称作的域,记作FLD R。 即:
FLD R=dom Rran R
2、前域、值域
例题1 设H={<1,2>,<1,4>,<2,4>, <3,4>},求dom H,ran H, FLD H。 解:
3-5 关系及其表示
• 兄弟关系 • 师生关系 • 朋友关系 • 恋人关系 • 大于关系
一、关系(Relation)

3_4_序偶与笛卡儿集[8页]

3_4_序偶与笛卡儿集[8页]

3.4.2 笛卡儿集
(4) 笛卡儿积对交和并运算满足分配律,即 ① A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) ② (B∪C)×A = (B×A)∪(C×A) ③ A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) ④ (B∩C)×A = (B×A)∩(C×A)
[例3-16] 求证:(1) 若A、B、C、D非空,则A⊆C且B⊆D⇔ A×B⊆ C×D 。 (2) 若C≠ Ø,则A⊆B⇔ A×C⊆ B×C⇔ C×A⊆C×B 。
<x1, x2, ... , xn>= <<x1, x2, ... , xn-1>, xn> 一般情况下,<x1, x2, ... , xn>≠ <x1,< x2, ... , xn-1, xn> 。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
3.4.2 笛卡儿集
[定义:笛卡儿集] 若A、B是集合,它们构成的笛卡儿积是一个序偶集合,序偶 的第一元素取自于A,而第二个元素取自于B,记作A×B ,即
3.4.2 笛卡儿集
[离散直角坐标系] 对于有限的笛卡儿积,显然有 | A×B |= |A|×|B| 。如果A=B=R, 笛卡儿积R×R 就是平面直角坐标系。故一般的笛卡儿积等同于“离散的直角坐 标系”。 [笛卡儿积的证明方法] 与简单集合类似,笛卡儿积部分的主要问题还是证明集
合包含。不过,笛卡儿积的元素是序偶,故证明A×B⊆ C×D 仍是从定义出发,
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
3.4.1 序偶与元组
[定义:序偶相等] 两个序偶相等:<x, y>=<a, b>,当且仅当x=a 且y=b 。 [例3-14] 若<2x+2, y>=<2y, x-y>,求x和y。 [n元组] n个元素组成的有序集合,记作<x1, x2, ... , xn>,其含义是:

离散数学第3章-集合与关系

离散数学第3章-集合与关系
(1) 任一对象a,对某一集合A来说,a属于A或a不属于A, 两者必居其一,且仅居其一。并且当a属于A时,称a是A的成
员,或A包含a,a在A之中,a属于A。即 a A a A
(2)集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个,具有有限个元素的集 合的为有限集,否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合,如
称为A和B的笛卡尔积,记作:A B
例:A {、、 、、
则:
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积:
A1 A2 A3是集合,A1 A2是笛卡尔集,也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧(xB)}
={x∣(x∈A)∧ (x∈B)}
3-2 集合的运算
b)集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补,记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E)∧(x A)}
~ A有下列性质: ⑴ ~( ~A)=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理:对任一Set A, A
3-1 集合的概念和表示法
例:若A={a,b,c},写出其所有子集。 解:Ø 、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c}均是A的子 集

3-4序偶与笛卡尔积(精)

3-4序偶与笛卡尔积(精)

2.下列各式中哪些成立?哪些不成立?为什么? a)(AB) (CD)=(AC)(BD) b)(A- B) (C -D)=(AC) - (BD) c)(AB) (CD)=(AC)(BD)
一、序偶和笛卡尔积的概念
2、n个集合的笛卡尔积:集合A1,A2,…,An,则
特别地,
约定:若A=或B=,则A B= ,B A=
Байду номын сангаас
上次课程内容回顾

集合的运算



交运算 并运算 补运算 对称差 序偶的定义 笛卡尔积

序偶和笛卡尔积

例:设A,B,C,D是任意集合,判断下列命题是否正确? (1)ABACBC 不正确,当A,BC时,AB=AC=。 (2)A-(BC)=(A-B)(A-C) 不正确,当A=B={1},C={2}时,A-(BC)={1}-{<1, 2>}={1},而(A-B)(A-C)={1}=。 (3)A=C,B=DAB=CD 正确,由定义可以证明,在非空前提下是充要条件。 (4)存在集合A使得AAA 正确,当A=时,AAA。
一、序偶和笛卡尔积的概念

有序n元组
1、序偶(有序2元组):
两个具有固定次序的客体组成一个序偶(有序2元组),记 作<x,y>,其中x是它的第一元素,y是它的第二元素。 例:平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序 序偶,我们可用<x,y>表示。 注:序偶是讲究次序的,例<1,3>和<3,1>是表示平面上 两个不同的点,这与集合不同,{1,3}和{3,1}是两个相 等的集合。
5、定理3-4.2:对于任意集合A、B、C,若C,则 AB ACBC CACB

离散数学第四章课件ppt

离散数学第四章课件ppt

例1 设R={<x,y>|x、y∈N∧y=x2}和S={<x,y>|x、 y∈N∧y=x+1}是N上的关系,求R-1、R*S、S*R。
解 R-1={<y,x>|x、y∈N∧y=x2}
R*S={<x,y>|x、y∈N∧y=x2+1}
S*R={<x,y>|x、y∈N∧y=(x+1)2}
定理4.9 设R和S为任意两个二元关系,则: (1)(R-1)-1=R。 (2)(R∪S)-1=R-1∪S-1。 (3)(R∩S)-1=R-1∩S-1。 (4)(R-S)-1=R-1-S-1。 (5)(A×B)-1=B×A。 证 (2)因为<x,y>∈(R∪S)-1<y,x>∈(R∪S) 明 <y,x>∈R∨<y,x>∈S
注: (1)当x≠y时,<x,y>≠<y,x>; (2)<x,y>= <u,v>当且仅当x=u∧y=v; (3)序偶<x,y>与集合 {x,y}不同。
定义4.2 n个元素x1、x2、…、xn按一定的 次序排列组成的有序序列称为有序n元组,记 作<x1,x2,…,xn>。
例如,表示时间的年月日组成一个三元组。
证 明
(2)因为y∈R[A∩B] x(x∈A∩B∧xRy) c∈A∧c∈B∧cRy
(c∈A∧cRy)∧(c∈B∧cRy)
y∈R[A]∧y∈R[B] y∈R[A]∩R[B], 所以R[A∩B] R[A]∩R[B]。
4.2.2关系矩阵与关系图
定义4.11 设A={x1,x2,…,xn},B={y1,

定理4.10 设R、S和T为任意三个二元关 系,则: (1)DR*SDR,RR*SRS。 (2)RS∧TWR*TS*W。 (3)R*(S∪T)=(R*S)∪(R*T)。 (4)R*(S∩T)(R*S)∩(R*T)。 (5)R*S-R*TR*(S-T)。 (6)(R*S)-1=S-1*R-1。 (7)(R*S)*T=R*(S*T)。

离散数学-3-4 序偶与笛卡儿积

离散数学-3-4  序偶与笛卡儿积

AXA?BXB?
4
二、笛卡尔积
如果A,B都是有限集,|A|= n,|B|= m,根据排列组合原理, |A×B|=nm=|A||B|。
例 设 A=a,b,B=1,2,3, ⑴试求A×B和B×A ⑵验证|A×B|=|A||B|和|B×A|=|B||A| 解:⑴求A×B和B×A A×B=<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3> B×A=<1,a>,<1,b>,<2,a>, <2,b>,<3,a>, <3,b> ⑵验证|A×B|=|A||B|和|B×A|=|B||A| |A×B|=6=2×3=|A||B| |B×A|=6=3×2=|B||A|
P102 定理 定理3-4.1 笛卡儿积对∪或∩运算满足分配 律,即
(1)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (2)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (3)(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C) (4)(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C) *推广 (A∪B)×(C ∪D)=?
6
二、笛卡尔积
即当xy例平面直角坐标系中的点112三元组是序偶其第一个元素本身也是一个序偶可形式化为xyz序偶概念可以推广到n元组n3是一个有序对其中第一个元素为n1元的有序对一个有序的n元组记作y的元素可以分属于不同的集合因此对给定的集ab可以定义一种新的集合运算积运算
第三章 集合与关系
3-4 序偶与笛卡儿积 授课人:李朔 Email:chn.nj.ls@
1
一、序偶
生活中许多事物是成对出现的,并且这种成对出现的事物 生活中许多事物是成对出现的 并且这种成对出现的事物 有一定的顺序。(选课,任课,住宿) 。(选课 有一定的顺序。(选课,任课,住宿) 一般的说,两个具有固定顺序的客体组成一个序偶, 一般的说,两个具有固定顺序的客体组成一个序偶,它常 常表达两个客体间的关系。序偶包含两个元素, 常表达两个客体间的关系。序偶包含两个元素,但它们有 确定的次序。 确定的次序。 P101 定义 定义3-4.1(1)由两个元素x, y(允许x=y)按一定 ( ) 顺序排成的二元组称有序对(序偶),记为<x, y> <x, y>。称为 序偶。 序偶 定义3-4.1(2)两个序偶相等 序偶相等,即 定义 ( ) 序偶相等

离散数学

离散数学

第一章命题逻辑1.1 命题及其表示方法1.2 联结词1.3 命题公式与翻译1.4 真值表与等价公式1.5 重言式与蕴含式1.6 其它联结词1.7 对偶与范式1.8 推理理论1.1 命题及其表示方法命题:具有确定真值的陈述句命题的类型(原子命题和复合命题)命题的表示(一个命题标识符(比如P)表示确定的命题)重点:如何判断语句是否为命题。

1.2 联结词否定⌝合取∧析取∨条件→双条件↔重点:五种联结词的含义、真值表1.3 命题公式与翻译命题公式符号化:所谓命题的符号化就是把一个用文字叙述的句子相应地写成由命题标识符、联结词和括号表示的合式公式。

命题符号化的重要性命题符号化是很重要的,一定要掌握好,在命题推理中最先遇到的就是符号化一个问题,解决不好,等于说推理的首要前提没有了。

重点:命题的符号化符号化应该注意下列事项:①确定给定句子是否为命题。

②句子中连词是否为命题联结词。

③要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。

1.4 真值表与等价公式真值表的构造方法(1) 找出公式中所含的全体命题变元P1, P2, …, Pn, (若无下角标就按字典顺序排列), 列出2n个赋值. 赋值从00…0开始, 然后按二进制加法依次写出各赋值, 直到11…1为止.(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次.(3) 对应各个赋值计算出各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值.等价关系的含义等价式的判别方法•真值表法•等价演算法基本等价式(必须掌握)(1)对合律(双重否定):⌝⌝P⇔P(2)幂等律:P∧P⇔P,P∨P⇔P(3)结合律:(P∧Q)∧R⇔P∧(Q∧R),(P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)(4)交换律:P∧Q⇔Q∧P,P∨Q⇔Q∨P(5)分配律:P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R),P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)(6)德·摩根律:⌝ (P∧Q) ⌝⇔P∨⌝Q,⌝ (P∨Q) ⌝⇔P∧⌝Q(7)吸收律:P∧(P∨Q)⇔P,P∨(P∧Q)⇔P(8)同一律:P∧T⇔P,P∨F⇔P(9)零律:P∧F⇔F,P∨T⇔T(10)否定律:P∧⌝P⇔F,P∨⌝P⇔T(11) 条件式转化律:P→Q⌝⇔P∨Q,P→Q⌝⇔Q→⌝P(12) 双条件式转化律:P↔Q ⇔(P→Q)∧(Q→P) ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)⌝ (P↔Q) ⇔P⌝↔Q ⌝⇔P↔Q(13) 输出律(CP规则):P→(Q→R) ⇔(P∧Q)→R重点:等价式的证明、基本等价式1.5 重言式与蕴含式重言式或永真公式定义1-5.1 给定一命题公式,若无论对分量作怎样的指派,其对应的真值永为真,则称该命题公式为重言式或永真公式。

(09)序偶与笛卡尔积-关系及其表示(2011-04-12-[34])

(09)序偶与笛卡尔积-关系及其表示(2011-04-12-[34])
2012年6月26日星期二 26 18
例题:
设 若 X = {1,2,3,4}
H { x , y | x y 2 Z }, S { x , y | x y 3 Z}
求 H∪S, H∩S, ~H, S-H 解: H = { <1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4>, <3,1>, <3,3>, <4,2>, <4,4>} ~H={ <1,2>, <1,4>, <2,1>, <2,3>, <3,2>, <3,4>, <4,1>, <4,3>}
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笛卡尔积-性质
对于任意集合A,A× = ,×A = 笛卡尔积运算不满足交换律: 当 A≠, B≠, A≠B时, A×B ≠ B×A 笛卡尔积运算不满足结合律: 当 A, B, C均非空时, (A×B)×C ≠ A×(B×C)
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结论
(1) (2) 如A,B均是有限集,|A| = m,|B| = n, 则必有 |A×B| = mn 一般说,A×B 与 B×A 不相等, 即集合的笛卡尔积运算,不满足交换律
当 A = B 时,A×B 可以记作 A2
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推广
〈n个集合笛卡尔积的定义〉A1, A2, …, An是n个集合,记 A1×A2×…×An={<x1, x2, …, xn>|xi Ai, i = 1, 2, …, n}, 称为这n个集合的笛卡尔积。 当 A1 = A2 = … = An 时,记 A×A×…×A = An。

左孝凌离散数学课件序偶与笛卡尔积关系及其表示

左孝凌离散数学课件序偶与笛卡尔积关系及其表示

d)(A - B) C =(AC) - (BC)成立. 证明 因为(A - B) C ={<x,y>|(xA-B)∧yC} 所以
<x,y>(A - B) C x(A-B)∧yC xA∧x B∧yC ( xA∧yC∧x B) ∪(xA∧yC∧y C)) (xA∧yC )∧(x B∪yC) (xA∧yC )∧ ┐(x B ∧ y C) <x,y>A C∧ <x,y> B C <x,y> [(AC) - (BC) ]
故|P (AB)|=2mn,即A到B不同的二元关系共
有2mn个
一、二元关系
3.二元关系定义3
A上的二元关系: AA的任意子集R称为A上的二元关系 RAA RP (AA)。
若|A|=m, 则|AA|=m2, 故|P (AA)|= 2 m2 ,即A上不同
的二元关系共有2 m2个。
一、二元关系
A到B的二元关系举例1:
练习 105页(2)-(5)
105页(2)
设A={a,b},构成集合 P(A)A。 解
P(A)={,{a},{b},{a,b}} P(A)A={<,a>,<,b>,<{a},a>,<{a},b>, <{b},a>,<{b},b>,<{a,b},a>,<{a,b},b>,}
105页(3)
下列各式中哪些成立?哪些不成立?为什么? a)(A∪B) (C∪D)=(AC)∪(BD) b)(A- B) (C -D)=(AC) - (BD) c)(AB) (CD)=(AC)(BD) d)(A -B) C =(AC) -(BC) e)(AB) C =(AC) (BC)

ch3--4序偶与笛卡尔积

ch3--4序偶与笛卡尔积

定义3.4.2 给定两个有序偶<x, y>和<u, v>。 给定两个有序偶 定义 和 。 当且仅当x=u和y=v时,有序偶<x, y>和<u, v>相等, 相等, 当且仅当 和 时 有序偶 和 相等 亦即 <x, y>=<u, v> iff (x=u)∧(y=v) ∧ 可将有序偶推广到 元有序组 可将有序偶推广到n元有序组: 它的第一分量是 偶推广到 元有序组: (n-1)元有序组,并记为 元有序组, 元有序组 或记为 类似地定义两个n元有序组相等: 类似地定义两个 元有序组相等: 元有序组相等
3.4 序偶与笛卡尔积
笛卡尔积与无序积在后面讨论关系和图论时, 笛卡尔积与无序积在后面讨论关系和图论时, 都有重要应用。 都有重要应用。 首先引入有序偶和无序偶的概念。 首先引入有序偶和无序偶的概念。 定义3.4.1 两个元素 组成二元组,若它们有次 两个元素a,b组成二元组 组成二元组, 定义 序之别,称为二元有序组,或有序偶,记为<a, b>, 序之别,称为二元有序组,或有序偶 记为 , 为第一分量, 为第二分量; 为第二分量 称a为第一分量,b为第二分量; 为第一分量 若它们无次序区分,称为二元无序组,或无序偶 若它们无次序区分,称为二元无序组,或无序偶, 记为(a, 。 记为 b)。 若a≠b时,<a, b>≠<b, a>。但(a, b)=(b, a)。 ≠ 时 ≠ 。 。
iff
下面将使用有序偶和无序偶 下面将使用有序偶和无序偶分别定义 笛卡儿积和无序积。
定义3.4.3 给定集合 和B,若有序偶的第一分量 给定集合A和 ,若有序偶 定义 的元素, 的元素, 是A的元素,第二分量是 的元素,所有这些有 的元素 第二分量是B的元素 的集合,称为A和 的笛卡 的笛卡尔 序偶的集合,称为 和B的笛卡尔积, 记为A× , 记为 ×B, A×B={<x,y>|x∈A∧y∈B} × ∈ ∧ ∈ 定义3.4.4 给定集合 和B,若无序偶是由 中元 给定集合A和 ,若无序偶是由A中元 定义 素和B中元素组成 所有这些无序偶的集合, 中元素组成, 素和 中元素组成,所有这些无序偶的集合, 称为A和 的无序积 记为A&B。 的无序积, 称为 和B的无序积,记为 。 A&B={(x,y)|x∈A∧y∈B} ∈ ∧ ∈
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3、X到Y的关系 例题2 设X={1,2,3,4},求X上的关系>及 dom >,ran >。 解: >={<2,1>,<3,1>,<4,1>,<3, 2>,<4,2>,<4,3>} dom >={2,3,4}, ran >={1,2,3}
4、特殊的关系 (1)全域关系:对于集合X和Y,称XY为X到Y的全域关 系。记作U。 称为空关系。 (2)二元关系:R是XX的子集,称R是X上的二元关系 (3)恒等关系:Ix称为X上的恒等关系iff Ix={<x,x>|xX}
2、关系矩阵: 设给定两个有限集合X={x1,x2,…,xm}, Y={y1,y2,…,yn},R是X到Y的关系,则R 的关系矩阵MR,其中[rij]mn, rij =1,当<xi, yj>R, rij =0,当<xi, yj>R 。
例 设A={1,2,3,4,5},B={a,b,c}, 则ρ 1={(1,a),(1,b),(2,b),(3,a)}是A到B的关系, 而ρ 2={(a,2),(c,4),(c,5)}是B到A的关系。

序偶<x,y>其元素可以分别属于不同的集合,因此任给 两个集合A和B,我们可以定义一种序偶的集合。

二、笛卡尔积
1、定义3-4.2:设A和B是任意两个集合,由A中 元素作第一元素,B中元素作第二元素构成序偶, 所有这样序偶的集合称集合A和B的笛卡尔积或直
积。记作AB。
即 AB={<x,y>|xA∧yB}
例 设A={-2, -1, 0, 1}, 写出A上的<关系、 ≤关系、 >关系、 UA和IA, 并分别写出这些关系的定义域和值域(这里<、 ≤、 >分别表示通常的小于、 小于等于和大于)。 并画出关系图。
解 <={(-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-1, 0), (-1, 1), (0, 1)} Dom<={-2, -1, 0} Ran<={-1, 0, 1} ≤={(-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, 0), (0, 1), (1, 1)} Dom≤=A Ran≤=A
即<a,b>AB且<a,b>AC, 有<a,b>(AB)(AC),得A(BC)(AB)(AC)
<a,b>(AB)(AC),
则<a,b>AB且<a,b>AC, 则aA,bB,且aA,bC,则bBC。
所以<a,b>A(BC),所以(AB)(AC)A(BC)
3、关系图:
设有限集合X={x1,x2,…,xm}, Y={y1,y2,…, yn},X到Y的一个关系为R,则R的关系图: (1)做出m个结点分别记作x1,x2,…,xm, n个结点 分别记作y1,y2,…,yn, (2)如果<xi, yj>R ,则可自结点xi至yj作一有向弧; (3)如果<xi, yj>R ,则xi至yj没有线段联结。
5、定理3-5.1:若Z和S是集合X到Y的两个关 系,则Z和S的并、交、补、差仍是到的关系。
关系的示方法
• 集合法 • 关系矩阵 • 关系图
二、关系的表示 1、集合 为直观地表示A到B的关系,采用如下的图示:
•用大圆圈表示集合 A和 B, 里面的小圆圈表示集合中 的元素; •若a∈A,b∈B,且(a,b)∈ρ,则在图示中将表示a和b的
2、前域、值域 定义3-5.2:二元关系R中, •所有序偶的第一元素的集合dom R称为R的 前域,即: dom R={x|(y)<x,y>R} •所有序偶的第二元素的集合ran R称为R的值 域,即: ran R={y|(x)<x,y>R} 。 •R的前域和值域一起称作的域,记作FLD R。 即: FLD R=dom Rran R
一、有序n元组
例:平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为 一个有序序偶,我们可用<x,y>表示。
注:序偶是讲究次序的。 例<1,3>和<3,1>表示平面上两个不同的点,这 与集合不同,{1,3}和{3,1}是两个相等的集合。 2、定义3-4.1:两个序偶相等,<x,y>=<u,v>, 当且仅当x=u且y=v。
由以上两条有:A(BC)(AB)(AC)
5、定理3-4.2:对于任意集合A、B、C,若C,则 AB ACBC CACB 证明:设ACBC 。xA,因C ,任取y C ,有 <x,y>AC 因为ACBC,所以<x,y>BC所以xB,所以AB 设AB。<x,y>AC,则xA,yC,又因AB, 所以xB,所以<x,y>BC,所以ACBC 同样,定理的第二部分AB CACB可以类似地 证明。
例题4 设X={1,2,3,4},若H={<x,y>|(x-y)/2是整数}, S={<x,y>|(x-y)/3是正整数},求HS,HS, H,S-H。 解:H={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>, <3,3>,<3,1>,<4,4>,<4,2>} S={<4,1>} HS={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,3>, <3,1>,<4,4>,<4,2>,<4,1>} HS= XX={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,1>, <2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>, <3,3>,<3,4>,<4,1>,<4,2>,<4,3>,<4,4>} H={<1,2>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<3,2>, <3,4>,<4,1>,<4,3>} S-H={<4,1>}
小圆圈用直线或弧线连接起来 , 并加上从结点 a 到结
点b方向的箭头。
例 设A={1,2,3,4,5},B={a,b,c}, 则 ρ 1 ={ (1,a),(1,b),(2,b),(3,a) }是 A 到 B 的关系 , 而ρ 2={(a,2),(c,4),(c,5)}是B到A的关系。 其集合表示法如下:
若A、B均是有限集,|A|=m,|B|=n,则|AB|=mn。
三、笛卡尔积的性质
1、对于任意集合A,A=, A= 。 2、笛卡尔积运算不满足交换律,当A,B,
AB时ABBA。 3、笛卡尔积运算不满足结合律,即当A,B,C 均非空时(AB)CA(BC)。
4、定理3-4.1:对任意三个集合A、B、C,有 (1)A(BC)=(AB)(AC) 证明两个集合相 (2)A(BC)=(AB)(AC) 等,可以证明它 (3)(BC)A=(BA)(CA) 们互相包含。 (4)(BC)A=(BA)(CA) 证明:(2)<a,b>A(BC), 则aA,bBC,即aA,bB,且bc,
离 散 数 学
Discrete Mathematics
山东科技大学 信息科学与工程学院
上次课内容回顾
集合的概念 集合的表示 集合的关系 特殊的集合:空集、全集、幂集 集合的运算:
3-4 序偶与笛卡尔积
一、有序n元组
1、序偶(有序2元组):两个具有固定次序的 客体组成一个序偶(有序2元组),记作<x, y>,其中x是它的第一元素,y是它的第二元 素。
P108 例题
例题5 设X={x1,x2,x3,x4},Y={y1,y2,y3}, R={<x1,y1>, <x1,y3>, <x2,y2>, <x2,y3>, <x3,y1>, <x4,y1>, <x4,y2>},写出关系矩阵MR。
例题6 设A={1,2,3,4},写出集合A上大于关系>的 关系矩阵。
M 1
1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
M 2
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
关于关系矩阵的几点说明:
(1)空关系的关系矩阵的所有元素为0。 (2)全关系的关系矩阵的所有元素为1。 (3)恒等关系的关系矩阵的所有对角元为1,非对角 元为0,此矩阵为单位矩阵。 (4)如果R是X上的二元关系时,则其关系矩阵是一 个方阵。
其关系矩阵表示为:
1 1 2 0 M 1 3 1 4 0 5 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
M 2
a 0 1 0 0 0 b 0 0 0 0 0 c 0 0 0 1 1
关系矩阵的写法也可以简化 , 当约定了元素 的次序后, 可以不写最左列和最上行的元素。 如
3、有序3元组:是一个序偶,其第一元素本身也是一个 序偶,表示为<<x,y>,z>或<x,y,z>。 4、有序n元组:有序n元组也是一个序偶,其第一元素是 一个n-1元组。< <x1,x2,…, xn-1> ,xn>,通常简记为: <x1,x2,…, xn-1,xn>,其中xi称作它的第i坐标,i=1, 2,…,n。 <x1,x2,…, xn-1,xn> =<y1,y2,…,yn-1,yn>的充要 条件是xi=yi,i=1,2,…,n。
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