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偏微分方程3
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Global boundedness of solutions to a quasilinear parabolic-parabolic Keller-Segel system with logistic source∗
Accepted Manuscript
Global boundedness of solutions to a quasilinear parabolic–parabolic Keller–Segel system with logistic source Yinle Zhang, Sining Zheng PII: DOI: Reference: To appear in: S0893-9659(15)00247-5 /10.1016/j.aml.2015.08.009 AML 4841 Applied Mathematics Letters
Eq. (1.1) is an extended version of the well-known Keller-Segel system, proposed by Keller was used to describe the cells (with density u) move towards the concentration gradient of a chemical substance v produced by the cells themselves, where the behavior of solutions depends on the interaction between the two mechanisms of diffusion and aggregation, and so a finite time blow-up of u may occur, under the mass conservation, when the aggregation dominates the system. In past decades, the classical Keller-Segel system has been extensively studied with rich dynamics properties of solutions established, such as the global existence (boundedness) versus the finite time blow-up of solutions [8, 10, 17, 18]. An important revision to the classical Keller-Segel system was made by Hillen and Painter[7]. They took a volume-effect (i.e. the positive size of the cells is not ignored) into the system by introducing two positive weight functions φ and ψ to represent the diffusivity and chemotactic sensitivity respectively, that is the form of Eq. (1.1) with g = 0, which has been widely studied as well [6, 9, 16]. For instance, in the corresponding parabolic-elliptic case with τ = 0, g ≡ 0 in (1.1) and the second equation replaced by 0 = ∆v − if q − p >
【免费下载】第十四章 偏微分方程
，取二次连续可微函数
，使
，作变换
，
为
的积分，
不同时为零，作变量替换
，
,方程化为标准形式
二、极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理
椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. 1
，方程化为标准形式
[椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理] 1 极值原理 设 D 为 n 维欧氏空间 En 的有界区域，S 是 D 的边界，在 D 内考虑椭圆型方程
(iii) 特征根都不为零，有
个具有同一种符号(n>m>1)，其余 m 个具有另一种符号，称方程在点 P 为超双曲型.
(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点 P 为抛物型.
若在区域 D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域 D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.
在点 P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：
椭圆型：
双曲型：
超双曲型：
抛物型： 式中 Φ 为不包含二阶导数的项.
[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为
a11,a12,a22 为 x,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程
称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点 P(x0,y0)的邻域 D 内，根据 Δ=a122－a11a12 的符号将方程分类： 当 Δ>0 时，方程为双曲型； 当 Δ=0 时，方程为抛物型； 当 Δ<0 时，方程为椭圆型.
[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点 P(x1,x2,…,xn)，根据二次型
)维平面，如
的特征根的符号，可将方程分为四类： (i) 特征根同号，都不为零，称方程在点 P 为椭圆型.
(整理)偏微分方程word电子讲义.
偏微分方程偏微分方程是一个非常广泛的课题，它包含分析的许多方面内容。
就我们现在的知识水平来说，我们只了解很少一点东西。
从十八世纪初开始，人们就开始结合物理、力学问题来研究偏微分方程，最早研究的几个方程是弦振动方程、热传导方程及调和方程，这部分理论已经被彻底地研究了，而且近乎完备，把它们称为偏微分方程的古典理论。
十八世纪后期在连续介质力学中研究流体的运动规律，在考虑流体的粘性时，描述运动规律的方程称为Navier-Stokes方程组，而在不计流体的粘性时，称为Euler方程组。
在此时期，描述弹性体运动规律的方程称为Saint Venant方程组。
到了十九、二十世纪，人们发现了描述电磁场运动规律的Maxwell方程组，描述微观粒子运动规律的Schrodinger方程及Dirac方程组，广义相对论中确定引力场的基本方程Einstein方程以及基本粒子规范场理论的基本方程Yang-Mills方程，在微分几何中研究极小曲面的极小曲面方程等等。
随着科学理论变得复杂，所提出的偏微分方程就愈多而且更加变化多端，可能出现的偏微分方程和方程组类型之多是出于想象的。
我们的目的是介绍现代偏微分方程理论中用到的一些技巧和方法。
众所周知，一本偏微分方程的书只能包括已有的基本材料的一小部分，因此我们必须作出选择，如何选择不是立足于逻辑基础上的，这种选择的主观性是相当明显的。
偏微分方程的内容是研究偏微分方程解的各种性质。
通常考虑以下问题1．对单个方程或方程组，应配以怎样的初值条件与边值条件使之具有解，这是解的存在性问题。
在研究解的存在性时，要明确解赖以存在的函数类。
2．解的唯一性或究竟有几个解，要明确使解为唯一的函数类。
3．解的正则性或光滑性。
是否为古典解、强解还是弱解？解具有几阶可微性？4．解的连续依赖性，必须明确是什么空间、什么范数实现的。
通常考虑的是解关于初、边值或关于方程系数，或在方程为线性时关于自由项的连续依赖性。
5．定解区域与影响区域。
偏微分方程演讲稿
深圳大学材料学院
7
2 有限差分方法
2.1 网格剖分
用有限差分方法求解偏微分方程问题必须把连续问题进行离散化。 为此首先要对求解区域进行网格剖分，由于求解的问题不相同，因此 求解的区域也不尽相同。下面将做简单介绍：
例如：某偏微分方程的初值问题，求解区域是
D={(x,t)|-∞<x<+∞,t≥0}
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用变量分离法可得上式的解析解为
u(x,t) e- 2t sinx,0 x 1,t 0
取J=10，空间步长h=0.1,xj=jh(j=0,1,…,J),τ为时间步长，λ=τ/h2为网格比。 现用扩散方程的向前差分格式
u n1 j
u
n j
u
n j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
0
求解u(0.4,0.4)的近似值
深圳大学材料学院
16
当网格比λ=0.25时，即得时间步长为τ=0.0025， u(0.4,0.4)=0.0180544
当λ=0.5时，τ=0.005， u(0.4,0.4)=0.0171677 当λ=1时，τ=0.01， u(0.4,0.4)=0.278773*1011 当λ=2时，τ=0.02， u(0.4,0.4)的值无法计算。 从这个例子可以看出，向前差分格式的稳定性λ≤0.5。 问：1、变量分离法如何得到的解析式？ 2、第一类边值条件为何可以这样取？ 3、上例中有限差分方法是如何形象地得到u(0.4,0.4)的值？
然而，令人感到十分遗憾的是，在偏微分方程中， 除了少数几个特别 简单的例子以外，求通解是很困难的。而且即使求得了通解， 要想利用所 给的伴随条件将其表达式中的任意元素确定出来，也是一件不容易的事情， 甚至是不可能的。
2偏微分方程数值解法引论精品PPT课件
u , y
u1
, u2
T
u
x x x
则方程组（2）可表示为
u
A
u
h
0
y x
（2）多维一阶方程组方程组
见8页
同理
u1
y
a1
u1 x
h1
0
u
p
y
ap
u p x
hp
0
（3）
可表示为
u
A
u
h
0
y x
（4）
其中
u1 y
,,
u p y
T
u , y
h1,, hp T h
n
考虑两个自变量的二阶偏微分方程
2u
2u 2u u u
a x2
2b xy
c
y 2
d
x
e y
fu
g
线性: a,b,c,d ,e, f , g 是x,y的二元函数;
拟线性:
a, b, c, d , e,
f
,
g
是
x,
y, u,
u x
,
u y
的函数;
对于二阶线性偏微分方程
2u
2u 2u u u
a x2
ui xk
1
p xi
ui ,
i 1, 2,（3 动量守恒）
3
uk
k1 xk
（0 质量守恒）
其中，u (u1, u2 , u3 )表示速度， 表示粘滞系数
（二）定解问题
1.
定解条件
边界条件 初始条件
2.定解问题 方程 定解条件
初值问题（Cauchy问题） 定解问题 边值问题（Drichlet / Numann / Robin）
偏微分方程式(Partial
Y.M. Hu, Assistant Professor, Department of Applied Physics, National University of Kaohsiung
Separation of Variables : Use of Fourier Series
2u T 2u c2 2u
Y.M. Hu, Assistant Professor, Department of Applied Physics, National University of Kaohsiung
Elliptic (Diffusion, Equilibrium Problems)
Y.M. Hu, Assistant Professor, Department of Applied Physics, National University of Kaohsiung
G(t) 0 F(0) F(L) 0
F'' (x) kF(x) 0
For k = 0
F ax b 0x 0 0
X
For positive k = μ2 F Aex Be x 0ex 0ex 0 X
For negative k = -p2 F A cospx Bsin px
Hyperbolic (propagation)
Y.M. Hu, Assistant Professor, Department of Applied Physics, National University of Kaohsiung
Parabolic (Time- or space- marching) 時間或空間步推
derivatives:
偏微分方程 PDE-Ch1
(*)
在适当情况下, 方程中描述空间坐标的自变量数目可以减少. 例如当物体是各向同性的均匀细杆时, 如果它的侧面不产生热交 换(即绝热), 且在同一截面上温度的分布是相同的, 则温度函数u 仅与坐标x及时间t有关, 这时得到的就是一维热传导方程
ut a2uxx 0
21
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9
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《偏微分方程》第一章 绪论 第10页
1.1.4. 线性偏微分方程 如果方程中关于未知函数及其各阶偏导数都是线性的, 则称 它为线性偏微分方程。 例子：
一阶线性偏微分方程 二阶线性偏微分方程
在线性偏微分方程中, 不含有u及它的偏导数的项称为自由项; 当自由项为零时, 称方程为线性齐次方程。 当自由项不为零时, 称方程为线性非齐次方程。
《偏微分方程》第一章 绪论 第19页
类似地可导出二维波动方程和三维波动方程, 它们 的形式分别为
utt a2 (uxx uyy ) f ( x, y, t ) utt a2 (uxx uyy uzz ) f ( x, y, z, t )
二维波动方程可视为薄膜的振动所满足的运动规律, 即在平 面上放置一个框架, 对于固定在该框架上作微小横振动的薄膜上 各点的运动规律. 三维波动方程表示的是声波、电磁波的传播所 满足的规律. 类似地，我们可考虑函数 u u( x1 , x2 ,
Du (ux1 , ux2 ,
, uxn )
则偏微分方程的一般形式为
5
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《偏微分方程》第一章 绪论
第 6页
其中是F自变量x，未知函数u及u的有限多个偏导数的已知函数. 例如关系式
偏微分方程：英文版
偏微分方程：英文版English:A partial differential equation (PDE) is an equation that involves partial derivatives of an unknown function of two or more independent variables. These types of equations arise in many areas of physics, engineering, and mathematics, and are used to describe various natural phenomena. Solving PDEs involves finding a function that satisfies the given equation and boundary conditions. One common technique for solving PDEs is separation of variables, where the unknown function is expressed as a product of simpler functions of individual variables. Other methods include using Fourier series, Laplace transforms, finite difference methods, and numerical techniques like finite element analysis. PDEs play a crucial role in modeling continuum mechanics, electromagnetism, heat transfer, fluid dynamics, quantum mechanics, and many other branches of science and engineering.中文翻译: 偏微分方程(PDE)是涉及未知函数的偏导数的方程，这些未知函数有两个或更多个独立变量。
偏微分方程atas
偏微分方程atasPartial differential equations (PDEs) are a fundamental tool in the mathematical modeling of various phenomena in physics, engineering, and other fields. These equations describe how a quantity, often represented by a function of multiple variables, changes in space and time. The solutions of PDEs provide insights into the behavior of these systems and can be used to predict future states or outcomes.偏微分方程（PDEs）是物理学、工程学和其他领域中各种现象数学建模的基本工具。
这些方程描述了由多个变量的函数表示的量如何在空间和时间中变化。
偏微分方程的解为我们提供了对这些系统行为的深入了解，并可用于预测未来的状态或结果。
Solving PDEs can be a challenging task, as they often involve complex mathematical techniques and numerical methods. However, with the advancement of computational power and the development of efficient algorithms, it has become increasingly feasible to obtain accurate solutions to these equations.求解偏微分方程可能是一项具有挑战性的任务，因为它们通常涉及复杂的数学技术和数值方法。
Math6偏微分方程
∂ 2θ ∂ 2θ ∂θ ∂θ = 0 , and = 0. = 2 , θ(x,0)=x, θ(0,t)=0, 2 ∂t t =0 ∂x x =1 ∂x ∂t
(Sol.) Let θ ( x, t ) = X ( x)T (t ) , X ′′( x)T (t ) = X ( x)T ′′(t ) ,
∂θ ∂θ + = y , θ(x,0)=0, and θ(0,y)=y. [台大化工研] ∂x ∂y
∞
(Sol.) L[θ ( x, y )] = ∫ θ ( x, y )e − sy dy = Θ( x, s ) , L[ y ] =
1 = L[θ (0, y )] = Θ(0, s ) 0 s2 dΘ( x, s ) 1 1 ⇒ + sΘ( x, s ) − θ ( x,0) = 2 ⇒ Θ( x, s ) = A( s ) ⋅ e − sx + 3 dx s s 1⎞ 1 1 1 1 1 ⎛ 1 Θ(0, s) = A( s) + 3 = 2 ⇒ A( s ) = 2 − 3 ⇒ Θ( x, s ) = ⎜ 2 − 3 ⎟e − sx + 3 s s s s s ⎠ s ⎝s
X(0)=0=X(1) ⇒ λ=-(nπ)2 and X(x)=Cnsin(nπx), T ′′(t ) =-(nπ)2 and T(0)=0, T’(0)=constant ⇒ T(t)=dnsin(nπt), T (t )
∴ u ( x, t ) = ∑ An sin( nπx) ⋅ sin(nπt ) ,
∞
⎞ ⎟ ⋅ sin( nx) ⎠
∞
(b) y ( x, t ) = ∑ bn (t ) sin( nx) , y ( x,0) = ∑ bn (0) sin(nx) = f ( x)
《偏微分方程》第4 热传导方程PPT文档共23页
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
2019-偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDEppt课件-文档资料
分离变量法的解题步骤 第一步
令 u ( x , t ) X ( x ) T ( t ) 适合方程和边界条件，
从而定出 X ( x) 所适合的常微分方程齐次边值问题，以及 T ( t ) 适合的常微分方程。
第二步 第三步
2019/4/12
求解该常微分方程齐次边值问题， 求出全部本征值和本征函数，并求 出相应的 T ( t ) 的表达式。
(2.7)
由于方程和边界条件都是齐次的，由此根据上一小节 的结论即得 k a k w ( x , t ; ) B ( ) sin t sin x k L L k 1 (2.8) k a k
w ( x , t ; ) B ( ) sin ( t ) sin x k L L k 1
• 对任意时刻 t 0 ,
k u ( x , t ) N sin( ω t ) sin x k 0 k k 0 k L
这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波， 其振幅 N sin( ω t )随不同的时间 t 0 而不同。 k k 0 k
2019/4/12
13
• 对任意一点 x 0 ,
本征 值问 题
将所有变量分离形式的特解叠加起来，并 利用初始条件定出所有待定系数。
12
物理意义
k a k a k u ( x , t ) A cos t B sin t sin x k k k L L L k N sin x sin( ω t k k k) L ka A 2 2 k 其中 N arctan , k k k A k B k, L B k
2019/4/12
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目录前言vii 1 应用与方法概述 11.1 什么是偏微分方程11.2 求解并解释偏微分方程72傅里叶级数172.1 周期函数182.2 傅里叶级数262.3 以任意数为周期的函数的傅里叶级数382.4 半幅展开:余弦级数和正弦级数502.5 均方逼近和帕塞瓦尔恒等式532.6 傅里叶级数的复数形式602.7 受迫振动69收敛性的补充内容2.8 傅里叶级数表示定理的证明772.9 一致收敛性和傅里叶级数852.10 狄利克雷判别法和傅里叶级数的收敛性943 直角坐标中的偏微分方程1033.1 物理和工程中的偏微分方程1043.2 建模2 弦振动和波动方程1093.3 一维波动方程的求解:分离变量法1143.4 达朗贝尔方法1263.5 一维热传导方程1353.6 棒中的热传导:各种边界条件1463.7 二维波动方程和热传导方程1553.8 直角坐标中的拉普拉斯方程1633.9 泊松方程:特征函数展开法1703.10 诺伊曼条件和罗宾条件1803.11 最大值原理1874 极坐标与柱面坐标中的偏微分方程1934.1 各个坐标系中的拉普拉斯算子1944.2 圆膜的振动:对称情况1984.3 圆膜的振动:一般情况2074.4 圆域中的拉普拉斯方程2164.5 圆柱体中的拉普拉斯方程2284.6 亥姆霍兹方程和泊松方程231关于贝塞尔函数的补充内容4.7 贝塞尔方程和贝塞尔函数2374.8 贝塞尔级数展开2484.9 贝塞尔函数的积分公式和渐近式2615球面坐标中的偏微分方程2695.1 问题和方法概述2705.2 对称狄利克雷问题2745.3 球面调和函数和一般狄利克雷问题2815.4 亥姆霍兹方程及其在泊松方程、热传导方程和波动方程中的应用291关于贝塞尔函数的补充内容5.5 勒让德微分方程3005.6 勒让德多项式和勒让德级数展开3085.7 连带勒让德函数和连带勒让德级数展开3196施图姆-刘维尔理论及其在工程中的应用3256.1 正交函数3266.2 施图姆-刘维尔理论3336.3 悬链3466.4 四阶施图姆-刘维尔理论3536.5 梁的弹性振动和屈曲3606.6 双调和算子3716.7 圆板的振动3777傅里叶变换及其应用3897.1 傅里叶积分表示3907.2 傅里叶变换3987.3 傅里叶变换法4117.4 热传导方程和高斯核4207.5 狄利克雷问题和泊松积分公式4297.6 傅里叶余弦变换和正弦变换4337.7 半无限区间上的问题4407.8 广义函数4457.9 非齐次热传导方程4617.10 杜阿梅尔原理4718拉普拉斯变换和汉克尔变换及其应用4798.1 拉普拉斯变换4808.2 拉普拉斯变换的进一步性质4918.3 拉普拉斯变换法5028.4 汉克尔变换及其应用5089 有限差分数值方法5159.1 热传导方程的有限差分法5169.2 波动方程的有限差分法5259.3 拉普拉斯方程的有限差分法5339.4 拉普拉斯方程的迭代法54110抽样和离散傅里叶分析及其在偏微分方程中的应用54610.1 抽样定理54710.2 偏微分方程与抽样定理55510.3 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换55910.4 傅里叶变换与离散傅里叶变换56711量子力学引论57311.1 薛定鄂方程57311.2 氢原子57411.3 海森伯格不定性原理581关于正交多项式的补充内容11.4 埃尔米特多项式和拉盖尔多项式59012格林函数和保角映射61112.1 格林定理和恒等式61212.2 调和函数和格林恒等式62212.3 格林函数62912.4 圆域和上半平面的格林函数63812.5 解析函数64512.6 利用保角映射求解狄利克雷问题66312.7 格林函数与保角映射67412.8 诺伊曼函数和诺伊曼问题的解684附录A 常微分方程：概念和方法回顾A1A.1 线性常微分方程A2A.2常系数线性常微分方程A10A.3 变系数线性常微分方程A21A.4 幂级数法，部分I A28A.5 幂级数法，部分II A40A.6 弗罗贝尼乌斯法A51B 变换表A65B.1 傅里叶变换表A66B.2 傅里叶余弦变换表A68B.3 傅里叶正弦变换表A69B.4 拉普拉斯变换表A70参考文献A73部分习题答案A75索引A99前言自本书第1版出版以来，我很高兴地收到了来自读者的积极回应。
这一版采纳了他们的许多建议，包含了更多的源自工程和物理的应用、更多的数学证明与理论。
为保持原版的组织结构，大部分变化体现在各章后面的新增小节里。
与第一版一样，本书旨在作为偏微分方程和边值问题(包括傅里叶级数)的现代基础教材，供学完常微分方程基础课程的学生使用。
本书内容与安排本书是为了读者较好地从常微分方程基础课程过渡到偏微分方程基础课程而设计的。
虽然本书面向那些强调应用的工程、数学和物理等专业的学生，但本版新增内容为教师提供了多种选择:以理论为主的偏微分方程课程，或者强调边值问题和傅里叶级数的偏微分课程。
除了偏微分方程基础课程的核心内容(参见下面的“教学安排”)外，本书还包含许多特别专题，教师可以根据需要讲授，或者作为专题研究的题目。
这些基于核心内容的高级专题基本上是相互独立的。
预修要求在附录A 中，汇总了一些线性常微分方程的基本理论，包括级数法。
教师可以根据需要将这些内容仔细讲授或完全省略，这是为了方便学生回顾与查阅.特别的，A.4~A.6 节包含了对幂级数方法和弗罗贝尼乌斯方法的详细讨论，适合于那些第一次接触这些内容的学生阅读。
考虑到现在在常微分方程基础课程中省略级数方法这一趋势，我认为有必要对这些内容作较为详细的讨论。
习题和计算机辅助教学每一节的习题都以一组基础题目开始，这些基础题目是为了加深学生对该节基本概念的理解而设计的；接着是难度较大的提高题，引导读者对概念进行更深入的理解。
这些提高题通常都给出了详细的提示，以使绝大多数学生都可以完成。
有些节包含了专题问题，专题问题是一些较长的习题，其结果有一定价值或涉及相关的应用。
专题问题可以由学生独自完成，或由小组共同完成，或由教师作进一步的讲解。
虽然本书是从传统观点来编写的，无需计算机辅助教学，但还是包含了一些需要利用计算机的例题和习题。
需要使用计算机的习题都标上了计算机标记，这些问题都是要求学生利用计算机辅助作图功能研究一些问题(例如傅里叶展开、贝塞尔展开、勒让德展开以及其他特殊函数的展开式的部分和序列的收敛性) ，以及计算那些不易手算得到的数值数据(例如，广义傅里叶级数的系数和超越方程的根)。
本版新增内容本版显著的变动如下:•2.2 节增加了一些傅里叶级数的例题和习题，这些例题和习题建立在图形基础上，用于增强学生阅读和理解傅里叶级数图形表示的能力。
•2.7 节是新的，该节包含了应用傅里叶级数求解机械或电子系统的受迫振动。
我们的讨论超越了该领域的典型步骤，通过对傅里叶级数解的分析，讨论了一种抑制系统高振荡的方法。
•2.8 节以及2. 9 节的大部分内容是新的。
第2章最后三节较完整地讨论了傅里叶级数的逐点收敛以及一致收敛问题，包括分段光滑函数的傅里叶级数表示定理的完整证明。
这些内容的巧妙安排使之更适合于课堂教学。
•3.4 节做了扩充，包含了特征线法、平行四边形法等，以及达朗贝尔解的依赖区间。
•3. 10 节是新的，它研究了在矩形区域上带有罗宾边界条件或诺伊曼边界条件的边值问题。
•4.4 节做了扩充，以包含平面中的圆盘、锲形和扇形区域上具带罗宾边界条件或诺伊曼边界条件的边值问题。
•4.9 节是新的，讨论了贝塞尔函数的一些重要的高级性质，如积分表示和渐近公式。
本节还对工程师、物理学家和应用数学家非常感兴趣的定常相方法做了介绍。
•6.6 节和6.7 节是新的，这两节介绍了双调和方程和板振动理论。
这两节综合运用了前面几节中的许多重要方法(贝塞尔函数的渐近公式、特征函数展开法和广义傅里叶级数等)。
•7.2 节增加了一些关于卷积的新例子，讨论了卷积在求解边值问题时的作用。
•7.8 节是新的，讨论了广义函数、分段光滑函数的导数、卷积及其在计算分段光滑函数的傅里叶变换中的应用。
•7.9 节和7.10 节是新的，这两节包括杜阿梅尔原理及其在非齐次热传导方程和波动方程中的应用，还引入了偏微分方程的基本解和弱解等概念。
虽然这些内容看起来是纯理论性的，但这两节包含了很多有趣的应用和习题，以激发第一次接触它们的学生的学习兴趣。
·第12章关于格林函数和共形映射的内容是新的，这是一个关于格林函数和共形映射的自封式的处理。
和本书其他部分一样，这一章也是按照便于阅读的方式编写的，该章包含了许多有趣的习题和应用。
12.1 节从线积分的基本性质开始，证明了格林定理，导出格林公式，最后证明了调和函数的基本性质；在12.2 节和12.3 节中，证明了调和函数的高斯平均值性质和最大模原理，导出了格林函数，讨论了它们的理论和物理意义；12.3 节还讨论了求解格林函数的特征函数法；在12.4 节中，运用电像法推导出格林函数；12.5 节从多方面介绍解析函数及其在偏微分方程中的应用，该节包含柯西—黎曼方程以及许多有关解析函数在求解狄利克雷问题中的相关应用；12. 6 节介绍了保角映射及其在边值问题中的应用；在12. 7 节和12.8 节中，运用保角映射推导出格林函数和诺伊曼函数。
·附录A. 4 是新的，综述了幂级数知识，为其后几节有关幕级数方法的讨论做了铺垫。
教学安排·偏微分方程基础课程。
该课程包含如下核心内容:—第1章;—2.1~2. 4节，2.6节;—第3章(3. 9~3. 11节为可选内容) ;—4.1节，4.2节，4.4节(根据需要可选讲4. 7节和4.8节) ;—5.1节，5.2节(根据需要可选讲5.5节和5.6节) ;—6.1节，6.2节;—7. 1~7. 7节;—8. 3节(根据需要可选讲8.1节和8.2节) 。
·强调工程应用的课程。
将第5 章的内容替换为2.7节，6.3节，6.5节，6.6节和6.7节中任何一节即可。
·强调物理应用的课程。
将第7、8章的各节替换为第5 、11的各节。
·强调数学证明的课程。
包含2.8~2. 10节。
第12章关于格林函数的内容以及4.9节、6.6节、6.7节和7. 8~7. 10节，更适合给低年级研究生或高年级本科生讲授。
相关网站作者的Mathematica文件和一本学生解题手册以及其他有关本书的补充材料，可以从作者的网站http:// math. missouri. edu/~nakhle 上下载。
想得到教师解题手册的教师可以直接通过电子邮件nakhle@ math. missouri. edu与作者联系.此外，希望扩充12.5节中的复变量内容的教师可以参考N. 亚斯马( N. Asmar）教授的另外一本书《应用复分析和偏微分方程》(在G . 琼斯(G. Jones)帮助下完成)，由普伦蒂斯霍尔出版社（Prentice Hall）于2019 年出版。