组合典型例题解析

组合典型例题解析

【例1】判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.

（1）10个人相互各写一封信，共写了多少封信？

（2）10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？

（3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？

（4）10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠亚军获得者有多少种可能？

（5）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？

（6）从10个人里选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？

解：（1）是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的.排列数为A2

10

=90（种）.

（2）是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序

的区别.组合数为C2

10

=45（种）.

（3）是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别.

组合数为C2

10

=45（种）.

（4）是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样

的，是有顺序区别的.排列数为A2

10

=90（种）.

（5）是组合问题.因为三个代表之间没有顺序的区别.组合数为C3

10

=120（种）.

（6）是排列问题.因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的.排列数为A310=720（种）.

点评：排列、组合是不同的两个事件，区分的办法是首先弄清楚事件是什么？区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.

【例2】写出从五个元素a，b，c，d，e中任取三个元素的所有组合，并求出其组合数.

解：考虑画出如下树形图，按给出字母从左到右的顺序来考虑.

a b b

c c c

d d

d

c d e d d

e e

e e e

根据树形图，所有组合为abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde.

组合数为C3

5

=10（个）.

点评：排列的树形图与组合的树形图是有区别的.排列的树形图中其元素不能重复出现但可任意排列，而组合的树形图中其元素也不能重复出现，但元素出现的次序必须按照从左到右的顺序（如元素b后面不能出现a，元素c后面不能出现a、b等）来考虑，否则就会出现重复或遗漏.

【例3】 已知

n 5C 1－n 6C 1＝n 7

10C 7，求C n

8的值. 解：由组合数公式可得

!7)!

7(!107!6)!6(!!5)!5(!n n n n n n -⋅

=---. 化简得n 2－23n ＋42＝0. ∴n ＝21或n =2. ∵n ≤5，∴n ＝2.

∴C n 8＝C 28＝28.

点评：本题先求n 值，再求组合数.化简时常用公式C m n =)!

(!!

m n m n -，计算时常用

C m n =m m

m n A A .

【例4】 计算（1）C 23+C 24+C 25+…+C 2100； （2）A 23+A 24+A 25+…+A 2100. 解：（1）C 23+C 24+C 25+…+C 2100 =（C 33+C 23）+C 24+C 25+…+C 2100－C 33 =（C 34+C 24）+C 25+…+C 2100－C 33 =C 3101－C 33=166649. （2）A 23+A 24+A 25+…+A 2100 =A 22（C 23+C 24+…+C 2100）

=2×166649=333298.

点评：注意题中对公式C m n +C 1

-m n

=C m

n 1

+及A m n =C m n ·A m

m 的应用.若逆用公式

C m n +C 1-m n =C m n 1+也可解决（1）.即将公式变形，C 1-m n =C m n 1+－C m n ，则有C 23+C 24+C 25+…+C 2

100=（C 34－C 33）+（C 35－C 34）+（C 36－C 35）+…+（C 3101－C 3100）=C 3101－C 33=166649.

【例5】 解下列方程： （1）C 2n =66；

（2）C n

10=210；

（3）C n 18=C 6

318-n .

解：（1）由原方程，得

2

)

1(-n n =66， 即n 2－n －132=0. 解得n =12或n =－11. ∵n ≥2，∴n =－11舍去. 经检验n =12是原方程的解.

（2）根据性质C m n =C m n n

-知，只需将n =1，2，3，4，5代入C n

10=210中一一验证，解得C 410=210，又C 610=C 6

10，

∴n =4或n =6.

经检验，n =4，n =6都是原方程的解.

（3）由原方程得n =3n －6或18－n =3n －6， ∴得n =3或n =6.

经检验，n =3，n =6都是原方程的解.

点评：（1）解C m n =a 型的方程有两类：一类已知m 求n ；另一类已知n 求m .对于前者，只需利用组合数公式转化为关于n 的m 次方程；对于后者，一般可将未知数的值用1，2，…依次代入验证求解.但在解这类方程时，必须注意检验，不仅要注意0≤m ≤n ，n ＞0，m ，n

∈Z ，而且要注意组合数性质C m n =C m

n n

-的运用，以防止失根. （2）解C x n =C y

n 型的方程，要注意两种情形，即x =y 或x =n －y ，同时要注意n ≥x ≥0，

n ≥y ≥0，n ＞0，x ，y ，n ∈Z .

【例6】解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.1C 3111C ,

2C C x n x n

x n x n

解：∵C x n =C x n n -=C x

n 2，

∴n －x =2x .∴n =3x .

又由C 1+x n =

3

11C 1

-x n 得 )!

1()!1(!

--+x n x n

=3

11

·)!1()!1(!+--x n x n .

∴3（x －1）!（n －x +1）!

=11（x +1）!（n －x －1）!. ∴3（n －x +1）（n －x ）=11（x +1）x . 将n =3x 代入得6（2x +1）=11（x +1）. ∴x =5，n =3x =15.