第45讲 课时1 直线与圆相关问题

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第八章 解析几何
(2)(2019·通州、海门、启东期末)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(0，a)，B(3， a＋4)，若圆 x2＋y2＝9 上有四个不同的点 C，使得△ABC 的面积为 5，则实数 a 的取 值范围是____－_53_，__53____.
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第八章 解析几何
(2)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数 a＝___－__4___.
【解析】将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1,1)， 半径 r＝ 2－a，圆心到直线 x＋y＋2＝0 的距离 d＝|－1＋21＋2|＝ 2，故 r2－d2＝4， 即 2－a－2＝4，所以 a＝－4.
【解析】圆心 C(－2,0)，半径 r＝2.又圆 C 与直线 l 恒有公共点，所以圆心 C (－2,0)到直线 l 的距离 d≤r.因此|－2kk2－＋21k|≤2，解得－ 33≤k≤ 33.所以实数 k 的最小 值为－ 33.
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第八章 解析几何
(2)圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有____3____ 个．
( AD )
A．m∥l
B．m⊥l
C．m与圆相离
D．m与圆相交
【解析】 因为 OP 的斜率是ba，所以直线 l 的斜率是－ab，又直线 m 的斜率是－ab， 所以 m∥l；又因为点 P(a，b)是圆 x2＋y2＝r2 外一点，所以 a2＋b2>r2，而圆心 O 到直 线 m 的距离 d＝ a2r＋2 b2<rr2＝r，所以直线 m 与圆相交，故选 AD.
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第八章 解析几何
2．(2019·海安中学)已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交 于A，B两点，则|AB|的最小值为__2___6___.
【解析】 圆 C 的方程为 x2＋(y－1)2＝8，圆心 C(0,1)，直线 l：kx－y－k＋2＝0， 即 k(x－1)－(y－2)＝0，过定点 P(1,2)，当|AB|最小值时，AB⊥PC，此时|CP|＝ 2，故 |AB|min＝2 |CA|2－|CP|2＝2 6.
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第八章 解析几何
3．(2019·苏锡常镇调研(二))过直线l：y＝x－2上任意一点P作圆C：x2＋y2＝1
1 的两条切线，切点分别为A，B，当切线最短时，△PAB的面积为___2_____.
【解析】 因为|PA|＝ |OP|2－r2＝ |OP|2－1，所以当|OP|最小时，切线长 PA 最 小．OP 的最小值即点 O 到直线 l 的距离 d＝ |102－＋0－－21|2＝ 2，所以|PA|min＝1，此时 △PAB 为等腰直角三角形，所以△PAB 的面积 S＝12×|PA|×|PB|＝12.
则|2－2＋m|＝ 5
10，所以 m＝±5
2，
所以切线方程为 2x＋y±5 2＝0.
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第八章 解析几何
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第八章 解析几何
(3)过切点A(4，－1)． 【解答】因为 kAC＝－12－＋41＝13， 所以过切点 A(4，－1)的切线斜率为－3，
所以过切点 A(4，－1)的切线方程为 y＋1＝－3(x－4)，即 3x＋y－11＝0.
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第八章 解析几何
圆的切线方程的求法：(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)(斜率存在)， 利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.(2)代
数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)(斜率存在)，与圆的方程组成方程组，消元后得 到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
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第八章 解析几何
2．(2018·全国卷Ⅲ)已知直线 x＋y＋2＝0 分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，点 P
在圆(x－2)2＋y2＝2 上，则△ABP 面积的取值范围是
( A)
A．[2,6]
B．[4,8]
C．[ 2，3 2]
D．[2 2，3 2]
r2－|PC|2＝2
25－2＝2
23.故所求四边形的面积
S＝
1 2
×10×2 23＝10 23.
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第八章 解析几何
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课堂评价
1．(多选)已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点， 过点P作
直线l⊥OP, 直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是
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第八章 解析几何
(3)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过 点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝___6_____.
【解析】由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，则圆 心C(2,1)满足直线方程x＋ay－1＝0，所以2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以点A的坐 标为(－4，－1)．从而|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36，即|AB|＝6.
【解析】因为 A(0，a)，B(3，a＋4)，所以|AB|＝5，直线 AB 的方程为 y＝43x＋a. 因为 S△ABC＝12|AB|·h＝52h＝5，故 h＝2，因此，问题转化为在圆上存在 4 个点 C，使 得它到直线 AB 的距离为 2.因为圆的半径为 3，因此，圆心 O 到直线 AB 的距离小于 1，即|35a|<1，解得－53<a<53.
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第八章 解析几何
(2)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1,1)的直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相 1
切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a＝_____2___.
【解析】因为点 M 在圆上，所以切线方程为(1＋1)(x＋1)＋(1－2)·(y－2)＝5，即 2x－y－1＝0，所以 2a－1＝0，即 a＝12.
【解析】圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离 d＝
|－1－2＋1|＝ 2
2，半径是 2
2，结合图形可知有 3 个符合条件的点．
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第八章 解析几何
目标2 直线与圆相切问题 已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
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第八章 解析几何
3．已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦 和最短弦为对角线的四边形的面积是___1_0__2_3___.
【解析】 易知最长弦为圆的直径 10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝
2，所以最短弦的长为 2
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行； 【解答】(1)设切线方程为 x＋y＋b＝0，
则|1－2＋b|＝ 2
10，所以 b＝1±2
5，
所以切线方程为 x＋y＋1±2 5＝0.
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(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
【解答】设切线方程为 2x＋y＋m＝0，
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第八章 解析几何
●题组强化 1．(2018·全国卷Ⅰ)若直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则 |AB|＝__2__2____.
【解析】 由题意知圆的方程为 x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径 为 2，则圆心到直线 y＝x＋1 的距离 d＝|1＋21|＝ 2，所以|AB|＝2 22－ 22＝2 2.
第八章 解析几何
分类解析
目标1 直线与圆的相交关系 (1)(2019·镇江中学)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的
位置关系为___相__交___. 【解析】直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，因为12＋(－2)2－2×1＋4×
(－2)＝－5<0，所以点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，直线2tx－y－2－2t＝0与 圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．
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第八章 解析几何
(1)过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为 _5_x_－__1_2_y_＋__4_5_＝__0_或__x－__3_＝__0______.
【解析】化圆 x2＋y2－2x－4y＋1＝0 为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为 (1,2)，因为|OA|＝ 3－12＋5－22＝ 13>2，所以点 A(3,5)在圆外．显然，当切线斜 率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为 x－3＝0；当切线斜率存在时，可设所求 切线方程为 y－5＝k(x－3)，即 kx－y＋5－3k＝0，又圆心为(1,2)，半径 r＝2，而圆心 到切线的距离 d＝|3k－2＋2k1|＝2，即|3－2k|＝2 k2＋1，所以 k＝152.故所求切线方程为 5x －12y＋45＝0 或 x－3＝0.
【解析】 圆心(2,0)到直线的距离 d＝|2＋02＋2|＝2 2，所以点 P 到直线的距离 d1
∈[ 2，3 2]．根据直线的方程可知 A，B 两点的坐标分别为(－2,0)，(0，－2)，所以
|AB|＝2 2，所以△ABP 的面积 S＝12|AB|d1＝ 2d1.因为 d1∈[ 2，3 2]，所以 S∈[2,6]， 即△ABP 面积的取值范围是[2,6]．
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第八章 解析几何
第八章 解析几何 第45讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
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第八章 解析几何
课时1 直线与圆相关问题
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研题型 ·技法通关
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第八章 解析几何
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目标 3 圆中的弦长问题
第八章 解析几何
●典型示例 (1)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4 的弦，其中最短弦的长为__2___2___.
【解析】设 P(3,1)，圆心 C(2,2)，则|PC|＝ 2，半径 r＝2，由题意知最短的弦过 P(3,1)且与 PC 垂直，所以最短弦长为 2 22－ 22＝2 2.
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第八章 解析几何
4．过点 P(1， 3)作圆 x2＋y2＝1 的两条切线，切点分别为 A，B，则P→A·P→B＝
3 ___2_____.
【解析】 由题意，得圆心为 O(0,0)，半径为 1.如图，因为 P(1， 3)，所以 PB⊥x 轴，|PA|＝|PB|＝ 3.所以△POA 为直角三角形， 其中|OA|＝1，|AP|＝ 3，则|OP|＝2，所以∠OPA＝30°，所以∠APB ＝60°.所以P→A·P→B＝|P→A||P→B|·cos∠APB＝ 3× 3×cos60°＝32.
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第八章 解析几何
判断直线与圆的位置关系常见的方法：(1)几何法：利用d与r的关系判断．(2)代 数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．
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第八章 解析几何
(1)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：kx－y－2k＝0(k∈R)，若直线l与圆 C恒有公共点，则实数k的最小值是__－__3_3___.
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第八章 解析几何
●总结归纳 求直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦 心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2 r2－d2.(2)代数法：联立 直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关 系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|.