有限元第1章
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第1章有限元法简介
Fix uix k ii 0 F v iy iy 0 0 K ＝ ＝ F jx u jx k ji 0 F jy v jy 0 0
k ij 0 uix 1 v 0 0 iy EA 0 l 1 k jj 0 u jx 0 0 0 v jy
钱学森
钱伟长
胡海昌
杨桂通
徐芝伦
软件名称
简介
MSC/Nastran
LS-Dyna MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS FLUENT ABAQUS
著名结构分析程序，最初由NASA研制。
动力学分析程序（大多为显式算法） 非线性分析软件 通用结构分析软件（耦合场分析） 流场分析软件 非线性分析软件（非协调单元，非线性 直接解算方法）
令杆件两端节点分别产生单位位移，可以计算产生这样的单 位位移所需要的力，而力的大小就是刚度系数。 EA 首先取 ui 1，u j 0, 此 时 需 要 压 力 ui。 按 照 局 部 坐 标 系 l EA EA 和力的规定， Fi ui，F j ui， 则 l l EA EA ui l k , k
单元2 3
F3 10N
x
考虑y方向的单元刚度矩阵
Fi k ii k ij ui EA 1 1 ui ＝ u l F u k k 1 1 jj j j ji j
若考虑y方向，则有：
——宏观假设
弹性力学的基本假定
2、线弹性(Linear elastic)
物体的变形与外力作用的关系是线性的， 除去外力，物体可回复原状 ，而且这个关系和 时间无关，也和变形历史无关，称为完全线弹 性材料
有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
15
第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19
有限元分析与应用——第一章 PPT课件
0
0
k2u2 k2u3 k3u3 k3u4
k3u3 k3u4 k4u4 k4u5 0
k4u4 k4u5 P
写成矩阵的形式为
k1
=
k1 k1 k2 k2 0 0
k1 k1 0 0 0
0 k2 k 2 k3 k3 0
k1 k1 k2 k2 0 0
有限元方法与ANSYS简介
有限元方法是用于求解工程中各类问题的数值方法，应 力分析中稳态的、瞬态的、线性的或非线性的问题以及热传导、 流体流动和电磁学中的问题都可以用有限元方法进行分析解决。 现代有限元方法的20世纪早期开始，20世纪50年代，boeing公司 采用三角元对机翼进行建模，推动了有限元方法的应用。到20 世纪60年代，人们接受了“有限元”这个词。 ANSYS是一个通用的有限元计算机程序，其代码长度超 过10万行。应用ANSYS可以进行静态、动态、热传导、流体流 动和电磁学等分析。在过去的20多年里，ANSYS是主要的有限 元分析程序。现在ANSYS被广泛应用在如航天、汽车、电子、 核科学等领域。
第一章 概述
有限元方法是广泛用于解决应力分析、热传 递、电磁场和流体力学等工程问题的数值方 法。
本章的内容
（1）工程问题 （2）数值方法 （3）有限元方法与ANSYS简介 （4）有限元方法的基本步骤 （5）直接公式法 （6）最小总势能公式 （7）加权余数法 （8）结果的验证 （9）理解问题
工程问题
0
R1 0 0 0 0
0 k2 k 2 k3 k3 0
0 k3 k3 k 4 k4
0 u1 0 0 u 2 0 0 u3 0 k4 u 4 0 k4 P u5
第1章 有限元法概述
第一章有限元法概述第一节有限元法的发展及基本思想随着现代工业、生产技术的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械及工程结构。
为此目的，人们必须预先通过有效的计算手段，确切地预测即将诞生的机械和工程结构，在未来工作时所发生的应力、应变和位移。
但是传统的一些方法往往难以完成对工程实际问题的有效分析。
弹性力学的经典理论，由于求解偏微分方程边值问题的困难，只能解决结构形状和承受载荷较简单的问题，对于几何形状复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变，以及几何非线性、材料非线性等问题往往遇到很多麻烦，试图按经典的弹性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的。
因此，需要寻求一种简单而又精确的数值分析方法。
有限元法正是适应这种要求而产生和发展起来的一种十分有效的数值计算方法。
这个方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。
1960年美国的克劳夫(C l o u g h)采用此方法进行飞机结构分析时，首次将这种方法起名为“有限单元法”(finite element method），简称“有限元法”。
有限单元法的基本思想，是在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个节点上相连接，并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。
对于每个单元,根据分块近似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理论中的能量原理(或用变分原理)建立单元节点力和节点位移之间的关系。
最后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散节点上的位移。
图1.1是用有限元法对直齿圆柱齿轮的轮齿进行的变形和应力分析，其中图1.1(a)为有限元模型，图1.1(b)是最大切应力等应力线图。
在图1.1(a)中采用8节点四边形等参数单元把轮齿划分成网格，这些网格称为单元；网格间互相连接的点称为节点；网格与网格的交界线称为边界。
有限元法
李中秋20111323 热能一班第一章有限元法简介有限元法是求取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。
将它用于在科学研究中，可成为探究物质客观规律的先进手段。
将它应用于工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具。
1.1 有限元法发展简史早在1870年，英国科学家Rayleigh就采用假想的“试函数”来求解复杂的微分方程，1909年Ritz将其发展成为完善的数值近似方法，为现代有限元方法打下坚实基础。
20世纪40年代，由于航空事业的飞速发展，设计师需要对飞机结构进行精确的设计和计算，便逐渐在工程中产生了的矩阵力学分析方法；1943年，Courant 发表了第一篇使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的论文；1956年波音公司的Turner，Clough，Martin和Topp在分析飞机结构时系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式；1960年Clough在处理平面弹性问题，第一次提出并使用“有限元方法”(finite element met hod)的名称；1955年德国的Argyris出版了第一本关于结构分析中的能量原理和矩阵方法的书，为后续的有限元研究奠定了重要的基础，1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有关有限元分析的专著；1970年以后，有限元方法开始应用于处理非线性和大变形问题；我国的一些学者也在有限元领域做出了重要的贡献，如胡海昌于1954提出了广义变分原理[8]，钱伟长最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间关系，钱令希在20世纪五十年代就研究了力学分析的余能原理，冯康在20世纪六十年代就独立地、并先于西方奠定了有限元分析收敛性的理论基础。
1.2基本概念1.2.1 有限单元数值计算的思路是将复杂问题简单化，求近似解。
即将复杂的结构分解成若干相对简单的构件或部件，分别分析，然后求解。
而且这种近似解可以收敛于问题的精确解。
第1章UG-NX有限元分析入门-–基础实例资料
1.2.2 问题描述
如图所示为一对齿轮传动副，各个零件材料均为20CrMoH钢，其中件1为主动齿轮，件2为从动齿轮。在传递动力时，件1主动齿轮角速度为500 rev/min,件2从动齿轮受到100N.mm的扭矩，计算齿轮啮合区域（啮合区域有A、B二处，如图1-47 所示）最大的位移变形量和冯氏应力值。
1）新建【Gear1】FEM模型
调出主动齿轮模型，其名称为【Gear1】。 依次左键单击【开始】和【高级仿真】，在【仿真导航器】中单击【Gear1.prt】节点，右键单击出现的【新建FEM】选项，弹出【新建部件文件】对话框，在【新文件名】下面的【名称】选项中将【fem1.fem】修改为【Gear1_fem1.fem】，通过单击图标，选择本实例高级仿真相关数据存放的【文件夹】，单击【确定】按钮。 弹出【新建FEM】对话框，默认【求解器】和【分析类型】中的选项，单击【确定】按钮，即可进入创建有限元模型的环境。
【gear2】网格划分后示意图
仿真导航器新增节点
（2）建立FEM装配模型
返回至高级仿真的初始界面,新建【Gears.prt】模型，新建【Gears.prt】装配FEM模型：
默认参数单击确定
1）添加组件
在【仿真导航器】窗口单击【Gears_assyfem1.afm】节点，右键单击弹出的【加入已存的组件】命令：
第1章 UG NX有限元分析入门 –基础实例
本章内容简介 本章简要介绍零件和装配件结构静力学有限元分析的具体工作流程和操作步骤，为后续学习和掌握较为复杂零件、装配件的静力学结构分析以及其他有限元分析类型打下基础。
本书以实例教学内容为主
1.1 UG NX有限元入门实例1—零件受力分析
仿真导航器新增节点
单击确定
如图所示为一对齿轮传动副，各个零件材料均为20CrMoH钢，其中件1为主动齿轮，件2为从动齿轮。在传递动力时，件1主动齿轮角速度为500 rev/min,件2从动齿轮受到100N.mm的扭矩，计算齿轮啮合区域（啮合区域有A、B二处，如图1-47 所示）最大的位移变形量和冯氏应力值。
1）新建【Gear1】FEM模型
调出主动齿轮模型，其名称为【Gear1】。 依次左键单击【开始】和【高级仿真】，在【仿真导航器】中单击【Gear1.prt】节点，右键单击出现的【新建FEM】选项，弹出【新建部件文件】对话框，在【新文件名】下面的【名称】选项中将【fem1.fem】修改为【Gear1_fem1.fem】，通过单击图标，选择本实例高级仿真相关数据存放的【文件夹】，单击【确定】按钮。 弹出【新建FEM】对话框，默认【求解器】和【分析类型】中的选项，单击【确定】按钮，即可进入创建有限元模型的环境。
【gear2】网格划分后示意图
仿真导航器新增节点
（2）建立FEM装配模型
返回至高级仿真的初始界面,新建【Gears.prt】模型，新建【Gears.prt】装配FEM模型：
默认参数单击确定
1）添加组件
在【仿真导航器】窗口单击【Gears_assyfem1.afm】节点，右键单击弹出的【加入已存的组件】命令：
第1章 UG NX有限元分析入门 –基础实例
本章内容简介 本章简要介绍零件和装配件结构静力学有限元分析的具体工作流程和操作步骤，为后续学习和掌握较为复杂零件、装配件的静力学结构分析以及其他有限元分析类型打下基础。
本书以实例教学内容为主
1.1 UG NX有限元入门实例1—零件受力分析
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单击确定
《有限元分析及应用》课件
受垂直载荷的托架
31
体单元
•线性单元 / 二次单元 –更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。
低阶单元
更高阶单元
32
有限元分析的作用
复杂问题的建模简化与特征等效 软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制） 计算结果的评判 二次开发 工程问题的研究 误差控制
36
第二章 有限元分析的力学基础
(3) 研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变
形体）
40
2.2 弹性体的基本假设
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
物质连续性假定: 物质无空隙，可用连续函数来描述 ；
物质均匀性假定: 物体内各个位置的物质具有相同特 性；
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
28
Y
Y
0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
0
-0.001
-0.002
-0.003 0.054
-0.1 0
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
29
30
y
dy zy
1 2
zy
z
dz
0
略去微量项，得 yz zy
MY 0 zx xz
MZ 0
xy yx
剪切力互等定律
53
二维问题: 平衡微分方程
x yx X 0
x y xy y Y 0 x y
剪切力互等定律
有限元分析基础
有限元分析基础第⼀讲第⼀章有限元的基本根念Basic Concepts of the Finite Element Method1.1引⾔(introduction)有限元(FEM 或FEA)是⼀种获取近似边值问题的计算⽅法。
边值问题(boundary valueproblems, 场问题field problem )是⼀种数学问题(mathematical problems)(在所研究的区域，⼀些相关变量满⾜微分⽅程如物理⽅程、位移协调⽅程等且满⾜特定的区域边界)。
边值问题也称为场问题，场是指我们研究的区域，并代表⼀种物理模型。
场变量是满⾜微分⽅程的相关变量，边界条件代表场变量在场边界上特定的值(物理边界转化为数学边界)。
根据所分析物理问题的不同，场变量包括位移、温度、热量等。
1.2有限元法的基本思路 (how does the finite element methods work)有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出⼀个近似解，再将所有单元按标准⽅法组合成⼀个与原有系统近似的系统。
下⾯⽤在⾃重作⽤下的等截⾯直杆来说明有限元法的思路。
等截⾯直杆在⾃重作⽤下的材料⼒学解答图1.1 受⾃重作⽤的等截⾯直杆图1.2 离散后的直杆受⾃重作⽤的等截⾯直杆如图所⽰，杆的长度为L ，截⾯积为A ，弹性模量为E ，单位长度的重量为q ，杆的内⼒为N 。
试求：杆的位移分布，杆的应变和应⼒。
)()(x L q x N -=EAdxx L q EA dx x N x dL )()()(-==-==x x Lx EA q EA dx x N x u 02)2()()((1))(x L EAq dx du x -==ε )(x L AqE x x -==εσ等截⾯直杆在⾃重作⽤下的有限元法解答 (1) 离散化如图1.2所⽰，将直杆划分成n 个有限段，有限段之间通过⼀个铰接点连接。
第一章 有限元基础1
(1.4)
i.e.,
ke u f
(1.5)
11
the element stiffness matrix is
k k e k
k k
(1.6)
the objective is to solve for the unknown nodal displacements, so we may have
these are denoted as f1 and f 2
10
nodal displacements are denoted by
u1 and u 2
, the deflection is
u2 u1
the resultant axial force in the spring is
( u11) U 1
( u21) U 2
( u1 2 ) U 2
( u22 ) U 3
(1.9)
16
The compatibility conditions state the physical fact that the springs are connected at node 2, remain connected at node 2 after deformation.
Thus, element-to-element displacement continuity is enforced at nodal connections.
17
Substituting Equations 1.9 into Equations 1.8, we obtain
k1 k 1
(1.1)
f k k (u2 u1 )
有限元-第1章
第二部分
有限单元法
第一章 有限单元法概述 § 1-1 引言
有限单元法作为固体力学的一种分析方法是在本世纪五十年代起源于航空工程中飞 机结构的矩阵分析方法。结构矩阵分析是把一个结构看成由许多元件互相连接而组合成的 集合体，通过对元件的受力分析，建立节点位移与节点力之间的关系，再将这些关系集合 起来形成结构方程组。根据选取的基本未知量是节点位移还是节点力，有位移法、力法和 混合法。结构矩阵分析的对象限于由杆、梁、受剪板等元件组成的结构。 1960 年 Clough R. W. 等人将这种处理问题的方法推广用来解弹性力学的平面应力问 题，并第一次采用“有限单元法”这个术语。应用有限元法对任意连续体进行分析时，首 先将连续体划分成有限个单元，并在每个单元上指定有限个节点，认为相邻单元在节点处 相互连接构成一组单元的集合体。用以模拟或逼近原来的连续体。然后，由对单元的分析 和集合，得到描述该离散结构的代数方程组。 常规的结构矩阵分析法是将每个元件的力与位移之间的关系精确推导出来。而将连续 体离散为单元的有限单元法，是选定场函数的节点值，例如取节点位移作为基本未知量， 对于每个单元根据分区近似的思想，在单元内假设近似的位移插值函数，利用弹性力学的 变分原理建立节点力与节点位移之间的关系，得到一组以节点位移为未知量的方程组。有 限单元法是一种近似的数值方法，显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着求解 区域内单元数目的增加，单元尺寸的缩小，近似解将收敛于精确解。 从有限单元法所依据的变分原理来看，早期的有限元法大都依据最小位能原理，以位 移作为基本位知量。后来，有依据最小余能原理的有限元法，以内力作为基本未知量。再 后来则有许多某种形式的广义变分原理，同时将位移和内力作为独立的基本未知量。还有 将这些变分原理结合起来应用，例如在每个单元内用最小余能原理而对整个系统用最小位 能原理求近似解，这就是所谓杂交应力有限元法的基本思想。基于最小位能原理的有限元 位移法是用得最广的一种方法，本教材在第四章介绍混合杂交有限元法的基本概念和基本 理论外，其余各章都采用有限元法的基本理论和方法。
有限单元法
第一章 有限单元法概述 § 1-1 引言
有限单元法作为固体力学的一种分析方法是在本世纪五十年代起源于航空工程中飞 机结构的矩阵分析方法。结构矩阵分析是把一个结构看成由许多元件互相连接而组合成的 集合体，通过对元件的受力分析，建立节点位移与节点力之间的关系，再将这些关系集合 起来形成结构方程组。根据选取的基本未知量是节点位移还是节点力，有位移法、力法和 混合法。结构矩阵分析的对象限于由杆、梁、受剪板等元件组成的结构。 1960 年 Clough R. W. 等人将这种处理问题的方法推广用来解弹性力学的平面应力问 题，并第一次采用“有限单元法”这个术语。应用有限元法对任意连续体进行分析时，首 先将连续体划分成有限个单元，并在每个单元上指定有限个节点，认为相邻单元在节点处 相互连接构成一组单元的集合体。用以模拟或逼近原来的连续体。然后，由对单元的分析 和集合，得到描述该离散结构的代数方程组。 常规的结构矩阵分析法是将每个元件的力与位移之间的关系精确推导出来。而将连续 体离散为单元的有限单元法，是选定场函数的节点值，例如取节点位移作为基本未知量， 对于每个单元根据分区近似的思想，在单元内假设近似的位移插值函数，利用弹性力学的 变分原理建立节点力与节点位移之间的关系，得到一组以节点位移为未知量的方程组。有 限单元法是一种近似的数值方法，显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着求解 区域内单元数目的增加，单元尺寸的缩小，近似解将收敛于精确解。 从有限单元法所依据的变分原理来看，早期的有限元法大都依据最小位能原理，以位 移作为基本位知量。后来，有依据最小余能原理的有限元法，以内力作为基本未知量。再 后来则有许多某种形式的广义变分原理，同时将位移和内力作为独立的基本未知量。还有 将这些变分原理结合起来应用，例如在每个单元内用最小余能原理而对整个系统用最小位 能原理求近似解，这就是所谓杂交应力有限元法的基本思想。基于最小位能原理的有限元 位移法是用得最广的一种方法，本教材在第四章介绍混合杂交有限元法的基本概念和基本 理论外，其余各章都采用有限元法的基本理论和方法。
《弹性力学与有限元》第1章弹性力学的基础知识
（五）小应变位移假设 物体在外加因素作用下，物体变形产生的位移与物体尺寸相比极其微小，因 而应变分量和转角均远小于 1。这样，在建立物体变形后的平衡方程时，可以不 考虑由于变形引起的物体尺寸和位置的变化；在建立几何方程和物理方程时，可 以略去应变、转角的二次幂或二次乘积以上的项，使得到的基本方程是线性偏微 分方程组。这个假设又称为几何线性的假设。
物体的弹性性质是客观存在的，人类很早就可以利用物体的弹性性质了，比 如在树枝上荡漾，古代的弓箭等等。
了解掌握弹性物体的客观规律，并形成弹性力学这样一门学科，则经过了三 个发展时期：
弹性力学的发展初期。17 世纪开始，主要是通过实践，尤其是通过实验来 探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于 1680 年分别独立地提 出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于 1687 年确立了力学三定律，奠定了力学的发展基础。
《弹性力学与有限元》
第 1 章 弹性力学的基础知识
第 1 章 弹性力学的基础知识
弹性力学(Elastic Mechanics)是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力 和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结 构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天 等工程领域。
材料力学的研究对象主要是杆状构件（一维弹性杆件），而且常采用一些关 于变形的近似假设，如“平面截面”的假设等等，使得计算简化。
而弹性力学的分析方法在一开始并不考虑平面截面的假设，而是从变形连续 性的观念出发列出几何方程，所谓变形连续性是指在变形前的连续物体在变形后 仍保持连续，物体的任一部分及单元体均保持连续。在保持变形连续的情况下， 平面界面变形以后可能不再保持平面，
第一章 有限元法基本原理
称为弹性体的虚功方程。
§1.5 单元刚度矩阵
假设杆单元L： ui Ui
l
其中：A, E , l 为参数。
u j U j
杆单元应力-应变关系为：
则：
U j E E u j ui
A
l
EA
U j l u j ui
由力的平衡条件： U i U j 0
则：
Ui
EA l
uj
§1.3 单元应力和应变
位移函数→几何方程（→应变）→物理方程（→应力） 杆单元的几何方程为：
x
du dx
x
d Ne
dx
d dx
1
x l
d dx
x l
e
11
l
1 e
简化为： B e
1.8
B 11 1
1.9
l
B 为几何矩阵。
杆单元的物理方程为：
或：
x E x
D
D 为弹性矩阵 。
参考书目：
❖ 《有限元法及其在锻压工程中的应用》吕丽萍主编， 西北工业大学出版社
❖ 《弹性和塑性力学中的有限单元法》丁皓江等主编， 机械工业出版社
❖ 《有限元分析的基本方法及工程应用》周昌玉、贺 小华 编著，化学工业出版社
§1.2 位移函数与形状函数
1、坐标系
以杆单元为例：
ui U i
Y
vi Vi
1960年， Clough处理 平面弹性问题， 第一次提出“ 有限单元法”。
1963—1964, Besseling, Melosh,Jones 证明有限元法是 基于变分原理 的里兹法， 确认了有限元 法是处理连续 介质问题的 一种普遍方法。
变分法建立 有限元方程 与经典里兹 法的主要 区别
有限元与数值模拟-第1章 绪论
1 2
绪论
有限元分析的力学基础 有限元分析的数学求解原理 杆梁结构的有限元分析 连续体弹性问题的有限元分析 有限元法应用中的若干实际考虑 有限元分析的应用领域
2
3
4 5
6
7
1 绪论
绪论
概念 发展
应用
基本思想 有限元分析的步骤及解决工程问题的方式
牵涉的知识（及有限元研究的内容）
1 dy 2 1 2 （1）导出泛函表达式： I [ y( x )] y 0 2 dx 2
1
2 y1 0 dx y(0) 0, y(1) 0
y dx
（2）选择整个求解域内，并满足边界条件的试探函数。
e w
Q
dx
Q
x
x
x
x+△x
e w TP TW Q x 0 TE TP x e x w
8
d 2T Q 0 2 dx
e w TP TW Q x 0 TE T1 P 绪论 /1.1 概念 x e x w
1 绪论/1.2 发展
有限元的发生与发展——工程科学、数学、计算机应用
• 1795年，Gauss提出加权余量法 • 1915年，Galerkin提出权函数与基函数相同的加权余量法—— Galerkin 法，是推导有限元方程的数学方法之一。 • 1870年，L. Rayleigh，1909年Ritz各自独立地提出采用总体试探函数来 近似求解泛函极值问题的方法——瑞利－里兹（Rayleigh-Ritz）方法， 简称为Ritz法，是推导有限元方程的重要方法。 • 1941年，A.hrennikoff，1943年D.McHenry，1949年N.M.Newmark提 出采用简单弹性杆（和梁的）排列代替连续的平面弹性体的方法，即采用 结构力学的离散分析方法解决连续体问题——直接法有限元。 • 1943年，Courant 对Ritz法进行推广，引入三角域上的分片线性试探函 数，结合最小势能原理求解扭转问题，开创了变分法有限元。为有限元研 究奠定了重要的数学基础——数学方面。 • 1946年，电子计算机诞生，并用于杆系结构力学的数值计算。 • 1954-1955年，J.H.Argris发表了一系列论文，将弹性结构的基本能量原 理进行推广和统一，发展了结构力学分析的矩阵方法。1960年出版了《 能量原理和结构分析（Energy Theorems and Structural Analysis）》 14 一书——有限元法雏形。
绪论
有限元分析的力学基础 有限元分析的数学求解原理 杆梁结构的有限元分析 连续体弹性问题的有限元分析 有限元法应用中的若干实际考虑 有限元分析的应用领域
2
3
4 5
6
7
1 绪论
绪论
概念 发展
应用
基本思想 有限元分析的步骤及解决工程问题的方式
牵涉的知识（及有限元研究的内容）
1 dy 2 1 2 （1）导出泛函表达式： I [ y( x )] y 0 2 dx 2
1
2 y1 0 dx y(0) 0, y(1) 0
y dx
（2）选择整个求解域内，并满足边界条件的试探函数。
e w
Q
dx
Q
x
x
x
x+△x
e w TP TW Q x 0 TE TP x e x w
8
d 2T Q 0 2 dx
e w TP TW Q x 0 TE T1 P 绪论 /1.1 概念 x e x w
1 绪论/1.2 发展
有限元的发生与发展——工程科学、数学、计算机应用
• 1795年，Gauss提出加权余量法 • 1915年，Galerkin提出权函数与基函数相同的加权余量法—— Galerkin 法，是推导有限元方程的数学方法之一。 • 1870年，L. Rayleigh，1909年Ritz各自独立地提出采用总体试探函数来 近似求解泛函极值问题的方法——瑞利－里兹（Rayleigh-Ritz）方法， 简称为Ritz法，是推导有限元方程的重要方法。 • 1941年，A.hrennikoff，1943年D.McHenry，1949年N.M.Newmark提 出采用简单弹性杆（和梁的）排列代替连续的平面弹性体的方法，即采用 结构力学的离散分析方法解决连续体问题——直接法有限元。 • 1943年，Courant 对Ritz法进行推广，引入三角域上的分片线性试探函 数，结合最小势能原理求解扭转问题，开创了变分法有限元。为有限元研 究奠定了重要的数学基础——数学方面。 • 1946年，电子计算机诞生，并用于杆系结构力学的数值计算。 • 1954-1955年，J.H.Argris发表了一系列论文，将弹性结构的基本能量原 理进行推广和统一，发展了结构力学分析的矩阵方法。1960年出版了《 能量原理和结构分析（Energy Theorems and Structural Analysis）》 14 一书——有限元法雏形。
有限元ppt课件
h h
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
第一章概述 有限元法基本原理及应用课件
第一章 概述
第一章 概述
有限元法的基本思想 有限元法的特点 有限元法的发展及其应用领域
1.1有限元法的基本思想
2．有限元法是一种应用已知求解未知的思想
在弹性力学领域，已经能用数学偏微分方程将问 题加以表达，但是运用解析方法求解这些方程有时会 很难甚至无法求解。而有限元法是应用人们对事物规 律的已有认识并结合研究对象的各种约束条件，组织 一个运用已知的参量和规律来求解未知问题的有机过 程。
西班牙的Onate E和波兰的Rojek J将DEM 和FEM结合解决地质 力学中的动态分析问题；
瑞典的Birgersson F和英国的Finnveden S针对FEM在频域中的 应用提出了SFEM 。
FEM也从分析比较向优化设计方向发展。印度Mahanty博士用 ANSYS对拖拉机前桥进行优化设计
物体的几何形状可以用大大小小的多种单元进行拼装，所以 有限元法可以分析包括各种特殊结构的复杂结构体。
单元之间材料性质可以有跳跃性的变化，所以能处理许多物 体内部带有间断性的复杂问题，以适应不连续的边界条件和载荷 条件。
三维实体的四面体单元划分
平面问题的四边形单元划分
1.2 有限元法的特点
7．适合计算机的高效计算
20世纪90年代以来，大批FEA系统纷纷向微机移植， 出现了基于各种微机版FEA系统。有限元法向流体力学、 温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算 方面发展，并发展到求解一些交叉学科的问题。
1.3.1 有限元法的发展
3．有限元法的研究现状
美国的HeoFanis Strouboulis等人提出用GFEM 解决 分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时的Nguyen Dang Hung 和越南的Tran Thanh Ngoc 提出用HSM解 决实际开裂问题
第一章 概述
有限元法的基本思想 有限元法的特点 有限元法的发展及其应用领域
1.1有限元法的基本思想
2．有限元法是一种应用已知求解未知的思想
在弹性力学领域，已经能用数学偏微分方程将问 题加以表达，但是运用解析方法求解这些方程有时会 很难甚至无法求解。而有限元法是应用人们对事物规 律的已有认识并结合研究对象的各种约束条件，组织 一个运用已知的参量和规律来求解未知问题的有机过 程。
西班牙的Onate E和波兰的Rojek J将DEM 和FEM结合解决地质 力学中的动态分析问题；
瑞典的Birgersson F和英国的Finnveden S针对FEM在频域中的 应用提出了SFEM 。
FEM也从分析比较向优化设计方向发展。印度Mahanty博士用 ANSYS对拖拉机前桥进行优化设计
物体的几何形状可以用大大小小的多种单元进行拼装，所以 有限元法可以分析包括各种特殊结构的复杂结构体。
单元之间材料性质可以有跳跃性的变化，所以能处理许多物 体内部带有间断性的复杂问题，以适应不连续的边界条件和载荷 条件。
三维实体的四面体单元划分
平面问题的四边形单元划分
1.2 有限元法的特点
7．适合计算机的高效计算
20世纪90年代以来，大批FEA系统纷纷向微机移植， 出现了基于各种微机版FEA系统。有限元法向流体力学、 温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算 方面发展，并发展到求解一些交叉学科的问题。
1.3.1 有限元法的发展
3．有限元法的研究现状
美国的HeoFanis Strouboulis等人提出用GFEM 解决 分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时的Nguyen Dang Hung 和越南的Tran Thanh Ngoc 提出用HSM解 决实际开裂问题
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飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少， 而数据准备和运算结果的表现问题却日益突出。 在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方程的有限 元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计算一个工程问 题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。
各个方向的发展过程和方向
增强可视化的前置建模和后置数据处理功能
非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人
员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人力 和投资开发诸如MARC、ABAQUS和ADINA等专长于求 解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实 践。
各个方向的发展过程和方向
增强可视化的前置建模和后置数据处理功能
随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的
编程语言(程序规模) FORTRAN77(150000行) FORTRAN(150000行) FORTRAN4FOR66FOR77(100000行 )
4
5 6 7 8
NASTRAN
ABAQUS FENRIS PAFEC ASKA
FORTRAN4Assembler(600000行)
FORTRAN77(140000行) FORTRAN77(160000行) FORTRAN(400000行) FORTRAN4(600000行) ANSI FOR66Assembler(150000 行) FORTRAN4(300000行)
当今有限元分析系统的另一个特点是与通用 CAD 软件的集
成使用， 即：在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后， 自动生成有限元网格并进行计算，如果分析的结果不符合设 计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止，从而极大地 提高了设计水平和效率。当今所有的商业化有限元系统商都 开 发 了 和 著 名 的 CAD 软 件 （ 例 如 Pro/ENGINEER 、 Unigraphics 、 SolidEdge 、 SolidWorks 、 IDEAS 、 Bentley 和 AutoCAD 等 ） 的 接 口 。
4、有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构 ，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应 用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模 型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适 用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各 自的优点。
缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，
所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是 相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办 法。尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应 技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多 大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。
有限元发展过程
有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发
展起来的一种现代计算方法。它是 50 年代首先 在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析
中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快
广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学 等连续性问题。
在大力推广 CAD 技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的
9
10 11 12
EAL
SAMCEF
EISE公司(美)
L.T.A.S(比利时)
LARSTRAN8 斯图加特大学静动力学研究所(西 FORTRAN4FORTRAN77(200000行) 0 德) HAJIF系列 航空部(中国) FORTRAN4(280000行)
力学基础：弹性力学
方程求解原理：加权余量法和泛 函求极值原理
各个方向的发展过程和方向
过程仿真
可对一些物理过程进行仿真，如冲压成型，金属切削，注射
成型，碰撞过程等，以计算一些比较复杂的过程参数。
目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小
但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件， 美 国 的 ABAQUS 、 ADINA 、 Midas 、 ANSYS 、 BERSAFE 、 BOSOR 、 COSMOS 、 ELAS 、 MARC 和
Finite Element Method
主讲教师：陈慧珉
2016/4/27
工程中的问题 (力学、物理) 各种方程及相应的定解条件 (边界条件及初始条件) 线性的、边界规则的问题 解析法 精确解 非线性的、边界不规则的问题 数值分析法 近似解
工程问题的求解思路
三大科学研究方法
1. 理论分析 2. 科学实验
将实际结构简化，得到简化模型，通过简化模型 求得变形、应力等。缺点：与实际结构有差别； 优点：计算简单。 采用实际结构，并利用实验的方法得到结构在各种 工况下的变形和应力。优点：与实际情况符合； 缺点：代价高。
3. 科学计算
采用实际结构相类似的模型，并利用科学计算的方法 得到结构在各种工况下的变形和应力。优点：与实际 情况符合，代价低； 缺点：需要经验，且需要大型计算机。
例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反 过来影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学 的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓"流固耦合"的问题。
各个方向的发展过程和方向
由求解线性工程问题进展到分析非线性问题
线性理论已经远远不能满足设计的要求。
例如：航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，要考虑材料 的非线性问题；诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现， 只有采用非线性有限元算法才能解决。
我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其 中比较著名的有：陈伯屏(结构矩阵方法)，钱令希(余能原理)， 钱伟长(广义变分原理)，胡海昌(广义变分原理)，冯康(有限单元 法理论)。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究 工作受到阻碍。
有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程 问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发 展，为工程设计和优化提供了有力的工具。
3
有限元法的应用
有限元法的形成与发展
有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法，离散化是 有限元方法的基础。然而，这种思想自古有之。齐诺（Zeno公 元前5世纪前后古希腊埃利亚学派哲学家）曾说过：空间是有限 的和无限可分的。故，事物要存在必有大小。亚里士多德 (Aristotle古希腊大哲学家，科学家)也讲过：连续体由可分的元 素组成。古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的 逼近方法：即采用内接多边形和外切多边形从两个不同的方向 近似描述圆的周长或面积，当多边形的边数逐步增加时近似值 将从这两个方向逼近真解。
第一个“黄金时代”：1943年在Courant的论文中明确提出， 其本人并没有发展这个方法，而在欧洲、在中国（以冯康先生为 代表）、在美国都被独立发现了。发明这个方法归功于结构工程 师，随着发明新单元（分段多项式）并应用于复杂结构（飞机及 水坝），诞生了有限元法的第一个“黄金时代”。当时其数学基 础尚未完全建立起来。 第二个“黄金时代”：约开始于1968年，这一次属于数值分析 家。数学家终于认识了有限元的基本原理，事实上它是逼近论、 偏微分方程及其变分形式和泛函分析的巧妙结合。
一、数值模拟方法概述
解决这类复杂问题主要有两种方法： 1、引入简化假设，使其达到能用解析法求解的 状态，然后求其近似解（未必可行，容易导 致不正确的解答） 2、保留问题的复杂性，利用数值模拟方法求得 问题的近似解（较多采用）数值模拟技术 （即CAE技术，Computer-Aided Engineering）是人们在现代数学、力学理论 的基础上，借助于计算机技术来获得满足工 程要求的数值近似解，是现代工程仿真学发 展的重要推动力之一。
主要有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、
STARDYNE等公司的产品。
编号 1 2 3
软件名称 ANSYS ADINA MARC
开发单位 Swanson Analysis System(美国) ADINA工程公司(美国) MARC公司(美国) NASA(美)主持，MSC公司(美)开 发 Hilbitt, Karlson, and Sorensen公 司 (美 ) NTH, SINTEF(挪威) PAFEC公司(美) 斯图加特大学静动力学研究所(西 德)
目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很
强的前置建模和后置数据处理模块。使用户能以可 视图形方式直观快速地进行网格自动划分，生成有 限元分析所需数据，并按要求将大量的计算结果整 理成变形图、等值分布云图，便于极值搜索和所需 数据的列表输出。
各个方向的发展过程和方向
与CAD软件的无缝集成
实现方法：数值离散
技术载体：有限元分析软件
2016/4/27 有限单元法简介 20
应 用 实 例
奥运会场馆
鸟巢
应 用 实 例
水轮机叶轮的受力分析模拟
应 用 实 例
轴承强度分析
应 用 实 例
三维椭圆封头开孔补强
应 用 实 例
三、 有限元法的特点和应用
优点： 1.概念清楚，容易理解。可以在不同水平上建立起 对该方法的理解。 2.适应性强，应用范围广泛。可用于求解采用其他 数值方法求解困难的问题。特别适合求解具有复杂几 何形状的问题，因为它可以划分各种形式的网格。如 复杂结构形状的问题，复杂边界条件问题，动力学问 题，非线性问题。 3.采用矩阵形式来表达，便于编制计算机程序，可 以充分利用计算机资源，目前在国内外有许多通用程 序，可以直接套用。著名的有SAP系列，ADINA， ANSYS，ASKA，NASTRAN，MARK，PATRAN等。
一、数值模拟方法概述
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。