线性代数第二章知识题目解析

习 题 2-1
1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．
解： ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛000010
100100110000001011
1110001110106543216
54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1．
2．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
+-=2521
,03231
z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,． 解：由于B A =得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-0253223z x y x ，解得：⎪⎩
⎪
⎨⎧===211
z y x 。

习 题 2-2
1．设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=0112A ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=4021B ，求 （1）B A 52-； （2）BA AB -； （3）22B A -．
解：（1）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-202892001050224402150112252B A ；
（2）⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2592041021820112402140210112BA AB ；
（3）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-152441606112254021402101120112B A 22．
2．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230412301321A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=052110
35123
4B ，求B A 23-． 解：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=052110351234223041230
13
21
323B -A
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=61941016151055011010422061024686901236903963
3．设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101012121234
,432112122121B A ，求
（1）B A -3； （2）B A 32+；
（3）若X 满足B X A =-，求X ；
（4）若Y 满足()()O Y B Y A =-+-22，求Y ．
解：（1）⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-10101212123443211212
212133B A
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13973
2828
51
31
1010121212341296336366363； （2）⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=+101012121234343211212
2121232B A
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=561
2
5252
78
1314
3030363636912864224244242； （3）由B X A =-得，
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=5331040411131010121
212
34
432112122121B A X ；
（4）由()()O Y B Y A =-+-22得，
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=+=223
2
3
2
34034
223103
1033112020335532)(32B A Y 。

4．计算下列矩阵的乘积：
（1）⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-49635102775132)2(71112374127075321134；
（2）()⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛12332110132231=⨯+⨯+⨯=；
（3）⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛63224223)1(321)1(122)1(2)21(312；
（4）⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121023
143110412
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯+⨯-+⨯⨯+-⨯+-⨯-+⨯⨯+⨯+⨯-+⨯-⨯+⨯+⨯+⨯⨯+-⨯+-⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯=)2(4132)1(2104)3(3)1()1(3144130)1(11)2(014212200)3(4)1(1324
0140112⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=55201076； （5）()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x
()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++++++=3213332231133
322221123
31221111x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a
333322311323322221121331221111)()()(x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a ++++++++=
2
33332322322223131132121122111)()()(x a x x a a x a x x a a x x a a x a ++++++++=。

（6）⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛9000
3400
4210
25
21
30003200
121013
01
3000120010100121。

5．设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=λλλ001001A ，求3A ．
解：⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2λλλλλλλλλλλA 0020
120010010010012
22
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==32
32
3
22
2
2
30
030
330010010020
12λλλλλλλλλλλλλλA A A 。

6．设⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=021032A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=032001B ，⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=542001C ， （1）求AB 及AC ；
（2）如果AC AB =，是否必有C B =？ （3）求T
T
A B ．
解：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4162032001021032AB ，⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4162542001021032AC ； （2）由（1）知AC AB =，而C B ≠；
（3）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==16424162T
T
(AB)A B T T 。

7．已知1)(2
--=x x x f ，⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=011213113A ，求)(A f ．
解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=100010001011213113011213113011213113)(E A A A 2
f
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211301142910001000101121311310052145313。

８．举反例说明下列命题是错误的： （1）若O A =2
，则O A =；
（2）若A A =2
，则O A =或E A =；
（3）若AY AX =，且O A ≠，则Y X =．
解：（1）举例若01111≠⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=A ，而02
=A ； （2）举例若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A ，A A =2
而0≠A 且E A ≠； （3）举例若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111A ，⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=0011X ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100Y ，AY AX =，且O A ≠而Y X ≠。

9．证明： 如果BC CB AC CA ==, ，则有 （1）)()(B A C C B A +=+；（2）)()(AB C C AB =． 证明：（1）)()(B A C CB CA BC AC C B A +=+=+=+； （2）)()(AB C (CA)B (AC)B A(CB)A(BC)C AB ===== 10．设B A ,均为n 阶矩阵，证明下列命题是等价的： （1）BA AB =；
（2）2
222)(B AB A B A ++=+；
（3）2
2
2
2)(B AB A B A +-=-；
（4）2
2
))(())((B A B A B A B A B A -=+-=-+．
证明：（1）⇒（2）因为BA AB =，所以2
2
2
2
2
2)(B AB A B BA AB A B A ++=+++=+；
（2）⇒（1）2
2
2
2
2
2)(B AB A B BA AB A B A ++=+++=+，所以BA AB =；
（1）⇒（3）因为BA AB =，所以2
2
2
2
2
2)(B AB A B BA AB A B A +-=+--=-
（3）⇒（1）2
2
2
2
2
2)(B BA AB A B AB A B A +--=+-=-，所以BA AB =；
（1）⇒（4）因为BA AB =，所以2
2
2
2
))((B A B BA AB A B A B A -=-+-=-+
（4）⇒（1）2
2
2
2
))((B A B BA AB A B A B A -=-+-=-+，所以BA AB =。

11．设A 与B 是两个n 阶反对称矩阵，证明：当且仅当BA AB -=时，AB 是反对称矩阵． 证明：先证当BA AB -=时，AB 是反对称矩阵。

因为AB BA A B (AB)T
T
T
-===，所以AB 是反对称矩阵。

反之，若AB 是反对称矩阵，即AB (AB)T
-=，则BA A B AB AB T
T
T
-=-=-=)(。

习 题 2-3
1．判别下列方阵是否可逆，若可逆，求它们的逆矩阵：
（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3411； （2）⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-θθθθ
cos sin sin cos ； （3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--523012101； （4）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛343122321； （5）⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛987654321； （6）⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1000210032104321． 解：（1）07341
1≠=-=A ，故1-A 存在，141322122111=-===A A A A
从而⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-717
47173
1413711*1
A A A （2）01cos sin sin cos ≠=-=
θ
θ
θθA ，故1-A 存在，
θθ
θ
θ
cos sin sin cos 22122111=-===A A A A
从而*1
1A A A
=-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos （3）025
2301
2
1
01
≠=--=A ，故1
-A 存在，2,2,7,10,52221131211-====-=A A A A A ，
1,2,1,5233323123==-=-=A A A A
从而*1
1A A
A =-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛----=211
27115211
25
（4）023
43122
3
21≠==A ，故1-A 存在，6,6,2,3,22221131211-===-==A A A A A ，
2,5,4,233323123-==-==A A A A
从而*
1
1A A
A
=
-⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=11125323231
（5）09
87
654
3
21
==A ，故1-A 不存在。

（6）011
000210032104
321≠==
A ，故1-A 存在，2,0,0,0,12114131211-=====A A A A A ，
1
,0,0,131242322====A A A A 1,2,1,0,0,1,244434241343332=-=====-=A A A A A A A
从而⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛---==
-100
021********
211*1
A A
A 。

2．设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=130231,3512,34312
2321C B A ，求矩阵X 使满足C AXB =． 解：由1题中的（4）小题知 1
-A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛----=11125323231，又知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-25131B 所以
==--1
1CB A X ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----11125323231⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛130231⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2513⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=410410122513202011。

3．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3152A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1264B ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1242C ，解下列矩阵方程：
（1）B AX =； （2）B XA =； （3）C AXB =．
解：⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=-21
53
1A ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-42611611
B （1）B AX ===⇒-B A X 1
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2153⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-802321264 （2）B XA ===⇒-1
BA X ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-85321821531264
(3)==⇒=--1
1
CB
A X C AX
B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2153 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1242⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4261161⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=478
5417815
4．利用逆矩阵解下列线性方程组：
（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x ； （2）⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++3
5325221
32321
321321x x x x x x x x x ．
解：（1）取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=423243112A ，X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x ，⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=11114B ，则原方程组为B AX =
604232431
1
2
=----=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-111181111866126011A ∴⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛==-1131
B A X ，即⎪⎩⎪⎨⎧===1133
21x x x 。

（2）取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=153522321A ，X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x ，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=321B ，则原方程组为B AX =
151535223
21==A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-2141813413231511A ∴⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛==-0011B A X ，即⎪⎩⎪
⎨⎧===0013
21x x x 。

5．设O A =k
（k 为正整数），证明121
)
(--++++=-k A A A E A E ．
证明：因为))((1
2
-++++-k A
A A E A E
E )A A A (A A A A E k k k =++++-++++=--1212 （由O A =k ）
所以121
)
(--++++=-k A A A E A E 。

6．设方阵A 满足O E A A =--22
，证明A 和E A 2+都可逆，并求1
-A 和1
)2(-+E A ．
证明：因为O E A A =--22
可知E E)(A A =-⋅
21，所以A 可逆且)(2
1
1E A A -=-； 又有O E A A =--22
得E A)E E A =-⋅
+3(4
1
)2(，所以E A 2+可逆且 )3(4
1
)2(1A E E A -=
+-。

7．设B A AB A 2,321011330+=⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=，求B ．
解：因为B A AB 2+=，所以A B E A =-)2(，而⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=-1210113322E A ，22=-E A ，
_
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=--11131133121)2(1E A ，所以
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=-=-01132133032101133011131133121)2(1A E A B 。

8．设B A E AB A +=+⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2
,101020101，求矩阵B ．
解：由于B A E AB +=+2，有))(()(2
E A E A E A B E A +-=-=-
而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-001010100E A 且01≠-=-E A ，可知E A -可逆，所以⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=+=201030102E A B 。

9．设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，证明：
（1）若A 可逆，则1
||*-=A A A ；
（2）若0||=A ，则0|*|=A ； （3）1
|
||*|-=n A A ；
（4）若A 可逆，则A A A A |
|1
*)
()*(1
1
=
=--； （5）若A 可逆，则T
T
*)()*(A A =．
证明：（1）∵E A AA =*
，而A 可逆，∴11
||*--==A A E A A
A
（2）0||=A ，当0=A ，则O A =*
，∴0=*A
当0≠A ，则由E A AA =*
0=，∴0=A 矛盾。

∴0=*A
故当0=A 时，有0=*A 。

（3）若0=A 由（2）知0=*A 此时命题也成立，故有1
-*
=n A
A 。

若0≠A ，则由⇒=*
E A AA n A E A A A ==*
，∴1
-*
=n A
A
综上有1
-*
=n A
A 。

（4）∵E A AA =*
，而A 可逆，∴A A
A 1)
(1
*=
- 又E A E A
A A 1)(1
*11=
=---，∴A A A 1)(*1=-，即A A A A |
|1*)()*(11==-- （5）∵A 可逆，∴T
A 可逆
又E A E A A A T T T ==*)(， E A E A A A A A T
T T T
===)()()(**
即T T
*)()*(A A A A T T
=， ∴T
T
*)()*(A A =
10．设A 的伴随矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=80300
10100100001*A ，且E BA ABA 31
1+=--， 求矩阵B ．
解：由E BA ABA 311+=--A A B A AB A A B AB *
**33+=⇒+=⇒
E B A E E A B A B A 6)2(3**=-⇒+=⇒
而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=--6102
10010100
1000
01)
2(1
*A E ，∴⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=-=-10300606006000
06)2(61
*A E B 。

11．设ΛAP P =-1，其中⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2001,1141ΛP
，求11
A ． 解：∵Λ=-AP P 1
故1
-=P P A Λ，所以1
11
11
-=P P A Λ
而3=P ， ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=*1141P ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311
P ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111
1120012001Λ 故⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=313
13431
200111411111A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----++=68468327322731242124213111111313
12．设P ΛAP =，其中⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=511,111201111ΛP ， 求)65()(2
8A A E A A +-=ϕ．
解：∵6111201111-=--=P ，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=121303222*
P ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-613161*********
311*1P P P
又⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0000000012)5()1()1()(ϕϕϕϕΛ
故⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-000000001211120111
1)()(1
P
A P A ϕϕ⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--61316121021313
131
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=444444444。

13．设矩阵A 、B 及B A +都可逆，证明：
（1）11--+B A 也可逆，并且()
B B A A B A 11
11)(----+=+；
（2）A B A B B B A A 1
1
)
()(--+=+．
证明：（1）∵B B A A B E B B A A B A
11111
))(())()((-----++=++
E B B B B A B A B B B A A B B B ==++=++=------111111))(())((
∴11--+B A 可逆且()
B B A A B A 11
1
1)(----+=+
（2）∵)()()()()()(1
1111111-------++++=++AB BB B A B AB E B A B B A A B A B -
E BB B B A B A B ==++=---111)()(
∴A B A B B A --11
11
)()
(--+=+，又有（1）知()
B B A A B A 11
1
1)(----+=+
由逆矩阵的唯一性知，A B A B B B A A 1
1
)
()(--+=+。

习 题 2-4
1．设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--=100001004210
31
01A ，⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=1020013
6000
20021B ，用分块矩阵计算：（1）A k ；（2）B A +．
解：先对B A ,进行分块⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=E A E A 01，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=E B B B 210， 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=42
311A ，⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=0221
1B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20362B （1）A k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=kE 0kA kE 1⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=k k k k k k k k 0
00000
420
30； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+0B A B E B A 211⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=0020003642123122。

2．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011012100100001A ，⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=0211140110210101
B ，求AB ． 解：先对B A ,进行分块⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=E A 0E A 1，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321B B E B B ，其中⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=11211A ，
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21011B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11012B ，⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=02143B 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=312111B A B B A E B AB ，
而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+1142211B B A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+133331B A ，所以⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛---=1311334
2102
10101AB 。

3．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b a a 100100000001A ，⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=b b a a 1000
00001000B ，求ABA ． 解：先对B A ,进行分块⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A 00A A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21B 00B B ，其中1A =⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛a a
01，=2A ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛b b 11，1B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a 10，=2B ⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛b b 10， 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2211B A 00B A AB ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222111A B A 0
0A B A ABA 而=111A B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++a a a a a a 322312，=222A B A ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+++b b b b b b 231223223 ∴=ABA ⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++++++322
33
223230012200000012b b b b b b a a a
a a a 4．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2200020000340043A ，求8
A
及4A ． 解： ⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛-=22023443O O A ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=22022A A 则⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21
A O
O A A 是分块对角阵，故8
218
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=828
1A O
O A 168
28
18
281810===A A A A A
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=46
44
4424
14
22025005O O A O
O A A 5．已知分块方阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=O B A O D ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O C A F ，其中B A ,均为可逆方阵，证明D 和F 均可逆，并求1
-D 和1
-F
．
证明：设有矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=43
21
1X X X X D ，使E DD =1，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E 00E BX BX AX AX 2143 则⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧====E BX 0BX 0
AX E
AX 214
3，因B A ,均为可逆方阵，所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====--12
1413B X 0X 0X A X ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--0A B 0D 111 从而D 可逆且=-1
D ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=--0A B 0D 111。

设有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43211X X X X F ，使E FF =1，即⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++E 00E BX BX CX AX CX AX 434231 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧===+=+E BX 0BX 0CX AX E
CX AX 43
4
231，因B A ,均为可逆方阵，所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==----14
311211B X 0X CB A X A X ， 即⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=----1111
1B 0
CB A A F ，从而F 可逆且=-1F ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=----11111B 0CB A A
F 。

6．求下列矩阵的逆阵：
（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛2500380000120025；（2）⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛4121031200210001． 解：（1）记原方阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21A 00A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-522111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-85321
2A ∴=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-1
25
00380000120025
1
21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A 00A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--1211A 00A ⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=85003200005200
21 （2）记原方阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321A A 0A ，则可直接凑得⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-----13112131
11
1A A A A 0A A
而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
-21210111A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=-4112103113A ，⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--24581612111213A A A ∴=⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-14121031200210001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----131121311A A A A 0A =⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----411212458
103161210021210001
习 题 2-5
1．对下列矩阵作初等行变换，先化为行阶梯形矩阵，再化为行最简形矩阵：
（1）⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛211152223420； （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------31370130313111044321； （3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311； （4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132；（5）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------37413741174316923
； （6）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0321050713541420． 解：（1）3
212313420100021112342052222111211152223420r r r r r r ↔⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100034202111（行阶梯形矩阵）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯---1000021001012
1)3(212132321r r r r r （行最简形矩阵）
（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------313701303131110443213424213224840012
42003111044
32175r r r r r r r +⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-------+-- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000001242003111044321（行阶梯形矩阵）⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----⨯000006
21003111044321213
r ⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---+-+000006
21003101080001232321r r r r r （行最简形矩阵） （3）141
31232312433023221453334311r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------- ⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------10105006
63008840034
311)4
1(45432242
3-⨯--r r r r r ⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛---00000000002210034311（行阶梯形矩阵）
2
13r r -⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝
⎛---00000000002210032
1
1（行最简形矩阵）
(4) ⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛------34732038234202173132 4
34
132
421242321711877012988
0111104202
1232r r r r r r r r r r r r r r r ↔---⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-----↔--- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛---00000410001111042021（行阶梯形矩阵）
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝
⎛---⨯-+0000041000
30110
202
1
)1(223221r r r r r （行最简形矩阵）
（5）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------37413741174316923⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----↔+++00001430001431037
417000045217014310
374132331322134r r r r r r r r r r （行阶梯形矩阵）⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---⨯-000010000310
05011459000010
001431059501)1431(4323132
1r r r r r r r （行最简形矩阵） （
6
）
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0321050713541420⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛------⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------↔++1050105022110210541211050105022110420541232212523r r r r r r r ⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---+-+0000000002105415511252423r r r r r r （行阶梯形矩阵）⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⨯0000000002103014000000000210541)1(211r r r （行最简形矩阵）
2．把可逆矩阵⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--=023111021A 分解为初等阵的乘积．
解：因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=023111021A ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-↔-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++1003106018128003100213310130021332132321223r r r r r r r r r r r
⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+100010001363231r r r r
即E A E E E E E E E E =----))3(2,3())1(1,2())3(3,2()3,2())2(2,1())8
1
(3())6(3,1())3(3,2(
))3(3,2())6(3,1())8(3()2(2,1()3,2()))3(3,2())1(1,2())3(3,2(E E E E E E E E A ----=
3．设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963852741101010
001010100001A ，求A ．
解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963852741101010
001010100001A 可以写成⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=963852741))1(1,3()3,2(AE E
从而))1(1,3(963852741)3,2())1(1,3(963852
741)3,2(11
-⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--E E E E A
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=856966746))1(1,3(852963741E
4．用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：
（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--523012101； （2）⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛343122
321
； （3）⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---11110
3231； （4）⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-----121023211220
10
2
3．
解：（1）⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1032200122100011
0132100523010012001101),(1312r r r r E A
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛----⨯+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----211271001150102112500121211272000122100011
0123323123r r r r r r r ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----
=-2112711521125
1
A
（2）⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11110001252000132
12100343010122001321),(12213r r r r r E A
⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-----⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------+11110025323
01023
1001)1(21111100563020231001523232321r r r r r r r
∴⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=-111253232311
A
（3）⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛-----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101340013790
001
2313100111010103001231),(1312r r r r E A ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-----+-⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----+94310021111
063210
1431013402111100012312242132r r r r r r ⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯-+943100732010311001)1(2323
1r r r r r ∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-9437323111
A
（4）
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-----⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-----=100012100100232100101
2200301594
0310001210010023210010122
000011
023),(31r r E A
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛----↔↔+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-----+--10612100043011100
1000121020
00101
21000121021000101
2010120043011
100224423112434241r r r r r r r r r r r r
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--------+-+-10612100063110100
1010001042
1
1
001
243432431r r r r r r r r ∴⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-------=-10612631110104211
1
A
5．用初等变换法求矩阵X ，使B AX =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=341352B ．
解：∵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343431312252321),(B A ⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----------31100915205232
1212213r r r r r
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------+311003201023
001)1(21311006402023001523232321r r r r r r r
∴⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--==-313223
1
B A X
6．求解矩阵方程X A XA 2+=，其中⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=321011324A 。

解：A E A X X A XA )2(2-⇒+=，即T T
T
A X
E A =-)2(
而(
)
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-303103212212114112,)2(T
T A
E A ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------11111121221211411223r r ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------↔↔-⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-------9661003321
1011111131111110304303321102232211
23231r r r r r r r r r r ⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⨯-+9661001298010223
001)1(2322
1r r r r r ∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=9661298223T
X
∴⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----=9122692683X
习 题 2-6
1．在n m ⨯矩阵A 中，若存在一个r 阶子式不等于0，那么A 的秩如何？若A 的所有r 阶子式都为0，那么A 的秩又如何？
解：若A 中存在r 阶子式不等于0，则A 的秩)(A R ≥r 若A 的所有r 阶子式均为0，则A 的秩)(A R ＜r 。

2．在秩为r 的矩阵中，有没有等于0的1-r 阶子式？有没有等于0的r 阶子式？
解：在秩为r 的矩阵中，可能有等于0的1-r 阶子式，也可能有等于0的r 阶子式。

如⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=0000002100010321A ，3)(=A R ，而二阶子式02101≠，00
10
1=
三阶子式00
210013
21≠，00
00001321=。

3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，问A 与B 的秩的关系怎样？ 解：)()(A R B R =或1)()(-=A R B R
如第二题中的例子，划去第三行得B ，则1)(2)(-==A R B R 。

4．求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：
（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=8241113365A ；（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=221235131321A ；（3）⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=44311211201
3A ；
（4）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=81507313
1213123A ； （5）⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=8114324114321
A ； （6）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1541401310211001A ； （7）⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-----=414613
5102163
230502
3A ． 解：（1）⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=28140261305414382411135418241113365131231r r r r r r A
B =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----00021054114281402105412332r r r r 由B 知，2)(=A R ，且1
36
5-为一个最高阶非零子式。

（2）B A =⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0450000
01321222123513132123321r r r r r 由B 知，2)(=A R ，且122
1-为一个最高阶非零子式。

（3） ⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---44311211201
32
1r r ↔⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛---44312013121113123r r r r --⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----564056401211 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
----00
05640
1
21
123r r B =
由B 知，2)(=A R ，且3
11
1-为一个最高阶非零子式。

（4）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=815073*********A ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--------100003131224431221213r r r r r
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------1000079117024431212r r B = 由B 知，3)(=A R ，且8
07312
1
23
----为一个最高阶非零子式。

（5）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=8114324114321A ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-++-000021104321212213r r r r r B =
由B 知，2)(=A R ，且1
12
1--为一个最高阶非零子式。

（6）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=1541401310211001A ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛-++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----45001010000
0100142054010102020100134432141312r r r r r r r r r r B = 5．求λ的值，使矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=35223
177111044113λA 有最小的秩． 解：因020*******
1
13≠=，所以3)(≥A R ，要使A 的秩最小，须3)(=A R ，即0=A
而
5
3
4
251020
15612
5
3
2
4
25
107201564
12001
0433
5
2
2317711
10441
1
32
42321-------=---------λλλc c c c c c
λλ
255
3
4
0500
3533
231-=------r r r r 因此，当0=λ时，0=A ，A 的秩最小。

6．设n 阶矩阵A 满足A A =2
，证明
n R R =-+)()(E A A ．
证明：∵A A =2
，∴0)(=-E A A ，∴n E A R A R ≤-+)()(
又n E R A E A R A E R A R E A R A R ==-+≥-+=-+)()()()()()( ∴n R R =-+)()(E A A
7．设A 是n 阶方阵（1>n ），*A 是A 的伴随矩阵，证明
⎪⎩⎪⎨⎧<-===n
R n R n
R n
R )(0
1)(1
)(*)(A A A A 当当当． 解：当n A R =)(时0≠A ，∴01
*
≠=-n A
A ，∴n R =*)A (
当1)(-<n A R 时，A 的所有1-n 阶子式均为0，即0*
=A ，∴0*)A (=R
当1)(-=n A R 时，A 至少有一个1-n 阶子式不为0，即*A 至少有一个非零元素，∴1*)A (≥R
又∵1)(-=n A R ，∴0=A ，∴0*==E A AA ，∴n A R A R ≤+*)()(，而1)(-=n A R ∴1*)A (≤R ，从而1*)A (=R
∴⎪⎩⎪⎨⎧<-===n
R n R n
R n R )(0
1)(1)(*)(A A A A 当当当。