七年级数学下册《立方根》知识点归纳及典型例题讲解
七年级数学下册《立方根》知识点整理
七年级数学下册《立方根》知识点整理知识要领：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。
立方根读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。
如果被开方数还有指数，那么这个指数还可以和三次根号约去。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
立方根的性质：⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.一般地，如果一个数X的立方等于a，那么这个数X就叫做a的立方根。
如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。
立方和开立方运算，互为逆运算。
互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。
负数不能开平方，但能开立方。
立方根如何与其他数作比较? ⑴做这两个数的立方⑵作差⑶比较被开方数任何数的立方根如果存在的话，必定只有一个.平方根与立方根的区别与联系一、区别⑴根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写;立方根的根指数为3，且不能省略不写。
⑵被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。
⑶结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。
二、连系二者都是与乘方运算互为逆运算知识点一：平方根的概念：若x2=a，则x叫做a的平方根，记作x=±\，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.例1\的平方根是.A.±9B.±3c.9D.3解:因为\=9，所以\的平方根就是9的平方根，即±\=±3，故选择B.注:应现将\化简后再求值.知识点二:算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作\，0的算术平方根是0.例2若a<0，则a2的算术平方根是.A.-aB.ac.±aD.±\解:当a<0时，\=|a|=-a，故选择A.例3一个数的算术平方根是a，则比这个数大5的数是.A.a+5B.a-5c.a2+5D.a2-5解:一个数的算术平方根是a，则这个数是a2，故比这个数大5的数是a2+5，从而选择c.知识点三:平方根及算术平方根的性质:1.正数有两个平方根，它们互为相反数;2.0的平方根是0;3.负数没有平方根;4.一个非负数的算术平方根是非负数，即a≥0.例4若m的平方根是2a-3和a-12，求m的值.解:由正数有两个平方根，它们互为相反数知，+=0，解得a=5，所以m=2=72=49.。
七年级数学6.1平方根、立方根讲解与例题
6.1 平方根、立方根1．了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根．2．能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题． 3．知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根． 4．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．1．平方根(1)平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根．换句话说，如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，例如22＝4，(－2)2＝4，则4的平方根是＋2和－2(也可合写为±2)，＋2和－2都是4的平方根．(2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．(3)平方根的表示：正数a 有两个平方根，一个是a 的正的平方根，记作“a ”，读作“根号a ”，另一个是a 的负的平方根，记作“－a ”，读作“负根号a ”，这两个平方根合起来可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”，其中a 叫做被开方数．【例1－1】求下列各数的平方根：(1)0.64；(2)3625；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－322．分析：要求一个数的平方根，我们可以根据平方根的概念，首先找到一个数，使它的平方等于已知的数，然后就可以求出这个数的平方根．解：(1)∵(±0.8)2＝0.64，∴0.64的平方根是±0.8．(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±652＝3625，∴3625的平方根是±65.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－322的平方根是±32.求一个数的平方根，必须牢记正数有两个平方根，它们互为相反数，不会因为表达形式的改变而改变，如⎝ ⎛⎭⎪⎫－322是个正数，那么它有两个平方根，不要错误地认为它的平方根仅有－32.【例1－2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． (1)2516；(2)0；(3)－4；(4)－0.49；(5)(－3)2． 分析：解：(1)因为16是正数，所以16有两个平方根．由于⎝ ⎛⎭⎪⎫±542＝2516，所以2516的平方根是±54.(2)0只有一个平方根，是它本身．(3)因为－4是负数，所以－4没有平方根．(4)因为－0.49是负数，所以－0.49没有平方根．(5)因为(－3)2＝9，所以(－3)2为正数，有两个平方根．由于9的平方根是±3，所以(－3)2的平方根是±3．2．算术平方根的概念正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.因此如果x 2＝a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根．平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别：①表示方法不同：正数a 的平方根表示为±a ；正数a 的算术平方根表示为a .②个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个．③性质不同：一个正数的平方根有两个，可以是负数；一个非负数的算术平方根一定是非负数．平方根等于本身的数只有一个数，这个数是0；算术平方根等于本身的数有两个：0和1．(2)联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非负数才有．负数没有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.【例2】求下列各数的算术平方根：(1)196；(2)179；(3)16.分析：根据算术平方根的定义，求正数a 的算术平方根，也就是求一个非负数x ，使x 2＝a ，则x 就是a 的算术平方根．(1)因为142＝196，所以196的算术平方根是14．(2)因为179＝169，⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169，所以169的算术平方根是43，即179的算术平方根是43.(3)因为要求的是16的算术平方根，所以要先算出16，再求算术平方根.16表示的是16的算术平方根，所以16＝4．由于22＝4，所以4的算术平方根是2，即16的算术平方根是2．解：(1)196＝14．(2)179＝169＝43.(3)因为16＝4,4的算术平方根是2，所以16的算术平方根是2．求正数a 的算术平方根，只需找出平方等于a 的正数．求一个分数的算术平方根或平方根，当这个分数是带分数时，要先化成假分数，再求这个数的算术平方根或平方根，不要出现11649＝147的错误．3．开平方(1)求一个数的平方根的运算叫做开平方．(2)用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值．用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．例如，用计算器求529与44.81的算术平方根：①在计算器上依次键入529＝，显示结果为23，因此529的算术平方根为529＝23．②在计算器上依次键入44.81＝，显示结果为6.940 271 88，如果要求精确到0.01，那么44.81≈6.94．(1)平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程．(2)开平方是平方的逆运算．我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确． (3)平方和开平方之间的关系，我们可以这样来理解：已知底数m 和指数2，求幂，是平方运算，即m 2＝(？)；已知幂a 和指数2，求底数，是开平方，即(？)2＝a .(4)选用的计算器不同，按键的顺序也不同，因此应该仔细阅读计算器的说明书，按照要求操作．【例3】求下列各式中未知数的值：(1)x 2＝25；(2)(2a ＋3)2＝16．分析：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，它有一正一负两个值．(1)因为x 2＝25，所以x 就是25的平方根，有两个，是±5；(2)将2a ＋3看成一个整体，根据平方根的定义易知2a ＋3就是16的平方根，是±4，即2a ＋3＝±4，在此基础上，分两种情况分别求出a 的值即可．解：(1)因为(±5)2＝25， 所以x ＝±5．(2)因为(±4)2＝16， 所以2a ＋3＝±4．当2a ＋3＝4时，解得a ＝12.当2a ＋3＝－4时，解得a ＝－72.故所求a 的值是12或－72.利用开平方解方程的方法是：先把方程化为x 2＝m (m ≥0)的形式，然后根据开平方得到x ＝±m .特别地，要注意整体思想的应用．4．立方根(1)立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根(也叫做三次方根)．也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根．(2)立方根的表示方法：数a 的立方根记为“3a ”，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数，这里的根指数“3”不能省略．【例4】求下列各数的立方根：(1)27；(2)－27；(3)338；(4)－0.064；(5)0；(6)－5．分析：求一个数a 的立方根，关键是求出满足等式x 3＝a 中x 的值，同时在学习了立方根的表示方法后，应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁．解：(1)因为33＝27，所以327＝3． (2)因为(－3)3＝－27，所以3－27＝－3．(3)因为338＝278，而⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝278，所以3338＝32.(4)因为(－0.4)3＝－0.064， 所以3－0.064＝－0.4． (5)因为03＝0，所以30＝0. (6)－5的立方根是3－5.开方开不尽的数，保留根号，如本题(6)，－5的立方根是3－5.5．开立方(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方． ①开立方与立方互为逆运算．我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根．②被开立方的数可以是正数、负数和0；③求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根． (2)用计算器求一个数的立方根及近似值．用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同，主要差别是先按2ndf 键，再按书写顺序按键即可．例如用计算器求31 845，在计算器上依次键入2ndf 31845＝，显示结果为12.264 940 82，若计算结果要求精确到0.01，则1 845的立方根为12.26，即31 845≈12.26．【例5】解方程：(1)125x 3－27＝0；(2)(5x －3)3＝343．分析：(1)把原方程变形为x 3＝27125后，可知x 是27125的立方根．(2)把5x －3看做整体，则易知它是343的立方根，其值可求，在此基础上可求x .解：因为125x 3－27＝0，所以x 3＝27125.故x ＝35.(2)因为(5x －3)3＝343，所以5x －3＝3343＝7， 即5x ＝10．故x ＝2．利用开立方解方程的方法：先把方程化为x 3＝m 的形式，然后根据开立方得到x ＝3m .特别地，要注意整体思想的应用．6．立方根的性质正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0. (1)立方根的符号与被开方数的符号一致； (2)一个数的立方根是唯一的； (3)3－a ＝－3a ，3a 3＝a ，(3a )3＝a . 【例6】下列语句正确的是( )． A ．64的立方根是2 B ．－3是27的立方根C ．125216的立方根是±56D ．(－1)2的立方根是－1解析：因为64＝8，而2的立方等于8，所以64的立方根是2，即A 正确，解答时不要把“求64的立方根”误解为“求64的立方根”；因为－3的立方是－27，所以－3是27的立方根是错误的；因为56的立方是125216，所以125216的立方根是56，因此C 是错误的；因为(－1)2＝1，它的立方根是1，而不是－1，所以D 是错误的．故本题选A ．答案：A(1)任何数都有立方根，而负数没有平方根；(2)任何数的立方根只有一个，而正数有两个平方根．7．用平方根与立方根的定义及性质解题已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型．(1)一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为零． (2)对于立方根来说，任何数的立方根只有一个，根据立方根的定义可知，3－a ＝－3a ，也就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可．(3)当两个数相等时，这两个数的立方根相等．反之，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等．这与平方根不同，在平方根的计算中，若两数的平方根相等或互为相反数时，这两个数相等；若这两个数相等时，则两数的平方根相等或互为相反数．【例7－1】已知2x －1和x －11是一个数的平方根，求这个数．分析：因为2x －1和x －11是一个数的平方根，根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1和x －11相等时，可列出方程2x －1＝x －11，当2x －1和x －11互为相反数时，可列出方程2x －1＋x －11＝0，从而求出x 的值，进一步可求出这个数．解：根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1＝x －11时，x ＝－10，所以2x －1＝－21，这时所求的数为(－21)2＝441；当2x －1＋x －11＝0时，x ＝4，所以2x －1＝7，这时所求的数为72＝49． 综上可知，所求的数为49或441．【例7－2】若32a －1＝－35a ＋8，求a 2 012的值．分析：根据立方根的唯一性和3－a ＝－3a ，可知2a －1与5a ＋8互为相反数，从而可构造出关于a 的一元一次方程2a －1＝－(5a ＋8)．进一步可求出a 2 012的值． 解：因为32a －1＝－35a ＋8，所以32a －1＝3－a ＋，即2a －1＝－(5a ＋8)．解得a ＝－1．故a 2 012＝(－1)2 012＝1． 8．非负性的应用非负数指的是正数和零，常用的非负数主要有： (1)绝对值|a |≥0；(2)平方a 2≥0；(3)算术平方根a 具有双重非负性： ①a 本身具有非负性，即a ≥0；②算术平方根a 的被开方数具有非负性，即a ≥0. 非负数有如下性质：若两个或多个非负数的和为0，则每个非负数均为0.在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．此类问题可以分成以下几种形式：一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋ ＝0，( )2＋ ＝0〕，甚至同一道题目中出现这三个内容〔| |＋( )2＋ ＝0〕；二是题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例8－1】如果y ＝2x －1＋1－2x ＋2，则4x ＋y 的平方根是__________．解析：因为2x －1≥0且1－2x ≥0，所以2x －1＝1－2x ＝0，即x ＝12.于是y ＝2x －1＋1－2x ＋2＝2．因此4x ＋y ＝4×12＋2＝4．故4x ＋y 的平方根为±2．答案：±2【例8－2】如果y ＝x 2－4＋4－x 2x ＋2＋2 012成立，求x 2＋y －3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知x 2－4≥0,4－x 2≥0，因此，只有x 2－4＝0，即x ＝±2；又x ＋2≠0，即x ≠－2，所以x ＝2，y ＝2 012，于是得解．解：由题意可知x 2－4≥0且4－x 2≥0，因此x 2－4＝0，即x ＝±2． 又∵x ＋2≠0，即x ≠－2， ∴x ＝2，y ＝2 012．故x 2＋y －3＝22＋2 012－3＝2 013．【例8－3】已知a －1＋(b ＋2)2＝0，求(a ＋b )2 012的值．分析：a －1表示a －1的算术平方根，所以a －1为非负数．因为(b ＋2)2为偶次幂，所以(b ＋2)2为非负数．由于两个正数相加不能为0，所以这两项都为0，因此解方程求值即可．解：因为a －1≥0，(b ＋2)2≥0，且a －1＋(b ＋2)2＝0，所以a －1＝0，(b ＋2)2＝0， 解得a ＝1，b ＝－2．故(a ＋b )2 012＝(1－2)2 012＝1．9．利用方根探索规律(1)可以利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)100倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)10 000倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)100倍….(2)可利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的立方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动3位，则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)1 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)1 000 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)100倍….(3)还可利用方根为问题背景进行规律的探索． 【例9】(1)观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…，请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来__________．(2)借助计算器可以求出42＋32，442＋332，4442＋3332，…，观察上述各式特点，__________.解析：(1)第一个等式右边的2比左边被开方数里的1大1，被开方数13与左边被开方数的13相同且3比2大1；第二个等式右边的3比左边被开方数里的2大1，被开方数14与左边被开方数14相同且4比3大1，…，故有n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1)． (2)借助计算器，可以分别求得42＋32＝5，442＋332＝55，4442＋3332＝555，…，由此观察发现每个式子的结果都是由若干个5组成的，且5的个数为相应式子的左边4或35n 个.答案：(1)n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1) (2)5555n 个10．平方根与立方根的实际应用解实际问题时，首先要读懂题意，善于构造数学模型，将它转化为数学问题．与平方根、立方根有关的实际应用多以正方形、正方体等几何图形为问题背景设题，解答时，常常根据题意列出方程，然后再利用平方根与立方根的定义及性质解方程即可．注意求出的结果要符合实际问题的实际意义．【例10－1】计划用100块地板砖来铺设面积为16 m 2的客厅，求需要的正方形地板砖的边长．解：设地板砖的边长为x m ，根据题意，得100x 2＝16，即x 2＝0.16，所以x ＝±0.16＝±0.4．由于长度不能为负数，所以x ＝0.4(m)． 故地板砖的边长为0.4 m.【例10－2】一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，(每个面由9个小正方体面组成)体积为216 cm 3，求组成它的每个小正方体的棱长．解：设小正方体的棱长为a cm ，则玩具的棱长为3a cm ，由题意得(3a )3＝216．于是27a3＝216，a 3＝8，a ＝2(cm)．故每个小正方体的棱长为2 cm.。
七年级下册数学期末考复习专题01平方根及立方根(知识点串讲)【含答案】
专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根练习1的平方根为（ ）A．B．C．4D．4±2±练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．B．C．D．3813±81±例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）的算术平方根是( )14A．B．C．D．12±12-12116练习1_____．练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。
例3．（·_________的算术平方根是_________.练习1．（·安徽初一月考）若2a-1和5-a是一个正数m的两个平方根，则m=_______练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.二. 立方根1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：．3x a=2．立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3．求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．备注：①符号中的根指数“3”不能省略；②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．例1．（·安徽初一期中）64的立方根是（ ）A ．4B ．±4C ．8D ．±8练习1．（·淮南初一期中）下列说法中，不正确的是（ ）A ．8的立方根是2B ．﹣8的立方根是﹣2C ．0的立方根是0D ．64的立方根是±4练习2．（·北京市昌平区阳坊中学初二期中）的立方根是__________．8-例2．（合肥市第四十五中学初一期中）已知a +3和2a ﹣15是某正数的两个平方根，b 的立方根是﹣2，c 算术平方根是其本身，求2a +b ﹣3c 的值．练习1．（·淮南初一期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c 5a 2+3a b 1+-分．（1（求a ，b ，c 的值；（2）求的平方根．3a b c -+练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n 的值.例3．（安徽初一期中）求下列各式中x 的值：（1）2x 2＝4； （2）64x 3 + 27＝0专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根A试题分析：A、B、C、D都可以根据平方根和算术平方根的定义判断即可．解：A、﹣5是25的平方根，故选项正确；B、25的平方根是±5，故选项错误；C、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误；D、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误．故选A．练习1的平方根为（ ）A．B．C．4D．4±2±B，又∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2±2，故选B．练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．B．C．D．3813±81±C解：9的平方根是.3±故选：C.例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）的算术平方根是( )14A ．B ．C ．D ．12±12-12116C 本题解析: ∵ ，211()24=∴的算术平方根为，1412+故选C.练习1 _____．2，的算术平方根是2，4 2.练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。
最新人教版七年级下册数学辅导班同步培优课件11-第六章6.2立方根
3.计算:(1)- 3 1 =
3
;(2) 3 3 =
;
64
8
(3) 3 -0.027 =
;(4) 3 (-2)3 =
.
答案 (1)- 1 (2) 3 (3)-0.3 (4)-2
4
2
解析
(1)∵
1 4
3
=
1 64
,∴-
3
1 64
=- 1
4
.
(2) 3
33 8
=3
27 8
=3
3 3 2
=3.
2
(3)∵(-0.3)3=-0.027,∴ 3 -0.027 =-0.3.
6.2 立方根
5.若一个数的平方根与它的立方根完全相同,则这个数是 (
栏目索引
)
A.1 B.-1 C.0 D.±1,0
答案 C 根据平方根与立方根的性质,一个数的平方根与它的立方根完 全相同,则这个数是0.故选C.
6.(-6)3的立方根是
.
答案 -6
解析 易知 3 a3 =a,∴ 3 (-6)3 =-6.
知识点二 立方根的性质
6.2 立方根
栏目索引
7.下列式子不正确的是 ( )
A. 3 -a =- 3 a
B. 3 a3 =a
C.( 3 a )3=a D.(- 3 a )3=a
答案 D 由立方根的性质知(- 3 a )3=-a,故选项D中式子不正确.
8.下列语句正确的是 (
6.2 立方根
)
栏目索引
答案 A 设棱长为x cm,则x3=100,∴x= 3 100 ,∵64<100<125,∴4< 3 100 <5, 故选A.
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1. 算一算：
(1)
3
- 3 27 =__-__3___，
64
4 ____5____；
125
(2) 0.125 的立方根是__0__.5____；
(3) - 3 1 ____1____， 3 103 ___1_0____ .
2. 比较 3，4，3 50 的大小. 解：33 = 27，43 = 64.
解：设正方体的棱长为 a cm， 则依题意得 a3 = 9×3×4×2 = 216， 解得 a = 6. 故这个正方体的棱长为 6 cm.
5. 已知一个正数的两个平方根分别为 a 和 (-2a - 5). (1) 求 a 的值，并求这个正数； (2) 求 34 + 2a3 的立方根.
解：(1) 由题意，得 a + (-2a - 5) = 0， 解得 a = -5，∴ 这个正数为 (-5)2 = 25.
因为 27 < 50 < 64， 所以 3 < 3 50 < 4. 3. 立方根概念的起源与几何中的正方体有关，如果 一个正方体的体积为 V，那么这个正方体的边长为 多少？ 解：这个正方体的边长为 3 V.
4.一个长方体的长为 9 cm，宽为 3 cm，高为 4 cm， 而另一个正方体的体积是它的二倍，求这个正方体 的棱长.
立方根
定义 表示
如果一个数的立方等于 a， 那么这个数叫做 a 的 __立__方__根__或三次方根.
一个数 a 的立方根用符 号表示为__3_a___，a 是 被__开__方__数__，3 是_根__指__数__
特征
正数 a 的平方根是____a_； 0 的平方根是___0____； 负数没有平方根
所以
__=__ .
七年级数学下册立方根知识点整理
七年级数学下册《立方根》知识点整理七年级数学下册《立方根》知识点整理知识要领：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。
立方根读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。
(a等于所有数，包括0)如果被开方数还有指数，那么这个指数(必须是三能约去的)还可以和三次根号约去。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
立方根的性质：⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.一般地，如果一个数X的立方等于 a，那么这个数X就叫做a的立方根(cube root，也叫做三次方根)。
如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。
立方和开立方运算，互为逆运算。
互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。
负数不能开平方，但能开立方。
立方根如何与其他数作比较? ⑴做这两个数的立方⑵作差⑶比较被开方数(如三次根号3大于三次根号2) 任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个.平方根与立方根的区别与联系一、区别⑴根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写;立方根的根指数为3，且不能省略不写。
⑵ 被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。
⑶ 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。
二、连系二者都是与乘方运算互为逆运算知识点一：平方根的概念：若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作x=±\，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算. 例1 \的平方根是( ). A.±9 B. ±3 C.9 D.3 解:因为\=9，所以\的平方根就是9的平方根，即±\=±3，故选择B. 注:应现将\化简后再求值.知识点二: 算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作\，0的算术平方根是0. 例2若a<0，则a2的算术平方根是( ). A.-a B.a C.±a D. ±\ 解:当a<0时，\=|a|=-a，故选择A. 例3一个数的算术平方根是a，则比这个数大5的数是( ). A.a+5B.a-5C. a2+5D. a2-5 解:一个数的算术平方根是a，则这个数是a2，故比这个数大5的数是a2+5，从而选择C.知识点三: 平方根及算术平方根的性质:1.正数有两个平方根，它们互为相反数;2. 0的平方根是0;3.负数没有平方根;4.一个非负数的算术平方根是非负数，即a≥0. 例4若m的平方根是2a-3和a-12，求m的值. 解:由正数有两个平方根，它们互为相反数知，(2a-3)+(a-12)=0，解得a=5，所以m=(2a-3)2=72=49.。
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联系 都与相应的乘方运算互为逆运算；0的平方根与立方根都为0
基础过关
1．填空：(1)1 的平方根是___±__1___，立方根是____1____； (2)64 的平方根是___±__8___，立方根是____4____； (3) 64 的立方根是____2____．
2．填空：(1)体积为8的正方体的棱长是____2____；
解：(1)两边同除以 16，得 x3＝18 . 开立方，得 x＝12 .
(2)移项，得x3＝64. 开立方，得x＝4.
训练 3.解方程：
(1)12 x3＋5＝1； (2)(x＋1)3＝27.
解：(1)移项、合并同类项，得12 x3＝－4. 两边同乘 2，得 x3＝－8. 开立方，得 x＝－2.
(2)开立方，得x＋1＝3.解得x＝2.
知识点3 立方根的实际应用 例4 一个长方体的长是9 cm，宽是2 cm，高是4 cm，而另一个正 方体的体积是它的3倍，求这个正方体的棱长．
解：因为 V 长方体＝9×2×4＝72(cm3)， 所以 V 正方体＝3V 长方体＝3×72＝216(cm3). 所以3 216 ＝6(cm). 答：这个正方体的棱长为 6 cm.
解：长方体容器的体积为 8×4×2＝64(cm3). 由题意可知 V 长方体＝V 正方体＝64 cm3， 所以3 64 ＝4(cm). 答：此正方体容器的棱长为 4 cm.
能力提升
6．一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的
____3____倍．
7．比较下列各数的大小：
3 (1) 6
课堂总结
本节课我们主要学习了哪些 内容？你有什么收获？大胆地说 说自己的体会、感受或想法。
教师寄语
我们一生中要认识许多人，组建许多 集体，在集体生活中，我们要学会理解和 宽容，关爱和担当，才能被赋予更大的责 任，从而拥有更多发展的机会，更好的参 与社会、国家的建设，让我们与集体共同 成长！
立方根知识点讲解(含例题)
1．立方根的概念和性质（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．（2）表示方法：一个数a”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；=③3==a．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a是非负数，即a≥0a是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．K知识参考答案：1．（1）立方根2．（1）开立方（2）负数（3）逆运算一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2A ．－1B ．0C ．1D ．±1 【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【例3】下列计算中，错误的是A B 34=-C 112=D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D 故错误，故选D ． 【例4】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-，所以-343的立方根是-7．（2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【例5】求下列各式的值：（1；（23）【解析】（1（2（3 二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例6】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例7】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-，x+=-，所以33x=-．所以6三、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例8】64的平方根和立方根分别是A．8，4 B．8，±4 C．±8，±4 D．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D．【例9】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+b的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a-1=9，根据立方根求出3a+b-1=64，转化为解方程得问题解决．【例10】已知x+122x+y-6的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求3xy的平方根．【解析】（1）∵x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．∴x+12=2=13，2x+y-6=23=8，∴x=1，y=12．（2）当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．。
立方根(解析版)--七年级数学下册
第02讲立方根课程标准学习目标①立方根的概念②立方根的性质1.掌握立方根的概念，能够熟练求一个数的立方根以及利用立方根对一个数开立方运算。
2.掌握立方根的性质，能够对其熟练应用。
知识点01同类项1.立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
这就是说，如果a x 3，那么x 叫做a 的立方根．记作3a 。
其中3叫做三次根号。
根指数3不能省略。
2.求立方根：求一个数的立方根叫做开立方，与立方运算互为逆运算。
【即学即练1】1．求下面数的立方根．（1）﹣8；（2）；（3）±125；（4）81×9．【分析】直接利用立方根的意义计算得出答案即可．【解答】解：（1）因为（﹣2）3＝﹣8，所以﹣8的立方根是﹣2，即＝﹣2；（2）因为（）3＝，所以的立方根是，即＝；（3）因为（±5）3＝±125，所以±125的立方根是±5，即＝±5；（4）81×9＝729，因为93＝729，所以729的立方根是9，即＝9．【即学即练2】2．解下列方程：（1）x3＝512（2）64x3﹣125＝0（3）（x﹣1）3＝﹣216．【分析】（1）根据开立方，可得答案；（2）根据移项、等式的性质，可得乘方形式，根据开方运算，可得答案；（3）根据开方运算，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．【解答】解；（1）开方，得x＝8；（2）移项、系数化为1得，xx＝；（3）开方，得x﹣1＝﹣6，移项，得x＝﹣5．知识点02立方根的性质1.立方根的基本性质：由立方运算可知，任何数都有立方根，且都只有1个立方根。
正数的立方根是正数；0的立方根是；负数的立方根是负数。
立方根等于它本身的数是0，±1。
2.其他性质：①一个数的立方根的立方等于它本身。
即aa 33②一个数的立方的立方根等于它本身。
即a a 33③一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根。
七年级数学下册平方根、立方根总结
七年级数学下册平方根、立方根总结--------------------------------------------------------------------------作者: _____________简易平方根的运算1(1)利用平方根的乘法运算法则：若a 、b 为正数，则 a ⨯b =ab 去计算两个正平方根的乘积。
(2)利用平方根的除法运算法则：ba =b a 或a ÷b =b a ÷ (a b ,0≥>0)去计算两个正平方根相除的商。
2例1.化简下列各数：(1)(5)2 (2)25 (3)2)5(- (4)(5-)2解：【答：(1) 5 (2) 5 (3) 5 (4)-5】 例2.化简下列各数： (1)8 (2)24 (3)75 (4)84 (5)200 解：【答：(1) 22 (2) 26 (3) 53 (4) 221 (5)102】 例3.化简下列各数： (1)95 (2)32 (3)124 (4)185 (5)322 解： 【答：(1) 35 (2) 36 (3) 33 (4) 610 (5) 362】 例4.求下列各式的积并化简： (1)133⨯ (2)326⨯ (3)287⨯ (4)3152⨯ 解： 【答：(1) 39 (2) 2 (3) 27 (4) 1530】例5.求下列各式的商并化简： (1)2332÷ (2)281÷ (3)3216÷ (4)5752÷ 解： 【答：(1) 32 (2) 41 (3) 26 (4) 714】3 1.化简下列各数： (1)(-3)2 (2)2)3(- (3)(3)22.化简下列各数： (1)12 (2)32 (3)54 (4)90 (5)3633.化简下列各数： (1)163 (2)59 (3)125 (4)203 (5)5334.求下列各式的积并化简： (1)205⨯ (2)1437⨯ (3)9320⨯ (4)335611⨯5.求下列各式的商并化简： (1)3127÷ (2)3151÷ (3)528÷ (4)65320÷4分 母 有 理 化如：计算：23÷时，先写成23，再把分子，分母都乘以2，化去分母中的根号，得：26222323=⋅⋅=，这样就完成了除法运算。
七年级数学立方根讲解
七年级数学立方根讲解七年级数学立方根讲解一、什么是立方根立方根是指一个数的三次方的根，也就是说，如果一个数的立方为x，那么这个数的立方根就是立方根号x。
二、如何求立方根方法一：手算对于一个较小的数，可以手算其立方根。
具体步骤如下：1、将待求立方根的数除以2，得到一个近似值y。
2、将y的立方与原数比较，如果误差较小，即可认为y是这个数的立方根；否则将y与原数除以y的平方的平均值，即可得到一个更接近实际值的近似数。
3、如此反复进行，直到得到满足要求的精度。
方法二：科学计算器很多科学计算器都可以直接计算立方根。
例如，在Casio fx-82MS中，在输入待求立方根的数后，按下SHIFT键和√键，再按下3，即可得到这个数的立方根。
方法三：编程计算在编程中，可以使用数学库的函数来求解立方根。
例如，在Python中，可以调用math库的cbrt函数来计算一个数的立方根。
三、立方根的应用1、物理学中，立方根被应用于计算体积、密度等参数。
2、在工程学中，立方根被用于计算功率或电压的三分之一方。
3、立方根也被用于计算金融学中的平均利率。
四、需要注意的问题1、求解立方根时，要选择适当的方法，避免出现误差过大的情况。
2、部分数的立方根并不是有理数，例如2的立方根，因此在计算时需要进行近似或者采用特殊方法。
3、在使用立方根进行计算时，要注意单位的转换，避免产生计算错误。
通过本文的讲解，相信大家对于立方根有了更加深入的了解。
在实际生活和学习中，立方根的应用十分广泛。
因此，大家可以通过多练习和实践，提高应用立方根的能力。
立方根精讲精练（含答案）-
立方根精讲精练（含答案）-立方根【基础知识精讲】1.立方根的意义 (1)立方根的意义：如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(或三次方根). 就是说，如果x 3＝a ，那么x 就叫做a 的立方根. (2)立方根的定义：数a 的立方根用符号“3a ”表示，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数.2.立方根的性质(1)任何数都有立方根，且只有一个立方根.(这与平方根的性质不同，正数有两个平方根，负数没有平方根).(2)正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根还是0. 3.开立方运算开立方运算与立方运算互为逆运算. 【重点难点解析】重点难点分析重点本节的重点是立方根的概念. 难点本节的难点是立方根的求法. 【典型例题解析】例1 求下列各数的立方根.(1)343； (2)0.729； (3)-22710. 分析：本题考查立方根的求法，解题方法是运用立方根的定义求解. 解(1)∵ 73＝343，∴ 343的立方根是7，即3343＝7. (2)∵ 0.93＝0.729，∴0.729的立方根是0.9，即3729.0＝0.9.(3)∵ (-34)3＝-2764＝-22710，∴ -22710的立方根是-34，即327102 ＝-34.总结本题的易错点是和求平方根混淆或弄错符号，解题关键是运用立方根的定义求解.例21.下列说法正确的是( )A. 81的平方根是±3；B.1的立方根是±1；C. 1＝±1；D. x >0.解选A.2. 38的平方根是 .解 38＝2，2的平方根是±2. 例3 求下列各式的值：(1)-36427-； (2)3973.01-； (3)-327105-； (4)32004524?? 解 (1)- 36427- ＝36427＝43； (2)3973.01-＝3027.0＝0.3； (3)-327105-＝-327174＝-327125＝-35； (4)32004524??＝32231023532＝33331032??＝2×3×10＝60.2.求下列各式的值： (1)3216； (2)- 3827； (3)3512343-. 解 (1)3216＝6；(2)- 3827＝-23；(3)3512343＝-3512343＝-87.例4 求下列各式的x ；(1)(x+3)3+27＝0； (2)(x-0.5)3+10-3＝0.分析：本题考查立方根的求法，解题思路是把x+3和x-0.5先看成一个数，分别求出其立方根，再求x.解 (1)(x+3)3+27＝0.∴ (x+3)3＝-27.∴ x+3＝327-.x+3＝-3.∴ x ＝-6; (2)(x-0.5)3+10-3＝0. ∴ (x-0.5)3＝-10-3.∴ x-0.5＝3310--.即x-0.5＝-0.1.∴ x ＝0.4.总结本题的解题关键是先求出x+3和x-0.5的立方根. 【难题点拨】例1 若x x y x --++3922＝0，求：3x+6y 的立方根.解由xx y x --++3922＝0，知≠-=-=+0309022x x y x ③②①由 ?≠-=-03,092x x ③②得x ＝-3.把x ＝-3代入①，得y ＝6.∴ 3x+6y ＝3×(-3)+6×6＝-9+36＝27. ∴ 3x+6y 的立方根，即为327＝3. 【难题解答】例2 求下列式子中的x ：(x-1)3＝8解：x-1＝38 ∴x-1＝2 即x ＝3【命题趋势分析】(1)本节的中考热点是考查立方根的定义及性质.(2)本节内容在中考中常以填空题、选择题的形式出现.解答时要透彻理解立方根的定义及性质.【典型热点考题】例1 求下列各式中的x 的值：(1)(0.1+x)3＝-27000； (2)41(2x+3)3＝54.解(1)0.1+x ＝327000-＝-327000＝-30，∴ x ＝-30.1;(2)(2x+3)3＝4×2×27＝23×33＝63，∴ 2x+3＝336＝6，故x ＝23. *例2 设1996x 3＝1997y 3＝1998z 3,xyz>0,且3222199819971996z y x ++＝31996+31997+31998，求x 1+y 1+z1. 解设1996x 3＝1997y 3＝1998z 3＝a ，则1996x 2＝x a ,1997y 2＝ya,1998z 2＝z a , 31996＝x a 3,31997＝ya 3,31998＝z a 3，所以条件等式变为3)111(zy x a ++＝)111(3z y x a ++,∴3111zy x ++＝x 1+y 1+z 1,∴x 1+y 1+z 1＝1.例3 当x 为何值时，下列各根式有意义? (1)2x -； (2)3232+x x. 解当-2x ≥0时，2x-才有意义，∴ x ≤0. (2)∵ 当3x+2≠0时，3232+x x有意义，∴ x ≠-32.【同步练习】1.选择题(1)下列说法错误的是( )A.3a 中的a 可以是正数、负数、零；B.a 中的a 不可能是负数C.数a 的平方根有两个，它们互为相反数；D.数a 的立方根有一个 (2)下列语句正确的是( )A. 64的立方根是2B.-3是27负的立方根C.216125的立方根是±65D.(-1)2的立方根是-1(3)要使33)4(a -＝4-a 成立，那么a 的取值范围是( )A.a ≤4B.-a ≤4 4C.a ≥4D.一切实数(4)下列计算或命题中，正确的个数有( )①±3都是27的立方根；②33a ＝a ；③364的立方根是2；④32)8(±＝±4.A.1个B.2个C.3个(5)16的平方根和立方根分别是( )A.±4，316B.±2，±34C.2，34D.±2，34(6)下列说法正确的是( )A.零不存在算术平方根B.一个数的算术平方根一定是正数C.一个数的立方根一定比这个数小D.一个非零数的立方根，仍然是一个非零数(7)如果一个数的平方根是这个数本身，则这个数是( )A.1B.-1C.0D.1，-1，0 (8)如果一个数的立方根是这个数本身，则这个数是( )A.1B.-1C.0D.1，-1，0 (9)下列式子中，不正确的是( )A. 3125827＝352B.±3216＝±6C. 3064.0＝0.4D.33)5451 (10)若一个数的立方根等于这个数的立方，则不满足这个条件的数必为( )A.1B.0C.-1D.不为1，0，-1的其他数 (11)计算下列各式所得结果中( )①25.0；②1691；③3227；④10000；⑤0001.01；⑥416.A.大于1的有两个B.小于1的有两个C.结果相同的有两个D.上述结论都不对2.填空题(1)3a 读作，其中被开方数是，根指数是，被开方数的范围是 .(2)若x 3＝-27，则x ＝ ;y 3+64＝0，则y ＝ ;3z 3-81＝0,则z ＝ . (3)-64的立方根是，3729的平方根是， (-13)3的立方根是 . (4)-103是的立方根. (5)32)8(-＝，3310-＝，316437-＝ . (6)数a 的平方根最多有个，最少有个，立方根最多有个，最少有个.(7)一个正数的算术平方根是8，则这个数的立方根是 . (8)若x 2＝(-5)2，则(x-1)3＝ .(9)若3x -有意义，则xx --1)1(2＝ .(10)若a<0,则2a +33a ＝ .(11)若a,b 互为相反数，c,d 互为负倒数，则2 222ba b a +--5cd ＝ . 3.求下列各式中的x.(1)(x+3)3+27＝0(2)(x-0.5)3+10-3＝0(3)(10-0.1x )3＝-0.027(4)343x 3-38-＝-625(5)21(2x-3)3+32＝0(6)64x 2-3＝46(7)8(x-1)3＝-64125(8)81 +25x 3＝-1164.计算(1)3125.0-3161+3281??-(2)14-+25.0-3375.3(3)31-3008.0-3000343.0 (4)3827+641-3641891--256311-【素质训练】5.x 取什么值时，下列各式有意义：(1)32x -；(2)325-x6.已知3x ＝4，且(y-2z+1)2+43-z ＝0，求3333z y x ++的值.参考答案【同步练习】1.(1)C (2)A (3)D (4)B (5)D (6)D (7)C (8)D (9)A (10)D (11)C2.(1)三次根号a,a,3，全体实数(2)－3，－4，3 (3)－2，±3，－13 (4)100027(5)4，101，－43(6)两，零，一，一 (7)4 (8)64或－216 (9)1 (10)0 (11)1 3.(1)x ＝－6 (2)x ＝0.4 (3)x ＝103 (4)x ＝－73 (5)x ＝－21 (6)x ＝±8 7(7)x ＝83(8)x ＝－354.(1)－1 (2)－0.5 (3)1.13 (4)21615.(1)x 为全体实数(2)x ≠±2 【素质训练】6.6。
七年级数学立方根
目录
• 立方根基本概念与性质 • 立方根运算规则与技巧 • 代数式中立方根处理技巧 • 图形与几何中立方根应用 • 实际问题中立方根应用举例 • 练习题及测试题精选
01 立方根基本概念与性质
立方根定义及表示方法
立方根定义
若一个数的立方等于另一个数， 则这个数被称为另一个数的立方 根。
0的立方根是0，即$sqrt[3]{0}=0$。
负数立方根
负数的立方根是负数，且随着被开方数的减小而减小。同 时，负数的奇次幂仍然是负数，因此负数的立方根只有一 个实数值。
02 立方根运算规则与技巧
立方根四则运算规则
立方和公式
立方差公式
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$， 在求解立方根的和时可以利用此公式进行化 简。
体积与质量关系
在烹饪、农业等领域，经常需要利用物体的体积和质量关系，这时立方根可以 帮助我们进行单位换算和问题解决。
空间几何问题
家居装修、城市规划等领域中，经常涉及到空间几何问题，利用立方根可以计 算物体的边长、空间容积等。
环境保护和资源利用问题探讨
空气质量监测
环保部门在监测空气质量时，需要计算空气中污染物的浓度，这时可以利用立方 根进行反推计算。
通过立方根运算，可以求出几何图形的边长、半径等参数，进而解决相关问题。
几何图形的面积、体积等计算
在几何图形中，经常需要计算面积、体积等，这些计算往往与立方根有关。
几何图形的相似与全等
在解决几何图形相似与全等问题时，立方根运算也经常出现，例如计算相似比等。
空间观念培养及拓展
空间想象力的培养
通过解决与立方根有关的几何问题，可以培养学生的空间想象力，帮助他们更好地理解几何图形 的结构和性质。
人教版七年级下册 第六章 实数 第二讲 立方根 讲义(解析版)
【答案】B；
提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的立方是64B．0.1的立方根是0.001
C．4的算术平方根是16D．9的平方根是±3
【答案】D.
例2．（1）下列运算中错误的有（）
① ＝ ；② ；③ ；④ ；⑤
（2）
（3）
课堂巩固
1.估算31的立方根在两个整数之间.
【答案】4和5
2.比较 的大小
【答案】
3.比较3
【答案】<
【答案】
例4求下列各式中x的值
（1） （2）8(x－1)3＝－ （3） ．
【答案】（1） ； （2）x＝－ ；（2）x=3.
【详解】
（1） ； ； ；
（2） ； ； ；
（3）x3﹣24＝3；x3＝27；∴x＝3
实数
第二讲立方根
知识讲解
一、立方根的定义
如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
补充：一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
二、立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
五、平方根与立方根的联系
典例讲解
例1、下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4B． 是 的立方根
C．立方根等于本身的数只有0和1D．
【答案】D；
【解析】64的立方根是4； 是 的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.
课堂巩固
1.下列说法正确的是（ ）
人教版七年级数学课件《立方根》
=
3
3
27
27 ___
=
.
典例解析
人教版数学七年级下册
例1.求下列各式的值：
(1)
3
64 ；
解：(1)
3
(2)
3
125 ；
64 = 4； (2) 125 =-5；
3
(3)
3
27
64 .
3
27
(3)
=- .
4
64
3
针对练习
人教版数学七年级下册
求下列各式的值：
(1) 3 1000 ；
3
6.137=1.8308，
.
613.7=_________，②若
3
=0.18308，
达标检测
人教版数学七年级下册
11.已知 − 5的平方根是±4，2 − 1的立方是−27，求 − 4的算
术平方根．
解：∵ − 5的平方根是±4，
∴ − 5 = ±4
2
= 16，
解得 = 21，
人教版数学七年级下册
例5.对于结论：当 + = 0时．3 + 3 = 0也成立．若将a看成
3 的立方根，b看成 3 的立方根．由此得出结论：“如果两数的立
方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
(1)举一个具体的例子进行验证；
(2)若 3 7 − 和 3 2 − 5互为相反数，且 − 3的平方根是它本身，求 + 的
3
46.42
100000≈_______.
典例解析
人教版数学七年级下册
例2.比较下列各组数的大小.
（1） 9 与2.5;
2023年最新人教版七年级数学下册课件立方根
6 若x＋1是4的平方根，求3x＋1的立方根．
解：由题意知x＋1＝±2，所以x＝1或x＝－3. 当x＝1时，3x＋1＝4，4的立方根是 3 4 . 当x＝－3时，3x＋1＝－8，－8的立方根是－2. 所以3x＋1的立方根为 3 4 或－2.
7 如图，数轴上点A表示的数可能是（ C ）
A．4的算术平方根 C．8的算术平方根
易错点：受平方根思维定式的影响，误认为负数没有立方根.
1 下列各数中，立方根一定是负数的是（ C ）
A. －a B. －a2 C. －a2－1 D. －a2＋1
2 如果 3 a 3 b ，那么a 与b 的关系是( B )
A．a＝b
B．a＝－b
C．a＝±b
D．不能确定
3 若x<0，则 A．x
解： (2)一个数的小数点每向右(或向左)移动三位，则这个
数的立方根的小数点就向右(或向左)移动一位．
(3)由 3 12 ＝b 得m＝ 3 0.012 ＝0.1b，
n＝ 3 12 000 ＝10b.
9 （1）已知 3 1 a2 ＝1－a2，求a 的值；
（2）若 3 1 2x 与 3 3 x 5 互为相反数，求1－ x 的值．
总结
利用立方运算求一个的立方根，要注意正数有一 个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
1 求下列各式的值：
(1) 3 1000 ； (2) 3 0.001 ；
(3) 3 1 ；
(4) 3 64 . 27
解：(1)因为103＝1 000，所以 3 1000 ＝10；
(2)因为(－0.1)3＝－0.001，所以 3 0.001 ＝－0.1；
解：由题意知b＋4＝2，a＋2＝3， 所以b＝－2，a＝1. 所以2a－3b＝8.
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【变式】将棱长分别为 和 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________ .(不计损耗)
【答案】 .
【思路点拨】铁块排出的64 水的体积，是铁块的体积，也是高为 烧杯的体积.
【答案与解析】
解：铁块排出的64 的水的体积，是铁块的体积．
设铁块的棱长为 ，可列方程 解得
设烧杯内部的底面半径为 ，可列方程 ,解得 6.
答：烧杯内部的底面半径为6 ，铁块的棱长 4 .
【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.
类型三、利用立方根解方程
3、（2015春•北京校级期中）（x﹣2）3=﹣125．
【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可．
【答案与解析】
解：（x﹣2）3=﹣125，
可得：x﹣2=﹣5，
解得：x=﹣3．
【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x﹣2看成一个整体．
举一反三：
【变式】求出下列各式中的 ：
立 了解立方根的含义；
2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.
【要点梳理】
【 立方根、实数，知识要点】
要点一、立方根的定义
如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
要点三、立方根的性质
要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
要点四、立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如， ， ， ， .
【典型例题】
类型一、立方根的概念
1、（2016春•吐鲁番市校级期中）下列语句正确的是（ ）
（1）若 ＝0.343，则 ＝______；（2）若 －3＝213，则 ＝______；
（3）若 ＋125＝0，则 ＝______；（4）若 ＝8，则 ＝______．
【答案】（1） ＝0.7；（2） ＝6；（3） ＝－5；（4） ＝3．
类型四、立方根实际应用
4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64 ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了 ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0
B．一个数的立方根不是正数就是负数
C．负数没有立方根
D．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0
【思路点拨】根据立方根的定义判断即可.
【答案】D；
【解析】A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或-1，故错误；
B．一个数的立方根不是正数就是负数，错误，还有0；
C．负数有立方根，故错误；
D．正确.
【总结升华】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义.
举一反三：
【立方根 实数，例1】
【变式】下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4B． 是 的立方根
C．立方根等于本身的数只有0和1D．
【答案】D.
类型二、立方根的计算
【高清课堂：389317立方根 实数，例2】
2、求下列各式的值：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
【答案与解析】
解：（1） （2） （3）
（4）
（5）
【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.
举一反三：
【变式】计算：（1） ______；（2） ______；
（3） ______．（4） ______.
【答案】（1）－0.2；（2） ；（3） ；（4） .
要点诠释：一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
要点二、立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.