第三章 电磁场边值问题的求解(2)....

依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的 边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定 等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位 置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。
关键：确定镜像电荷的大小及其位置。
局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有 可能确定其镜像电荷。
4πε 2 (r′′)2
er′′
代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：
q′ = ε1 − ε2 q ε1 + ε2
q′′ = 2ε 2 q ε1 + ε2
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例 求空气中一个点电荷q在地面引起的感应电荷分布情况。
解: 设点电荷 q 离地面高度为h，则
Ep = E+ + E−
（方向指向地面）
Ep
=
2
q
E
=
q
4πε0
1 (r2
er
−
R dr12
er1
+
R dr22
er2
)
球面电位 为：
ϕ=
1
q′ ()
=
q
4πε0 R 4πε0d
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它等于球不存在时q在O点时产生的电位
图 点电荷位于不接地导体球附近的场图 20
2 分离变量法
分离变量法是数理方程中应用最广泛的一种方法。它 首先要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合，或者 至少分段地与坐标面相合；其次在坐标系中，待求偏微分 方程的解可表示为三个函数的乘积其中每个函数分别仅是 一个坐标的函数。这样，通过分离变量将偏微分ห้องสมุดไป่ตู้程化为 常微分方程求解。
3.4 静态场边值问题解法
静态场问题分为两大类： 1、分布型问题：由已知场源分布，直接从场的积分公式求 空间各点的场分布。 2、边值型问题：由已知场量在场域边界上的值，求场域内 的场分布。 边值问题的解分为解析法和数值法。
1
⎛ ⎜
拉氏方程
∇2ϕ = 0
⎞ ⎟
⎜ ⎝
泊松方程
∇2ϕ
=−ρ
ε
⎟ ⎠

绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。
半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为 在上半空间中，源及边界条件未变。
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对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是
仅当这种导体劈的夹角等于 π 的整数分之一时，才可求出其镜像电
荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。 例如，夹角为 π 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。
8
（1）点电荷与无限大的导体平面。
P r q
ε 介质
导体
P r
q
h
r′ ε 介质
h
ε 介质
q′
以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间
变成均匀的介电常数为ε 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q
及 q' 共同产生，即
ϕ = q + q′ 4πε r 4πε r′
考虑到无限大导体平面的电位为零，求得 q′ = −q
静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。
由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值， 因此，解的稳定性具有重要的实际意义。
泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可 以证明电位微分方程解也是惟一的。
5
静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的
电位值就是第一类边界。 已知导体表面上的电荷密度与电位导
2 z
Z
=
0
式中kx ，ky ，kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。显然，三 个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程
k
2 x
+
k
2 y
+
k
2 z
=0
由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一 维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方 程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。例如，含变 量 x 的常微分方程的通解为
9
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半 部分完全相同。
z
⊕ \
电场线
等位线
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体
表面吻合。
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电荷守恒：当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面
将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷 及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的 镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原 理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，读者可以根 据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。
r0 r0′
+ Et′ Et
θ
q"
ε2 ε2
r0′′
E t′′ θ
q'
En
E
E
′′
n
E"
为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q' 等效边界上束缚电
荷的作用，将整个空间变为介电常数为ε1 的均匀空间。对于下
半空间，可用位于原点电荷处的q" 等效原来的点电荷q 与边界
上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为ε2 的均匀
4πε0 r 2
cosθ
=
qh 2 πε 0 (h 2 +
x2 )3/2
σp
=
−ε0E p
=
−
qh 2π(h2 + x2 )3/ 2
整个地面上感应电荷的总量为
∫ ∫ S σ pdS =
∞ 0
− qh 2π(h2 + x2 )3/
2
⋅ 2πxdx
=
⎡
qh
⎢ ⎣
(h
2
+
1 x2
)1/ 2
⎤∞ ⎥ ⎦0
= −q
静态场包括静电场、恒定电场和恒定磁场，静电场和电源外恒定电场的边
值问题的求解，可归结为在给定边界条件下，对拉普拉斯方程和泊松方程的求
解。 泊松方程：
拉普拉斯方程：
∇ 2φ = − ρ ε
G
G
∇ 2A = − μ0J
G
∇2φ = 0
∇ 2φm = 0
∇2A = 0
求解边值问题的方法，可以分为解析法（分离变量法、格林函数法、复 变函数法、镜像法、电轴法、直接积分法等）和数值法（有限差分法、有限元 法、矩量法MOM、时域有限差分FDTD、网格法、模拟电荷法等）两大类。还有图 解法和实验法。本章主要介绍拉普拉斯方程的求解。
ϕ = q + q′ 4πε r 4πε r′
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
q′ = − r′ q r
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为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值
r′ r
对于球面
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △OPq′ 与 △ OqP 相似，则 r ′ = a = 常数。由此获知镜像电荷应为
q′′ = −q′
显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q“ 必须位 于球心。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由q 及q‘在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷 q“ 以提供一定的电位。
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（3）点电荷与无限大的介质平面。
q
ε1 ε2
en
q
E
′
n
E'
= et
ε1 ε1
二项及第三项均为零，求得第一项对 x 的导数为零，说明了第一项等
于常数。同理，再分别对变量 y 及 z 求导，得知第二项及第三项也分
别等于常数。令各项的常数分别为
−
k
2 x
,
−
k
2 y
,
−
k
2 z
，分别求得
22
d2X dx 2
+
k
2 x
X
=0
d 2Y dy 2
+ k y2Y
=0
d2Z dz 2
+
k
空间。
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但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向 分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即
E1t + E1′t = E2′′t
D1n − D1′n = D2′′n
已知各个点电荷产生的电场强度分别为
E1
=
q
4πε1r 2
er
E1′
=
q′
4πε 1 (r ′) 2
er′
E
′′
2
=
q′′
• 感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。
图 点电荷对不接地金属球的镜
∫ • D ⋅ dS = 0,正负镜像电荷绝对值相等。 S
像
• ϕ S = const ≠ 0, 正镜像电荷只能位于球心。
任一点电位及电场强度为：
ϕ = 1 (q − q′ + q′) = q (1 − R + R ) 4πε0 r r1 r2 4πε0 r dr1 dr2
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例.
试计算不接地金属球附近放置一点电荷 q时的电场分布。
解: 边值问题：
∇ 2ϕ = 0
( 除 q 点外的导体球外空间）
p
r2
r
+q'
r1
R o b-q'
ϕ
=0
r→ ∞
ϕ 球面 s = 常数 ≠ 0
∫ D ⋅dS = 0
q
S
( S 为球面面积 )
在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置
d
解析法 数 值 法
分 电
镜
保
离
角
轴像
变
变
法法
量
换
有 有 边图 限
限界解 差元元法 量
2
本讲内容
1 静电场的唯一性定理 2 镜像法
点电荷与导体球、点电荷与无限大导体平面、点电荷与无限 大的介质平面
3 分离变量法
直角坐标系、圆柱坐标系
3
静电场的唯一性定理
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
解析法中的分离变量法是解拉普拉斯方程的最基本方法，本章中将介绍在 直角坐标、圆柱坐标和球坐标中拉普拉斯方程的解；还将介绍某些特定情况 下，用镜像法求拉普拉斯方程的特解。
7
数值近似计算法中将只介绍有限差分法。
1 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具 有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过 程大为简化。
通常给定的边界条件有三种类型：
第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为 狄利克雷问题。第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值， 这种边值问题又称为诺依曼问题。 第三类边界条件是给定一部分边 界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条 件又称为混合边界条件。
4
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会 发生很大的变化。 解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。
rf
P
a
r
O q′
q
d f
q′ = − a q f
镜像电荷离球心的距离d 应为
d = a2 f
这样，根据 q 及 q' 即可计算球外空间任一点的电场强度。
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若导体球不接地，则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电 荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的 感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜 像电荷 q' 后，为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷 q"，且必须令
含变量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解 的线性组合仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的， 它完全决定于给定的边界条件。解中各个待定常数也取决于给 定的边界条件。
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例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d ，其有
限端被电位为 ϕ0 的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面
X (x) = Ae− jkxx + Be jkxx 或者 X (x) = C sin k x x + D cos k x x
式中A, B, C, D为待定常数。
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分离常数也可为虚数。当 kx 为虚数时，令 kx = jα，则上
述通解变为
X (x) = Aeαx + Be−αx
或者
X (x) = C sinh α x + D cosh α x
数的关系为
∂ϕ = − ρ S ∂n ε
，可见，表面电荷给定等于给定了电位的
法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。
因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电 位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即 被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。
6
镜像法和分离变量法
3
⊕q π/3
\
⊕q
⊕
π/3
\ \
⊕
连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加 原理得知，同样可以应用镜像法求解。
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（2）点电荷与导体球。
P
a
r
o q′
q
d f
若导体球接地，导体球的电位 为零。为了等效导体球边界的影 响，令镜像点电荷q' 位于球心与点 电荷 q 的连线上。那么，球面上任 一点电位为
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(1) 直角坐标系中的分离变量法 无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为 ∂ 2ϕ + ∂ 2ϕ + ∂ 2ϕ = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
令
ϕ (x, y, z) = X (x)Y ( y)Z (z)
代入上式，两边再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得
1 d2 X + 1 d2Y + 1 d2Z = 0 X dx 2 Y dy 2 Z dz 2 显然，式中各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量 x 求导，第