导数在零点中的应用

思考：如何转化？
方法一
x3 + 9 x 9 a= = x + , x ∈ [1,3] 2 x x
2
a ∈ [6,10]
方法二
方程 x − ax + 9 = 0 在[1，3]上有实数解
变式五（把相等关系变成不等关系） 变式五（把相等关系变成不等关系） ： 3 2 若不等式 x − ax + 9 x ≥ 0 在[1， 3]上恒 成立，求 a 的取值范围。
[
)
区间
(0,1)
1 f (x) = 3x2 − 有零点. 有零点 . 又 因为 2
2
x
在区间
(0,1) 是增函数,所以 f (x) 是增函数,
有唯一个零点, 在区间 (0,1) 有唯一个零点,即 x ,所以 x2
∈ (0,1) .--------14 分 --------14
对数增长，直线上升，指数爆炸！ 对数增长，直线上升，指数爆炸！.
数学思想方法在求函数零点中的应用
一 、知识回顾与巩固训练
1、函数 f(x)=x3-16x 的零点为 、 的零点为( ) D A. (0,0),(4,0) B. 0,4 C. (-4 ,0), (0,0),(4,0) D. –4 ,0,4 1 f (x) = lgx − 零点所在区间是（ ） 2、 x 零点所在区间是（ Ｂ . A. ( 0,1] B. (1,10 ] C. (10,100] D. (100,+∞ )
1 A. 8
a
f ( x) =
1 3 x + ax − b 2
1 B. 4
C.
3 4
D.
7 8
f (x) = 2ax2 +2x −3−a ， 如果函数 y = f (x) 是实数， 4 已知 是实数 ， 函数
1 上有零点， [ − 1，] 上有零点，求 a 的取值范围。 的取值范围。
五、课堂小结
1、方程的根与函数的零点的关系 方程 f ( x ) = 0 有实数根 ⇔ 函数 y =
除了用判定定理外，你还想到什么方法呢？ 除了用判定定理外，你还想到什么方法呢？ 等价关系
函数 y = F ( x) = f ( x) − g ( x) 有零点
⇔
方程 F ( x) =
f ( x) − g ( x) = 0 有实数根
y1 = f ( x) ⇔ 方程组 y2 = g ( x) 有实数根
⇔ 函数 y1 = f ( x) 与 y2 = g ( x) 的图象有交点 图象有交点
二、能力提升
1 确定函数
f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 10
x y/
( −∞ ,1 )
零点的个数
3 0
( 3 , +∞ )
+
1 0
(1,3) -
+
Y 极大值 Y 极小 y 增函数 减函数 增函数 值-10 -6
9 分析：转化为 a ≤ x + x , x ∈ [1,3] 恒成立问题，
9 a ≤ ( x + ) min , x ∈ [1,3] 即 x
a ∈ (−∞,6]
三、综合应用
金中） （ 09 金中 ） 下图是函数
x=x1,x2(−1<x1 <0<x2) 时,
两函数值相等. 两函数值相等. 给出如下两个命题: (1) 给出如下两个命题: (2) ①当 x < ②当 x >
y=f(x),我们把使 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 y=f(x)的零点 的零点。 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点。 思考：1、零点是不是点？ 思考： 、零点是不是点？ 方程的根与函数的零点的关系
方程 f ( x) = 0 有实数根 2、零点是不是 、零点是不是f(0)？ ？ ⇔ 函数 y = f (x) 的图象与 x 轴有交点 ⇔ 函数 y = f (x) 有零点． 有零点．
O Y
二、能力提升
y = f (x)
个零点； 当 a ∈ (−10,−6) 有 3 个零点； 个零点； 当 a = −6 时有 2 个零点； 仅有一个零点。 当 a ∈ (−6,+∞) 仅有一个零点。
1
3
X
-6
-10
变式三（方程问题）若方程 变式三（方程问题）试讨论方程 变式二（方程问题） 变式二（方程问题）
f ( x) = x 2 在下列区间是否存在零点（ ） 3.函数 在下列区间是否存在零点（ 3.函数 Ｂ （（B （ （（ A） -3 ， - 1 ） （ B ） -1 ， 2 ） （ ； ； （2 （3 （ C） 2， 3） （ ； （D ） 3 ，4 ） （ 。
一 、知识回顾与巩固训练
函数零点的定义： 函数零点的定义：
a = −6 时 有
2 个 交 点 ； 当 y极大值= −6−a < 0 即
a > −6 时有 1 个交点.
利用前 方法 2：构造函数 f ( x) = x 3 − 6x 2 + 9x − 10 与 g ( x) = a ，利用前 的图象， 面的方法可得到函数 y = f (x) 的图象，从两个函数图象的 位置关系，可得： 位置关系，可得： 当 a ∈ (−∞,−10) 仅有 1 个零点； 个零点； 个零点； 当 a = −10 有 2 个零点；
1 x1 时, 2
x
x
1 y= 2
x
图象的一部分, 和 y = 3x 图象的一部分 , 其中
2
< 3x
2
;
1 x 2 时, 2 < 3 x 2 .
判断命题①②的真假并说明理由. 判断命题①②的真假并说明理由. ①②的真假并说明理由 (2)求证 求证: (2)求证: x 2 ∈ (0,1)
变式一（引入参数 a）试讨论函数
f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 10 − a ( a ∈ R )零点的个数。
变式二（方程问题）试讨论方程
x 3 − 6 x 2 + 9 x − 10 − a = 0 ( a ∈ R )解的情况。
变式三（方程问题）若方程
， x 3 − 6 x 2 + 9 x − 10 = a 在[1 3]上有实数解，求 a 的取值范围
Y
O
1
3
X
X
-6
-10
3 2 Q f ( x ) = x − 6 x + 9 x − 10 ， 解：
f / (x) = 3x2 −12x Ʈ ,得 x1 = 1, x2 = 3 列出 x,y ,y 的对应值表如 下：
x
( −∞ ,1 )
f (x) 的图象
有零点． 与 x 轴有交点 ⇔ 函数 y = f (x) 有零点． 2.等价关系
函数 y = F(x) = f (x) − g(x) 有 零点 ⇔ 方 程 F(x) = f (x) − g(x) = 0 有 实
(x y1 = f (x) 数 根 ⇔ 方 程 组 y2 = g( x) 有 实 数 根 ⇔ 函 数 y1 = f ( x ) 与
变式一（ 变式一（引入参数 a） ） 想一想，下面的题如何解？
个数。 个数。
试讨论函数 3 2 f ( x) = x − 6 x + 9 x − 10 − a ( a∈ R ) 零点的
二、能力提升
零点的个数。 零点的个数。
3 2 变式一 变式一：试讨论函数 f ( x ) = x − 6 x + 9 x − 10 − a ( a ∈ R )
3− 6 x 2 x
3
， 上有实数解 在 [1 3]上有实数解，求 a 的取值范围。 的取值范围。
Y
x − 6 x + 9 x − 10 = a
O
+ 92 − 10 − a = 0 ( a ∈ R )解的情况。 x 解的情况。
− 10 ≤ a ≤ −6
1
3
X
X
-6
-10
变式四（改变参数的位置） ： 变式四（改变参数的位置） 3 2 若方程 x − ax + 9 x = 0 在[1，3]上有 实数解，求 a 的取值范围。
− ax 2 + 9 x = 0 在[1，3]上有实数解，求 a 的取值范围。 3 2 变式五：若不等式 x − ax + 9 x ≥ 0 在[1，3]上恒成立，求 a 的取值范围。
变式四：若方程 x
3
四、课后练习
f ( x ) = x 2 − 2 x 零点的个数 1.
f ( x) = −4 sin x + 4 cos x + 1 − a ，当 x ∈ [ − 4 , 3 ] 时 2 已知函数
2
π 2π
恒有解， 的范围是＿＿ 恒有解，则 a 的范围是＿＿ 3.在区间[0，1]上任意取两个实数 a，b，则函数 间[－1，1]上有且仅有一个零点的概率为（ ）
解 (1) 命 题 ① 是 假 命 题 , 反 例 :
x = − 10
x
, 则
x < x1 , 但 是
1 2
−10
1 2 2 = 1024,3 × (− 10 ) = 300 < 3x 不成立.-----3 , 2 不成立.----3 分
x
1 y= 命题②是真命题,因为 2 在
分析：方法 1：.直接模仿上面的解法，可得如与表格: x
y/
(−∞,1)
+ 增函数
1 0
y极大值= −6−a
(1,3) 减函数
3 0
(3,+∞)
+
y
y极小值 = −10− a 增函数