角动量及其规律

强调：讨论力矩时，要说明是对哪个点或对哪个轴的力矩 。
10
练习：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重力mg
和合力F对o' 点、o 点、oo' 轴的力矩
o'
β L
M F r sin ( r , F ) F r sin
T
| M z | F1 r1 sin
o
F
力矩 o'点 o点
拉力T
质点对轴的角动量推导：
L r p r1 r2 p 1 p 2 r1 p 1 r2 p 1 r1 p 2 r2 p 2
L z r1 p1 r2 p1 r1 p 2 r2 p 2
若 M z 0 ，则 L z 常量
即：作用于质点的诸力对轴的力矩和为零时，质点 对该轴的角动量不变。
14
五、几点注意
1、在应用角动量定理或角动量守恒定律时，力矩和角动量 必须选取惯性系中的同一参考点或同一参考轴 2、角动量守恒与选取的参考点或参考轴有关。 例如，圆锥摆
对o点，oo'轴，合力F的力矩为零，因此质点对o点，对 oo’轴的角动量守恒，无论摆转到哪一点,角动量大小都是 mvlsinα，方向都是竖直向上。 但对o'点合力矩不为零，因而对o'点的角动量不守恒， 虽然大小不变，但方向总在变化。
i i i i i
d
dLz dt
22
例：应用角动量守恒解释花样滑冰、芭蕾舞演员
的旋转现象。
重力对转轴的力矩为零，人两臂从 伸开到收回的过程中，人对转轴的 角动量守恒： m i v i ri m i ri 2 C
ri变小，ω增大；ri增大，ω变小
23
o
⊙ 正方向
h
m' v m
m
v
z
2．质点对轴的角动量
定义：质点对z轴上O点的角动量在z轴上 的投影称为质点对z轴的角动量。
r2
p
p1 p2
r
r1
L Z r1 p1 sin
O O'
3．质点对参考点的角动量与对轴的角动量的关系
LZ r p
z
r1 p1 sin
4
即：质点对z轴上任意一点的角动量在z轴上的投影等于 质点对z轴的角动量。
m vl ,
m vl sin ,
6
二、力 矩
1．力对一参考点的力矩 定义：质点相对于O点的位置矢量与力的 矢积叫作力对参考点O的力矩。
M rF
r
A

M
O
F
大 小 ： M rF sin ,

方向：r,F,M 构成右手螺旋系
单 位 ： 牛 顿 米 N m ， 量 纲 ： L M T
z
z
p
p1 p2
r2
r
r1
O
r2 // p 2 r2 p 2 0
r1 p 2、 r2 p 1与 z 轴 垂 直 r1 p 2
z
r2 p 1
z
0
r1 p1 sin
第五章 角动量．关于对称性
1
第五章 角动量.关于对称性
§5.1 质点的角动量 质点的角动量定理及角动量守恒定律
§5.2
§5.3
质点系的角动量定理及角动量守恒定律
质点系对质心的角动量定理及守恒定律
§5.4
§5.5
对称性.对称性与守恒律
经典动力学的适用范围
2
§5.1
质点的角动量
一、质点的角动量
1．质点对参考点O的角动量 定义：质点相对于参考点的位置矢量与其动量的矢积 称为质点对该点的角动量。 L r mv r p L
i

dLi
dLi
f ij
f ji
一对内力对O点的力矩:
ri fij rj f ji ri fij rj fij 0 ri rj f ij rij fij
M i内＝0
一．质点系对参考点的角动量定理 及守恒定律
1、质点系对参考点的角动量： 质点系内各质点对于参考点O的角动量的矢量和
L ri mi vi
18
2、质点系对参考点的角动量定理
M i外 dL dt
即：质点系对参考点O的角动量对时间的变化率等于外力
对该点力矩的矢量和。
3、质点系对参考点的角动量守恒定律 若
M i外 0
，则
L
常矢量
即：若外力对参考点O的力矩的矢量和始终为零，则质点系 对该点的角动量保持不变。
19
质点系对参考点的角动量定理分析与推导：
取第i 个质点： i＝ M
M i外 M i内 ＝ dt dt dLi 对所有质点求和得： M i外 M i内＝ dt i i i 研究 M i内
R ( m ' m ) v1 R m v 2 R m ' v 0 v1 v 2 v
v m' m ' 2 m 2 gh
讨论：质点系动量是否守恒？
24
§5.3
质点系对质心的角动量定理和守恒定律
dL M i外 dt
1、质点系对质心的角动量定理
即：质点系对质心的角动量对时间的变化率等于作用于 质心系上外力矩的矢量和。 2、质点系对质心的角动量守恒定律 若
i
ri
rij
rj
o
M i外
i i
dLi dt

d Li i dt

dL dt
20
二．质点系对轴的角动量定理 及守恒定律
1、质点系对轴的角动量定理
M i外z
dLz dt
即：质点系对于z轴的角动量对时间的变化率等于质点系 所受一切外力对z的力矩之和。
b
d v v0 r
又因点电荷的静电斥力是保守力，所以机械能守恒：
1 2

m v0
2
1 2
m v kze / d
2 2
②
d
kze m v0
2 2

kze 2 2 b 2 m v0
2
舍去负值
12
代入实验数据，可求得
d 10
cm ~ 1 0
13
cm
17
§5.2 质点系的角动量定理及其守恒定律
2 2
n 个 力 ： r Fi r Fi
——诸力矩的矢量和等于合力对参考点的力矩。
7
2．力对轴的力矩
定义：力对z轴上O点的力矩在z轴上 的投影称为力对z轴的力矩。
z
F2
F
F1
M
z
r1 F1 sin
r2
r
r1
O
3．两者的关系
M 0
，则
L
常矢量
即：若作用于质点的合力对参考点O的力矩总保持为零， 则质点对该点的角动量不变。
12
质点对参考点的角动量定理分析推导：
d mv 质点动量定理： Fi dt i d mv 则 r Fi r dt i （ r 是自参考点指向质点的位置矢量） r d mv dt d r mv dL dt
例1：在图示装置中，盘与重物的质量 均为m，胶泥的质量为 m ' , 原来重物 与盘静止，让胶泥从h高处自由落下， 求胶泥粘到盘上后获得的速度。
2 gh
vo 解：第一过程：胶泥自由下落，获得速度 v 0
第二过程：胶泥与盘碰撞过程。内力矩的影响远大于外力矩之和， 所以可不计入外力矩，质点系对O轴的角动量守恒。
2、质点系对轴的角动量守恒定律
若 M i外 z 0 ，则
L 常量
即：若质点系所受一切外力对z的力矩之和始终为零，则 质点系对z轴的角动量保持不变。
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质点系对轴的角动量定理分析与推导：
仅研究质点均在与z轴垂直的平面内运动的情况
取第i 个质点：M iz dLiz d ri mi vi sin i
M r Fi
i

dr dt
mv
dt
v mv
dL dt
dL dt
13
四、质点对轴的角动量定理和守恒定律
1．质点对轴的角动量定理
Mz dLz dt
即：质点对z轴的角动量对时间的变化率等于作用于
质点的合力对同一轴线的力矩。 2．质点对轴的角动量守恒定律
16
0
0
例题：用角动量守恒和能量守恒讨论α粒子散射问题 如图所示，b为瞄准距，重核Q在碰撞中可认为静止， 求：α粒子接近重核的最近距离d。 Q=ze
解：α粒子受静电力始终指向重核中心
设z轴与平面垂直并过Q点则对z轴的角动量守恒
rm v 0 sin m v 0 b m vd ①
q=2e m v0
M i外 0
，则
L 常矢量
即：若作用于质心系上外力矩的矢量和为零，则质点系
对质心的角动量守恒。 说明：质心参考系虽然不是惯性系, 但对质心参考系可直接 应用角动量定理和角动量守恒定律, 不必考虑惯性力矩。 25
质点系对质心的角动量定理分析与推导 ：
M z＝ r F
O
z
即 ： 力 对 z轴 上 任 意 一 点 的 力 矩 在 z轴 上 的 投 影 等 于 力 对 z轴 的 力 矩 。
8
力对轴的力矩推导：
M r F r1 r2 F1 F 2 r1 F1 r2 F1 r1 F 2 r2 F 2
l T
o'
F o
mv
15
mg
圆锥摆：
o'
α
L
o'
m vl ,
m vl sin , m vl sin ,
l v
Lo
o
L
m
力矩 o'点Leabharlann oo '拉力T 0
TLcos β sin β ⊙
重力mg
mgLsin β × mgLsin β ×
合力F
FLcos β ×
o点
oo'轴
0 0
重力mg
mgLsin β × mgLsin β ×
合力F
FLcos β ×
mg
0
TLcos β sin β ⊙
0 0
11
oo'轴
0
0
三、质点对参考点的角动量定理和守恒定律
1．质点对参考点的角动量定理
M dL dt
即：质点对参考点O的角动量对时间的变化率等于作用于
质点的合力对该点的力矩。 2．质点对参考点的角动量守恒定律 若
LZ r p
z
r1 p1
z
5
练习：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m，
速率为v，求圆锥摆对o点,o'点,oo'轴的角动量 • 在讨论质点的角动量时，必须指明是对哪点或 哪个轴的角动量
o'
α
l
v m
o
Lo L o' L oo '
m vl sin ,
dt dt M i外z M i内z d dt
ri mi vi sin i
d dt
对所有质点求和得： M i外z M i内z＝
i i i
ri mi vi sin i
M i内＝0
i
M i内z＝0
i
M i外z
i
r m v sin dt
z
F2
F
F1
r2
r2 // F2 r2 F2 0
r1 F 2、 r2 F1与 z 轴 垂 直 r1 F 2
z
r
r1
O O
r2 F1
0
z
M
Z
r F
大 小 ： L rp sin ,
p

O
方 向 ： r 、 p、 L 构 成 右 手 螺 旋 系
单 位 ： kg m /s ， 量 纲 ： L M T
2 2 1
r
3
注意：
（ 1） L 与 r 有 关 ， 所 以 角 动 量 L 与 参 考 系 点 O的 位 置 有 关 。 （ 2） L 与 p 有 关 ， 所 以 角 动 量 L 与 参 考 系 有 关 。
z
r1 F1
z
r1 F1 sin
9
总结:
1. 力对点的力矩依赖于参考点的位置和力作用点的位置。 2. 力对轴的力矩不仅与力的大小和方向有关，还与轴与力
的分力 F1 之间的距离 r1 有关,
若轴改变，力矩也变。
3. 力对轴上任一点的力矩不同,但在轴上的投影是相同的。