圆锥曲线中的最值与定义

圆锥曲线中的最值与定义

河北 游天下

编者的话：圆锥曲线中的最值问题是高考中常考常新的内容，其解答大多可回归定义．高考试题源于课本，高于课本，对课本习题的解答也应不拘泥于这些题目本身，注意挖掘它们的丰富内涵是训练中要特别注意的问题．抓住本质，举一反三，才能真正雕琢出璞玉． 圆锥曲线中的最值问题往往和定义联系密切，许多问题很有研究价值．解题策略主要是转化思想，具体方法则可通过“化曲为直”处理，现以课本习题为例剖析这一类题． 例1 （人教社新课标选修1-1Ｂ版第48页习题Ｂ组第3题）已知点(11)A ，，1F 是椭圆22

195x y +=的左焦点，P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA +的最小值． 解析：如图1，12222()PF PA a PF PA a PF PA +=-+=--，点(11)A ，在椭圆的内部，连接2AF 并向两端延长与椭圆分别交于两点1P ，2P ，

由三角形两边之差小于第三边（两边之和大于第三边）可

得

222AF PF PA AF --≤≤，

当且仅当P 分别位于1P ，2P 点时取等号，22AF =

， 故22PF PA --2≤≤，

262()2a PF PA -2--6+≤≤，

则1PF PA +的最小值为62-．

上面的解答过程不仅求出了最小值，也一并求得了最大值，类似的通过定义转化为“线段”以求出最大（小）的例子，在高考中比比皆是．如：

2004年福建卷文科第12题：如图2，B 地在A 地的正东

方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30o 方向2km 处，河流的

沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远

2km ．现要在曲线PQ 上选一处Ｍ建一座码头，向B C ，两地

转运货物．经测算，从M 到B 、从M 到C 修建公路的费用

都是a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）．

Ａ．(71)a +万元

Ｂ．(272)a -万元 Ｃ．27a 万元 Ｄ．(71)a -万元

解析：原问题中曲线PQ 是以A B ，为焦点的双曲线的右支，只要求出min ()MB MC +即可，结合双曲线的定义可以得到22(272)MB MC MA MC AC a +=-+-=-≥，选（Ｂ）．

例2 （人教社新课标选修1-1B 版第70页习题B 组第5（1）题）已知抛物线2

4y x =，点P 是抛物线上一点，设F 为焦点，一个定点为(63)A ，，求PA PF +的最小值，并指出此时P 的坐标．

解析：如图3，由抛物线的定义，过点P 作抛物线准线的垂

线交准线l 于T ，则 PT PF =，PA PF PA PT AT +=+≥，

而6(1)7A l AT x x =-=--=，此时点934P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，

， 因此min ()7PA PF +=，点P 坐标为934⎛⎫

⎪⎝⎭，

． 又如：（山东省临沂市二模）已知1033M ⎛⎫

⎪⎝⎭，，抛物线2:2C y x =上的动点P ，若P 到

M 的距离为1d ，P 到抛物线准线l 的距离为2d ，求12d d +的最小值及此时P 的坐标． 解析：注意到M 在C 开口的外部（如图4），且2d PF

=（F 为C 的焦点），因此1225

6

d d PM PF FM +=+=≥（当F P M ，，共线时有最小值），此时P 的坐标是(22)，．