理论力学课件 第二章质点组力学讲解

mi
d
2
ri
dt 2

d dt
n i 1
(mi ri )

dp dt
其中
n
p mivi
为质点组的动量，等于质点组
诸质点动量i1 的矢量和。
则
dp dt

n i 1
Fi ( e )

F (e)
或
dp ( n


Fi(e) )dt F (e) dt
解：具有线性关系的量都满足叠加原理。底 面半径为r、高为h 的正圆锥体的体积是
V r2h/ 3
O
若圆锥体是均匀的，则其质心位 于轴z上，距离底面 h/4处，由叠加 原理，可得凹底圆锥体的质心离底
V1
V2 R O
面的距离为
Z
s m h 4 m d 4 1 Vh vd 1 (h d )
n
i 1
mi
d
2
ri
dt 2

n i 1

n
F (i) i

i 1
F (e)
i
（i 1,2,3,, n）
n
i 1
mi
d 2 ri dt 2

n i 1
F (e)
i
n
i 1
miபைடு நூலகம்
d
2
ri
dt 2

n i 1
F (e)
i
而
n
i 1
在直角坐标系中
xc

xdm dm
yc

ydm dm
zc

zdm dm
【说明】（1）如果质心恰好在坐标原点，则
质心位矢为
n
rc

mi ri
i 1 n
0
mi
i 1
n mi ri 0
i 1
（2）当密度 为常数时，质心和几何中心
重合；当重力加速度 g 为常矢量时，质心与重
i 1
直角坐标分量式:
n
mi xi
xc

i 1 n
mi
i 1
n
mi yi
yc

i 1 n
mi
i 1
n
mi zi
zc

i 1 n
mi
i 1
◆满足叠加原理


rc

m1rc1 m2rc2 m1 m2
◆若为质量连续分布的体系，则

rc

rdm dm
的作用力。
F
A
C
合 力：质点组所受所有的内力 B D
和外力之和。
◆质点组中的诸内力的矢量和必等于零，即

n n1
F (i)
fij 0
i1 j1
ji
◆质点组的所有内力对任一参考
fij ri
rij rj
f ji

点的力矩的矢量和恒为零。

m m
4 V v 4
zc

h
s

(3h d ) 4
§2.2 动量定理与动量守恒律
一、动量定理
假设由n个质点所组成的质点组，其中某一
个O的质位点矢的为质r量i ，为作m用i，其对上某的惯诸性力参的考合系力坐为标原点
Fi Fi(i) Fi(e)
质点pi的运mi 动dd2t微r2i 分F方i(i) 程Fi(e)
心重合。
重心：质点系所受重力的合力的作用点。
（3）对于只有两个质点所组成的质点组 而言，其质心位置在质点1与质点2这两点连 线上，质心与质点1、2的距离反比于质点1、 2的质量。
例1 一凹底的圆锥体，由高为h、底面半径为 R的匀质正圆锥体自底面挖去高为d（d<h）的 共轴圆锥而成。求此凹底圆锥体的质心位置。
dt

n Fi ( e )
i 1
F (e)
或
m d 2rc
dt 2

n F (e)
i i 1
F (e)
质点组的质量与其质心加速度的乘积等于
作用在质点组上所有诸外力的矢量和，这就是
质点组的质心运动定理。
直角坐标系的分量形式：
mxc

F (e) x
,
myc

F (e) y
i 1
质点组的动量定理：质点组的动量对时间
的微商，等于作用在质点组上诸外力的矢量和。
或者说，质点组的动量的微分，等于作用在质
点组上诸外力的元冲量的矢量和。
直角坐标分量式：
dPx
dt

n
Fixe
i 1
dPy
dt

n
Fiye
i 1
二、质心运动定理
dPz
dt

n
Fize
o
ri fij rj f ji ri fij rj fij

(ri rj ) fij rij fij 0


其中: rij 是质点pi相对p j 的位矢,与 fij 共线。

M
(i) 0

n
n1 (ri fij ) 0
,
mzc

F (e) z
质心运动定理的物理意义：
质心的运动，就犹如这样的一个质点 的运动，这个质点的质量等于整个质点组 的质量，作用在此质点上的力等于作用在 质点组上所有外力的矢量和。
质点组的质量中心是一个特殊的几何点， 质心质点的运动，由牛顿第二定律确定，代 表了物体整体的平动运动规律。
i 1
n

miri mrc
（质心的定义式）
i 1
n
式中 m mi 为质点组的总质量。
i 1
两边对时间求导数，得
n

p mivi mvc

i 1
vc 是质点组质心的速度。
dp
dt

n i 1
Fi ( e )

F (e)
m dvc
i1 j1
ji
孤立系（闭合系）：不受任何外力的质点组。 二、质心
1.质心概念的必要性
★逐个对质点加以描述和研究的方法，原则 上可用，但得出的是方程数目庞大的二阶微分 方程组，难以解算。
★内力一般是未知量从而问题更复杂。 2.质点组研究方法
从整体上去把握质点组，但不是利用统计 方法，而是以点代体，即寻找一个与“整体” 等当的特殊点（或说代表点）——质心来研究。
3.质点组质心的定义
简言之，质心就是质点组的质量等效中心。
假定有n个质点，质量
分别是 m1, m2 ,mn ,位于
P1, P2 ,Pn 诸点，这些点对
参考点O的位矢是
r1
,
r2
,
rn
则 位质 矢心rc 满C对足此以参下考关点系O：的
n
rc

mi ri
i 1 n
mi
本章重点研究内容
〈一〉质心及质心运动定理 〈二〉动量定理及其守恒律 〈三〉动量矩定理及其守恒律 〈四〉动能定理、机械能守恒律 〈五〉两体问题、变质量问题
§2.1 质点组的基本概念
一、质点组的内力和外力 质点组：由许多（有限或无限）相互联系
着的质点所组成的系统。
内 力：质点组内质点间的相互作用力。
外 力：质点组外的物体对质点组内质点