理论力学课件 第二章质点组力学讲解
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理论力学课件 第二章 质点运动3
2、质心运动定理
根据质心定义
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m rc m i ri
i 1
求导，得
n
mvc mi vi
i 1
所以
n
dv c
(e )
m
Fi
dt
i 1
n
d rc
(e )
m 2 Fi
dt
i 1
2
或
（1）质点组受已知的外力作用时，每一质点如何运动虽然无法
知道，但质心的运动，可以完全确定。
i 1 2
i 1
i 1
i 1
n
n
( mi rc ) dri rc ( mi dri)
n
i 1
i 1
n
rc d ( m i ri) 0
i 1
n
1 2
n (i )
(e )
d ( m i ri ) Fi dri Fi dri
(e ) ( i )
(i=1,2,3…n)
mi ri Fi Fi
对i求和，得
n
n
(e )
(i )
(
m
r
)
F
F
ii i i
n
i 1
i 1
i 1
2.3.2 守恒定律：质点之间的零和博弈
d
dri
( m i ri )
m i ri m i
Fi
dt i 1
根据质心定义
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m rc m i ri
i 1
求导，得
n
mvc mi vi
i 1
所以
n
dv c
(e )
m
Fi
dt
i 1
n
d rc
(e )
m 2 Fi
dt
i 1
2
或
（1）质点组受已知的外力作用时，每一质点如何运动虽然无法
知道，但质心的运动，可以完全确定。
i 1 2
i 1
i 1
i 1
n
n
( mi rc ) dri rc ( mi dri)
n
i 1
i 1
n
rc d ( m i ri) 0
i 1
n
1 2
n (i )
(e )
d ( m i ri ) Fi dri Fi dri
(e ) ( i )
(i=1,2,3…n)
mi ri Fi Fi
对i求和，得
n
n
(e )
(i )
(
m
r
)
F
F
ii i i
n
i 1
i 1
i 1
2.3.2 守恒定律：质点之间的零和博弈
d
dri
( m i ri )
m i ri m i
Fi
dt i 1
理论力学第二章 质点组力学(2)
mr1
k2m
M m2
1 r22
r1 r1
从上式看出，力仍然与距离平方成反比， 故行星绕质心作圆锥曲线运动。太阳也如此。
2014/3/19
第二章 质点组力学（2）
12
行星相对于太阳的相对运动
由方程
M
d 2 rS dt 2
GMm r r2 r
m
d 2 rP dt 2
GMm r2
r r
m1
m2
m2
v2
u2
u1
u2
动量守恒 m2v1 m2v2 m1u1 m2u2
且定义e: u1 u2 ev1 v2
式中e称为恢复系数。
2014/3/19
第二章 质点组力学（2）
23
所以,考虑弹性碰撞问题,有以下两个方程
动量守恒 m2v1 m2v2 m1u1 m2u2
mv1 mv2 0
机械能守恒
r
（1） m1 v1
v2 m2
km1m2 a
1 2
m1v12
1 2
m2v22
km1m2 a/2
联立求解：
（2）
2k
2k
v1 m2
,
a m1 m2
v2 m1
a m1 m2
（3）
另：如果从动能定理出发
d
1 2
m1v12
1 2
理论力学
教材：周衍柏《理论力学教程》 编
北京交通大学理学院 教师：王波波
2014/3/19
第二章 质点组力学（2）
1
第二章 质点组力学
理论力学课件 第二章质点组力学讲解
心重合。
重心：质点系所受重力的合力的作用点。
（3）对于只有两个质点所组成的质点组 而言，其质心位置在质点1与质点2这两点连 线上，质心与质点1、2的距离反比于质点1、 2的质量。
例1 一凹底的圆锥体，由高为h、底面半径为 R的匀质正圆锥体自底面挖去高为d（d<h）的 共轴圆锥而成。求此凹底圆锥体的质心位置。
v
2 y
V
1 m(2M m) cos2
(M m)2
tan vy (1 m ) tan
vx
M
故由于炮车反冲 v V 而 。
例3 一个重量为P的人,手拿一个重为Q的物
体到最,以高与时水，平将线物成体α以角相的对速于度他v自0向己前的跳速。度当他u跳
水平向后抛出。问由于物体的后抛使人的跳远 的距离增加了多少？
m m
4 V v 4
zc
h
s
(3h d ) 4
§2.2 动量定理与动量守恒律
一、动量定理
假设由n个质点所组成的质点组，其中某一
个O的质位点矢的为质r量i ，为作m用i，其对上某的惯诸性力参的考合系力坐为标原点
Fi Fi(i) Fi(e)
质点pi的运mi 动dd2t微r2i 分F方i(i) 程Fi(e)
本章重点研究内容
〈一〉质心及质心运动定理 〈二〉动量定理及其守恒律 〈三〉动量矩定理及其守恒律 〈四〉动能定理、机械能守恒律 〈五〉两体问题、变质量问题
§2.1 质点组的基本概念
一、质点组的内力和外力 质点组：由许多（有限或无限）相互联系
着的质点所组成的系统。
内 力：质点组内质点间的相互作用力。
外 力：质点组外的物体对质点组内质点
理论力学第2章质点组力学ppt课件
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25
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26
和
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27
举例
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28
§2.4 动能定理与机械能守恒定 律
1 质点组的动能定理
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30
刚体情形
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31
2 机械能守恒定律
▪ 对质点组来讲，内力所作的功之和一般并不 为零，所以，若只有外力是保守力而内力并 不是保守力，质点组的机械能并不守恒；
54
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55
举例
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56
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57
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58
2 火箭原理
时间关系不讲， 若有兴趣请自己看书
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59
作业8讲解
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60
第15讲到此结束
最
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10
§2.2 动量定理与动量守恒定律
1 质点组动量定理
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12
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13
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14
2 质心运动定理
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15
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16
3 动量守恒定律
（3）由于 pmvC
，所以质心作惯性运动。
（4）如果合外力在某轴投影为零，则动量投影为常量。
i 1
i 1
i 1
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35
小结
▪ 质点组的三个动力学基本定理在分量形式下 一共有七个方程，和它们相关的守恒律成立 时也是这样。
▪ 但由于质点组的独立变量通常都大于七，所 以这些方程并不能用来确定质点组中每一质 点的运动，而只能由它们得出运动总的趋向 和某些特征，特别是与质心有关的总的特征。
理论力学(周衍柏)第二章质点组力学.
⑵ 机械能守恒定律
如果作用在质点组上的所有外力不做功及内力都是保守力 （或其中只有保守力作功）时，才机械能守恒。
T V E
⑶柯尼希定理
质点组动能 ' 1 T= mi rc ri 2 i 1
n n 2 n 2
n ' 1 1 mi rc mi ri rc mi ri 2 i 1 2 i 1 i 1 n ' 1 1 m rc mi ri rc mi ri 2 2 i 1 i 1 n 2 2 '
(i ) (e) 1 2 d ( mi ri ) dTi Fi dri Fi dri 2 其中, ri 是质点的速度, dri 则是它的位移。
对i求和
n
n n 1 2 ( i ) (e) d ( mi ri ) Fi dri Fi dri i 1 2 i 1 i 1
t2
t1 t2
M ox dt M oy dt M oz dt
t1 t2
t1
⑵动量矩守恒定律
① 如果作用在质点组上的诸外力在某一固定点的合力矩为零,即
② 如果 ，但对通过原点的某一标轴(设为x轴)上 的合力矩为零,则该方向动量矩守恒。
M ox 0 yi Fiz e zi Fiy e 0,
(e) xi Fiz (e) yi Fix
(e) iy
dJ y dJ x dJ 即 M ox , M oy , z M oz dt dt dt
质点组的动量矩的积分形式 t2
t1
J 2 J1 Mdt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
理论力学第二章 质点组力学-2)
m222
0
0
m1gl
cos
(4)
联立方程(1)(2)(3)(4)解得
1x
2m22 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
1y
2 m1 m2 gl sin
m1 m2 sin2
2
u
2m12 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
ax
m m
ax
g
g
二人均以匀加速向上爬
t
2
t2
2s ax 2s ax
t t
t
ax
2ms ms m m g
m m sg ms ms
注：也可用对通 过滑轮中心水平 轴的动量矩定理
质量不等的两人能同时到达顶端的前提条件
ax 0, ax 0
即
ms ms, 且 m m 或ms ms,且 m m
i 1
i 1
i 1
i 1
3.在质心系中分析以上四项
s´系的原点固定在质点组的质心上，则：
第一项：
rvo rvc ,vo vc , rvc 0
n (rvo m ivo ) n (rvc m ivc ) rvc n m ivc 对o点的动量矩
求和后，
i 1, n
叙述:质点组动能的微分等于质点组所受的外力与内 力的元功之和。
特点：①内力所作的功不能互相抵消。
②质点组不受外力或合外力为零，动能不一定守恒。
三、质点组对质心的动能定理 质点组内力做功
引入质心参照系，质点组中第i个质点的动能
d
(1 2
mii2
)
v F (e)
i
drvi
v F (i)
理论力学课件 第二章 质点运动2
1）许多重要运动，例如天体运动，并没有明显的施力者 2）摒弃感性认识，通过运动形式，理性推断力的存在
解释二：第一定律和第二定律所关注的力，并不相同
牛顿之前，人们认为天使 在推动星体运动
牛顿通过第一定律告诉人们如何发现和理解“隐藏”的力。
2.2.1牛顿三大运动定律
二、牛顿运动定律（动力学基础） （2）牛顿第二定律
新的科学和技术的出现都是渐进式的，有迹可循。
1）累积“离散” 脉冲力，解决连续力的作用问题； 2）微积分的基本思想诞生了！
[1]牛顿《自然哲学的数学原理》
脉冲力与连续轨道运动[1]
2.2.1牛顿三大运动定律
二、牛顿运动定律（动力学基础）
（3）牛顿第三定律
To any action there is always an opposite and equal reaction; in other words, the actions of two bodies upon each other are always equal and always opposite in direction.[1] 对任意作用总是存在着方向相反大小相等的反作用；换句话说，两个物体彼此的相 互作用总是相等的，并且指向对方。
量化描述：翻译成数学语言
[1]牛顿《自然哲学的数学原理》
2.2.1 牛顿三大运动定律
二、牛顿运动定律（动力学基础） （1）牛顿第一定律
Every body perseveres in its state of being at rest or of moving uniformly straight forward except insofar as it is compelled to change its state by forces impressed.[1] 每一个物体都保持静止或者一直向前均匀地运动的状态，除非有外加的力迫使它 改变它自身的状态为止。
解释二：第一定律和第二定律所关注的力，并不相同
牛顿之前，人们认为天使 在推动星体运动
牛顿通过第一定律告诉人们如何发现和理解“隐藏”的力。
2.2.1牛顿三大运动定律
二、牛顿运动定律（动力学基础） （2）牛顿第二定律
新的科学和技术的出现都是渐进式的，有迹可循。
1）累积“离散” 脉冲力，解决连续力的作用问题； 2）微积分的基本思想诞生了！
[1]牛顿《自然哲学的数学原理》
脉冲力与连续轨道运动[1]
2.2.1牛顿三大运动定律
二、牛顿运动定律（动力学基础）
（3）牛顿第三定律
To any action there is always an opposite and equal reaction; in other words, the actions of two bodies upon each other are always equal and always opposite in direction.[1] 对任意作用总是存在着方向相反大小相等的反作用；换句话说，两个物体彼此的相 互作用总是相等的，并且指向对方。
量化描述：翻译成数学语言
[1]牛顿《自然哲学的数学原理》
2.2.1 牛顿三大运动定律
二、牛顿运动定律（动力学基础） （1）牛顿第一定律
Every body perseveres in its state of being at rest or of moving uniformly straight forward except insofar as it is compelled to change its state by forces impressed.[1] 每一个物体都保持静止或者一直向前均匀地运动的状态，除非有外加的力迫使它 改变它自身的状态为止。
理论力学_第二章质点组力学
n dpz d n e mi viz Fiz dt dt i 1 i 1
mi ri mrc
d ( m i ri ) p mi vi mi ri
i i
i
）
dt
i
d ( m rc ) mrc m v c dt
i 1
n
m
i
质心的位矢 rc 是质点组中各质点的位置 ri 以其质量 mi 为权
重的平均矢量。它可以代表质点组的整体位置。
质心位矢的分量形式为：
xc
m x
i 1 n i
n
i
m
i 1
yc
m y
i 1 n i
n
i
i
m
i 1
zc
m z
i 1 n
n
i i
i
m
i 1
点，这些点对某一指定的参照点 O 的位矢是 r , r2 ，„， rn ，则质心 C 对此 1
同一点的位矢 rc 满足以下关系：
y
yC
r3
m2
O
m3
r2
zC
z
rc
C
r1
m1
xC x
rc OC
mi ri
i 1 n
n
m
i 1
mi ri
虽然
3、对质心的动量矩定理
C系：随着C相对于S系平动 ri rc ri S系 y C系 y
ri
Pi
由n 个质点 组成的 质点
组中，任一质点Pi 在C系的
ri
d ri ( e ) ( i ) ) mi 2 Fi Fi ( mi rc dt 用ri 左矢乘方程两边，并对i 求和，得 2 n n n d ri (e) (i ) n mi (ri dt2 ) (riFi ) (riFi ) rc mi ri i 1 i 1 i 1 i 1
理论力学第二章质点组力学
i 1 i 1
n
n
e
dri Fi dri
i i 1
n
注意：1）质点的位矢都以固定点O为起点； 2）内力的功一般不为零。
1 f i
12
dWi f12 dr1 f 21 dr2
i i i f 21 d r2 r1 f 21 dr f12 dr
km1m2 1 km1m2 1 2 2 m1v1 m2 v2 a 2 2 a/2
解得
v1 m2
2k 2k , v2 m1 a m1 m2 a m1 m2
用动能定理
km1m2 1 1 2 2 d m1v1 m2v2 2 dr 2 r 2
i
i
m
i 1
i
不均匀的连续体
xc
V
xdm
V
dm
yc
V
ydm
V
dm
zc
V
zdm
V
dm
3. 质点组的动量守恒定律 若
F
i 1
n
e
i
0
dp 0 dt
p mvc 恒矢量
px mvcx 恒矢量
p y mvcy 恒矢量
F ix
J mvr mvr 力矩为 M mgr mgr
由动量矩定理，得
d mv mv r dt m m gr
即
ma ma m m g 2 2 a 2 s / t , a 2 s / t 若t为共同到达时间，则
i
i
r1
r
f 21
i
2
n
n
e
dri Fi dri
i i 1
n
注意：1）质点的位矢都以固定点O为起点； 2）内力的功一般不为零。
1 f i
12
dWi f12 dr1 f 21 dr2
i i i f 21 d r2 r1 f 21 dr f12 dr
km1m2 1 km1m2 1 2 2 m1v1 m2 v2 a 2 2 a/2
解得
v1 m2
2k 2k , v2 m1 a m1 m2 a m1 m2
用动能定理
km1m2 1 1 2 2 d m1v1 m2v2 2 dr 2 r 2
i
i
m
i 1
i
不均匀的连续体
xc
V
xdm
V
dm
yc
V
ydm
V
dm
zc
V
zdm
V
dm
3. 质点组的动量守恒定律 若
F
i 1
n
e
i
0
dp 0 dt
p mvc 恒矢量
px mvcx 恒矢量
p y mvcy 恒矢量
F ix
J mvr mvr 力矩为 M mgr mgr
由动量矩定理，得
d mv mv r dt m m gr
即
ma ma m m g 2 2 a 2 s / t , a 2 s / t 若t为共同到达时间，则
i
i
r1
r
f 21
i
2
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解：具有线性关系的量都满足叠加原理。底 面半径为r、高为h 的正圆锥体的体积是
V r2h/ 3
O
若圆锥体是均匀的，则其质心位 于轴z上，距离底面 h/4处，由叠加 原理，可得凹底圆锥体的质心离底
V1
V2 R O
面的距离为
Z
s m h 4 m d 4 1 Vh vd 1 (h d )
m m
4 V v 4
zc
h
s
(3h d ) 4
§2.2 动量定理与动量守恒律
一、动量定理
假设由n个质点所组成的质点组，其中某一
个O的质位点矢的为质r量i ，为作m用i，其对上某的惯诸性力参的考合系力坐为标原点
Fi Fi(i) Fi(e)
质点pi的运mi 动dd2t微r2i 分F方i(i) 程Fi(e)
i1 j1
ji
孤立系（闭合系）：不受任何外力的质点组。 二、质心
1.质心概念的必要性
★逐个对质点加以描述和研究的方法，原则 上可用，但得出的是方程数目庞大的二阶微分 方程组，难以解算。
★内力一般是未知量从而问题更复杂。 2.质点组研究方法
从整体上去把握质点组，但不是利用统计 方法，而是以点代体，即寻找一个与“整体” 等当的特殊点（或说代表点）——质心来研究。
mi
d
2
ri
dt 2
d dt
n i 1
(mi ri )
dp dt
其中
n
p mivi
为质点组的动量，等于质点组
诸质点动量i1 的矢量和。
则
dp dt
n i 1
Fi ( e )
F (e)
或
dp ( n
Fi(e) )dt F (e) dt
i 1
n
miri mrc
（质心的定义式）
i 1
n
式中 m mi 为质点组的总质量。
i 1
两边对时间求导数，得
n
p mivi mvc
i 1
vc 是质点组质心的速度。
dp
dt
n i 1
Fi ( e )
F (e)
m dvc
心重合。
重心：质点系所受重力的合力的作用点。
（3）对于只有两个质点所组成的质点组 而言，其质心位置在质点1与质点2这两点连 线上，质心与质点1、2的距离反比于质点1、 2的质量。
例1 一凹底的圆锥体，由高为h、底面半径为 R的匀质正圆锥体自底面挖去高为d（d<h）的 共轴圆锥而成。求此凹底圆锥体的质心位置。
i 1
直角坐标分量式:
n
mi xi
xc
i 1 n
mi
i 1
n
mi yi
yc
i 1 n
mi
i 1
n
mi zi
zc
i 1 n
mi
i 1
◆满足叠加原理
rc
m1rc1 m2rc2 m1 m2
◆若为质量连续分布的体系，则
rc
rdm dm
dt
n Fi ( e )
i 1
F (e)
或
m d 2rc
dt 2
n F (e)
i i 1
F (e)
质点组的质量与其质心加速度的乘积等于
作用在质点组上所有诸外力的矢量和，这就是
质点组的质心运动定理。
直角坐标系的分量形式：
mxc
F (e) x
,
myc
F (e) y
在直角坐标系中
xc
xdm dm
yc
ydm dm
zc
zdm dm
【说明】（1）如果质心恰好在坐标原点，则
质心位矢为
n
rc
mi ri
i 1 n
0
mi
i 1
n mi ri 0
i 1
（2）当密度 为常数时，质心和几何中心
重合；当重力加速度 g 为常矢量时，质心与重
i 1
质点组的动量定理：质点组的动量对时间
的微商，等于作用在质点组上诸外力的矢量和。
或者说，质点组的动量的微分，等于作用在质
点组上诸外力的元冲量的矢量和。
直角坐标分量式：
dPx
dt
n
Fixe
i 1
dPy
dt
n
Fiye
i 1
二、质心运动定理
dPz
dt
n
Fize
o
ri fij rj f ji ri fij rj fij
(ri rj ) fij rij fij 0
其中: rij 是质点pi相对p j 的位矢,与 fij 共线。
M
(i) 0
n
n1 (ri fij ) 0
,
mzc
F (e) z
质心运动定理的物理意义：
质心的运动，就犹如这样的一个质点 的运动，这个质点的质量等于整个质点组 的质量，作用在此质点上的力等于作用在 质点组上所有外力的矢量和。
质点组的质量中心是一个特殊的几何点， 质心质点的运动，由牛顿第二定律确定，代 表了物体整体的平动运动规律。
本章重点研究内容
〈一〉质心及质心运动定理 〈二〉动量定理及其守恒律 〈三〉动量矩定理及其守恒律 〈四〉动能定理、机械能守恒律 〈五〉两体问题、变质量问题
§2.1 质点组的基本概念
一、质点组的内力和外力 质点组：由许多（有限或无限）相互联系
着的质点所组成的系统。
内 力：质点组内质点间的相互作用力。
外 力：质点组外的物体对质点组内质点
3.质点组质心的定义
简言之，质心就是质点组的质量等效中心。
假定有n个质点，质量
分别是 m1, m2 ,mn ,位于
P1, P2 ,Pn 诸点，这些点对
参考点O的位矢是
r1
,
r2
,
rn
则 位质 矢心rc 满C对足此以参下考关点系O：的
n
rc
mi ri
i 1 n
mi
n
i 1
mi
d
2
ri
dt 2
n i 1
n
F (i) i
i 1
F (e)
i
（i 1,2,3,, n）
n
i 1
mi
d 2 ri dt 2
n i 1
F (e)
i
n
i 1
mi
d
2
ri
dt 2
n i 1
F (e)
i
而
n
i 1
的作用力。
F
A
C
合 力：质点组所受所有的内力 B D
和外力之和。
◆质点组中的诸内力的矢量和必等于零，即
n n1
F (i)
fij 0
i1 j1
ji
◆质点组的所有内力对任一参考
fij ri
rij rj
f ji
点的力矩的矢量和恒为零。