芝诺的乌龟
浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟
浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯和乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始．假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍．当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍然前于他100米．当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米．芝诺辩解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但他决不可能追上它。
此问题可用数学知识表示为；如图设阿基里斯处在A 点，乌龟处在B 点，A ，B 点相距X ，阿基里斯以速度V 前进，则乌龟以速度1∕10V 前进，若阿基里斯前进了X ，则乌龟前进了1/10X ，若阿基里斯前进了1/10X ，则乌龟前进了1/10ˆ2X ，就这样无限的进行下去，乌龟前进的路程可表示为S=1/10X+1/10ˆ2X+1/10ˆ3X+1/10ˆ4X+…1/10ˆnX ，而阿基里斯前进的路程为S ’=X+1/10X+1/10ˆ2X+1/10ˆ3X+1/10ˆ4X+…1/10ˆ(n-1)X, 所以二者之差S ’—S= X —1/10ˆnX ，乌龟与阿基里斯相距1/10ˆnX ，当n 为无穷大时，S ’—S ≈X ， 1/10ˆnX ≈0，但是1/10ˆnX 总是一个大于0的数，因此阿基里斯是追不上乌龟的.然而如果我们深思这个问题我们会发现，当n 为无穷大时，1/10ˆnX 会越来越小，通过这段路程的时间会趋于0.对于宏观上分析，显然我们可以得出当1/10ˆnX ≈0时，阿基里斯与乌龟所占的空间要比1/10ˆnX 大得多，我们说阿基里斯没有追上乌龟这是不科学的。
对于微观上分析，我们将阿基里斯与乌龟分别看成两个质点，设为A ，B ，而质点是没有体积的，这样讨论就不会产生宏观上的不科学的观点。
若A,B 是质点，我们显然可以得到A 是永远追不上B 的。
但在牛顿的经典物理学中，我们可以知道若A 比B 的速度快，经过有限时间后，A 是一定会追上B 的，因此这个问题是不可以用牛顿的经典物理学来分析的，经典物理学有两个假设： 其一是假定时间和空间是绝对的，长度和时间间隔的测量与观测者的运动无关，物质间相互作用的传递是瞬时到达的；其二是一切可观测的物理量在原则上可以无限精确地加以测定。
芝诺的四个悖论
3、芝诺的四个悖论第一个悖论是阿基里斯与乌龟悖论，希腊战士阿基里斯跟乌龟赛跑，乌龟说，如果它比阿基里斯先跑10米，那么阿基里斯永远都追不上它，因为只要阿基里斯跑了10米，这时乌龟就又多跑了几米，若阿基里斯再跑到乌龟曾经停留的点，乌龟一定又跑到阿基里斯前面去了；看似有理，但要怎么说明为何如此呢？第二个是二分法悖论，是说你永远不可能抵达终点，因为你为了抵达终点，必得先跑完全程的一半，而要跑到全程的一半，你又得跑完一半的一半……如此一来，你永远跑不到终点；甚至可以说你根本无法起跑，因为若要起跑一小段距离，你就得移动那一小段距离的一半，似乎永远无法开步跑？第三则是飞矢悖论，在任一时刻，飞矢会占据着与它同等长度的空间，就这个瞬间而言，飞矢可说是静止不动的；如果每一个“任一时刻”飞矢都静止不动，那么飞矢应该一直不动。
怎么可能如此？飞矢应该不断往前飞啊！第四是竞技场悖论，假设时间有最小不可分割的单位（这是自古以来的基本假设），现在有3辆车子，在单位时间内，一号车向左移一个车身，二号车不动，三号车向右移一个车身，于是一号和三号便相差两个车身，那么一号和三号车在过程中相差一个车身时，需要花费基本单位元时间的一半，但这与基本的单位时间假设相冲突。
林兹要阐释这四个芝诺悖论，所持的基本论点是，对运动中的物体而言，并没有所谓的“任一时刻会位于某个确定位置”，因为物体的位置会随时间不停地改变。
他解释道︰“这样想应该比较能够理解，无论时间间隔多么小，或者物体在某段时间间隔中运动得有多慢，它还是在运动状态中，位置还是不断在改变，因此，无论时间间隔有多短，运动物体没有所谓在任一时刻、某一瞬间拥有确定的相对位置这回事。
”从芝诺到牛顿乃至于今天的物理学家，在讨论运动的本质时，无不假设“运动中的物体之间具有确定的相对位置”，而林兹则认为，便是因为假设时间可以冻结在任一时刻，此时运动中的物体位在一个确定的位置上，因此芝诺悖论中那种不可能发生的情况才会成立。
芝诺悖论 阿基里斯追不上乌龟
一、芝诺悖论
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛 中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面 追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须 到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已 经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里 斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已 经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样， 乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造 出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋 力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！
思考：你认为芝诺悖论存在吗？
结论： 阿基里斯只能无限接近乌龟，但永远追不上乌龟。
方程思想解答
假设乌龟的速度为a，则阿基里斯的速度为10a，设所需要的时间为x， 那么
10ax=ax+100， x=100a/9
既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说 阿基里斯永远也追不上乌龟呢？ 然而问题在这：我们有一个假定——那就是假定阿基里斯 最终是追上了乌龟，才求出的那个时间，这是初等数学的 解决办法（从结果推往过程）。 但悖论的实质在于要求我们证明为何能追上？上面说到无 穷个步骤实则难以完成·· ··
假设阿基里斯的奔跑速度是10M/S, 乌龟是1M/S，乌龟先距离阿基里斯100M
阿基里斯跑完这100M需要10S，此时乌龟又跑了10M；
阿基里斯跑完这10M需要1S，此时乌龟又跑了1M； 阿基里斯跑完这1M需要0.1S，此时乌龟又跑了0.1M； 阿基里斯跑完这0.1M需要0.01S，此时乌龟又跑了0.01M； 阿基里斯跑完这0.01M需要0.001S，此时乌龟又跑了0.001M； 阿基里斯跑完这0.001M需要0.0001S，此时乌龟又跑了0.0001M； 阿基里斯跑完这0.0001M需要0.00001S，此时乌龟又跑了0.00001M； ..............................
上帝告诉你芝诺悖论之一：追乌龟?的逻辑真相
上帝告诉你芝诺悖论之一：追乌龟的逻辑真相阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄。
在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。
因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。
就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！上面就是芝诺悖论之一：“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。
上面是个路程问题，实质是个实数与无穷问题。
上面涉及距离问题，因走速的变化也涉及时间问题。
距离的变化 : 1→1/2 →1/4→1/8→...→1/2^n→...从递减上距程的变化就包含了时间和速度.故,只要距离的变化就能完整的用距离来讨论.又每个时间段都对应所走了距离。
所以在全面讨论距离（路程）问题时，可以踢开时间去讨论（因时间段上都有路程对应着）。
从0走到1,在这段距离,不管用多大速度,光速也行.都得经过这段距离的所有,再加速也一样.因为 1/2后有个1/4,再之后有个1/8......这些都得经过,就算用跳,也经过了这些距离,就算用光速,也经过这些距离.所以,不算是人还是光速,都走不完 1/2+1/4+1/8+1/16+.....因为 1/2+1/4+1/8+1/16+.....无限,其逻辑就是之没完没了,所以走不完.与人能走完1是两回事.所以根本不形成谬论.时间,速度再怎样变化它总对应着路程(距离),所以,只要距离这一项就能反映逻辑真相.又讨论时间又讨论路程反而有歧义会出现不必要的错误误导。
此悖论与飞矢不动不同，飞矢不动涉及时间、时刻、时间流速等问题。
芝诺的四个悖论
3、芝诺的四个悖论第一个悖论是阿基里斯与乌龟悖论;希腊战士阿基里斯跟乌龟赛跑;乌龟说;如果它比阿基里斯先跑10米;那么阿基里斯永远都追不上它;因为只要阿基里斯跑了10米;这时乌龟就又多跑了几米;若阿基里斯再跑到乌龟曾经停留的点;乌龟一定又跑到阿基里斯前面去了；看似有理;但要怎么说明为何如此呢第二个是二分法悖论;是说你永远不可能抵达终点;因为你为了抵达终点;必得先跑完全程的一半;而要跑到全程的一半;你又得跑完一半的一半……如此一来;你永远跑不到终点；甚至可以说你根本无法起跑;因为若要起跑一小段距离;你就得移动那一小段距离的一半;似乎永远无法开步跑第三则是飞矢悖论;在任一时刻;飞矢会占据着与它同等长度的空间;就这个瞬间而言;飞矢可说是静止不动的；如果每一个“任一时刻”飞矢都静止不动;那么飞矢应该一直不动..怎么可能如此飞矢应该不断往前飞啊第四是竞技场悖论;假设时间有最小不可分割的单位这是自古以来的基本假设;现在有3辆车子;在单位时间内;一号车向左移一个车身;二号车不动;三号车向右移一个车身;于是一号和三号便相差两个车身;那么一号和三号车在过程中相差一个车身时;需要花费基本单位元时间的一半;但这与基本的单位时间假设相冲突..林兹要阐释这四个芝诺悖论;所持的基本论点是;对运动中的物体而言;并没有所谓的“任一时刻会位于某个确定位置”;因为物体的位置会随时间不停地改变..他解释道︰“这样想应该比较能够理解;无论时间间隔多么小;或者物体在某段时间间隔中运动得有多慢;它还是在运动状态中;位置还是不断在改变;因此;无论时间间隔有多短;运动物体没有所谓在任一时刻、某一瞬间拥有确定的相对位置这回事..”从芝诺到牛顿乃至于今天的物理学家;在讨论运动的本质时;无不假设“运动中的物体之间具有确定的相对位置”;而林兹则认为;便是因为假设时间可以冻结在任一时刻;此时运动中的物体位在一个确定的位置上;因此芝诺悖论中那种不可能发生的情况才会成立..林兹也指出;无论如何;某段时间间隔一定可以用一个时间范围来表示;不能只说是“一瞬间”的单一时刻：“举例来说;如果有两个独立事件分别测得发生在1小时或10秒钟;这两个数值应是指两事件分别发生在1-1.99999……小时之间;以及10-10.0099999……秒之间..”因此;林兹可以很直接地解决类似“飞矢悖论”的问题..一位着名的牛津大学数学家评论道：“这真令人既惊讶又意外;不过他是对的..”林兹继续将他所提出的概念推到物理学的其它方面;包括量子力学及霍金所建构的宇宙学..物理学的物质是量子论的;分到一定程度后;就得到了量子元;而量子元是不可再分的..物理学的物质能量有两种物理形式组成;一种是量化物质;即后面提到的电磁质量；一种是连续物质;这种物质是无限可分的;可以永无穷尽的分割下去;即后面提到的引力质量..量化物质和连续物质可以相互转化并且守恒不灭;这就与数学思想的有限和无限;局部无限和整体无限联系起来了..汤川秀树认为：在古代印度有将时间本身也作为“不知道它是什么实体”来考虑的倾向..并且;还同样地认为;时间也存在有不可分割的最小单位;将它称之为“刹那”..将这种“刹那”用今天的时间单位来度量的话;大约为十分之一秒……基本粒子理论今后进一步的发展;说不定会是古印度物质观的思想经过某种形式的复活吧..把印度的极微观与古希腊的原子论观点相比较;不难看出;前者要较后者更为接近现代科学的观点..。
“神奇”追龟问题的解决
“神奇”追龟问题的解决追龟问题芝诺有一条著名的悖论叫“阿基里斯追乌龟”，阿基里斯是古希腊最善跑的人，芝诺设定让这个人与乌龟一起赛跑，他先让乌龟跑到整个赛程的一半处，然后再让这个短跑健将追乌龟，按照芝诺的逻辑推定，这个短跑健将始终无法追上乌龟。
理由如下：他要追上乌龟必须要经过乌龟出发的地方A点，但当他追到这个地方的时候，乌龟又向前爬了一段距离，到了B点，他要追上乌龟又必须经过B 点，但当他追到B点的时候，乌龟又爬到了C点……虽然他跑比得乌龟快，但他也只能按上述过程逐渐逼近乌龟，这样的过程将无限次地出现，而在每一阶段乌龟总在阿基里斯前头。
由于有限的他无法完成这无限个阶段，于是阿基里斯永远也追不上乌龟。
数学解释：问题的核心在于，随着人龟距离的不断减小，每一次人到达龟前一个点所用的时间在逐渐递减，但是因为可以一直递减，所以貌似时间永远也不会减小到零。
实际上各递减的时间的和若求个极限，仍然是可以求得的。
就好比给你个一秒钟，减到0.1秒时精度改为0.01秒，减到0.01秒时,精度再改为0.001秒……如此下去是不是时间就减不完了呢？当然不是，因为给你的时间只有1秒。
利用等比数列求和以后极限仍为一秒。
从距离的角度，求和极限也是能得出正确结论的。
当然这只是数学解释，仍然不能从生活逻辑上让人信服，因为这还是对具体的情景避而不谈。
物理解释：这个问题涉及到了物理学基本理论，在牛顿力学中，世界是连续的，时间空间，物体的运动都是连续的，不可分割的，这也符合人们的常识经验。
但在量子力学中，能量不再连续，时间和空间也不再连续（只能为普朗克单位的整数倍），物体的运动就更不连续了。
也就是说物体是“一格一格”运动的，有点类似于棋盘游戏。
因为普朗克长度（单位长度）是极其小的，以目前的人类科技水平根本无法察觉（但是或许可以间接证明）。
明白了这个概念就容易解释了。
当人和龟的距离足够近，近到必须考虑普朗克长度时，运动过程就会变得非常奇妙。
芝诺悖论 阿基里斯追不上乌龟
结论： 阿基里斯只能无限接近乌龟，但永远追不上乌龟。
方程思想解答
假设乌龟的速度为a，则阿基里斯的速度为10a，设所需要的时间为x， 那么
10ax=ax+100， x=100a/9
既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说 阿基里斯永远也追不上乌龟呢？ 然而问题在这：我们有一个假定——那就是假定阿基里斯 最终是追上了乌龟，才求出的那个时间，这是初等数学的 解决办法（从结果推往过程）。 但悖论的实质在于要求我们证明为何能追上？上面说到无 穷个步骤实则难以完成·· ··
尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但时间的流 动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，加起来也 只是个常数而已——1秒。这就就是说：“芝诺悖论根本不存在。”
“芝诺时间”
芝诺悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远， 在于芝诺与我们采取了不同的时间系统—— 人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解 释则采取了离散的时间系统。换句话说，连续时间是离散 时间将时间间隔取为无穷小的极限。
假设阿基里斯的奔跑速度是10M/S, 乌龟是1M/S，乌龟先距离阿基里斯100M
阿基里斯跑完这100M需要10S，此时乌龟又跑了10M；
阿基里斯跑完这10M需要1S，此时乌龟又跑了1M； 阿基里斯跑完这1M需要0.1S，此时乌龟又跑了0.1M； 阿基里斯跑完这0.1M需要0.01S，此时乌龟又跑了0.01M； 阿基里斯跑完这0.01M需要0.001S，此时乌龟又跑了0.001M； 阿基里斯跑完这0.001M需要0.0001SM需要0.00001S，此时乌龟又跑了0.00001M； ..............................
歪论勇士追不上乌龟
歪论勇士追不上乌龟勇士追不上乌龟的故事是芝诺编写的一个故事。
芝诺是古希腊一位极善于诡辩的哲学家，故事中的勇士名叫阿基里斯，故事的梗概如下：乌龟在阿基里斯前100米，阿基里斯的速度是乌龟的10倍。
阿基里斯跑完100米，乌龟又爬了10米，阿基里斯跑完10米，乌龟又爬了1米，阿基里斯跑完1米，乌龟又爬了0.1米，…………这样阿基里斯岂不是永远也追不上乌龟吗？现代人一般认为这个结论是错的，最佳答案如下：假设乌龟的速度是1米/秒，阿基里斯的速度是10米/秒。
乌龟的出发点A，阿基里斯的出发点O，则OA=100米，当阿基里斯用10秒跑完100米到达A点时，乌龟又爬了10米到达B点。
阿基里斯用1秒跑完10米到达B点时，乌龟又爬了1米到达C点。
乌龟一段一段的跑，阿基里斯一段一段的追，…………这样阿基里斯始终在乌龟的后面。
设阿基里斯所用时间为t，所走总路程为s，t和s都是无限个数之和。
t=10+1+0.1+0.01+0.001+…………秒s=100+10+1+0.1+0.01+0.001+…………米。
t和s都是无限循环小数t=11.111111…………秒。
s=111.1111111…………米。
可以化成分数， t=100/9秒。
s=1000/9米。
鉴于当时知识水平，可能对无限小数，无限个数之和，或无限循环小数化成分数，等等概念不明确，有一点不明确都有可能得出阿基里斯永远也追不上乌龟的结论。
实际上，类似的问题，在中国古代就早已经解决。
“庄子”一书中引用了：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
给出了无穷数列：1/2，1/4，1/8，1/16，…………还是个无穷小数列，知道其和是1.即1/2+1/4+1/8+1/16+…………=1.至于阿基里斯追乌龟的问题是中国古算经中典型的追及问题，口诀是：有余加不足，先减后再除。
有余加不足，是初始距离OA ，先减是速度差，后再除得时间，代入数值即 t=100米/（10米/秒－1米/秒）=100/9（秒）， s=10米/秒*100/9秒=1000/9米。
芝诺悖论——阿基里斯与乌龟
芝诺悖论——阿基里斯与乌龟悖论是有趣的，而且是数学的一个非常重要的部分．它突出地表明，在陈述或证明某种想法时小心地使它不出现漏洞是多么地重要．在数学中，我们常常试图使数学思想覆盖尽可能多的方面，例如我们试图概括一个概念以使它能够用于更多的对象．概括无疑是重要的，但它也可能导致危险．我们务必谨慎从事．一些悖论就说明了这种危险的存在．公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯和乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始．假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍．当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍然前于他100米．当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米．芝诺辩解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但他决不可能追上它．那么芝诺的理由正确吗？如果阿基里斯追上了乌龟，那么他是在赛程的哪一点追上呢？(见附录“阿基里斯与乌龟”的解答)欧布利德悖论与芝诺悖论希腊哲学家欧布利德断言，一个人绝不可能有一堆沙．他的见解是：一粒沙不能构成一堆沙，如果在一粒沙上加上一粒沙它们也不能构成一堆．如果你没有一堆沙，那么即使给你加上一粒沙，也同样没有一堆，从而你永远不会有一堆沙．依着同样的思路，芝诺把眼光瞄在线段上．他断言，如果点是没有大小的，那么加上另一个点依然不会有大小．这样人们就绝不可能得到一个有大小的物体，因为这些物体是由点结合而成的．接着他进一步推断说，如果一个点有大小，那么一条线段就必然有无限的长度，因为它是由无穷数量的点所芝诺的悖论芝诺是古希腊著名的数学家和哲学家,他曾提出过三个著名的诡辩，其中最具迷惑性的一个是"阿基里斯追不上乌龟"，大意如下：阿基里斯是希腊神话里跑得最快的人,但如果在他前面有一只乌龟(正从A点向前爬) ，他永远也追不上这只乌龟，理由如下：他要追上乌龟,必须要经过乌龟出发的地方(A点) ，但是在他追到这个地方的时候,乌龟又向前爬了一段距离,到了B点，他要追上乌龟,又必须经过B点，但当他追到B点的时候，乌龟又爬到了C点,他追到C点的时候,乌龟又到了D点 ......阿基里斯永远也追不上乌龟!!!这只是一个诡辩,当然是错误的,但你知道问题出在哪儿吗？意想不到的老虎公主: 父亲,你是国王.我可以和迈克结婚吗?国王: 我亲爱的,如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎,你就可以和他结婚.迈克必需顺次序开门,从一号门开始.他事先不知道哪个房间里有老虎,只有开了那扇门才知道.这只老虎将是料想不到的.迈克看着这些门对自己说---迈克: 如果我打开了四个空房间的门,我就知道老虎在第五个房间.可是,国王说我事先不可能知道它在哪里.所以老虎不可能在第五个房间里，五被排除了,所以老虎必然在其余的四个房间之一，那么在我开了三个空房间以后，又怎么样了?老虎必然在第四个房间里。
打破芝诺龟的悖论，牛顿－莱布尼茨公式
打破芝诺龟的悖论，牛顿－莱布尼茨公式那么，阿喀琉斯是不是永远都追不上芝诺乌龟？当然不是。
芝诺狡猾地把时间和空间一直分割了下去，假装完美地证明运动不存在。
他强行忽略了阿喀琉斯追芝诺乌龟的距离虽然有无限多个，但它们的“和”是一个有限的、确定的距离。
相应地，他所用的时间间隔虽然也有无限多个，但“和”也是确定、有限的一段时间，现实中的阿喀琉斯总是在短时间内就追上了那只慢吞吞的乌龟。
这就是现代数学的微分与积分(主要是定积分)。
将时间和空间(距离)无限分割，无疑体现了无穷小量的思想，即微分的思想。
而将这无限个小段以一定形式求和，得出一个确定的值，体现的恰好是定积分的定义。
从这个角度，我们可以说，对于芝诺乌龟悖论，芝诺只微分了，却没有积分。
微分和积分在历史上很长一段时间里是泾渭分明的两个领域，彼此毫无瓜葛。
被芝诺这只“诡异”的乌龟刺激后，数学家们曾经前赴后继，苦苦钻研了无穷小量许久，但直到牛顿-莱布尼茨公式的出现，他们才真正把微分和积分联系起来。
这个以两位数学大师共同命名的公式，具体定义如下。
若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则∫f(x)dx=F(b)-F(a).看平平无奇,可它却被誉为“微积分基本定理”。
在这个基本定理中，原函数与导数(又名微商)有着莫大的渊源。
在古典微积分世界里，微分是无穷小量的缩影，而导数则由两个无穷小量的比值幻化而成：dy/dx。
函数y=f(x)，dy是y的微分dx是x的微分，这也是导数被称为微分之商(微商)的缘由。
几何图形对应的函数图像在某一点的导数是该函数图像在该点切线的斜率,如图4-2所示。
简单来说，对导数f(x)进行一个逆运算，就是求原函数F(x)。
对于一个定义在某区间的已知函数f(x)来说，如果存在可导函数F(x)，使在该区间内的任一点都有dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
已知导数f(x)，求原函数F(x)，用微积分中的专业术语来说，就是求不定积分。
科学界有趣的悖论：只要乌龟先跑，人无论怎么追都追不上它
科学界有趣的悖论：只要乌龟先跑，⼈⽆论怎么追都追不上它悖论中名⽓最⼤的动物应当是薛定谔的猫，⼀只在未见⾯之前，不能确定花⾊的⼩猫。
芝诺悖论⾥的乌龟，在科学界也享有盛名。
芝诺悖论：只要乌龟先跑，⼈⽆论怎么追都追不上它芝诺⽣活于公元前5世纪的意⼤利半岛，家乡是⼀个叫埃利亚的地⽅。
从这⾥诞⽣了古希腊哲学中著名的埃利亚学派，这个学派是古希腊存在学说的开创者，他们不急于为感性事物定性，⽽是先去给宇宙整体定性，是形⽽上学思想的早期启蒙。
这个学派提出过许多悖论，其中有⼀个就是说的“只要乌龟先跑，⼈⽆论怎么追都追不上它”⼜称为“阿基琉斯追不上乌龟”。
阿基琉斯是古希腊⾮常著名的运动员，擅长跑步，乌龟是运动速度很慢的动物。
如果让阿基琉斯落后乌龟⼀百⽶，然后追赶乌龟（假设乌龟的速度是0.1m/s，阿基琉斯⽐乌龟快100倍，是10m/s），会怎么样呢？从现实层⾯看，阿基琉斯⼀定会很快追上乌龟，这是⼀道相对运动的物理题，在课堂上，我们早就学过了。
在哲学家的眼⾥，答案却完全不⼀样。
芝诺认为阿喀琉斯和乌龟赛跑，⽆论乌龟领先了多少⽶，即使只是⼀⽶的距离，阿喀琉斯也⽆法追赶上乌龟。
阿喀琉斯帮⼈包扎因为在竞赛中，追者⾸先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯奋⼒追到100⽶时，向前爬了10⽶的乌龟仍在他前⽅。
这时，⼀个新的起点出现了；阿喀琉斯与乌龟在这10⽶的距离中继续追赶，10⽶过后阿喀琉斯到达了，⽽乌龟⼜向前了1⽶，阿喀琉斯只得再向着1⽶追去……⼀⽶，零点⼀⽶，零点零⼀⽶，⽆穷⽆尽个⼩数位，代表着乌龟制造出的⽆数个起点，不管这个起点与终点之间的距离有多⼩，但只要乌龟没有停下来，距离永远存在，阿喀琉斯也就怎样都⽆法追上乌龟。
也许我们的⼼理对“阿基琉斯追不上乌龟”是存在疑问的。
因为⼆者之间的距离在不断缩⼩，就⼀定会在某个时刻缩⼩为零，就⼀定会有追上的时刻。
芝诺悖论的思想要点在于它没有设定⼆者距离为零的情况，数学中在零和⼀之间能有⽆数个点，在零点⼏之后⽆论加多少位数字，也⽆法将其变成⼀。
物理学四大神兽掐架，谁会赢？
物理学四大神兽掐架，谁会赢？既然题主问了，那就先回顾一下神兽的历史。
不过这话说的，他们几个怎么掐架啊，能不能查一下题主的资料啊，我想知道题主在说什么，想说什么？先说芝诺的乌龟。
古希腊人都爱养乌龟，伊索就养了一只，还和兔子赛跑，芝诺是古希腊的数学家，也养了一只乌龟，不过他这只乌龟不和兔子赛跑，要和希腊战神阿喀琉斯赛跑。
芝诺骑着乌龟来了，比赛开始。
乌龟在前面爬，阿喀琉斯在后面追，但他不可能追上乌龟。
当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。
就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！看到芝诺的乌龟，特洛伊王子帕里斯已经哭晕在厕所，早知道在特洛伊城外放一群乌龟，任由希腊人追，还不累死他们，哪还有后来的木马屠城啊。
当然帕里斯没有投放乌龟，因为大家都知道，阿喀琉斯是一定能追上乌龟的，这只是一个悖论，可是这个悖论的逻辑缺陷在哪呢？难倒了无数数学家，直到上帝降牛顿于人间。
牛顿本是天神下凡，当然不会在乎一只乌龟？乌龟和阿喀琉斯的距离是趋近于无穷小的，芝诺认为，这个无穷小是大于零的，所以阿喀琉斯是永远追不上乌龟的。
牛顿大神微微一笑，抽出微积分长剑，随手将芝诺的乌龟剁成数块，熬了一锅王八汤。
再说拉普拉斯魔乌龟被爵爷熬了王八汤，于是大家都不再养乌龟，作为爵爷的迷弟，拉普拉斯就养了一个魔鬼。
拉普拉斯是法国数学家、物理学家，人称“天体力学之父”是牛顿的第一忠犬，牛顿还抱有对上帝的敬畏，在拉普拉斯的体系中，上帝被放逐了，拉普拉斯之所以如此张狂，就是因为他豢养的“拉普拉斯魔”。
“我们可以把宇宙现在的状态视为其过去的果以及未来的因。
如果一个智者能知道某一刻所有自然运动的力和所有自然构成的物件的位置，假如他也能够对这些数据进行分析，那宇宙里最大的物体到最小的粒子的运动都会包含在一条简单公式中。
芝诺的乌龟微积分解释
芝诺的乌龟微积分解释全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：芝诺的乌龟微积分解释是一种简单而又有趣的方式来理解微积分这一复杂的数学概念。
这种解释源自于希腊哲学家芝诺所提出的“芝诺的乌龟悖论”，他在该悖论中讨论了无限逐渐减小的序列之间的关系。
这种思想启发了人们将微积分概念联系到日常生活中，通过可视化的方式来解释微积分的原理。
在芝诺的乌龟微积分解释中，乌龟代表了一个运动中的物体，而微积分则是对这个运动的变化进行分析。
乌龟向前爬行的过程可以看作是一个连续的运动轨迹，这个轨迹可以被看作是一个曲线，而微积分就是用来描述这个曲线的变化情况的数学工具。
我们可以用乌龟在一个直线上爬行的例子来说明微积分的概念。
假设乌龟在直线上爬行，我们可以用一个函数来描述乌龟的位置随时间的变化。
我们可以将乌龟的位置用x(t) 表示，其中t 表示时间。
而乌龟的速度就是位置x(t) 对时间t 的导数，表示的是乌龟在某个时刻的瞬时速度。
如果我们想求解乌龟在某个时间段内的爬行距离，我们可以通过微积分来解决这个问题。
具体来说，我们可以用定积分来计算乌龟在该时间段内的平均速度，然后将这个速度乘以时间段就可以得到乌龟在该时间段内的爬行距离。
通过芝诺的乌龟微积分解释，我们可以更加直观地理解微积分的原理和应用。
这种思想方法不仅可以帮助我们更好地掌握微积分的概念，还能够激发我们对数学的兴趣。
芝诺的乌龟微积分解释不仅是一种有趣的学习方法，更是一种增强数学思维能力的有效工具。
第二篇示例：芝诺的乌龟微积分解释芝诺曾经提出一个哲学难题——“阿基里斯与乌龟”，以此引发人们对无穷的思考。
在这个故事中，阿基里斯与一只乌龟进行赛跑，但规定了乌龟可以领先一段距离。
尽管阿基里斯的速度快过乌龟，但乌龟却始终能够保持在阿基里斯前面。
这个思考实验引出了无限细分的概念，也正是微积分所要描述的。
微积分是研究变化的数学分支，其中的核心思想就是将无限小的变化进行积累，从而得出一个整体的变化。
芝诺悖论无穷级数解释
芝诺（Zeno of Elea ）辩论（Argument ）——从量子的角度能得到完善的解决。
这里用无穷级数做些解释。
阿基里斯与乌龟赛跑问题：古希腊神话中善跑的英雄阿基里斯和乌龟的赛跑，如果先让乌龟爬行1000米后，再让阿基里斯去追乌龟，那么阿基里斯不可能追上乌龟。
芝诺辩论：因为在赛跑中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。
就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！从逻辑上讲上述辩论没有任何问题，但显然不符合现实！无穷级数分析：设乌龟的出发点为1A , 阿基里斯的起跑点为0A ，两者的间距为1s ，乌龟的速度为v ，阿基里斯的速度是乌龟的100倍，即为100v .因为乌龟爬行到2A 的时间与阿基里斯到达1A 的时间相等，所以21100s s v v =，即12100s s =. 以此类推，21100n n s s --=,1100n n s s -=，所以 111100n n s s -⎛⎫= ⎪⎝⎭阿基里斯在追赶乌龟时所跑的路程为： 123n s s s s s =+++++231111111111100100100100n s s s s s -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 231111111100100100100n s -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11111100100lim .1991100n n s s →∞⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==- 因此，从表面上看，阿基里斯在追赶乌龟的过程中总跑不完，但模型分析计算可知当阿基里100 99s处时，已经追赶上了乌龟。
科学殿堂里的七大神兽
科学殿堂里的七大神兽打开文本图片集学习知识要善于思考，思考，再思考。
我就是靠这个方法成为科学家的。
——爱因斯坦科学圣殿里有七大神兽：芝诺的乌龟、拉普拉斯兽、巴甫洛夫的狗、麦克斯韦妖、莎士比亚的猴子、薛定谔的猫和洛伦兹的蝴蝶。
分别对应着微积分、经典力学、生物学、热力学第二定律、概率论、量子力学和混沌学。
这七大神兽独霸一方，各擅胜场：芝诺的乌龟时空双修能缩地成寸，拉普拉斯兽明察大道推演万物，巴甫洛夫的狗能瞬时响应抗拒理性，麦克斯韦妖操控万物逆转阴阳，莎士比亚的猴子在时空光锥创造无限可能，薛定谔的猫能制造宇宙超越轮回，洛伦兹的蝴蝶能以四两之力扰乱乾坤。
这七大神兽亦正亦邪，相互之间各有恩怨，例如洛伦兹的蝴蝶和拉普拉斯兽就是天生的死对头。
这些神兽有时给科学圣殿带来难以理解的困扰，有时也给那些天才的科学家指明方向和道路。
1芝诺的乌龟出生日期：公元前464年主人：芝诺门派：先贤哲学能力：缩地成寸公元前464年，物理帝国的世纪运动竞技赛开幕，芝诺之龟与海神之子阿喀琉斯赛跑。
阿喀琉斯体格健壮，肌肉饱满，四肢遒劲有力。
芝诺之龟短小精悍，豆眼如炬，龟甲结实笨重。
芝诺之龟以身体劣势为由，申请提前奔跑100米。
阿喀琉斯深知自己的速度乃是芝诺之龟的10倍，便毫不犹豫地答应了。
比赛开始，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经向前爬了10米;阿喀琉斯继续追，而当他追完乌龟爬的10米时，乌龟又已经向前爬了1米;阿喀琉斯只能再追向前面的1米，可乌龟又已经向前爬了1/10米。
就这样，芝诺之龟总能与阿喀琉斯保持一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟。
尽管阿喀琉斯是神话中的英雄，但最终还是败在芝诺之龟的四条小短腿之下，芝诺之龟从此声名鹊起，无人匹敌。
不仅在古希腊，在智者云集的古老东方，同样也对这只乌龟无可奈何。
《庄子·杂篇·天下》中提到，“一尺之捶，日取其半，万世不竭”，其实也是这只乌龟施展的“魔法”。
解读 《悖论》 脱水精华版
解读《悖论》脱水精华版今天要为你解读的书是悖论，副标题是破解科学史上最复杂的九大谜团。
悖论是指同一个命题能推导出两个对立矛盾的结论。
在科学发展中，一个理论提出后，有时会演绎出看似荒谬的结果，这时候悖论就产生了。
悖论分为两种，一种叫真悖论，这种悖论是无法解决的，比如究竟是先有鸡还是先有蛋。
还有一种悖论叫认知悖论。
这种悖论乍听上去十分离谱，或者极度违背直觉。
但事实上却漏掉了一些微妙的因素，只要将这些因素考虑进来就可以破除悖论。
这种认知悖论正是本书重点要讨论的悖论。
这些悖论就像是冰山的尖顶底下隐藏的是一套庞大的知识体系。
本书介绍了科学史上最重要的九个悖论，它们横跨古今2000多年涵盖了牛顿物理热力学相对论量子物理等范畴，串联起了整个物理学的发展过程。
本书作者吉姆艾尔哈利利出生于伊拉克是国际顶尖的物理学家。
他是英国萨里大学的教授也是知名作家及节目主持人。
他曾被授予大英帝国官佐勋章还分别被英国皇家学会和英国物理学会授予迈克尔法拉第奖和凯尔文奖以表彰他在科学教育方面的贡献。
在这本悖论中，埃尔哈迪丽打破了一般科普读物，由简入繁的惯例，他先抛出一个个令人费解的悖论，在以充满趣味的方式刨根问底，带着我们了解悖论之后的科学知识。
下面我会分为两组来为你解读，其中七个重要的悖论。
第一组是动物主题。
用四个跟动物相关的悖论介绍物理学的四个发展领域。
第二组是相对论主题将集中讲解三个跟相对论有关的悖论来深入了解相对论的神奇。
下面就让我们开启这场烧脑的破解悖论之旅。
先看第一组有关动物主题的悖论。
在物理学发展中，科学家用思想实验创造了四只动物代表了四个最著名的悖论。
他们分别是芝诺龟拉普拉斯兽麦克斯韦妖和薛定谔的猫。
有人将他们合称为物理学四大神兽，它们分别对应着微积分，经典力学热力学量子力学四大板块儿见证了物理学从古至今的发展。
让我们来分别了解一下四只神兽的来龙去脉。
第一个悖论，芝诺的乌龟悖论也叫阿基里斯悖论。
这个悖论可以追溯到2500年前是希腊哲学家芝诺提出来的。
薛定谔的猫，芝诺的乌龟等科学界“四大神兽”
薛定谔的猫，芝诺的乌龟等科学界“四大神兽”科学对人类的帮助是毋庸置疑的，它不仅颠覆了人类以往数千年对世界的认知，还进一步拓展了人类的探索范围。
科学想要进步其实并没有什么捷径可走，它靠的就是无数科学家前赴后继的探索与研究。
而在对科学的研究中，“实验”是其最基本也是最直接的方法之一。
有意思的是，因为种种原因的困扰和限制，一些实验的实验地点并不是在现实世界中，而是在人类的大脑中用想象力去完成，科学家们将这种另类的实验称为“思想实验”。
随着思想实验的出现与普及，科学界也因此诞生了“四大神兽”。
而这四大神兽中，可能除了薛定谔的猫比较出名之外，另外三个很少有人知道，下面就一起来看看这科学界“四大神兽”。
正如上文所说，随着量子力学的逐渐普及，薛定谔的猫这个著名的思想实验也开始逐渐被人所知。
不过，虽然实验的名声打出去了，但许多人不知道薛定谔这个“虐猫狂人”为什么要跟一只猫过不去，甚至要将它关到一个箱子中，又在箱子中放入毒药。
其实薛定谔当初设计这个思想实验的目的，是为了反驳量子力学的根本——哥本哈根诠释，而实验设计的也非常简单：将一只猫放入一个不透明的封闭箱子中，并且在箱子中放入一个盖格计数器、毒气释放装置以及一个放射性原子。
假设该原子在一小时内有50%的概率衰变，衰变后会释放出一个粒子，这个粒子会被盖格计数器检测到，从而打开毒气释放装置，将封闭箱子中的猫杀死。
实验的问题是：一小时后，箱子中的猫是生还是死？如果不打开箱子观察，永远也不知道箱子中的原子是否已经衰变，也就不知道猫咪的状态。
在量子力学中，原子的状态处于两种状态（衰变或不衰变）的叠加态中。
而因为原子的状态也能影响猫咪的状态，因此猫咪也就陷入了“或生”、“或死”的奇妙状态中，我们在无法判断猫咪状态的情况下，只能认为它此刻“又生又死”。
搞笑的是，薛定谔设计这个思想实验的目的明明是为了反驳量子力学，但到头来却成为了诠释量子力学特性的典型试金石。
1814年，法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯提出了一个概念：有一个妖精，这个妖精知道宇宙中所有粒子以及它们的运动轨迹，并且能够用经典力学推理出所有下一个瞬间的信息。
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数学论文——芝诺的乌龟
摘要：“芝诺的乌龟”是古希腊数学家、哲学家芝诺（Zeno
of Elea）提出的关于运动不可分的哲学悖论，同时也是
科学史上广为人知的动物形象。
而这一悖论与“飞矢不
动”以及“游行队伍”都作为了芝诺提出的伟大的“二
分法”的事例。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴
门尼德关于”存在”不动、是一的学说。
虽然“芝诺的
乌龟”现在已得到了完善的解决，但这并不说明“芝诺
的乌龟”如今已没有了实际意义。
那么，“芝诺的乌龟”
中解决问题契机是什么其中深层的含义又是什么
芝诺是古希腊时期爱利亚学派的主要成员，这个学派的基本思想是否认现实世界中的任何运动变化，认为它们只是真实存在的表面现象。
而芝诺为了证明他们的观点，第一个设想和论证了物体运动中存在的令人不安的困难。
芝诺的伟大便在于此。
但在知识的越来越深入的探究，许多人们开始对“芝诺的乌龟”产生质疑——芝诺的悖论意义何在这是一个真正的悖论吗
让我们仔细地了解一下“芝诺的乌龟”。
在“芝诺的乌龟”中，芝诺的论证是这样的：阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。
在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。
因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。
就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！（如图一）
这段论证似是非常有道理，但如果撇去那些杂乱的语言，这实际上就是一个追及问题了。
有快者和慢者，且为同一方向，也有速度差。
实际上就是“小明去学校，老爸给他送忘带的书”之类的问题。
典型的“追及问题”怎么会追不上呢
在我看来，追及的思想是：
速度快者在无限路程中，能在有限的时间内，追上慢者.
用通俗的语言来说，就是快的再慢的后面时，一定能追上慢的。
（不管追及时间有多长、速度差有多小、路程差有多大等等）
在此悖论中，我认为芝诺表现出的思想为：——速度快者在无限路程中，不能在有限的时间内，追上慢者。
——刚好与追及问题相反！
那就将错就错，按照追及问题来看：
假设乌龟（以下称A）的速度是V，则阿基里斯（以下称B）速度是10V，
B和A之间相距100M，则B追上A的时间是100/（10V-V）=100/9V，也就是B追上A需要100/9V。
看看，明明可以追上的嘛！
那么，问题出在哪里呢
回到最初的论证中，我们再会到芝诺的论证，来看看芝诺是如何描述的：
“……追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米……”
这段话意思就是：当B追上路程差的100M时，A已在B追上的时间内又向前爬了10M，并且此过程不断循环，所以B追不上A，这是芝诺的观点。
这是正确的吗
为什么芝诺一定要强调“追者首先必须到达被追者的出发点”呢B的目标应该是追上A，而不是追上A之前的出发点。
B跑100M的时间，与A跑10M的时间对等，却不与B跑10M，A
跑1M的时间对等。
B跑100M与A跑10M的时间相等这本身没有错，就是一个事实——V
B =10V
A。
但错的是芝诺在悖论中没有将每个循环的时间画上等号，时间不统一，自然只能看到B不停地以10倍的速度追A，在追的途中，距离差总是无限缩小接近0（即B追上A）。
那么“芝诺的乌龟”悖论就为：
要使B与A的距离差无限接近0，T（时间）就必须永远保持在<100/9V的状态，B追上A(当T=100/9V时，B与A 的距离差=0)。
——这是一句废话！
这也给后世留下了深深的疑问——既然这根本就是概念的问题，“芝诺的乌龟”称不上是
一个真正的悖论，它的意义何在
传说芝诺在五岁的时候，他父亲曾经考他，从他们家到外婆家有五公里路，他以每小时五公里的速度走，需要走多少时间。
芝诺答是一个小时，父亲给了他一颗糖吃，因为他答对了。
十年后，等他十五岁时，父亲又拿这个问题问他时，他知道这下如果再答是一个小时肯定要挨骂。
因为，很显然这回父亲考的再不是他的算术能力。
父亲是在考他的判断、分析、思辩等多方面的能力，他需要找出另外一种答案来博得父亲的嘉许。
最后，他告诉父亲：他永远也走不到外婆家。
父亲想当然地替他回答了原因：因为外婆已经去世，外婆家已经不存在。
这事实上也是父亲要的答案。
父亲问这个问题的目的就是要儿子打开思路。
但年少的芝诺说：“不，父亲，你这是偷换概念，不是在用数学说明问题。
”
父亲哈哈大笑说：那你用数学来说明一下。
他根本不相信，这还能用数学来解释。
芝诺说：我可以把五公里一分为二，然后又把一分为二的五公里再一分为二，这样分下去、分下去，可以分出无穷个“一分为二”，永远也分不完。
既然永远分不完，你也就永远走不到。
[1]
在这个关于芝诺的故事中，我看到了年少芝诺的睿智。
“二分法”与“芝诺的乌龟”拥有相同的主旨。
“二分法”中，将总路程不断平均分为两份（如图二），因为人的速度不变，走的路程不断是之前的二分之一，时间也不断是之前的二分之一，与“芝诺的乌龟”中无数个起点一样，“二分法”中的无数个中点都没有存在的必要！
问题不攻自破。
就好像你
要从南京去上海，你没有
必要在无锡做一个停顿
再前往上海。
同时，“二分法”中很好地体现了无限的概念。
芝诺将整段路程化为无限，时间自然也被化为了无限[2]。
小小的动物形象中，拥有着如此多的科学与哲理.。
尽管芝诺这个名字，已经在历史长河中沉睡太久，但依然掩盖不住它璀璨的光芒！
参考文献：
[1]《密码与芝诺悖论》作者：佚名
[2] 《关于芝诺悖论阿基里斯追不上乌龟的部分逻辑解》作者：佚名。