求数列通项公式

1 1 为首项，以2为公差的等差数列 是以 a1 an
1 1 = + ( n − 1)2 = 2n + 1 an a1 1 ∴ an = 2n + 1
类型七、 类型七、形如 an +1 − an = pan +1an 的递推式
例7： ： 已知a1 = 2, an ≠ 0, 且an +1 − an = 2an +1an ,求an .
观察法：已知前几项， 类型一 观察法：已知前几项，写通项公式
例1 写出下面数列的一个通项公式， 使 它 的 前 4项 分 别 是 下 列 各 数 ： 1 1 1 1 （） 1， - ， ， 2 3 4 0 2 （2 2 ， ， ， 0 ）
( −1) 1 解： （） an = n n+1 (2) an = ( −1) + 1
取倒法构造辅助数列 取倒法构造辅助数列 例6： 数列 ：
pa n = 的递推式 qa n + p
{an } 满足:a1 = 1, an+1
a n −1 解： a n = 2a n − 1 + 1
求 {a n } 通 项 公 式
an , = 2an + 1
1 2an −1 + 1 1 = = +2 an an −1 a n −1
解 ： Q a n = 2a n − 1 + 1 an + 1 ∴ =2 a n −1 + 1 ∴ ∴ an + 1 = 2an−1 + 1 + 1 = 2(an-1 + 1) a
{an + 1} 是以a1 + 1为首项，
以2为公比的等比数列an = ( 1 + 1) 2n−1 = 2n
类型六、 类型六、形如 a n +1
解 ： Q a n + 1 − a n = 2a n + 1 a n 1 1 ∴ − =2 an an + 1
1 1 ∴ 是以 为首项，以 - 2为公差的等差数列 a1 an 1 1 5 −4n + 5 ∴ = + n - 1 (-2) = -2n + = （ ） 2 2 an a1 2 ∴ an = −4 n + 5
n
an 解： = 3 n −1 , a n −1 .......
an −1 = 3n − 2 , an − 2 a3 = 32 , a2
an − 2 = 3n− 3n − 4 an − 4
a2 =3 a1
以上各式相乘得an = a1 ⋅ 3 ⋅ 32 ⋅ 33 ⋅ ⋅ ⋅ 3n− 2 ⋅ 3n−1 = 2 ⋅ 31+ 2+ 3+⋅⋅⋅+ ( n-1) = 2⋅ 3 an = 2 ⋅ 3
n+1
(3) 3, 33, 333, 3333
类型二、 已知前n项和 项和， 类型二、公式法 已知前 项和，求通项公式
( n = 1) S1 an = S n − Sn −1 ( n ≥ 2)
例2： ﹛an﹜的前 项和为 n,且满足 n=n2+2n-1, ： 的前n项和为 且满足 项和为S 且满足s 设 的通项公式. 求﹛an﹜的通项公式
n ( n -1) 2 n ( n -1) 2
练： 知 {a n } 中 ， a1 = 2, a n + 1 已
2 = 2 + ⋅ an , 求 通 项 an . n
类型五、 类型五、形如 an +1 = pan + q 的递推式 构造法 求 例5：数列{an } 满足a1 = 1, an +1 = 2an + 1 , an . ：
练习
5 ∗ 1： 数列{an } , a1 = , 若对任意的n ∈ N , n ≥ 2, 二次方程 ： 设 6 2 an−1 x − an x + 1 = 0都有根α、β，且满足3α - αβ + 3β = 1 1 (1)求证：an − 是等比数列; 2 (2)求通项an； (3)求前n项和Sn .
练： 知 {an }中,a1 = 1, an = 3n−1 + an−1 已
3n − 1 ( n ≥ 2)证明：an = 2
类型四、 类型四、累乘法形如 an +1 = f (n) ⋅ an 的递推式
已 例4： 知 {an } 中，a1 = 2, an+1 = 3 ⋅ an , 求通项an . ：
解 ： Q sn = n + 2 n − 1
2
∴ 当n = 1时 a1 = s1 = 2 ∴ 当n ≥ 2时 an = sn − sn −1 = n + 2n − 1
2
− [( n − 1) + 2( n − 1) − 1] = 2n + 1
2
2 n = 1 ∴ an = 2n + 1 n ≥ 2
类型三、 类型三、累加法 形如 an +1 = an + f (n) 的递推式
已知a 求通项a 在 求通项 例2： ﹛an﹜中，已知 1=1,an=an-1+n (n≥2),求通项 n. ：
解： Q an = an −1 + n an − 2 = an − 3 + n − 2 ....... a3 = a2 + 3 a2 = a1 + 2 以上各式相加得 a n = a1 + (2 + 3 + 4 + L + n ) (n+2)(n-1) =1+ 2 a n −1 = a n − 2 + n − 1 an − 3 = an − 4 + n − 3
2： 已知 {a } , a = 3, 2a = S S ： n 1 n n n −1
( n ≥ 2)
1 (1)求证： 是等差数列，并求公差； Sn (2)求 {an } 的通项公式 .
3. 在 {an }中，an+ 2 − 2an+ 1 + an = 4, 且a1 = 1, a2 = 3, 求an .