八年级春季班-04-整式方程和分式方程-教师版

1、 如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方

程就叫做二项方程，关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为:0(00n ax b a b n +=≠≠，，是正整数)．

n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；

n 为偶数时，若0ab <，方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；若0ab >，那么方程没

有实数根．

2．一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程．关于x 的双二次方程的一般形式为420ax bx c ++=（0a ≠，0b ≠，0c ≠）．

3．了解关于x 的双二次方程420ax bx c ++=（0a ≠，0b ≠，0c ≠），可以用新未知数y 代替方程中的2x ，同时用2y 代替4x ，将这个方程转化为关于y 的一元二次方程．20ay by c ++=这种解方程的方法是换元法．

4．整式方程和分式方程统称为有理方程．

整式方程和分式方程 知识结构

知识精讲

模块一：整式方程

【例1】下列关于x 的方程中，为一元整式方程的是（ ）

A ．343x y -=

B ．24x -

C ．32

2x x =-

D ．22350x x --=

【难度】★ 【答案】D

【解析】含有一个未知数，且各项均为整式的方程，称为一元整式方程． 【总结】考察一元整式方程的概念．

【例2】判断下列关于x 的方程，哪些是一元整式方程，并指出这些整式方程分别是一元几次方

程?

① 23270x a x +-=； ②321

240(0)x x x a b a b

+-

=+≠+； ③1

3(0)1

x x x +

=≠-； ④212(0)x x x +=-≠； ⑤2

13502

m xm x ⋅+-=-； ⑥

352270(1)1x x x b b +--=≠-． 【难度】★

【答案】 ①、②、⑥都是整式方程；①是一元二次方程；②是一元三次方程；⑥是一元五次方 程．

【解析】“元”表示未知数的个数，“次”表示未知数的最高次数，各项都是整式的方程是整式方程；

【总结】考察一元整式方程的概念．

【例3】（1）若关于x 的方程62ax x +=的解为2，则a =__________；

（2）若方程2250x kx --=的一个根是1-，则k =__________． 【难度】★

【答案】（1）1a =-（2）3k =

【解析】（1）把2x =代入62ax x +=，得：2641a a +=∴=-，； （2）把1x =-代入2250x kx --=，得：2503k k +-=∴=，． 【总结】考察对方程的解的概念的理解及应用．

例题解析

【例4】若关于x 的二项方程420x m +=没有实数根，则m 的取值范围是（

）

A ．0m ≤；

B ．0m <；

C ．0m ≥；

D ．0m >；

【难度】★ 【答案】D

【解析】因为42x m =-，所以41

2

x m =-，若方程没有实数根，则0m >．

【总结】考察二项偶次方程有解的情况．

【例5】关于x 的方程2410mx x --=实数根的情况是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．1个或2个

D ．不确定

【难度】★★ 【答案】D

【解析】当0m =时，方程化为1

4104

x x +==-，，只有一个解；当0m ≠时，方程为一元二次

方程，160m =+≥，即16m ≥-且0m ≠时，方程有两个实数根，160m =+<， 即16m <-时，方程没有实数根；综上所述，方程实数根的情况不能确定． 【总结】考察对含字母系数的一元整式方程根的分类讨论．

【例6】如果m ．n 为常数，关于x 的方程2(2)32

x km

kx n -+-=

，无论k 为何值，方程的解总是

1

2

，则m =___________，n =____________． 【难度】★★ 【答案】928

m n =-=

，． 【解析】将方程整理得：()4168k x km n -=--，把12

x =

代入得：()1

41682k km n -=--，

整理得：()298m k n +=-，若k 为任意实数，则928

m n =-=，． 【总结】考察含字母的系数的整式方程解的讨论及综合应用．

（1）42416x x =；

（2）4220x x +-=； （3）222(231)22331x x x x -+=-+；

（4）22(1)1x x x +--=．

【难度】★★

【答案】（1）1234022x x x x ===-=，，； （2）1211x x =-=，；

（3）123433

0322

x x x x ====-，，，； （4）12342210x x x x =-==-=，，，．

【解析】解：（1）由42416x x =，得：4240x x -=，即()()2

220x x x +-=，

解得原方程的解为：1234022x x x x ===-=，，；

（2）由4220x x +-=，得：()()22210x x +-=，即()

()()22110x x x ++-=， 解得原方程的解为：1211x x =-=，； （3）由222(231)22331x x x x -+=-+，

得：()()()2

22223223111231x x x x x x -+-+=-+，

即()()2

22239230x x x x ---=，

分解因式，得：()()()233230x x x x --+=，

解得原方程的解为：123433

0322

x x x x ====-，，，；

（4）因为22(1)1x x x +--=，所以分以下情况讨论： ①当20x +=时，解得：12x =-；

②当211x x --=时，解得：2321x x ==-，； ③当211x x --=-时，解得：4501x x ==，， 当211x x --=-时，2x +应为偶数，1x ∴=舍去， 故原方程的解为：12342210x x x x =-==-=，，，．

【总结】本题主要考察一元高次方程的解法，第（4）问注意要从多个角度进行分类讨论．